2011年1月MBA数学真题及解析

2011年一月联考真题

一、问题求解：第1-15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项中，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1. 已知船在静水中的速度为28km/h ，河水的流速为2km/h ，则此船在相距78km 的两地间往返一次所需的时间是 (A)5.9h

(B)5.6h

(C)5.4h

(D)4.4h

(E)4h

2. 若实数,,a b c 满足()2

335540a b c -+++-=，则abc =

(A)-4 (B)-35 (C) -34 (D) 5

4

(E)3

3. 某年级60名学生中，有30人参加合唱团、45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有8人，则参加运动队而未参加合唱团的有 (A)15人

(B)22人

(C)23人

(D)30人

(E)37人

4. 现有一个半径为R 的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是

(A)338R (B) 3

938R (C) 334R (D) 331R (E)

393R

5. 2007年，某市的全年研究与试验发展（R&D ）经费支出300亿元，比2006年增长20%，该市的GDP 为10000亿元，比2006年增长10%。2006年，该市的R&D 经费支出占当年GDP 的 (A)1.75%

(B) 2%

(C) 2.5%

(D) 2.75% (E)3%

6.现从5名管理专业、4名经济专业和1名财会专业的学生中随机派出一个3人小组，则该小组中3个专业各有1名学生的概率为 (A)

12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)16

7.一所四年制大学每年的毕业生七月份离校，新生九月份入学，该校2001年招生2000名，之后每年比上一年多招200名，则该校2007年九月的在校学生有

(A)14000名 (B)11600名 (C)9000名 (D)6200名 (E)3200名

8.将2个红球与1个白球随机地放入甲、乙、丙三个盒子中，则乙盒子中至少有1个红球的概率为

(A)19

(B)

827

(C)

49 (D)59

(E)

1727

9.如图1，四边形ABCD 是边长为1的正方形，弧AOB 、BOC 、COD 、DOA 均为半圆，则阴影部分的面积为 (A)

12 (B)2π (C)14π- (D)12π- (E)22

π-

10.3个3口之家在一起观看演出，他们购买了同一排的9张连座票，则每一家的人都在一起的不同坐法有

(A)()2

3!种 (B)()3

3!种 (C)()3

33!种 (D)()4

3!种

(E)9! 种

11. 设P 是圆222x y +=上的一点，该圆在点P 的切线平行于直线20x y ++=，则点P 的坐标为

A (-1,1) B(1，-1) C(0，2) D (2,0) E(1,1)

12. 设,,a b c 是小于12的三个不同的质数（素数），且8a b b c c a -+-+-=，则

a b c ++=( )

A.10

B.12

C.14

D.15

E.19

13. 在年底的献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款。经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种。该单位捐款500元的人数为 A.13

B.18

C.25

D.30

E.38

14. 某施工队承担了开凿一条长为2400m 隧道的工程，在掘进了400m 后，由于改进了施工工艺，每天比原计划多掘进2m ，最后提前50天完成了施工任务。原计划施工工期是 A.200天

B.240天

C.250天

D.300天

E.350天

15. 已知229x y +=，4xy =，则33x y

x y x y

+=+++

A.12

B.15

C.16

D.

113

E.

114

二、条件充分性判断

（A ）条件（1）充分，条件（2）不充分 （B ）条件（2）充分，条件（1）不充分

（C ）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分 （D ）条件（1）充分，条件（2）也充分

（E ）条件（1）和（2）单独不充分，但条件（1）和（2）联合起来也不充分

16.,,a b c 成等差数列

（1）,,a b c e e e 成等比数列实数 （2）ln ,ln ,ln a b c 成等差数列

17.在一次英语考试中，某班的及格率为80% （1）男生及格率为70%，女生及格率为90% （2）男生平均分与女生平均分相等

18.如图2，等腰梯形的上底与腰均为x ，下底为10x +，则13x = （1）该梯形的上底与下底之比为13:23 （2）该梯形面积为216

19.现有3名男生和2名女生参加面试，则该面试的排序方法有24种 （1）第一次面试的是女生

（2）第二次面试的是指定的某位男生

20.已知三角形ABC 的三条边长分别为,,a b c ，则三角形ABC 是等腰直角三角形 （1）()()2220a b c a b ---= （2）2c b =

21.直线30ax by ++=被圆()()2

2

214x y -+-=截得的线段长度为23 （1）0,1a b ==- （2）1,0a b =-=

22.已知实数,,,a b c d 满足22221,1a b c d +=+=，则1ac bd +< （1）直线1ax by +=与1cx dy +=仅有一个交点 （2）,a c b d ≠≠

23.某年级共有8个班，在一次年级考试中，共有21名学生不及格，每班不及格人数最多有3名，则（一）班至少有1名学生不及格 （1）（二）班的不及格人数多于（三）班 （2）（四）班不及格的学生有2名

24.现有一批文字材料需要打印，两台新型打印机单独完成此任务分别需要4小时与5小时，两台旧打印机单独完成此任务分别需要9小时与11小时，则能在2.5小时内完成任务 （1）安排两台新型打印机同时打印

（2）安排一台新型打印机与两台旧打印机同时打印 25. 已知{}n a 为等差数列，则该数列的公差为零

（1）对任何正整数n ，都有12n a a a n +++≤ （2）21a a ≥

解：易知单独均不成立，只能考察联合情况。 由（2）知0d ≥，()

112

n n n S na d n -=+

≤，其左侧为2n 级别，右侧为n 级别，故若0d ≠，则当n →∞时，左侧大于右侧，故0d =。

1、解：设水速1v ，船速2v ，是顺水需时间

12S v v +，逆行需时间21

S

v v -，故来回需

222

21

2v S

v v -，代入得B 。 2、解：考察非负性，易知54

3,,35

a b c ==-

=，代入得A 3、解：集合问题，韦恩图辅助求解。

4、解：内接正方体的体对角线长度等于球的直径，故

3

3

323238323,,339R a a R v a R R ??===== ? ???

