2013高三数学(人教新课标理)《必考问题3 不等式及线性规划问题 》专题能力提升训练
训练3 不等式及线性规划问题 (时间：45分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2012·济南市3月模拟)若a ＞b ，则下列不等式恒成立的是
( )．
A ．a 3＞b 3
B ．lg a ＞lg b C.?
????12a ＞? ????12b
D.1a ＜1b
2．(2012·德州期末考试)已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜4}，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为
( )．
A.?
?????
???
?x ???
x ＞12
B.?
?????
???
?x ???
x ＜1
4 C.?
?????
???
?x ???
12＜x ＜1
4
D.?
?????
???
?x ???x ＞12x ＜1
4 3．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是
( )．
A.72 B ．4 C.92
D ．5
4．设a ＞0，则函数f (x )＝4x ＋a
x
≥42(x ＞0)成立的一个充分不必要条件是
( )．
A ．a ≥2
B ．a ＝1
C ．a ＝4
D ．a ≤3
5．(2012·荆门等八市联考)若实数x ，y 满足???
2x －y ≥0，
y ≥x ，
y ≥－x ＋b ，
且z ＝2x ＋y 的最小
值为4，则实数b 的值为
( )．
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(2012·宁波鄞州区适应性考试)已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m
＋4n 的最小值为________．
7．已知a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)(其中m 、n 为正数)，若a ∥b ，则1m ＋2
n 的最小值
是________．
8．(2012·福州质检)设二元一次不等式组???
x ＋2y －19≥0，
x －y ＋8≥0，
2x ＋y －14≤0
所表示的平面区域
为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是________．
三、解答题(本题共3小题，共35分)
9．(11分)如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
10．(12分)(2012·温州八校联考)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥5
2x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a
的取值范围．
11．(12分)(2010·湖南)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．
(1)证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2；
(2)若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式f (c )－f (b )≤M (c 2－b 2)恒成立，求M 的最小值．
参考答案
训练3 不等式及线性规划问题
1．A [当a ＜0，b ＜0时，lg a ，lg b 无意义，所以B 不正确；当a ＞b 时，? ????12a ＜? ????
12b ，所以C 不正确；当a ＞0，b ＜0时，1a ＞1b ，所以D 不正确．] 2．D
[由已知a ＜0，把2和4看作方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则???
??
－b
a ＝6，c a ＝8，
∴b ＝－6a ，c ＝8a ，
即cx 2＋bx ＋a ＜0?8ax 2－6ax ＋a ＜0.
∵a ＜0，∴8x 2
－6x ＋1＞0，解得：x ＞12或x ＜1
4
.]
3．C [∵a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝? ????1a ＋4b ·? ????
a ＋
b 2
＝12? ????1＋b a ＋4a b
＋4
≥12? ?
???5＋2 b a ·4a b ＝9
2
.] 4．C [由f (x )＝4x ＋a
x
≥4a ≥42，得a ≥2，所以选C.]
5．C [画出可行域可知y ＝－2x ＋z 过? ????
b 3，2b 3时z 取得最小值，所以2×b 3＋2b 3＝
4，b ＝3.]
6．解析 因为点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，所以有m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m ＋2n ＝2 2. 答案 2 2
7．解析 向量a ∥b 的充要条件是m ×1＝1×(1－n )，即m ＋n ＝1，故1m ＋2
n ＝(m
＋n )? ????
1m ＋2n ＝3＋n m 2m n
≥3＋2 2.
答案 3＋2 2
8．解析
因为二元一次不等式组???
x ＋2y －19≥0，
x －y ＋8≥0，
2x ＋y －14≤0
所表示的平面区域为M ，
如图阴影部分且左、右两端点坐标分别为P (1,9)，Q (3,8)，由函数y ＝a x 的图象经过区域M ，如图所示．
则由图象可知???
a 1≤9，
a 3≥8，即2≤a ≤9.
所以a 的取值范围是[2,9]． 答案 [2,9]
9．解 设每间虎笼的长、宽分别为x m 、y m. 则s ＝xy .
(1)由题意知：4x ＋6y ＝36. ∴2x ＋3y ＝18. 又2x ＋3y ≥26xy ， ∴xy ≤(2x ＋3y )224＝18224272
，
当且仅当2x ＝3y ＝9，即x ＝4.5，y ＝3时，s ＝xy 最大， ∴每间虎笼的长为4.5 m ，宽为3 m 时，每间虎笼面积最大． (2)由题意知xy ＝24， 4x ＋6y ≥224·xy ＝48，
当且仅当4x ＝6y 时，取得等号． 由??? 4x ＝6y ，xy ＝24，得???
x ＝6，
y ＝4.
∴每间虎笼的长为6 m ，宽为4 m 时，可使钢筋网总长最小． 10．解 (1)f ′(x )＝e x ＋4x －3，则f ′(1)＝e ＋1，
又f (1)＝e －1，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＋1＝(e ＋1)(x －1)，
即(e ＋1)x －y －2＝0.
(2)由f (x )≥5
2x 2＋(a －3)x ＋1，得
e x ＋2x 2－3x ≥5
2x 2＋(a －3)x ＋1，
即ax ≤e x －1
2x 2－1.
∵x ≥12，∴a ≤e x －1
2x 2－1
x .
令g (x )＝e x －1
2
x 2－1
x ，
则g ′(x )＝e x
(x －1)－12
x 2
＋1
x 2
.
令φ(x )＝e x (x －1)－1
2x 2＋1，
则φ′(x )＝x (e x －1)．
∵x ≥12，∴φ′(x )＞0，∴φ(x )在??????
12，＋∞
上单调递增， ∴φ(x )≥φ?
????12＝78－1
2 e ＞0，
因此g ′(x )＞0，故g (x )在1
2
，＋∞上单调递增，
则g (x )≥g ? ????12＝＝2e －9
4，
∴a 的取值范围是?
?
?
??－∞，2
e －94. 11．(1)证明 易知
f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R ，2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2
＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2
－4(c －b )≤0，从而c ≥b 2
4
＋1.
于是c ≥1，
且c ≥2
b 2
4
×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0. 故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.
(2)解 由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2b
b ＋
c .
令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－1
1＋t .
而函数g (t )＝2－
11＋t (－1＜t ＜1)的值域是? ?
?
??－∞，
32. 因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为????
??32，＋∞. 当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤3
2(c 2－b 2)恒成立．
综上所述，M 的最小值为3
2.