2013-2014学年高中数学 3.3.1 利用导学判断函数的单调性课后知能检测 新人教B版选修1-1

2013-2014学年高中数学 3.3.1 利用导学判断函数的单调性课后知能检测 新人教B版选修1-1
2013-2014学年高中数学 3.3.1 利用导学判断函数的单调性课后知能检测 新人教B版选修1-1

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.3.1 利用导学判断函数的单调性课后知能检测新人教B版选修1-1

一、选择题

1.函数y=f(x)的图象如右图3-3-3所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是( )

图3-3-3

【解析】由函数的图象可知,在区间(-∞,0)和(0,+∞)上,函数f(x)均为减函数,故在这两个区间上,f′(x)均小于0.

【答案】 D

2.(2013·吉林高二检测)函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间为( )

A.(-1,1) B.(1,2)

C.(-∞,-1) D.(-∞,-1),(1,+∞)

【解析】f′(x)=3x2-3,令f′(x)=3x2-3<0得-1<x<1.

∴原函数的单调递减区间为(-1,1).

【答案】 A

3.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·f′(x)<0,则下列各项正确的是( )

A.f(0)+f(2)>2f(1)

B.f(0)+f(2)=2f(1)

C.f(0)+f(2)<2f(1)

D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定

【解析】当x>1时,f′(x)<0,f(x)是减函数,

∴f(1)>f(2).

当x<1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,

∴f(0)<f(1).因此f(0)+f(2)<2f(1).

【答案】 C

4.(2013·天水高二检测)已知函数f(x)=x3-ax-1,若f(x)在(-1,1)上单调递减,则a的取值范围为( )

A.a≥3B.a>3

C.a≤3D.a<3

【解析】∵f′(x)=3x2-a,由题意f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,∴a≥3x2在(-1,1)上恒成立,又∵0≤3x2<3,∴a≥3,经验证当a =3时,f(x)在(-1,1)上单调递减.

【答案】 A

图3-3-4

5.(2013·临沂高二检测)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数如图3-3-4所示,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能为( )

【解析】由图可以看出f′(x)和g′(x)均大于0,即f(x)和g(x)均为增函数.y=f′(x)递减,则y=f(x)的切线斜率随着x的增大而减小,即y=f(x)的增速逐渐减慢;y =g′(x)递增,则y=g(x)的切线的斜率随着x的增大而增大,即y=g(x)的增速不断加快.由f′(x0)=g′(x0)可知y=f(x)和y=g(x)在x=x0处的切线斜率相同,故选D.

【答案】 D

二、填空题

6.(2013·惠州高二检测)函数f(x)=x ln x的单调减区间为________.

【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1.

令f ′(x )<0得x <1e ,又x >0,∴f (x )的减区间为(0,1

e ).

【答案】 (0,1

e

)

7.已知函数f (x )=x 3

+x 2

+mx +1在R 上不是单调函数,则实数m 的取值范围是________.

【解析】 f ′(x )=3x 2+2x +m ,

∵f (x )在R 上非单调,∴f ′(x )有两个相异零点. ∴Δ=4-12m >0, ∴m <13

.

【答案】 (-∞,1

3

)

8.(2013·洛阳高二检测)若函数f (x )=x 3

+bx 2

+cx +d 的单调递增区间为(-∞,-1)和(2,+∞),则b =________,c =________.

【解析】 ∵f ′(x )=3x 2

+2bx +c ,由题意知x <-1或x >2是不等式3x 2

+2bx +c >0的解集,∴-1,2是方程3x 2

+2bx +c =0的两个根,∴-1+2=-23b ,-1×2=c 3,∴b =

-3

2

,c =-6. 【答案】 -3

2 -6

三、解答题

9.已知函数f (x )=ax 4

+bx 2+c 的图象经过点(0,1),且在x =1处的切线方程是y =x -2.

(1)求y =f (x )的解析式; (2)求y =f (x )的单调递增区间.

【解】 (1)由题意得:f (0)=1,f ′(1)=1,f (1)=-1.

∴????

?

c =1,4a +2b =1,a +b +c =-1,

∴?????

a =5

2

b =-92

c =1.

∴f (x )=52x 4-92

x 2

+1.

(2)f ′(x )=10x 3-9x ,由10x 3

-9x >0得x >31010或-31010

<x <0,

∴f (x )的单调增区间为(-31010,0),(310

10,+∞).

10.已知函数f (x )=ax 3-3x 2

+1-3a

,讨论函数f (x )的单调性.

