湖北省荆州中学2018届高三第八次周考数学(理)试题+Word版含答案

荆州中学高三年级第八次周练试题

理科数学

第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}

|1B y y =，那么()U A C B = （ ）

A. ?

B.(]0,1

C.(0,1)

D.(1,)+∞ 2．若复数3

i 2

1z =

+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A. 1- B. i -

C. 1

D. i

3．已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4．设某中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y (1,2,3i =，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为

?0.8585.71y

x =-， 则下列结论中不正确．．．的是（ ） A. y 与x 具有正线性相关关系

B. 回归直线过样本的中心点(,)x y

C. 若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg 5．若圆锥曲线22:1C x my +=的离心率为2，则m =（ ）

A. B. C. 13- D. 13

6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）

A. 2log 101-

B. 22log 31-

C.

9

2

D.6 7．已知函数()sin()(0,0,0)2

f x A x A πω?ω?=+>><<的周期为π，若()1f α=，则3()2f π

α+=

（ ）

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 2

8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线21y x =+与圆224x y +=相交于

,A B 两点，则cos AOB ∠=（ ）

A.

B. C. 910 D. 910-

9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱， 甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个

手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）;乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七十;丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱．

A. 28

B. 32

C. 56

D. 70

10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），

则这个几何体的体积是（ ） A.

323 B. 64

3

C. 16

D. 32 11．抛物线28y x =的焦点为F ，设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的

两个动点，若124x x ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A.

3π B. 34π C. 56π D. 23

π

12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，()ln 1f x x x =-+，

若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1ln 21ln 2ln 21ln 21(,)(,)8668

----? B. ln 21ln 21

(,)68--

C. 1ln 21ln 2

(,)86

-- D. 1ln 2ln 21(,)86--

第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=

, 则BD CD ?=

．

14．已知函数()()

2

21log 1

x f x x +=-，若()2=f a ，则()f a -= ． 15．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===，

若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．

16．已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个

等差数列后三项和的最大值为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ，

b c C 2cos 2=+.

（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若1

2

b =, 求sin C .

18．(本小题满分12分)设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足n n a T -=1 （Ⅰ）求证数列}11

{

n

a -是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

)1(2-+=n n a n b ，

记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[=. 令][lg n n b c =，求数列}{n c 的前2000项和.

19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰

梯形，//AB CD ，2AD D C BC ===，4AB =，PAD ?为正三角形.

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值．

20．(本小题满分12分) 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，左、

右焦点分别为12,F F ，离心率为1

2

，点(

4,0)B ，2F 为线段1A B 的中点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 的交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数2()(24)(2)x f x x e a x =-++(0,x a R e >∈，是自然对数的底)． （Ⅰ）若()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）当1

(0,)2

a ∈时，证明：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围．

请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为

1x a y ?=??=??（t 为参数，

a R ∈）

．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程 为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．

（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()21f x x a x =-+-，R a ∈．

（Ⅰ）若不等式()21f x x ≤--有解,求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3,求实数a 的值．

理科数学参考答案及评分标准

17. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得222

1222b c c b b +-?

+=,即221b c bc +-=. ……2分 所以22211

cos 222

b c bc A bc bc +-=

==. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3

A π

=

. …………………………………………6分

（Ⅱ） 由12b =及22

1b c bc +-=, 得2

211122c c ??+-= ???

, ……………………7分

解得c =

或c =(舍去). …………………………………………9分 由正弦定理得

sin sin c a

C A

=, …………………………………………10分

得sin sin 60C ?=

=

………………………………………12分 18.【解析】 （Ⅰ）12-=n a n . ……………………………………………………5分

（Ⅱ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，

…………………………………………6分 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;

…………………………………………7分 当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ;

…………………………………………8分

当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………9分

当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n . ………………………………………10分

所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=?+?+?+?. ……12分

19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，

如图所示：有1,AE DE BD ===

∴在ABD ?中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥

又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .---5分 （Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ?为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．

如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.

由条件2AD D C BC ===，则1AE DE ==

，PE =

BD = 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E

，B

，P ．------- 6分

在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在Rt CDF ?

中，有CF =，1DF =

，∴(C -．------- 7分

（另解:可不做辅助线，利用2AB DC =

求点C 坐标）

∴(1,CD =

，(1,0,PD =-

，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z =

则11111100n CD x n PD x ??==???=-=??

，取1x =11y =，11z =-， ∴面PDC

的法向量11)n =-

．------- 9分

同理有(0,0,PE =

，(PB =-

，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z =

则22222200

n PE n PB x ??==???=-+=?? ， 取21y =

，则2x =20z =，∴面PBE

的法向量2n =

．--10分 设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，

∴12cos cos ,n n θ=<>=

=

． 即平面PEB 与平面PDC

．------- 12分 20.【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：4

2

a c -+=

，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率1

2

c e a =

=，即2a c = ② 联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-=

所以椭圆C 的方程为221y x +=．------- 5分 （Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．

假设当点M 为椭圆的上顶点时，直线l

40y +-=，此时点

N 8(5，

则联立直线120A M l y -+=

和直线220A N l y +-=

可得点G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明： ------- 7分

设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(414

3)x y k x y +-==??

???可得：

2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=?> 由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122

6412

34k x x k -=+ （*）------- 9分

因为直线1

11:(2)2A M y l y x x =

++，222:(2)2

A N y l y x x =--， 联立两直线方程得

12

12(2)(2)22

y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：12

12322

y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -?-=--?+，即证1212410()160x x x x -++= ------- 11分

将（*）代入上式可得22

22222

4(6412)1032160163203403434k k k k k k k

?-?-+=?--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．------- 12分 21.【解析】（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++，

依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(1)2

x

x e a x -≥-+恒成立，

记(1)()2

x

x e g x x -=-+，则2(2)(1)'()(2)x x xe x x e g x x +--=-

=+22(1)0(2)x x x e x ++-<+， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以1

()(0)2

g x g <=

，所以12a ≥；--- 5分

（Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数，

又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t =

且当0a →时1t →，当1

2

a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．------- 7分

又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >，

所以当x t =时，2

min

()()(24)(2)t

f x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02

t

t e f t a t -=?=-+

(由（Ⅰ）知(1)()2t

t e a g t t -=-=+,在(0,)+∞上单调递减，又1(0)2

g =, (1)0g =

且1

(0,)2

a ∈,故(0,1)t ∈)

∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-,(0,1)t ∈------- 10分

记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t t

h t e t t e t e t t =-+-+-+=--（-0<，

所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --．------- 12分 22.【解析】（Ⅰ）曲线1C

参数方程为1x a y ?=??

=??,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2

分

由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分

（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t

，联解241y x

x a y ===???

????

得22140t a -+-=

要有两个不同的交点，则242(14)0a ?=-?->,即0a >

，由韦达定理有1212142

t t a t t +=-?=??

???

根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，

又由2PA PB =可得12222t t =?，即122t t =或122t t =- ------- 7分 ∴当122t t =

时，有2

1222

12311036422t t t a t t t a ??

?=>???+==-?==，符合题意．------- 8分 当122t t =-

时，有21222

121442

902t t t t t a a t ??

?=>??+=-=-?=-=

?，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为1

36

a =

或94．------- 10分 23.【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112a

x x -+-≤．

而由绝对值的几何意义知||1|1|22

a a

x x -+-≥-，------- 2分

由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12

a

-≤，即04a ≤≤．

∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分

（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为

2a 和1，当2a <时知12

a

< ∴

31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ?

-++

?

=-+≤≤??

-->???

------- 7分

如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2

a

+∞单调递增，

∴min ()()132

2

a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分