要让压轴题成为研究型试题_从一道调研试题谈起

ｘ＝（５

槡１２

＋５槡２）ｃｏｓ２ｋπ５＋ｉ（

５槡２－５

槡

１２

）ｓｉｎ

２ｋπ

５（ｋ＝０，１，２，３，４）．

参考文献：

［１］　程汉波．

“师生互问，教学相长”———与学生的一次研究性学习经历［Ｊ］．

数学通讯（下半月），２０１５（３）．［２］　黄秋琰，

王文彬．类比三角函数公式编拟递推数列问题［Ｊ］．数学通讯（下半月），２０１４（５）．

［３］　黄建锋．

巧构矩阵变换，求解数列通项［Ｊ］．数学通讯（下半月），２

００９（２）．（收稿日期：２

０１５－０４－２８）要让压轴题成为研究型试题

———从一道调研试题谈起

崔志荣

（江苏省东台市安丰中学，２２４２２１

） 一、

试题解析某市高三调研考试出了下面这道题：已知函数ｆ（

ｘ）＝ａ－１

ｘ

－ｌｎｘ（ａ∈Ｒ）．（１

）若ａ＝２，求函数ｆ（ｘ）在（１，ｅ２）上的零点个数；

（２

）若ｆ（ｘ）恰有一个零点，求ａ的取值集合；（３）若ｆ（ｘ）有两个零点ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２）

，求证：２＜ｘ１＋ｘ２＜

３ｅａ－１

－１．该题是试卷必做题的最后一道压轴题，其中（１

）、（２）两小题方法常规，对学生的思维要求不高，运算量也不大，不少学生能够完成，第（３）小题突出体现了本题的压轴身份，对学生的思维以及基本功要求都非常高．本文站在学生的角度，对命题者给出的参考答案进行分析，并由此谈谈试卷中压轴题的价值取向以及命题的一些个人想法．

先谈ｘ１＋ｘ２＞

２的证明．学生易想到ａ－１ｘ１

－ｌｎｘ１＝０，ａ－１ｘ２－ｌｎｘ２＝

０，并作差得ｘ２－ｘ１ｘ１ｘ２＝ｌｎｘ２

ｘ１，但不少学生对答案中“令ｘ

２ｘ１＝ｔ＞１，用ｔ表示ｘ１，ｘ２

进行消元，把ｘ１＋ｘ２转化成关于ｔ的函数”

不易想到，如果学生能突破这一关得ｘ１＝ｔ－１ｔｌｎｔ，ｘ２＝

ｔ－１ｌｎ

ｔ，接下来只要证ｔ－１ｔｌｎｔ＋ｔ－１ｌｎｔ＞２就不难了，

可选择构造函数ｈ（ｔ）＝ｔ－１ｔ－２ｌｎｔ，证明当ｔ＞１时，ｈ（ｔ）＞

０．

也有很多学生先分析函数ｆ（ｘ）的单调性：在（０，１）上单调递增，在（１，＋!

）上单调递减，能发现结论ｘ１＋ｘ２＞

２等价于极大值点１在中点ｘ１＋ｘ２

２的左边，但不少学生没有想到仿照对称轴的处理方法，其实只需证明：当ｘ＞０时，ｆ（１＋ｘ）＞ｆ（１－ｘ），即ｇ（ｘ）＝２ｘ１－ｘ

２＋ｌｎ１－ｘ１＋ｘ＞０．对于ｘ１＋ｘ２＜

３ｅａ－１

－１的证明，更让学生束手无策，他们根本想不通参考答案中为什么构造函数φ（ｘ）＝２（ｘ－ｐ）ｘ＋ｐ＋ｌｎｐ？其实分式函数φ（ｘ）表示双曲线，它与对数函数ｙ＝ｌｎｘ在点（ｐ，ｌｎｐ）处有共同的切线，当ｘ＞ｐ时，φ（ｘ）＜ｌｎｘ；当ｘ＜ｐ时，φ（ｘ）＞ｌｎ