【解】 由条件可知a ≠0, ∴f ′(x )=3ax 2

-6x =3ax (x -2a

).

∴当a >0时,

f ′(x )>0?x <0或x >2

a ,

f ′(x )<0?0<x <2

a

.

f (x )在(-∞,0),(2

a ,+∞)上是增函数,在(0,2

a

)上是减函数;

当a <0时,

f ′(x )<0?x <2

a 或x >0, f ′(x )>0?2

a

<x <0.

f (x )在(-∞,2

a ),(0,+∞)上是减函数,在(2

a

,0)上是增函数.

综上,a >0时,f (x )在(-∞,0),(2a +∞)上是增函数,在(0,2

a

)上是减函数;

a <0时f (x )在(-∞,2a ),(0,+∞)上是减函数,在(2

a

,0)上是增函数.

11.已知f (x )=e x

-ax -1. (1)求f (x )的单调增区间;

(2)若f (x )在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围. 【解】 (1)∵f (x )=e x

-ax -1,∴f ′(x )=e x

-a . 令f ′(x )≥0得e x

≥a ,

当a ≤0时,有f ′(x )>0在R 上恒成立; 当a >0时,有x ≥l n a .

综上,当a ≤0时,f (x )的单调增区间为(-∞,+∞); 当a >0时,f (x )的单调增区间为[ln a ,+∞). (2)∵f (x )=e x

-ax -1,∴f ′(x )=e x

-a . ∵f (x )在R 上单调递增, ∴f ′(x )=e x -a ≥0恒成立,

即a≤e x,x∈R恒成立.

∵x∈R时,e x∈(0,+∞),∴a≤0.因此实数a的取值范围是(-∞,0].

高中数学《函数的单调性》教案

《函数的单调性》说课稿 各位评委老师,上午好,我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容,该节中内容包括:函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用;在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点,也是对函数单调性概念的深层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法,给出一定的步骤是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外,这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路,现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标: 根据新课标的要求,以及对教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构及心理特征,制定如下教学目标: 1、知识目标: (1)使学生理解函数单调性的概念,能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 (2)通过函数单调性的教学,逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力;2、能力目标: (1)通过本节课的学习,通过“数与形”之间的转换,渗透数形结合的数学思想。 (2)通过探究活动,明白考虑问题要细致、缜密,说理要严密、明确。 3、情感目标:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、合作与

高中数学总结归纳 抽象函数的对称性

抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题,下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数,若f a x f b x ()()+=-,则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明:设点A (m ,n )是y f x =()图象上任一点,即f m n ()=,点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-,。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上,故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数,则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明:设点A (m ,n )是y f a x =+()图象上任一点,即f a m n ()+=,点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--,。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来,同样可以证明,函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上,故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明:可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知,函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称,由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象,由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象,它们的平移方向和长度是相同的,故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数,若f a x c f b x ()()+=--2,则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2,对称。 证明:设点() A m n ,是y f x =()图象上任一点,则f m n ()=,点A 关于点a b c +?? ?? ?2,的对称点为()A a b m c n '+--,2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上,故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2,对称 说明:(1)当a b c ===0时,奇函数图象关于点(0,0)对称。(2)易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数,则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2,对称。 证明:设点A (m ,n )是y f a x =+()图象上任一点,即f a m n ()+=,点A 关于点b a c -?? ?? ?2,的对称点为()A b a m c n '---,2

高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题

高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2-

9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数

高一数学 函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性 考纲解读: 了解单调函数及单调区间的意义,掌握判断函数单调性的方法;掌握增,减函数的意义,理解函数单调函数的性质。 能力解读:函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性,利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点: 1.函数单调性的定义, 2.证明函数单调性; 3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题; 5.抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 (1)设函数)(x f y =的定义域为A ,区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数,I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ,2x ,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数,I 称为)(x f y =的单调减区间 (2)设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≤恒成立,那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值; 如果存在定值A x ∈0,使得对于任意A x ∈,有)()(0x f x f ≥恒成立,那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点:函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域; (1)定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ,2x 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 )(2121x x x x <<;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;

