高中数学讲义微专题04 函数值域的求法
微专题04 求函数的值域
作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。 一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域
（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域
2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。 （2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然
（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M
注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域
3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。
（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域
（2）二次函数（2
y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内） 例：()[]2
23,1,4f x x x x =--∈-
解：()()2
14f x x =--
∴对称轴为：1x =
()[]4,5f x ∴∈-
（3）反比例函数：1
y x
=
（1）图像关于原点中心对称 （2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →-∞→
（4）对勾函数：()0a
y x a x
=+
> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >
注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的
系数为1，再去确定a 的值 例：4
2y x x
=+
，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ??
=+
??
?
，再求得2a =
② 极值点：x x ==③ 极值点坐标：
(,-
④ 定义域：()(),00,-∞+∞
⑤ 自然定义域下的值域：(
)
,?-∞-+∞
?
（5）函数：()0a
y x a x
=-> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >
② 函数的零点：x = ③ 值域：R
（5）指数函数（x
y a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两
种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为
()0,+∞
（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与
01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域
下的值域为()0,+∞
（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）
二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现
1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围
（2）换元的作用有两个：
① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的
② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。
（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种 ① ()
()(),log ,sin f x a y a
y f x y f x ===????????：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，
在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围
② ()
()(),log ,sin x
a y f a y f x y f x ===：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，
所以可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是可作转化：例如1
428x x y +=--可转化为()2
2228x x y =-?-，
从而可确定研究对象为2x
t =
例1：函数()2f x x = ）
A. [)0,+∞
B. 17
,8??
+∞???? C. 5
,4??
+∞???? D. 15
,8??
+∞????
思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，
求得值域即可。
解：()f x 的定义域为[)1,+∞
令t =
0t ∴≥ ，则21x t =+
()2
2115
21248y t t t ??∴=+-=-+ ???
[)0,t ∈+∞
()f x ∴的值域为15,8??
+∞????
例2（1）函数11
3
x y -=的值域为（ ）
A. ()0,+∞
B. ()()0,11,+∞
C. {}|1x x ≠
D. ()1,+∞ （2）函数()[]1
42
8,2,2x
x f x x +=--∈-的值域为__________
（3）函数1
ln 1
x x e y e +=-的值域为__________
思路：（1）本题可视为()
3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域
问题：令1
1
t x =
-，则()(),00,t ∈-∞+∞ ，所以可得()()30,11,t y =∈+∞ （2）如前文所说，()()
2
1
42
82
228x
x x x f x +=--=-?-，将2x 视为一个整体令2x t =，
则可将其转化为二次函数求得值域 解：()()2
1
42
82228x
x x x f x +=--=-?-
令2x
t = []2,2x ∈-
1,44t ??∴∈????
()2
22819y t t t =--=--
()f x ∴的值域为[]9,0-
（3）所求函数为()ln f x ????的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。对1
1x x e e +-进行变形可得：12111
x x x e e e +=+--，从而将1x
e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围
解：定义域：()100,x
e x ->?∈+∞
12111x x x e e e +=+-- 令1x t e =- ()0,t ∴∈+∞ ()2
11,t
∴+∈+∞
()1
ln 0,1
x x e y e +∴=∈+∞-
答案：（1）B （2）[]9,0- （3）()0,+∞ 例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()(
)()2
2
g x f x
f x =-????的值域为（ ）
A. []18,2--
B. []11,6--
C. []18,6-
D. []11,2--
思路：依题意可知()()()2
2
2
22223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可将
2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定
义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则(
)(
)(
)2
2
g x f
x f x =-????的定义域为：214
14
x x ?≤≤?
≤≤?，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4
解：()()2
2
223log 3log g x x x =+-+
()2
22232log log 6log 9x x x ??=+-++??
()2
22log 4log 6x x =---
()f x 的定义域为[]1,4，且()()()2
2g x f x f x =-????
214
14
x x ?≤≤∴?
≤≤?，解得：[]1,2x ∈ 令2log t x =，则[]0,1t ∈
()2
24622y t t t ∴=---=-+-
[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--
答案：C
2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但
对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。
（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该()f x 函数的图像，从而利用图像求得函数的值域
（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式 例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数
()()()(),,M f x
f x M
f x M f x M
≤??=?