ｘ．又ｘ１，ｘ２（ｘ１＜ｘ２）为函数ｆ（ｘ）的零点等价于ｘ１，ｘ２为函数ｙ＝

ａｘ－１－ｘｌｎｘ的零点，用导数可求其极大值点ｅａ－１，于是ｘ１＜ｅａ－１＜ｘ２，

令ｐ＝ｅａ－１

．所以ａｘ１－１＝ｘ１ｌｎｘ１＜２ｘ１（ｘ１－ｐ）ｘ１＋

ｐ＋ｘ１

ｌｎｐ，

化简得ｘ２１－（３ｅａ－１－１）ｘ１＋ｅａ－１＞０．同理ｘ２

２－

（３ｅａ－１－１）ｘ２＋ｅａ－１＜０，从而由ｘ２１－（３ｅａ－１

－１）ｘ１＋ｅａ－１＞ｘ２２－（３ｅａ－１－１）ｘ２＋ｅａ－１

可得ｘ１＋ｘ２＜３

ｅａ－１

－１．二、开放式设计

第（３）小题的解析，使笔者陷入沉思，有多少考生（包括高中数学教师）能想到双曲线函数φ（ｘ）与对数函数ｙ＝ｌｎｘ的不等关系，并能证明ｘ１＋ｘ２＜

３ｅａ－１

－１？难道压轴题的作用就是为了“

压住”学生，只让极少数精英学生会做吗？我们是不是要重新审视一下压轴题的价值取向？此处不作凭空分析，先回到上述调研题，假如按下述方式设计试题，会有什么不同的效果呢？

已知函数ｆ（ｘ）＝ａ－１ｘ－ｌｎ

ｘ（ａ∈Ｒ），若ｆ（ｘ）有两个零点ｘ１，ｘ２，请考生根据自己的思考，找出自认为合理的方法，探求零点之和ｘ１＋ｘ２的取值范围．

这样的试题指向不强，学生可以根据自己的思考自由发挥，解答过程体现他们的思维能力．一般情况下，他们会先分析函数ｆ（ｘ）的单调性：在（０，１）上单调递增，在（１，＋!）上单调递减，由ｆ（ｘ）有两个零点ｘ１，ｘ２，得到ａ＞１与０＜ｘ１＜１＜ｘ２．估计有不少学生能猜测到极大值点１小于零点ｘ１，ｘ２的中点

ｘ１＋ｘ２

２，实力较强的学生能用上文中试题解析的两种方法之一完成．这时，如果他们未能考虑到变换函数，通常是想不到研究ｘ１＋ｘ２的上限的．

毫无疑问，肯定有不少学生转而研究函数ｇ（ｘ）＝ａｘ－１－ｘｌｎｘ的零点ｘ１，ｘ２，

得到：ａ＞１且ｇ（ｘ）在（０，ｅａ－１）单调递增，在（ｅａ－１

，＋!）单调递减，于是０＜ｘ１＜ｅａ－１＜ｘ２，

同样会有学生研究极大值点ｅａ－１

与零点ｘ１，ｘ２的中点

ｘ１＋ｘ２

２

的大小关系，从而得出比原结论强的结论ｘ１＋ｘ２＞

２ｅａ－１

．此外，定有不少学生会估计零点ｘ２的范围，

他们会计算ｇ（ｅａ）＝ａｅａ－１－ｅａｌｎｅａ

＜０，得到ｘ１＋ｘ２＜ｅａ＋１，其实当ａ≥３时，这个上限ｅａ

＋１就比原题上限３ｅａ－１－１小．还有考生会计算ｇ（２ｅａ－１）＝２ａｅａ－１

－１－２ｅａ－１ｌｎ２ｅａ－１＝２ｅａ－１

（１－ｌｎ２）－１的正负，

不用计算器就可得：当ａ≥２时，ｇ（２ｅａ－１

）＞０，从而ｘ１＋ｘ２＞

２ｅａ－１

．虽然结论不具一般性，但比原结论要强许多．

最后，再谈谈参考答案中构造的双曲线函数．如果有学生了解双曲线函数与对数函数的背景，他们构造出的函数与答案未必一致，设过点（ｐ，ｌｎｐ）

的函数φ（ｘ）＝ｍ（ｘ－ｐ）ｘ＋ｎ＋ｌｎｐ，

利用两个函数在切点（ｐ，ｌｎｐ）

处有相同的切线，得ｋ＝１ｐ＝ｍｎ＋ｐ，令ｎ＝ｐ，则ｍ＝２，即得参考答案中的函数．若令ｎ＝２ｐ，则ｍ＝３，φ（ｘ）＝３（ｘ－ｐ）ｘ＋２ｐ

＋ｌｎｐ，同参考答案的解法可得ｘ１＋ｘ２＜

５ｅａ－１

－１２

＜３ｅａ－１

－１．改编后的试题，开放性很强，它尊重学生的自主性，让学生自由发挥，能调动学生研究的积极性．也许有人认为，很多考生会无法动笔，笔者同意这些人的想法，当前课堂教学的理念是以学生为主体，但我们走进课堂看一看，有多少发散性问题供学生思考研究？其实仍然是以指向性思考为主的教学．假如我们课堂教学真正做到创新，教师的专业水平很高，能提出很多开放性问题让学生研究，我想这样的试题，学生不可能不动笔，若在较大的区域内测试该题，给足考生时间，定有比笔者更巧、更优、更丰富的答案；也许还有人会担忧，这样的试题没有统一的标准答案，怎么评分？那我要反问，作文有标准答案吗？考生不同的解答，体现了他们不同的思维能力，只是需要评卷教师多下点功夫研究考生的解答，才能给出考生合理的得分．