(完整版)常见函数对称性和周期性

(一)函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称) 若()()f x a f x b +=±+,则()f x 具有周期性;若()()f a x f b x +=±-,则()f x 具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。 推论1:)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 (二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题 附答案解析 Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合M ={x |x 2+2x =0,x ∈R },N ={x |x 2-2x =0,x ∈R },则M ∪N =( ) A .{0} B .{0,2} C .{-2,0} D .{-2,0,2} 2.设f :x →|x |是集合A 到集合B 的映射,若A ={-2,0,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{2} C .{0,2} D .{-2,0} 3.f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A .(3,-2) B .(3,2) C .(-3,-2) D .(2,-3) 4.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .5 D .9 5.若函数f (x )满足f (3x +2)=9x +8,则f (x )的解析式是( ) A .f (x )=9x +8 B .f (x )=3x +2 C .f (x )=-3x -4 D .f (x )=3x +2或f (x )=-3x -4 6.设f (x )=??? x +3 x >10, fx +5 x ≤10,则f (5)的值为( ) A .16 B .18 C .21 D .24 7.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0},若S ∩T ={(2,1)},则 a , b 的值为( ) A .a =1,b =-1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =1 D .a =-1,b =-1 8.已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) C .(-1,0) 9.已知A ={0,1},B ={-1,0,1},f 是从A 到B 映射的对应关系,则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A .3个 B .4个 C .5个 D .6个 10.定义在R 上的偶函数f (x )满足:对任意的x 1,x 2∈(-∞,0](x 1≠x 2),有(x 2- x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n ∈N *时,有( ) A .f (-n )

高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1.函数单调性的定义,2.证明函数单调性;3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题;5.抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) <f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1<x2时,都有f(x1 ) >f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1<x2 ,且f(x1 ) <f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1<x2 , f(x1 ) <f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) <f(x2 ), x1<x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比

高中数学函数的对称性与周期性讲义

高中数学函数的对称性与周期性讲义 一、引例:若)(x f 是定义在R 上的函数,对于满足下例条件中,)(,x f r x ∈?某一个,那么对于每个条件下的)(x f ,各具有哪些特殊性质? (1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f (2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+ (3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+ 二、 函数的对称性 1、轴对称 )()()() 2()() ()()(] 0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-?-=?-=+?=?=轴对称关于对称关于 2、点对称 0 )()()()()00()(] 0[) ()()2()()0,()(] 0[2)()()2(2)(),()(=-+?--=?=-=+?--=?==-++?--=?x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b b x a f x a f x a f b x f b a x f 对称,关于对称关于对称关于 3、本质特征: 【自变量】 为常数) (定义域)且a a x x D x x (2212,1=+∈? 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2 )()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心(对称中心中心对称 →+→→=+ 模型:对称关于2 )()()(,b a x x f x b f x a f D x +=?-=+∈? 对称关于)0,2 ()()()(,b a x f x b f x a f D x +?--=+∈? 三,函数的周期性 定义:设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈?对于都存在非零常数T ,使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期, 【自变量】 D x x ∈?21,(定义域)且T x x =-21(T 为非零常数)

高一数学必修一集合与函数的概念

高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一:集合的含义与表示 1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确 定的:属于或不属于。 (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 3、集合的表示:{…} (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法: ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。 4、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系: (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:aA (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:(或BA) 注意:有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集

高中数学函数的单调性

一、选择题 1.若),(b a 是)(x f 的单调增区间,()b a x x ,,21∈,且21x x <,则有( ) A . ()()21x f x f < B . ()()21x f x f = C . ()()21x f x f > D . ()()021>x f x f 2.函数()2 2-=x y 的单调递减区间为( ) A .[)+∞,0 B .(]0,∞+ C .),2[+∞ D .]2,(-∞ 3.下列函数中,在区间)2,0(上递增的是( ) A .x y 1= B .x y -= C .1-=x y D .122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .()0,∞- B .()+∞,0 C .()0,1- D .()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数,则有( ) A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数,那么实数a 的取值范围是( ) A .3≤a B .3≥a C .3-≥a D .3-≤a 二、填空题 7.函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8.已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数,则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9.函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10.若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数,在区间),1(+∞- 上是增函数,则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12.判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性,并给出证明.