>??则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数
()22,20
,121,0
x x x f x M x ?--≤≤?==?->??，则()M y f x =的值域为（ ）
A. []2,1-
B. []1,2-
C. (],2-∞
D. (],1-∞-
（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}
2
min 23,1,53f x x x x =++-，则()
f x 的最大值是__________ 思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的值域为[]2,1-
（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x 为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为21y x =+与53y x =-在
第一象限的交点，即2112
53x y x y y x =?=+????
==-??，所以()max 2f x = 答案：（1）A （2） 2
例5：已知函数()()()()2
2
2
2
22,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设
()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较
大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x
的值
域为A ，()2H x 的值域为B ，则A B = ______________
思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位
于下方的部分。对()(),f x g x 配方可得：()()()()22
2442412f x x a a g x x a a ?=-+--?????
?=----+??????，其中44412a a --<-+，故()g x 的顶点在()f x 顶点的上方。由图像可得：褐色部分为()
1H x 的图像，红色部分为()2H x 的图像，其值域与()(),f x g x 的交点有关，即各自的顶点
()(
)2,412,2,44a a a a --++--，所以()1H x 的值域[)44,A a =--+∞，()2H x 的值域(],412B a =-∞-+。从而[]44,412A B a a =---+
答案：[]44,412a a ---+ 例6：（1）函数[]ln 3
,2,41
x x y x x +=∈-的值域为__________
（2
）函数y =
的值域为_________
思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即y 是(),ln x x x 与定点()1,3-连线的斜率，那么只需在坐标系中作出()ln f x x x =在[]2,4的图像与定点()1,3-，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可
解：所求函数y 是(),ln x x x 与定点()1,3-连线的斜率 设()ln f x x x =
()'1ln f x x ∴=+，当[]2,4x ∈时，()'0f x >恒成立 ()f x ∴为增函数 ()()22ln2,44ln48ln2f f === ∴ 设曲线上两点()()2,2ln2,4,8ln2A B 定点()1,3C -
8ln 23
2ln 23,3
AC BC k k +∴=+=
[]8ln2,2ln23,13BC AC y k k ?
?∴∈=++????
（2）思路：y =
y 可视为点
(),0x 到点()()0,2,1,3距离和的取值范围。
结合图形可利用对称性求出其最小值，且当动点向x 轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，
进而得到值域。 解：
y =+=+
y ∴为动点(),0P x 到点()()0,2,1,3A B 距离和，即y PA PB =+
作A 点关于x 轴的对称点()'
0,2A -
''PA PB PA PB A B ∴+=+≥=（等号成立条件：',,P A B 共线）
当x →+∞或x →-∞时，PA PB +→+∞
∴函数的值域为)
+∞
小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的,0x ，所以找到了一个共同的动点(),0x ）
答案：（1）8ln22ln23,
13?
?
++???
?
（2）)
+∞ 3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出
函数的值域
（1）判断函数单调性的方法与结论： ① 增+增→增 减+减→减
()1-?增→减 若函数的符号恒正或恒负，则
1
→增
减 ② 复合函数单调性：复合函数()y f g x =????可拆成()(),y f t t g x ==，则若
()(),y f t t g x ==的单调性相同，
则()y f g x =????单调递增；
若()(),y f t t g x ==的单调性相反，则()y f g x =????单调递减
③ 利用导数：设图像不含水平线的函数()f x 的导数()'
f
x ，则()()'0f x f x ≥?单增；
()()'0f x f x ≤?单减
（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于+∞或-∞，则要估计当+x →∞或x →-∞时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于+∞或-∞（即函数图象是否有水平渐近线），；同样若()f x 的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如(],x a b ∈，则要确定当x a →时，()f x 的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向+∞或-∞（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确 例7：（1）函数(
)1f x =+
的值域为（ ）
A. []3,1-
B. [)1,-+∞
C.
??
D.
1???
?
（2）函数(
)f x =
）
A. (),1-∞
B. (],1-∞
C. (]0,1
D. []0,1 （3）函数(
)f x =
的值域为________
思路：（1）函数的定义域为[]3,1-，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但()f x 的导数(
)'f x =
()f x 的单调区
间，从而求得最值
(
)'f x =+=
令()'
0f
x >
>
311x x x ∴+>-?>-
()f x ∴在()3,1--单调减，在()1,1-单调递增
(
)()()11,31,11f f f -=--==
()f x ∴
的值域为1??-??
小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，
所以想到
2
2
4+=
，从而可设2sin 2cos αα==
，由0
≥≥可知
0,2πα??
∈????
