【数学竞赛】七年级数学思维探究(9)绝对值与方程(含答案)

商高是公元前11世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为3和4时，直角三角形的斜边就是5，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的． 9．绝对值与方程 解读课标

绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．

绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有： 1．最简绝对值方程

形如()0ax b c c +=≥是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程ax b c +=与ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解． 问题解决

例1 方程525x x -+=-的解是________．

试一试 原方程变形为552x x -=--，再把此方程化为一般方程求解．

例2 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，则m ，n ，k 的大小关系为（ ）．

A ． m n k >>

B ．n k m >>

C ．k m n >>

D ．m k n >> 试一试 从方程ax b c +=有解的条件入手． 例3 解下列方程： （1）314x x -+=； （2）311x x x +--=+；

（3）134x x ++-=． 试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．

例4 如图，数轴上有A 、B 两点，分别对应的数为a 、b ，已知()2

1a +与3b -互为相反数．点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．

（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数．

-2

-1

3

（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；

（3）当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P 到点A 、点B 的距离相等？ 试一试 由绝对值的几何意义建立关于x 的绝对值方程． 例5 讨论关于x 的方程25x x a -+-=的解的情况．

分析与解 a 与方程中常数2、5有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．

故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具． 数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2和5的点的距离和的最小值为3，由此可得原方程的解的情况是：

（1）当3a >时，原方程有两解；

（2）当3a =时，原方程有无数解()25x ≤≤； （3）当3a <时，原方程无解． 数学冲浪 知识技能广场

1．若9x =是方程

123x m -=的解，则m =_______；又若当1n =时，则方程1

23

x n -=的解是_____． 2．方程3121x x -=+的解是_______；x =_______是方程()3115

x

x -=

+的解；解方程399019951995x +=，得x =_______．

3．如果()2

230x x y -+-+=，那么()2

x y +的值为________． 4．已知关于x 的方程()22ax a x +=-的解满足1

102

x -

-=，则a 的值为（ ）． A ．10或25 B ．10或25- C ．10-或25 D ．10-或2

5

-

5．若20042004202004x +=?，则x 等于（ ）．

A ．20或21-

B ．20-或21

C ．19-或21

D ．19或21- 6．方程880m m +++=的解的个数为（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．无数个

D ．不确定 7．解下列方程

（1）1

42132

x -+=； （2）221x x -=-；

（3）3548x -+=； （4）213x x -+=． 8．求关于x 的方程()21001x a a ---=<<的所有解的和． 9．解方程32x k +-=．

10．已知a 、b 、c 、d 都是整数，且2a b b c c d d a +++++++=，则a d +=_______． 11．若1x 、2x 都满足条件21234x x -++=，且12x x <，则12x x -的取值范围是_______． 12．满足方程2006182006x --+=的所有x 的和为________． 13．若关于x 的方程21x a --=有三个整数解，则a 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3

14．方程27218a a ++-=的整数解的个数有（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

15．若a 是方程20042004a a -=+的解，则2005a -等于（ ） A ．2005a - B ．2005a -- C ．2005a + D ．2005a -+ 16．解下列方程

（1）200520052006x x -+-=；

（2）154x x -+-=．

17．当a 满足什么条件时，关于x 的方程25x x a ---=有一解？有无数多个解？无解？ 应用探究乐园

18．如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足()2

210a b ++-=．

A

B

O

（l ）求线段AB 的长；

（2）点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程1

2122

x x -=+的解，在数轴上是否存在点P ，使得

PA PB PC +=?若存在，求出点P 对应的数；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分剐以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值．

19．已知()()()12213136x x y y z z ++--++-++=，求23x y z ++的最大值和最小值． 微探究

从三阶幻方谈起

相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在33?的方阵中填入1~9，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．

现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在33?的方阵图中，每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等，就称它为三阶幻方．

可以证明三阶幻方以下基本性质：

（1）在33?的方格中填入9个不同的数，使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等，且为S ，若最中间数为m ，则3S m =．

（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方． （3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．

解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．

例1 如图①，有9个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？

试一试 虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图②）．

图①

1319

?

图②

1913x 4

x 3x 2x 1x

例2 如图，在33?的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x ．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定x 的值，并给出一种填数法．

试一试 如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即123456781233x x ++++++++=+为正整数，又2121233

x x

a b c d x +=+=+-=-，从估计a b +和c d

+的最小值入手．

d

c

b

a

x

整体核算法

整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．

例3 如图①，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内3个数的和都相等，那么a d g ++的值是多少？

12

34

5

6

7

89i h g f e

d

c b a

图①

分析与解 设这个相等的和是S ，现将这9个小圆中()3927?=个数求和，可得：

()()()912923129345135S a b c d e f g h i =++++?++++++++=?+++=?= ，故15S =． 先从9所在的小圆看，h 至少是1，i 最多只能是5，再从1所在的小圆看，a 最多只能是9，由于115i a ++=，所以必须5i =，9a =，由此可以求得图②．

987

65

4

32

1

9

87

6543

21图②

对照图①与图②中各数的位置，可看到93618a d g ++=++=． 当然也可以有另一解法．

将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内()3618?=个数求和，可得：

()615124578a b c d e f g h i a d g ?=+++++++++++++++++，即 9072a d g =+++，所以907218a d g ++=-=． 练一练

1．将2到10这9个自然数填入图中的9个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的3个数的和是_______．

2．请构造“幻角”，将1~10这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好），使图中每个大三角

形内四数之和都等于25．

4

2

3．请将4-，3-，2-，1-，0，1，2，3，4，这9个数分别填入图中方阵的9个空格，使3行、3列、2条对角线上的3个数的和都是0．

4．如图，a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求a b c d e f +++++的值．

-134 f

e

d

c b a

5．如图是一个33?的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求k 的值．

12

11

k

6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，1

2

，1，2，4，8，16，32，64填

入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值．

64

x

32

7．幻方第一人 幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中3行、3列以及2条对角线上的点数之和都等于15，是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用

了

对称思想．例如，用1，2，3，…，16构造4阶幻方的方法是：先将1，2，3，…，16依次排成图③，然后以外四角对换，即1与16对换，4与13对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方．

图①

图②

9

8

7

6

5

3

2

1

4

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

图③图④

8．把数字1，2，3，…，9分别填入图中的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内数字之和都等于18．

（1）给出一种符合要求的填法；

（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．

F

E D

C

B

A

微探究

商品的利润

商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．

（1）100%

=?

利润

利润率

进价

；

（2）利润=售价-进价；

（3）售价=进价+利润=进价×（1+利润率）．

例1 一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润_______元．

试一试从求出成本价切入．

例2 某商店出售某种商品每件可获利m元，利润率为20%．若这种商品的进价提高25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为（）．

A．25%B．20%C．16%D．12.5%

试一试利用获利不变建立方程．

例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了10%，为了赚钱，开发商把售价提高了0.5倍，利润率比原来增加了60%，求开发商原来的利润率．

试一试因售价=成本×（1+利润率），故还需设出成本．

例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：

（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；

（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；

（3）若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予8折优惠．