高中数学函数对称性和周期性小结

高中数学函数对称性和周期性小结 一、函数对称性: 1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称 2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称 3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点(a,0)对称 4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点(a,b)对称 5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[(a+b)/2 ,c/2] 对称 6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称 7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称 8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称 例1:证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。 【解析】求两个不同函数的对称轴,用设点和对称原理作解。 证明:假设任意一点P(m,n)在函数y = f(a+x) 上,令关于x=t 的对称点Q(2t – m,n),那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)] ∴b – 2t =a ,==> t = (b-a)/2 ,即证得对称轴为x=(b-a)/2 . 例2:证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。 证明:假设任意一点P(m,n)在函数y = f(a - x) 上,令关于x=t 的对称点Q(2t – m,n),那么n =f(a-m) = f[ (2t – m)– b] ∴2t - b =a ,==> t = (a + b)/2 ,即证得对称轴为x=(a + b)/2 . 二、函数的周期性 令a , b 均不为零,若: 1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x+a) ==> 函数最小正周期T=|a| 2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a| 3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a| 4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==>函数最小正周期T=|2a| 5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==>函数最小正周期T=|4a| 这里只对第2~5点进行解析。 第2点解析: 令X=x+a ,f[a +(x –a)] = f[b +(x – a)] ∴f(x) = f(x + b – a) ==> T=b – a

高一数学集合与函数测试题及答案

第一章 集合与函数 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 如图,U 是全集,M 、P 、S 是U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 A.(M S P ) B.(M S P ) C. (M P ) (S C U ) D.(M P ) (S C U ) 2. 函数 ]5,2[,142 x x x y 的值域是 A. ]61[, B. ]13[, C. ]63[, D. ),3[ 3. 若偶函数)(x f 在]1,( 上是增函数,则 A .)2()1()5.1(f f f B .)2()5.1()1(f f f C .)5.1()1()2( f f f D .)1()5.1()2( f f f 4. 函数|3| x y 的单调递减区间为 A. ),( B. ),3[ C. ]3,( D. ),0[ 5. 下面的图象可表示函数y=f(x)的只可能是 y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x A. B. C. D. 6. 函数5)(3 x c bx ax x f ,满足2)3( f ,则)3(f 的值为 A. 2 B. 8 C. 7 D. 2 7. 奇函数)(x f 在区间[1,4]上为减函数,且有最小值2,则它在区间]1,4[ 上 A. 是减函数,有最大值2 B. 是增函数,有最大值2 C. 是减函数,有最小值2 D. 是增函数,有最小值2 8.(广东) 客车从甲地以60km /h 的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km /h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中,正确的是 A. B. C. D. 9. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是

高考数学专题:函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求:了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画:对于给定区间上的函数()f x ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增,函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减。 (2)定性刻画:对于给定区间上的函数()f x ,如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减。 (3)定量刻画,即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法: ①定义法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕,那么就说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 与之相等价的定义:⑴()()02121>--x x x f x f ,〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。其几何意义为:增(减)函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于(或小于)0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ,〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。 ②导数法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数;如果()0`a 且0≤b 。 (年广东卷)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

高中数学中对称性问题总结.doc

对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-(若等式两端的两自变量相加为常数,如 ()()a x b x a b ++-=+),则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称;当a b =时,若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或,则()f x 关于x a =轴对称; 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-(若等式两端的两自变量相减为常数,如 ()()x a x b a b +--=+),则()f x 是周期函数,其周期T a b =+;当a b =时,若()()f x a f x a +=-,则()f x 是周期函数,其周期2T a =; 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或;函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或; 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数,且2T a =是函数的一个周期;偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数,且4T a =是函数的一个周期; 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数,且4T a =是函数的一个周期;偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数,且2T a =是函数的一个周期; 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数,且 2()T a b =-是函数的一个周期; 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数,且 2()T a b =-是函数的一个周期。

高一数学函数单调性的定义图象及应用

函数的单调性习题 一. 选择题: 1.函数1 1 --=x y 的单调区间是 ( ) ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2.如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数,那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈,下列结论中不正确的是 ( ) 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减,则a 的取值范围是( ) ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4.函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增,则a 的取值范围是( ) )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5.函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是( ) 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ,无最小值。 6.函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是( ) 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -,无最大值。 7.下列命题正确的是 ( ) A 定义在),(b a 上的函数)(x f ,若存在),(21b a x x ∈,使得21x x <时有 )()(21x f x f <,那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ,若有无穷多对),(21b a x x ∈,使得21x x <时有 )()(21x f x f <,那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数,在区间2I 上也为增函数,那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数, D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<,那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间,且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <,则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 ( ) )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9.考察函数:①x y =;②x x y =;③x x y 2 -=;④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有( ) .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围是( ) ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二. 填空题: 1. 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数,则a 的取值范围是 2. 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3. 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4. 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数,那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5. 函数245x x y --=的单调递增区间是