，所以原函数的值域转化为求2s i n
2c o s 1y αα=+-的值域，从而有
14y πα??=+- ???，由0,2πα??
∈????
可求得1y ??∈-??。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题 （2）思路：函数的定义域为1x ≤，从而发现11x x -=-，所以函数的解析式为
()
f x x =，观察可得()f x 为增函数，且x →-∞时，()f x →-∞，所以当(],1x ∈-∞时，()f x 的值域为(],1-∞
小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值
域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域
② 本题也可用换元法，设t =求解简便。
（3）思路：先确定函数的定义域：32031,220
2x x x -≥???
?∈???-≥???，()f x 为分式且含有根式，求
50+>且关于x 10+>
且关于x
()f x =为减函数，由31,2x ??
∈????
可知
()f x 的值域为5,62??
????
小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如()()()h x f x g x =?，则当()(),f x g x 均为增（减）函数，且()(),f x g x 恒大于0，才能得到()h x 为增（减）函数 答案：（1）D （2）B （3）5,62
??????
4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数y 的关于x 的方程
(),0F x y =。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值y ，必能在定义域中找到与之对
应的x 。这个特点反应在方程中，即为若0y 在值域中，则关于x 的方程(),0F x y =在0y y =时只要有一个根。从而将求值域问题转化为“y 取何值时，方程(),0F x y =有解”的问题。利
用方程的特点即可列出关于y 的条件，进而解出y 的范围即值域
例8：（1）函数22247
23
x x y x x +-=++的值域为（ ）
A. 9
,22??
-???? B. 7
,03??
- ??? C. 7
,03??
-???? D. 9
,22??
-????
（2）函数sin 1
cos 2
x y x -=
+的值域为_________
思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于x 的二次方程（其中y 为参数）： ()()2224370y x y x y -+-++=，因为函数的定义域为R ，所以y 的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当2y =，方程为130=，无解；当2y ≠时，二次方程有解的条件为0?≥，即得到关于y 的不等式，求解即可
解：由2224723
x x y x x +-=++可得:
2223247x y xy y x x ++=+-
()()2224370y x y x y ∴-+-++=
()2
223120x x x ++=++> ∴函数的定义域为R y ∴的取值只需让方程有解即可
当2y =时，130=不成立，故舍去
当2y ≠时，()()()22442370y y y ?=---+≥ 即：()()2920y y +-≤
9
22
y ∴-
≤≤ 综上所述：函数的值域为9
,22
??-????
小炼有话说：① 对于二次分式，若函数的定义域为R ，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“y 取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定0?≥得到关于y 的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”
② 若函数的定义域不是R ，而是一个限定区间（例如[],a b ），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“y 取何值时，方程在[],a b 有根”，对于二次方程就变为了根
分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）
（2）本题不易将函数变为仅含sin x 或cos x 的形式，考虑去分母得：sin cos 21x y x y -=+则y 的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到
()()()
21sin x y x ??+=+?+=，可知方程有解的条件为：
1≤，解出y 的范围即为值域
解：sin 1
cos 2x y x -=
+的定义域为R
且sin 1
cos 2sin 1cos 2
x y y x y x x -=
?+=-+ sin cos 21x y x y ∴-=+
()()21x y ?+=+，即()
sin x ?+=
tan y ?=-
因为该方程有解
()2
21211y y ≤?+=+
24340,03y y y ??
∴+≤?∈-????
小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为
()()c o s ,s i n ,2,1x x -连线斜率的问题，从而将问题转化为定点()2,1-与单位圆上点连线斜率
的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与y 的取值相关，不过因为x R ∈，所以均能保证只要()sin x ?+在[]1,1-中，则必有解。但如果本题对x 的范围有所限制，则用方程的思想不易列出y 的不等式，所以还是用数形结合比较方便 答案：（1）D （2）4,03
??-????