三、压轴题的价值取向

随着现代社会的发展，对创新人才的要求越来越高，对创新教育的呼声也越来越高，使教学的重点转向到对学生主体积极性的调动以及对学生潜能的开发和个性发展的促进．“数学课程标准”提出了新的教学理念“强化评价的教育功能，激励学生奋发进取．”对教学的评价提出了“注重学习过程和学习结果评价的结合”．倡导“评价目标多元化、评价手段多样化，强调形成性评价与终结性评价相结合，定性评价与定量评价相结合，反思性评价与鼓励性评价相结合”．

这些评价方式无疑符合新时代教育教学的需

求，需要广大教育工作者共同努力向前推进．中考、高考对学生数学学习的评价也应该多元化，要淡化结果的评价，要加强对学生思维的评价，要增加研究性试题的比例，做到更客观、更完整地评价每一个学生，以此引领教育创新．命题者要改变压轴题的设计方式，把压轴题设计成研究型试题，追求压轴题的价值取向，调动所有学生专钻研的积极性，为创新教育起引领作用．

研究型试题一般具有开放性和创新性等特点，这类问题往往没有固定答案，相对于指向性问题具有不确定性、发散性、探究性．试题特别注意给学生自由发挥的空间，鼓励考生结合自己已有的知识经验和思维能力，主动参与问题本身的建构，它能反映不同学生的思维水平，也能对考生答题的思维水平进行分层评价．命题者与广大师生都要跳出原来的“结论非对即错”的传统评价，不仅要关注结论是否正确，更要对不同结论所体现的思维层次进行客观、合理的评价，我们要让不同层次的学生各得其所，即对解题的结果不是做错了全错，而是能有部分成功的喜悦，这样对学生的心理才有积极向上的健康影响．可以预见，研究型试题是将来数学考试命题的一大趋势，它不但能激励学生转变学习方式，提高深层次探究性学习的积极性和倡导勇于破除常规、敢于探索创新的精神，而且能把评价的触角深入到思维能力的质的层面，使选拔具有学习潜能的学生成为可能（见文［１］）．

本文中的原压轴题显然是压住了考生，确定性结论２＜ｘ１＋ｘ２＜３ｅａ－１－１，对证明思路的指向性要求太高，学生的思路若与命题者不吻合，往往会失败，以至于大多数考生无法下笔，成为只对极少数考生有用的“废题”．改编后的试题，一个最大的优势是，几乎所有学生都能利用函数的单调性，分析推理出或强或弱的结论，特别是ｘ１＋ｘ２的下限，优秀的考生不仅能与２比较，还能与２ｅａ－１比较，既能调动所有学生的探究积极性，又能评价不同考生的思维层次，真正发挥压轴题的考查功能，实现它的考查价值．

四、试卷命题的几点思考

１．增加发散性试题的比例　

发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异性思维．它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法．它需要发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方想开去，并通过知识、观点的重新组合，寻求更多、更新的设想、答案和方法．这种思维在高中数学教材中有所体现，如苏教版２－２第二章“推理与证明”，其中归纳推理与类比推理就是创造性思维，要求学生能想开去，目前全国各地高考试卷都有所体现，但笔者认为分量还不够，试题还太保守，阅卷还强调答案的唯一性，并不能调动学生的发散性思维．例如，已知过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上一点Ｐ（ｘ

０

，ｙ

０

）的切线方程为ｘ

０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．

类似地，经过

椭圆ｘ２

４

＋ｙ

２

３

＝１上一点Ｐ（１，－

３

２

）的切线方程为．

这道题实际上是把类比推理作为一个知识点考查学生，笔者认为根本没有考查到学生的类比思维能力，考生只要套用现成的结论，其实还是一种指向性思维，思维含量很低，与发散性思维的要求相差甚远．假如放开手脚，这样命题：根据你所学的知识，对

于问题“求经过椭圆ｘ２

４

＋ｙ

２

３

＝１上一点Ｐ（１，－

３

２

）的切线方程”，谈谈你有哪些处理方法，并选择一种方法具体完成．该试题不限制学生的思维，学生可以设切线方程，与椭圆联立方程组，利用Δ＝０求切线方程；学生也可以把椭圆转化为函数ｙ＝－３（１－

