2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学试卷答案_1

2014-2015学年第二学期期中考试高二数学试题（理科）答案

一、选择题：（每小题5分，共40分）

二、填空题：（每小题5分，共30分，其中第9题第一问2分，第二问3分）

9． 1-=m 10. ），01(-和），∞+1( （说明：-1，0，1处可以用闭区间，但两

个区间之间用?不给分） 11. π

2

-

；

12. 5x+y-3=0 13. (e,e) 14. R ＝3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

；

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本小题满分12分）

解：（1）

(2x+e x

)dx=(x 2

+e x

) ---------------3分

=1+e-1=e. ---------------5分

（2）∵f(x)＝????

?

x 2

，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e ]，

∴??0

e f(x)d x ＝??0

1x 2d x ＋??1

e 1

x

d x ---------------7分 ＝13x 3???

1

0＋ln x ???

e

1------------10分

＝13＋ln e ＝4

3

.------------------12分

16．（本小题满分12分）

解：解：(1)证明：设BD 交AC 于点O ，连接EO . -------1分 ∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点------------------2分 又E 为PD 的中点，∴EO 是PBD ?的中位线------------3分 ∴EO ∥PB . -------------------------4分 ∵EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，

∴PB ∥平面AEC ．----------------------------------6分 （2）∵PA ⊥平面ABCD 且ABCD BD 平面?，

PA BD ⊥-------------------------------8

又∵ABCD 为正方形，BD AC ⊥-------------------------10分

A PA AC =? ∴PAC BD 平面⊥-------------------------12分

17．（本小题满分14分）

解：（1） 11=a ，)12(1++=+n a a n n ，∴4)112(12=+?+=a a ；------2分 同理93=a ；164=a ；--------4分 （2）猜想2n a n =，--------6分 下面用数学归纳法证明：

①当1=n 时，2111==a ，猜想成立；--------8分 ②假设k n =时，猜想成立，即2k a k =； 那么)12(1++=+k a a k k --------10分 =2

k +)12(+k =122

++k k

=2

)1(+k --------12分 猜想也成立

根据①②可知，对*

N n ∈?，猜想都成立。--------14分

18．（本小题满分14分）

解： (1) nx mx x f 23)(2

'

+=，--------1分

∵),()(2

3R n m nx mx x f ∈+=在2=x 时有极值，其图象在点))1(,1(f 处的切线与

直线3x ＋y ＝0平行，

∴?????=-=0

)2(3)1(''f f 即???-=+=+3230412n m n m --------3分 解得???

?

?

m ＝1，n ＝－3.

--------5分

(2)由(1)得f ′(x )＝3x 2

－6x ，--------6分 令3x 2

－6x >0，解得x >2或x <0，--------7分

∴)(x f 在(－∞，0) 和(2，＋∞)上为增函数．--------8分 令3x 2－6x <0，解得0

∴)(x f 的极大值为0)0(=f ，极小值为4)2(-=f --------14分 19．（本小题满分14分）

解：（1）2()663f x x ax b '=++，--------1分

因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．

即6630241230a b a b ++=??

++=?，

．

--------3分

解得3a =-，4b =．--------4分

（2）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++， 令2

()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--=0．-------6分 得1=x 或2=x --------7分

∵(1)58f c =+，c f 84)2(+=又(0)8f c =，(3)98f c =+．--------9分

连续函数)(x f 在闭区间上必有最大值和最小值，在端点或极值点，∴当[]03x ∈，时，

()f x 的最大值为(3)98f c =+．--------10分

因为对于任意的[]03x ∈，，有2

()f x c <恒成立，

所以 2max )(c x f <，即2

98c c +<，--------12分 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)

(9)-∞-+∞，，．--------14分

20．（本小题满分14分）

解： (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2

元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2

)元．----2分 又根据题意200πrh ＋160πr 2

＝12 000π， 所以h ＝15r

(300－4r 2

)，--------4分

从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3

)．--------6分

因为r >0，又由h >0可得r <53，

故函数V (r )的定义域为(0,53)．--------8分 (2)因为V (r )＝π5

(300r －4r 3

)，

所以V ′(r )＝π5

(300－12r 2

)．--------9分

令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．--------10分 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；

当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．--------12分 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. --------13分

即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．--------14分