以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。
例9：已知函数()
2
lg 2y x x m =++的值域为R ，则m 的取值范围是（ ）
A. 1m >
B. 1m ≥
C. 1m ≤
D. m R ∈ 思路：本题可视为2
lg ,2y t t x x m ==++的复合函数，函数的值域为R ，结合对数函数的
性质可知t 应取遍所有的正数（定义域可不为R ），即若函数2
2t x x m =++的值域为A ，则
()0,A +∞?，由二次函数的图像可知，当0?≥时，可满足以上要求。所以440
m ?=-≥解得1m ≤ 答案：C
例10：在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），[]x 表示不超
过x 的最大整数，例如：[][][]22,3.13, 2.63==-=-，设函数()21
122x x f x =-+，则函数()()y f x f x =+-????????的值域为（ ）
A. {}0
B. {}1,0-
C. {}-1,0,1
D. {}2,0- 思路：按[]x 的定义可知，若要求出[]x ，则要将确定里面x 的范围，所以若求
()()y f x f x =+-????????的值域，则要知道()(),f x f x -的范围。观察到()()y f x f x =+-????????为偶函数，所以只需找到0x >的值域即可，
()()2112122212x x
x
x f x ----=-=++
，()()
2121
122212x x x x
f x -=-=++，即()()f x f x =--成
立，所以()f x 为奇函数，只需确定()f x 的范围即可。对()f x 中的分式进行分离常数可得：
()11221x f x =
-+，当0x >时，()212,x
+∈+∞，从而110,212x ??∈ ?+??
，所以()10,2f x ??∈ ???，由()()1,02f x f x ??
-=-∈- ???。即()()0,1f x f x =-=-????????
，可得1y =-，再利用偶函数性质可得0x <时，1y =-。当0x =时，()()0f x f x =-=，所以0y =，综上所述：()()y f x f x =+-????????的值域为{}1,0-
答案：B
小炼有话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，所以关于y 轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑0x >的情况。另外从解析式的特点判断出()f x 为奇函数，从而只需计算()f x 的范围，再利用奇函数的性质推出
()f x -的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性
质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。
（2）本题在判断()f x 的奇偶性时，由()()2112221122
x x x
x f x f x --?-=-??+??=-??+很难直接看出
()(),f x f x -之间的联系，但通过“通分”即可得到()()()()2121212
212x x
x
x f x f x ?-=?+?
?-?-=?+?
，奇偶性立即可见；在求()f x 的范
围时，利用()()
21
212x x
f x -=+的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。但通过“分离常数”得到()11221
x f x =
-+则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围
附：分式函数值域的求法：
分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进行求解。
一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）
1、反比例函数：1y x =
2、对勾函数：()0a
y x a x =+>
3、函数：()0a
y x a x
=-> 注意与对勾函数进行对比
二、分式函数值域的求法 请看下面这个例子：
求[]1
3,1,2y x x
=+∈的值域 思路：此函数可看为1x 的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出1
x
的范围，再得到值
域
解：[]1,2x ∈ 11,12x ??∴
∈????
173,42y x ??∴=+∈????
问题不难，但观察可发现：1313x y x x +=+
=，所以当遇到的函数为31
x y x
+=，总可以将分子的每一项均除以分母，从而转化为1
3y x
=+进行求解。由此得到第一个结论：
对于形如()ax b f x x +=的函数，总可以变换成()b
f x a x
=+转化为反比例函数进行求解。
注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与
分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段 例：()()23
,1,31
x f x x x -=
∈+ 思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体（进行换元），则可将分式转化成为()ax b
f x x
+=
的形式，从而求解 解：令()1,2,4t x t =+∈ 1x t ∴=-
()2552t f t t t -∴=
=-，进而可求出值域：13,24y ??
∈- ???
注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，
进而将陌生的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。 由上例，我们可以总结出第二个结论：
对于形如()ax b
f x cx d +=+（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元t cx d =+ ，可转
化为()pt q
f t t
+=的形式，进而用反比例函数进行求解。
再看下一个例子： 例：()11,,32f x x x x ??=+
∈????
解：函数为对勾函数()1a =，作图观察可发现极值点1x =在定义域中，故最小值为()12f =，而最大值在()1,32f f ??
???中产生，()1510,3223f f ??== ??? 故值域为102,3??
????
思考1：那么()11,,32f x x x x ??
=-
∈????
你是否会求呢？记住，图像是你最好的帮手！ 思考2：()211
x f x x x x
+=+=，那么是否可以仿照上面，得到第三个结论？
形如2ax bx c
y x
++=的函数可通过分离常数转化为c y ax b x =++的形式，进而可依靠
a
y x x
=±
的图像求出值域 继续，还能扩展么？举个例子？
例：()()234
,3,51
x x f x x x ++=
∈- 解：设1t x =-，()2,4t ∈
()
()()2
21314588
5t t t t f t t t t t
++++++∴=
==++ =
(
min 5y f t ∴=== ()()211,411f t f t ==== )
5,11y ?∴∈+?