高中数学函数单调性教案

课题:§1.3.1函数的单调性 教学目的: (1)通过已学过的函数,学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (2)理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征; (3)能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性; (4)通过本节知识的学习,培养学生严密的逻辑思维能力,用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题,以提高学生的思维品质;同时让学生体验数学的艺术美,养成用辨证唯物主义的观点看待问题. 教学重点:函数单调性的定义及单调函数的图象特征. 教学难点:利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性. 教法与学法:启发式教学,充分发挥学生的主体作用. 教学用具:黑板、计算机多媒体、投影仪 教学过程: 一.情景引入: 1.在第23届奥运会上中国首次参加就获得15枚金牌,第24届奥运会中国获得5枚金牌,第25届和第26届奥运会中国都获得了16枚金牌,第27届奥运会中国获得了28枚金牌,第28届奥运会中国获得了32枚金牌,第29届北京奥运会中国获得51枚金牌的好成绩. 画出散点图,由图象很清晰的可以看到,从1996年第26届奥运会开始,中国所获得的金牌数不断增加,这充分说明了我们祖国的繁荣富强也大大的促进了体育事业的飞速发展. 2.德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据: 将表中数据绘制在坐标系中连出草图,这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线,你能得出什么规律呢?(学生回答) 这是一条衰减曲线,随着时间的推移,记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快,一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们:在学习新知识的时候,一定要及时进行复习和巩固,以便加深理解和记忆. 象这样,在生活中,我们关心很多数据的变化,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看:随着自变量的变化,函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性.

高中数学函数地单调性奇偶性周期性对称性及函数地图像

实用文档 文案大全函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性: 设函数y=f(x)定义域为A,区间M?A,任取区间M中的两个值x1,x2,改变量Δx= x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称f(x)在区间M上是增函数,当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称f(x)在区间M上是减函数. 如果y=f(x)在某个区间M上是增(减)函数,则说y=f(x)在这一区间上具有单调性,这一区间M叫做y=f(x)的单调区间. 函数的单调性是函数的一个重要性质,在给定区间上,判断函数增减性,最基本的方法就是利用定义:在所给区间任取x1,x2,当x1<x2时判断相应的函数值f(x1)与f(x2)的大小. 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法,教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的. 对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性,可通过换元,令u=φ(x),然后分别根据u=φ(x),y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断,一般有“同则增,异则减”这一规律. 此外,利用导数研究函数的增减性,更是一种非常重要的方法,这一方法将在后面的复习中有专门的讨论,这里不再赘述. 奇偶性: (1)设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数;设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数. 函数的奇偶性有如下重要性质: f(x)奇函数?f(x)的图象关于原点对称. f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称. 此外,由奇函数定义可知:若奇函数f(x)在原点处有定义,则一定有f(0)=0,此时函数f(x)的图象一定通过原点.

高中数学:第一章 集合与函数的概念 1.2.1

1.2.1集合之间的关系 学习目标 1.理解子集、真子集的概念. 2.理解集合相等并能用符号和Venn图表达集合间的关系. 3.掌握列举有限集的所有子集的方法.

知识点一子集与真子集 思考1如果把“马”和“白马”视为两个集合,则这两个集合中的元素有什么关系? 答案所有的白马都是马,马不一定是白马. 思考2我们知道集合A是它本身的子集,那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集?答案用真子集. 梳理 1.子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定:空集是任意一个集合的子集.也就是说,对任意集合A,都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A. (3)如果A?B,B?C,则A?C. (4)如果A?B,B?C,则A?C. 知识点二集合的相等 思考“中国的直辖市”构成的集合记为A,由北京、上海、天津、重庆四个城市构成的集

合记为B,请问集合A与集合B的元素有什么关系?你认为集合A与集合B有什么关系?答案A中的元素与B中的元素完全相同,A与B相等. 梳理集合的相等 知识点三集合关系与其特征性质之间的关系 1.一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},如果A?B,则x∈A?x∈B,于是x具有性质p(x)?x具有性质q(x),即p(x)?q(x). 反之,如果p(x)?q(x),则A一定是B的子集,其中符号“?”是“推出”的意思. 2.如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”,都是正确的命题,这时我们常说,一个命题的条件和结论可以互相推出,互相推出可用符号“?”表示,于是,上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)?q(x),显然,如果p(x)?q(x),则A=B;反之,如果A=B,则p(x)?q(x). 类型一集合间关系的判断 命题角度1概念间的包含关系 例1设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为() A.P?N?M?Q B.Q?M?N?P

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