第十二章选修4-4第2讲参数方程
第2讲 参数方程
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数?
????
x ＝f (t )，y ＝g (t ).并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫做这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参数．
2．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为????
?
x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0
＋t sin α(t 为参数)．
(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2
的参数方程为 ?
????
x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的参数方程为
?
????
x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为????
?
x ＝2pt 2
y ＝2pt
(t 为参数)．
1．极坐标方程与参数方程互化时，以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化． 2．在利用参数方程求解具体问题时，注意参数的几何意义和范围． 3．数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法．
1．(选修4－4 P 26习题T 4(1)改编)直线l 的参数方程为?
????
x ＝3－3t
y ＝1＋4t .(t 为参数)，则原点到l
的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C.由?
????
x ＝3－3t
y ＝1＋4t (t 为参数)消去t 得
4x ＋3y －15＝0.
∴原点到直线l 的距离d ＝
|－15|
42＋32
＝3.故选C.
2．(选修4－4 P 26习题T 4(2)改编)曲线C 的参数方程为????
?
x ＝sin θy ＝cos 2θ－1
(θ为参数)，则曲
线C 上的点P 到原点O 的距离的最大值为( )
A ．1 B. 2
C. 3
D. 5
解析：选D.由?
????
x ＝sin θ
y ＝cos 2θ－1(θ为参数)消去参数θ得
y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)．
表示开口向下的一段抛物线y ＝－2x 2(－1≤x ≤1)，如图， 则当P 点的坐标为(±1，－2)时，
|PO |max ＝(±1)2＋(－2)2
＝5，故选D.
3．(选修4－4 P 26习题T 4(4)改编)椭圆C 的参数方程为?
????
x ＝5 cos φy ＝3 sin φ(φ表示参数)，过左
焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B ，则|AB |min ＝________.
解析：由?
????
x ＝5 cos φy ＝3sin φ(φ为参数消去参数φ得)x 225＋y 2
9＝1，
当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值．
∴|AB |min ＝2×95＝18
5
.
答案：185
4．(选修4－4 P 22例1改编)已知曲线C 的参数方程为?
????
x ＝3t
y ＝2t 2
＋1(t 为参数)，点M (－6，a )在曲线C 上，则a ＝________.
解析：由题意得????? －6＝3t ，a ＝2t 2
＋1，∴?
????
t ＝－2，a ＝9. 答案：9 5．(选修4－4 P 36例1改编)以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
直线l
的参数方程为??
?
x ＝2－22t
y ＝－1＋2
2
t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝
tan θ
cos θ
?
???θ≠k π＋π2，
(1)求曲线C 的直角坐标方程和一个参数方程；
(2)直线l 与曲线C 有两个交点A 、B ，当t ＝2时，点P 为直线上的点，求1|P A |＋1
|PB |
的
值．
解：(1)由ρ＝tan θ
cos θ得ρcos θ＝tan θ.
将x ＝ρcos θ，y x ＝tan θ代入得x ＝y
x
，
故曲线C 的直角坐标方程为x 2＝y (x ≠0)．
取x ＝t 1，则y ＝t 2
1，可得曲线C 的一个参数方程为?
????
x ＝t 1y ＝t 21(t 1为参数t 1≠0)． (2)将t ＝2代入直线l 的参数方程得P (1,0)，设直线l 上动点M (x ，y )，令|PM |＝m ，得
直线l 的参数方程为??
?
x ＝1－22m
y ＝22m
，
代入x 2＝y 整理得m 2－32m ＋2＝0，
设|P A |＝m 1，|PB |＝m 2，
则m 1＋m 2＝32，m 1m 2＝2，且m 1与m 2同号， ∴1|P A |＋1|PB |＝1m 1＋1m 2＝m 1＋m 2m 1m 2 ＝322.
参数方程化为普通方程(或极坐标方程)
(1)[参数方程化为普通方程]①在平面直角坐标系中，求曲线C ：???
x ＝2＋22t ，
y ＝1＋2
2
t (t 为参数)的普通方程．
②若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆?
???
?
x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，求实数m 的值．
(2)[参数方程化为极坐标方程]已知曲线C 1的参数方程为?
????
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
①把C 1的参数方程化为极坐标方程；
②求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
[解] (1)①因为x ＝2＋22t ，所以22t ＝x －2，代入y ＝1＋2
2
t ，得y ＝x －1，即x －y －1
＝0.
②圆?
????
x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相
切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |
5
＝1，解得m ＝0或m ＝
10.
(2)①将?
????
x ＝4＋5cos t ，
y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，
即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将?
????
x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. ②C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
由?
????
x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得????? x ＝1，y ＝1或?????
x ＝0，y ＝2.
所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2
)．
消去参数的方法一般有三种：
①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； ②利用三角恒等式消去参数；
③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．
1．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：????? x ＝t y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：?
???
?
x ＝3cos φy ＝2sin φ，
(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C.直线l ：?
????
x ＝t
y ＝t －a ，消去参数t 后得y ＝x －a .
椭圆C ：?
????
x ＝3cos φy ＝2sin φ，消去参数φ后得x 29＋y 2
4＝1.