第四个结论：
形如2ax bx c
y dx e
++=+的函数可通过换元t dx e =+将问题转化为第三个结论，然后进行求解
那么，例：()()2
1
,3,534
x f x x x x -=
∈++呢 不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（1x -）即可化归为上面的情形
那么，例：()()22
21
,3,51
x x f x x x x ++=∈++呢 分子分母最高次均为2次，可考虑进行下分离常数：
()222222111111
x x x x x x
f x x x x x x x +++++===+++++++，从而转化为上面例子的问题，至此，
分式函数的终极形式22ax bx c
y dx ex f
++=++总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数
模型进行求解。
小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧：
① ax b
y cx d
+=
+：换元→分离常数→反比例函数模型
② 2ax bx c
y dx e
++=+：换元→分离常数→a y x x =±模型
③ 2dx e
y ax bx c
+=
++：同时除以分子：21y ax bx c dx e
=+++→②的模型
④ 22ax bx c
y dx ex f
++=++：分离常数→③的模型
共同点：让分式的分子变为常数
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
高中数学函数知识点详细
第 二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）
高中数学必修一函数的值域求法
最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3，5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域； 2的表达式，f(a)，记∈[0，1]f(a)为其最小值，求－练习已知函数y＝－3x＋2ax1，x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域；例 ，的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法：形如；常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值．在区间例4求函数[2，1x?
2）的取值范围是（在R上单调递增，且f(m )>f(-m)，则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为，最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈，则函数3．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2ax?bx?c；判别式法：形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?，a 212ax?bx?c2221的值域；求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；bax?13x??y 例5求函数的值域；2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数（方法一可用到图象法）例
2xxxy( ) ，3]，的最大值、最小值分别为1．函数∈＝4[0－当堂检测3 0 (D)4，0 (B)2，0 (C)3，(A)4，1( ) ．函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??）〕上的最大值、最小值分别是（ 3、函数在区间〔0，52?x33333,,0,0 B.，无最小值。 D. A. C. 最大值72727）（ff(x)的值域为[a，b]，则(x+a)的值域为．定义域为4R的函数y = ] ba+[-a，a[0，b-a] C．[，b] D．[2A．a，a+b] B．） （-．函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤．y．{y|y≤} C．{|y≥0} D{yB|A．{yy≥} 22252]?[?4,，则m，值域为的定义域为[0,m]的取值范围是（）6．若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27．函数＝4－－1 ∈－．______3)2，的值域为2．______8．函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8．函数11 ．的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。；．函数的值域是12．函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。．若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b22 15．求下列函数的值域：2x?x?y x?2?x?1y）（2）1 （21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根，求．已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? .， 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）
高中数学函数的定义定义域值域解析式求法
课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。（二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+，（1）求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。（四）课堂练习： 1．用区间表示下列集合： {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3．课本P 19练习2。
高一数学《函数的定义域值域》练习题
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；
高中数学求函数值域的类题型和种方法
高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案
一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
高中函数值域的12种解法(含练习题)
高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可
高中数学求函数值域的方法十三种审批稿
高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2
LS 高一数学函数值域求法及例题
君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2 、求函数y = 的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。
三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x += ++的值域． 3、 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）， 利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域．
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=
(完整word版)【高中数学讲义】函数求值域的十种方法.docx
前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶
百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。
高中函数值域的经典例题 12种求法
一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
LS高一数学函数值域求法及例题
L S高一数学函数值域求法 及例题 The latest revision on November 22, 2020
函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+=x x y 的值域． 2、求函数2241 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x +=++的值域． 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如： ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域． 注意：在使用此法时一定要注意 a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ． 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
智爱高中数学--函数值域求法十一种(详解)
函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：2 3y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222 =++-（1） ∵R x ∈
高中数学 函数的定义域与值域教案 新人教版
函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解： 变式训练1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ） A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解： 变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ） (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ） (A) (B) (C) (D) 变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2 1 ） 例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1） 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈［1， （2）设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)-
∴?? ?=+=2244 4b a a ， ?? ?-==1 1b a ，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ） ； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1 ）=3x ，求f （x ） 解：(1)令 x 2+1=t ，则x=12 -t ， ∴f（t ）=lg 12 -t ，∴f（x ）=lg 1 2- x （2）设f （x ）=ax+b ，则 3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （ x 1 ）=3x ， ① 把①中的x 换成 x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ①×2-②得3f （x ）=6x- x 3，∴f（x ）=2x-x 1 . 变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练：?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数 a= .