ｘ２

４

槡）研究，从导数的计算得到切线斜率；学生还可以先求出圆的切线方程，归纳出椭圆的切线方程等等．

笔者想要问的是，中考、高考为什么不敢出这样

的试题？教育教学提出了新的理念，试卷应该要有

正确的导向作用，要引导教师提高自身的专业水平，

才能提出并驾驭这些发散性问题，并由此应用到课

堂上去，才能真正调动学生的积极性，推动创新教育

的前进．

对现行的高考应用题以及一些证明题，笔者谈

谈个人的一点看法，我们发现不少应用题的命题，自

变量都已选择好，直接让考生建立数学模型；为了考

查数学归纳法，通常是要求考生根据几个特殊值的计算归纳结论，然后“并用数学归纳法证明你所猜想的结论”．怎样选择变量，要让考生自己比较分析，找出合适的变量建立数学模型，它就体现考生对问题认识能力的差异，这就是思维能力的考查；指定考生用数学归纳法证明，这更是为考点而考，数学归纳法是一种证明数学问题的有效方法，它的学习让学生多了一种证明思路，是让学生解决具体问题而选用的，怎么能作为知识点考查呢？这种指向性思维的数学题，只能导致课堂教学重复训练学生的熟练性，哪里符合“数学课程标准”提出创新教学的理念？

２．控制试题数量　

张景中院士在“教育数学创新教学实验”课题的报告中谈到，目前高考数学存在题量过大的问题，高考数学题量应该减少，题目不见得非要多，没有必要面面俱到，把所有的知识点都概括，题量应该减少，着重基本的东西，让学生有时间思考．笔者非常认同张院士的观点，题量过大，好像是在考查学生的思维速度，倒不如说是考查学生的熟能生巧，比如某省高考数学附加题４道解答题，题型也固定，要求学生３０分钟完成，显然，题目一拿到手就要会做，计算速度也要快，这样的考试要求，只能逼着高三数学复习反复训练考试题型，不利于创新教学的开展．文［２］介绍了澳洲数学高考的一些情况，谈到２０１３年澳大利亚维多利亚州高三（基础数学）ＳＡＣ３中的一次考试，整个考试都围绕一个背景：梯子的摆放，考试时间３天，每天２小时，第一天是５个小问题；第二天又提出梯子底板的倾斜角问题，要求考生研究梯子的长度；第三天提供一些不同型号的梯子，要求考生根据三天的研究写一个报告，选择哪款梯子更好．维多利亚州的这次考试６个小时的题量也没有我国２个小时的题量大，它没有追求知识、方法的全面考查，它给足考生时间，追求的是一个数学问题的深入研究，从高中开始就要求学生写研究报告，这恐怕是我国的考生望尘莫及的．传统的观点一直认为我国的高考数学很难，其实不然，我国高考数学是难在试题数量上，考生思考的时间紧张，就试题的研究性、发散性、深入程度与不少国家还有一定的差距．

３．减少客观题　

对于高考数学的题型问题，笔者也认为不要面面俱到，选择题的偶然性太大，填空题的结论性要求太高，这两种题型都不太能准确反映考生的实际情况，比如下面这道填空题：

已知Ｆ１，Ｆ２是椭圆ｘ２

ａ２

＋ｙ

２

ｂ２

＝１的左、右焦点，点Ｐ是椭圆上一点，且满足

ａ

ｓｉｎ∠ＰＦ１Ｆ２

＝ｃ

ｓｉｎ∠ＰＦ２Ｆ１

，则椭圆离心率的取值范围是．考生要想到正弦定理，利用椭圆的定义，才能求

出ＰＦ２＝２ａ２

ａ＋ｃ

，然后根据ＰＦ

２∈

［ａ－ｃ，ａ＋ｃ］求出ｅ∈［槡２－１，１）却错了！因为条件要求∠ＰＦ１Ｆ２与∠ＰＦ２Ｆ１不为０，所以ＰＦ２∈（ａ－ｃ，ａ＋ｃ），答案应为（槡２－１，１）．这样的试题测试信度在哪儿？

从一些杂志上看到，日本一些大学的招生考试，２小时完成６道数学解答题，既重过程，又重结果，信度就很高．是否要舍弃这两种题型，我不妄评，但肯定要减少这两种题型的试题数量．其实大家都知道，这两种题型主要是兼顾基本知识、基本方法考查的，正如张景中院士所讲，“没有必要面面俱到，把所有的知识点都概括”．

总之，我们中考、高考命题的观点要改变，要提质减量，试题要创新，发散性要强，不能限制学生的思维，考试重点不是考查学生知识懂不懂，方法会不会，而是要考查学生用知识、方法研究具体数学问题的能力，只有这样，才能带动课堂教学的创新，教师才不得不终生学习研究，努力提升专业素养，做研究型教师，从而促进教育创新．

参考文献：

［１］　虞涛．上海数学考试分层评价机制的探索与实践［Ｊ］．数学教学，２０１５（５）：４１—４５．

［２］　钱丽荣．管中窥豹，可见一斑———一道澳洲数学高考题带来的启发［Ｊ］．数学通讯（下半月刊），２０１４（１１）：６３—

封底．

［３］　单　墫．苏教版普通高中课程标准实验教科书（数学选修２－２）［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，２０１２．

（收稿日期：２０１５－０６－２０）