又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.
2．直线3x ＋4y －7＝0截曲线?
???
?
x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)的弦长为________．
解析：曲线可化为x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d ＝|0＋4－7|9＋16＝3
5
，则弦长l
＝2r 2－d 2＝8
5.
答案：85
3．以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方
程为C ：ρ＝62
13＋5cos 2θ，直线l ：?
????
x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)，
(1)求C 的直角坐标方程与l 的极坐标方程；
(2)判断直线l 与曲线C 的位置关系，并求曲线C 上的点到直线l 的距离d 的范围．
解：(1)由ρ＝62
13＋5cos 2θ
得
ρ2(18－10sin 2θ)＝72，∴18x 2＋8y 2
＝72，∴x 24＋y 29
＝1，即为曲线C 的直角坐标方程．
由?????
x ＝2＋t y ＝2－2t
得2x ＋y －6＝0，即有2ρcos θ＋ ρsin θ－6＝0，这就是直线l 的极坐标方程．
(2)将y ＝6－2x 代入x 24＋y 2
9
＝1得
25x 2
－96x ＋108＝0，
Δ＝(－96)2－4×25×108＝－1 584<0，
故直线l 与曲线C 没有交点，所以直线l 与曲线C 相离．
设曲线C 上的点P (2cos θ，3sin θ)，且点P 到l 的距离为d ，
则d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|5＝|5sin (θ＋φ)－6|5
，
其中φ为锐角，tan φ＝4
3
，
∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1， ∴15≤d ≤115
，即d 的取值范围为????55，1155.
参数方程的应用
已知直线l ：???
x ＝5＋32t ，
y ＝3＋1
2
t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．
[解] (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2
＝2ρcos θ.
将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.
(2)将???
x ＝5＋32t ，y ＝3＋1
2
t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x ＝0，
得t 2＋53t ＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：
过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；
②弦M 1M 2的中点?t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.
1．极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．
(1)求C 的直角坐标方程；
(2)直线l ：?
??
x ＝12
t ，y ＝1＋3
2
t
(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |
＋|EB |的值．
解：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，
两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
则C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.
(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0， 点E 对应的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，
则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，
所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 5.
2．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
ρsin 2
θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：??
?
x ＝－2＋22t
y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)与曲线C 相交
于M ，N 两点．
(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．
解：(1)把?????
x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ
代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，
由??
? x ＝－2＋22t
y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线
l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.
(2)将??
?
x ＝－2＋22t y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，
整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.
设t 1，t 2是该方程的两根， 则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，
∵|MN |2
＝|PM |·|PN |， ∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，
∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1.
求参数方程条件下的最值
已知曲线C 1的参数方程是C 1：???
x ＝3cos φ
y ＝4sin φ
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝a (a ＞0)，直线l 的极坐标方程
是ρsin ???
?θ＋π
3＝1，曲线C 2与直线l 有两交点A ，B . (1)求C 2与l 的普通方程，并求a 的取值范围；
(2)设P 为C 1上任意一点，当a ＝2时，求△P AB 面积的最大值． [解] (1)由ρ＝a (a ＞0)得ρ2＝a 2，即C 2的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.
由ρsin ????θ＋π
3＝1得 12ρsin θ＋3
2
ρcos θ＝1，即l 的普通方程为3x ＋y －2＝0. 因为曲线C 2与直线l 有两交点A ，B ，所以圆心到直线的距离d ＝|－2|
(3)2＋1
2
＜a ，即a 的取值范围为(1，＋∞)．
(2)设P (3cos φ，4sin φ)，当a ＝2时，
|AB |＝222－1＝23，P 到直线的距离d ＝|3cos φ＋4sin φ－2|(3)2＋12
＝|5sin (φ＋α)－2|2≤7
2，所
以△P AB 面积的最大值S ＝12|AB |d max ＝12×23×72＝73
2
.
求参数方程中最值问题的三个策略： ①曲线方程上的点用参数方程表示；直线用普通方程表示；利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值；
②当曲线是圆时，数形结合更快捷方便；
③利用直线参数方程中参数的几何意义时，需特别注意方向性．
1．已知直线l ：???
x ＝1＋12
t
y ＝3
2t
(t 为参数)，曲线C 1：?
????
x ＝cos θ
y ＝sin θ(θ为参数)．
(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；
(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压缩为原来的3
2
，得到曲线C 2，
设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
解：(1)l 的普通方程为y ＝3(x －1)，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.
联立方程???
y ＝3(x －1)x 2＋y 2＝1
，解得l 与C 1的交点为A (1,0)，B ???12，－3
2，则|AB |＝1.
(2)C 2
的参数方程为???
x ＝1
2
cos θy ＝3
2sin θ
(θ为参数)．故点P 的坐标是???
?12cos θ，3
2sin θ.
从而点P 到直线l 的距离d ＝???
?
32cos θ－32sin θ－32
＝
34????2sin (θ－π4)＋2，当sin ????θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为6
4
(2－1)． 2．已知曲线C 1的参数方程为?