5、解：2006

年试验发展经费为

3002501.2=，2006年GDP 为10000

1.1

，故试验发展经验占GDP 的

250250 1.1

2.75%100001.110000

?==

6、解：样本空间310

C ，有利事件个数1115

4

3

54360C C C =??=，概率为1115433

101

6

C C C C = 7、解：

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 入校 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 离校

2000

2200

2400

7年入校人数：

20003200

7182002

+?=，7年离校人数：20002400

366002

+?=，故在校11600。

8、解：（1）样本空间，3球入3盒，无要求，3327=

（2）有利事件（反面）：乙盒中无红球，即无球，或有球但是白球 （2.1）乙盒无球，则三球入甲丙两盒，328= （2.2）乙盒有白球，则两红球入两盒，224= 故有利事件共有27-8-4=15种，概率为

155279

= 9、解：半圆减三角形的

4倍是花瓣的总面积。选E 。

10、解：小团体捆绑法，()

4

3

3

3

3

33333!P P P P =

11、解：见图，因为直线与圆相切，且斜率为-1，由对称性知P

坐标为(),x x ，

由半径为2知，1x =。

另解：由图可知，该点在第一象限，且横纵坐标相等，故E 。

12、解：考察

20以内的质数。设a b c <<，则

()284a b b c c a b a c b c a c a c a -+-+-=-+-+-=-=?-=

枚举质数2，3，5，7，11，故为3，5，7，和15。

13、解：设人数分别为,,x y z ，则

100500200019000520190x y z x y z ++=?++=，且100x y z ++=。于是得三

元一次不定方程组520190

100

x y z x y z ++=??++=? ，两式相减得

90419901990419y z z z ??

+=?≤?≤=????

，故1,2,3,4z =，枚举可知2,13z y ==。

14、解：施工问题，注意效率。设原计划x 天，则每天完成

2400

x

米。故各阶段所需时间如下 ： （1） 前400米，需

6

x （2） 之后的2000米，需

2000

2400

2x

+

（3） 等量关系

2000502400

62x

x x

+=-+，解得300x =

另解：设每天完成y 米，则24004002000

5082

x x x x -=+?=+，故所需时间为300天。

15、解：注意表示，

()()()332222

111

945

x y x y x y x y x y xy x y x xy y x y ++====++++--+-+++ 16、解：（1）()

2

22b a c a c b a c e

e e e e e b a c ++==?=?=+

（2）22ln ln ln b a c b ac =+?=

17、解：（1）人数未知，故无法确定平均及格率，不充分

（2）条件太少，比如平均分为0分，则没人及格。

18、解：（1）

13

131023

x x x =?=+ （2）作辅助线，见下图

易知5AB =，高为225x -，故面积为()

21025216132

x x S x x ++=

?-=?= 19、解：（1）分两步，第一步，任选

1名女生，2种；第二步，其余4人任意

排列，44P 。共48种，故不充分。

（2）第一步，指定某男生，只有1种；第二步，其余4人任意排列，44P 。共24种，充分。

20、解：（1）()(

)2

2

2

0a b c a b

a b ---=?=或2

22c

a b =+，说明它是等腰三角

形或直角三角形，而未必是等腰直角三角形，不充分。

（2）2c b =，仅有两边关系，可因素两边夹角变化，而导致第三边变化，不充分。 （3）联合相当于

()()()()()()222

222220

22a b c a b a b b a b a b b a c b

?---=??---=--?

=?? 故()()2

00a b a b a b -+=?-=，故为等腰三角形，由（2）知直角。

21、解：因为两个条件导致直线为水平或竖直，比较简单，故直接代入验证，

B 。

22、解：柯西不等式()(

)()2

2

2

2

21ac bd a b

c

d +≤++=，等号成立的充分条件是

ad bc =。

（1） 说明两直线不平行，故破坏ad bc =，故充分 （2） 2222,,,12222

a c

b d a

c b

d =

=-==-?+=-，找到反例，不充分。 另解：（1）特殊值，排队B

（2）此题为联合型，因为（1）很清楚地表达了ad bc ≠，无须与它人联合。故只能是独立型，答案只能是A 、B 、D ，故只能是A 。

23、解：（1-1）二班不及格人数最多为

3，三班不及格人数最多为2

（1-2）其余6个班不及格人数共16人，除一班外的五个班，最多不及格人数15人，故一班至少一人。所以（1）充分。

（2-1）四班2名不及格，故其余7班共有19名不及格

（2-2）除一班外的6个班，最多18名不及格

（2-3）故一班至少1人不及格，（2）充分。选D。

24、解：工程类问题，注意效率

（1）两台新型打印机，同时工作的效率为119

4520

+=，故可在

20

2.5

9

<小时内

完成

（2）一新两旧最小工作效率为

11191151159199

59115911495

?+?+?

++==

??

，故可在

495

2.5

199

<小时内完成。

25、解：易知单独均不成立，只能考察联合情况。

由（2）知0

d≥，

()

1

1

2

n

n n

S na d n

-

=+≤，其左侧为2n级别，右侧为n级别，

故若0

d≠，则当n→∞时，左侧大于右侧，故0

d=。