数列题的改编过程

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数列题的改编过程

作者：周才凯

来源：《高中生·高考指导》2014年第07期

教材原题1 （人教A版高中数学教材必修5第44页例3）已知数列{an}的前n项和为

Sn=n2+■·n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

改编过程原题是已知Sn求an的基本题型.我们知道，对于任何数列{an}，Sn与an有如下关系：an=S1，n＝1，Sn-Sn-1，n≥2.求出通项an后，再判断是否为等差数列.该题型也是高考

中重点考查的内容，为了更好地考查各种和的求法，我们可以将原题改编成适合文科高考的题目.

预测考题1 已知数列{an}的前n项和Sn＝－■·n2＋kn（其中k∈■），且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k，并求an；

（2）求数列{■}的前n项和Tn.

解（1）当n＝k∈■时，Sn＝－■n2＋kn取得最大值，即8=Sk＝－■k2＋k2＝■k2，于是有k2＝16，解得k＝4.从而有an＝Sn－Sn－1＝■－n（n≥2）.

又a1＝S1＝■，所以an＝■－n.

（2）由于bn＝■＝■，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋■＋■＋…＋■＋■，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋■＋…＋■－■＝4－■－■＝4－■.

教材原题2 （人教A版高中数学教材必修5第68页第10题）在以d为公差的等差数列{an}中，设S1=a1+a2+…+an，S2=an+1+an+2+…+a2n，S3=a2n+1+a2n+2+…+a3n，求证S1，

S2，S3也是等差数列，并求其公差.

改编过程原题证明了等差数列的一个性质：若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，

S2n-Sn，S3n-S2n也是等差数列.那么反过来，“和”成等差数列，“项”是否也成等差数列呢？等比数列是否也有类似的性质呢？因此，我们可以将原题改编成文科和理科高考均适宜的题目.

预测考题2 数列{an}的各项均为正数，记A（n）＝a1＋a2＋…＋an，B（n）＝a2＋a3＋…＋an+1，C（n）＝a3＋a4＋…＋an+2，n＝1，2，….

（1）若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈■，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{an}的通项公式；