湖南常德市2017-2018学年度上学期高三检测考试

湖南常德市2017-2018学年度上学期高三检测考试

数 学（理科试题卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分，时量120分钟．

注意事项：

1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答．

2．考试结束后，只交答题卡．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i 是虚数单位，复数),(12R b a bi a i

∈+=-，则=+b a （ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．2-

2.设集合}116

4|),{(2

2=+=y x y x A ，}3|),{(x y y x B ==，则B A 的子集的个数是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16

3.已知53sin )3sin(4-=++

απα，02<<-απ，则=+)32cos(πα（ ） A ．5

4- B ．53- C ．54 D ．53 4.为了防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学试卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）

A ．150

B ．180 C. 200 D ．280

5.执行如有图所示的程序框图，输出的S 值为4-，则判断框内应填写（ ）

A ．?3>i

B ．?5

C ．?4>i

D ．?4

6.直三棱柱111C B A ABC -中，底面是正三角形，三棱柱的高为3，若P 是111C B A ?的中心，且三棱柱的体积为

4

9，则PA 与平面ABC 所成的角大小是（ ） A ．6π B ．4π C. 3

π D ．32π 7.函数]4,2[,11)sin(2)(-∈--=x x x x f π的所有零点之和为（ ） A ．2 B ．4 C. 6 D ．8

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长的棱长为（ ）

A ．34

B ．24 C. 6 D ．52

9.已知对任意平面向量),(y x =，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P .设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4

π后得到点的轨迹是曲线

222=-y x ，则原来曲线C 的方程是（ ）

A ．1-=xy

B ．1=xy C. 222=-x y D ．12

2=-x y 10.已知21,F F 分别为双曲线C ：15

42

2=-y x 的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且||2||21PF PF =，则21F PF ?外接圆的面积为（ ）

A ．154π

B ．1516π C. 1564π D ．15

256π 11.如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，F E ,是AD 上的两个三等分点，4=?，1-=?，则?的值是（ ）

A ．4

B ．8 C. 87 D ．4

3 12.《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数22)(2+-=x x x f ，在]2,3

1

[2+-m m 上取三个不同的点))(,(a f a ，))(,(b f b ，))(,(c f c ，均存在)(),(),(c f b f a f 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）

A ．]1,0[

B ．)22,

0[ C. ]22,0( D ．]2,2

2[ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．

中对应题号后的横线上．

13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =-，则(2)f -= .

14．6)12)(1

(--x x

x 的展开式中，3x 的系数是 .（用数字填写答案） 15．已知),(y x P 为不等式组??

???≥-≤-≤+004m x y x y x 表示的平面区域M 内任意一点，若目标函数

y x z 35+=的最大值等于平面区域M 的面积，则m = .

16．已知数列{}n a 中，110,()31

n n n a a a n N a *+<=∈+，数列{}n b 满足：()n n b na n N *=∈，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，当7=n 时n S 有最小值，则1a 的取值范围是 .

三、解答题： 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17． (本小题满分12分)

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

cos cos 02B C b a c

+=+ . （Ⅰ）求角B 的大小;

（Ⅱ）若4b a c =+=，求ABC ?的面积.

18．(本小题满分12分)

某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况,从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人，统计其网购金额，得到如下频率分布直方图：

频率

若网购金额超过千元的顾客称为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客称为“非网购达人”．

（Ⅰ）若抽取的“网购达人”中女性占12人，请根据条件完成上面的22?列联表，并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关？

（Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定12人，若需从这12人中随机选取人进行问卷调查．设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望． （参考公式：2

2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥ABCD P -中，

平面PAD ⊥平面ABCD ，DC AB //，

PAD ?是等边三角形， 82==AD BD ，

54=AB .

（Ⅰ）证明：平面PBD ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）求二面角D PA B --的余弦值．

20．(本小题满分12分)

已知椭圆()22

22:10x y C a b a b +=>>F 且垂直于x 轴的直线

与椭圆C 相交，所得弦长为1，斜率为k (0k ≠)的直线l 过点()1,0，且与椭圆C 相交于不同的两点A B ，．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使得无论k 取何值，2

214k MA MB k ?-+为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

22603ξ3ξ第19题图

21．(本小题满分12分)

已知函数mx x x x f -=ln )(的图像与直线1-=y 相切.

（Ⅰ）求m 的值，并求)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若3()g x ax =，设)()()(x g x f x h -=，讨论函数)(x h 的零点个数.

请考生在第22，23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为

22sin()4πρθ=+，直线l 的参数方程为2122x t y t ?=-????=??

（t 为参数），直线l 与曲线1C 交于,A B 两点.

（Ⅰ）求AB 的长度;

（Ⅱ）若曲线2C 的参数方程为34x y αα

?=+??=??（α为参数），P 为曲线2C 上的任意一点，

求PAB ?的面积的最小值.

23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数()1,f x x x R =-∈

（Ⅰ）求不等式()34f x -≤的解集;

（Ⅱ）若2()(3)2f x f x m m ++≥-恒成立，求实数m 的取值范围.

常德市2017-2018学年度上学期高三检测考试

数学（理科）参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题

1-5： BBCAD 6-10： CDCAD 11、12：CA

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须

作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

13．3- 14．180- 15．2- 16．11,1821??-- ???

三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（I ）由cos cos 02B C b a c

+=+知： (2)c o s c o s a c B b C ++=

由正弦定理知：(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= .............3分 即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=

2sin cos sin()A B B C ∴=-+ 即1cos 2

B ∴=-,又 (0,)B π∈ .............5分 23

B π∴=

.............6分 （II ）在△ABC 中由余弦定理知：

2222c o s b a c a c B =+- 22()22cos b a c ac ac B ∴=+-- .............8分

又24,3

b a

c B π=+== 13162ac ac ∴=-+ 3ac = .............10分

1sin 2ABC s ac B ∴= .............12分

18．（本小题满分12分）

解：

(I)

.............2分

635.62.730304515)3181227(602

2>=????-??=K 所以有99%的把握认为“网购达人”与性别有关 .............6分

(II)由题可知ξ的可能取值为：0,1,2,3；

5521)0(31239===C C p ξ 55

27)1(3122913===C C C p ξ 22027)2(3121923===C C C p ξ 220

1)3(31233===C C p ξ

所以ξ的分布列为：

分

ξ的期望4

3220132202725527155210)(=?+?+?+?=ξE ............12分 19．（本小题满分12分）

解：（I ）证明：在中，由于,

,,

,故.……2分

又

，

，

， ………4分 又PBD BD 平面?，

故平面⊥PBD 平面…………5分

（II ）法1:如图建立空间直角坐标系，, , )32,0,2(-=PA , . ………7分 设平面的法向量),,(z y x n =, 由???==????=+-=-????=?=?y x z x y x z x

230

84032200 令,32=x 则2,3==z y , 则)2,3,32(=n . ………

9分 ABD ?4AD =8BD =AB =∴222AD BD AB +=AD BD ⊥PAD ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD AD =平面平面BD ABCD ?平面BD PAD ∴⊥平面PAD D xyz -()0,0,0D ()4,0,0A (2,0,,P ()0,8,0,B ()4,8,0AB =-PAB