??
x ＝－t
y ＝3t (t 为参数)，当t ＝1时，曲线C 1上的点为A ，当
t ＝－1时，曲线C 1上的点为B .以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 2的极坐标方程为ρ＝6
4＋5sin 2θ
.
(1)求A 、B 的极坐标；
(2)设M 是曲线C 2上的动点，求△MAB 面积S 的最大值．
解：(1)当t ＝1时，???
x ＝－1
y ＝3
，即A 的直角坐标为A (－1，3)；
当t ＝－1时，???
x ＝1
y ＝－3
，即B 的直角坐标为B (1，－3)．
∴A 的极坐标为A ????2，2π3，B 的极坐标为B ?
???2，5π3.
(2)由ρ＝
64＋5sin 2θ
，得ρ2(4＋5sin 2
θ)＝36， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 29＋y 2
4
＝1.
设曲线C 2上的动点M 的坐标为M (3cos α，2sin α)， 由(1)知|AB |＝(1＋1)2＋(－3－3)2＝4. 直线AB 的方程为3x ＋y ＝0.
∴M 到AB 的距离d ＝|33cos α＋2sin α|
(3)2＋1
2
＝ |31sin (α＋φ)|2，∴d max ＝31
2.
∴S max ＝12|AB |·d max ＝12×4×31
2
＝31.
1．(选修4－4 P 15习题T 5改编)以直角坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，直线l ：ρsin ????θ＋π4＝22，曲线C 的参数方程为?
????
x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)． (1)求l 与C 的直角坐标方程；
(2)A 、B 是曲线C 上距离最远的两点，在l 上是否存在点P ，使P A ⊥PB ，若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由．
解：(1)∵直线l 的极坐标方程为
ρsin ????θ＋π4＝22，∴22ρsin θ＋2
2
ρcos θ＝22，∴x ＋y －4＝0为直线l 的直角坐标方程．
∵曲线C 的参数方程为?
????
x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)由A 、B 是曲线C 上距离最远的两点，则A 、B 为椭圆C 长轴上的两个端点，由(1)
知，A (－2,0)，B (2,0)，
假设直线l 上存在一点P (x,4－x )，使得P A ⊥PB ，即P A →＝(－2－x ，x －4)，PB →
＝(2－x ，x －4)，
则P A →·PB →＝0，即－(2＋x )(2－x )＋(x －4)2＝0， x 2－4x ＋6＝0，
∵Δ＝16－24＝－8<0，故方程x 2－4x ＋6＝0无解，即直线l 上不存在点P ，使得P A ⊥PB .
2．(选修4－4 P 36例1改编)已知直线l 的参数方程为?
???
?
x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为倾
斜角，且α≠π2)，它与曲线x 216＋y
2
12
＝1交于A ，B 两点．
(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|P A |·|PB |的最大值．
解：(1)∵????
?
x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α
?
???t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2，
∴
y x －2＝t sin α
t cos α
＝tan α，∴直线l 的一般方程为x tan α－y －2tan α＝0. 直线l 通过定点P 的坐标为(2,0)．
(2)∵l 的参数方程为?
????
x ＝2＋t cos α，
y ＝t sin α，
椭圆方程为x 216＋y
212
＝1，右焦点坐标为(2,0)．
又∵3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0，即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0. ∵直线l 过椭圆的右焦点，∴直线l 恒与椭圆有两个交点．
∴|P A |·|PB |＝36
3＋sin 2 α
.
∵0≤α≤π，且α≠π
2
，∴0≤sin 2α＜1，
∴|P A |·|PB |的最大值为12.
3．(选修4－4 P 37例2改编)以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系．点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝12，θ∈????0，π2，椭圆C ：x 216＋y 24
＝1.
(1)求点M 的直角坐标与曲线C 的参数方程；
(2)过点M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点，P 是C 上的一个动点，求△P AB 面积的最大值．
解：(1)由tan θ＝12，θ∈????0，π2得cos θ＝255，sin θ＝55
，又ρ＝5，∴x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝1，∴点M 的直角坐标为(2,1)．
将a ＝4，b ＝2代入????? x ＝a cos βy ＝b sin β可得椭圆C 的参数方程为?????
x ＝4cos βy ＝2sin β
(β为参数)． (2)法一：设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，则???
x 2116＋y 21
4
＝1x 22
16＋y
22
4＝1
，
相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4
＝0.
∵M (2,1)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，代入上式可得y 1－y 2x 1－x 2
＝－1
2，即直线l 的
斜率k ＝－1
2
.
∴直线l 的普通方程为y ＝－1
2
x ＋2.
由?
??
y ＝－12
x ＋2
x 216＋y 2
4
＝1，
解得A (0,2)，B (4,0)，∴|AB |＝25， 过椭圆C 上的动点P 作直线l 1∥l ，则当l 1与椭圆C 相切时可求点P 到直线l 的最大值．
设l 1的方程为：y ＝－12x ＋m ，代入x 216＋y
2
4
＝1整理得2x 2－4mx ＋4m 2－16＝0，
由Δ＝16m 2－8(4m 2－16)＝0，解得m ＝±2 2. 显然当m ＝－22，P (－22，－2)时，
点P 到直线l 距离最大为d ＝
4(2＋1)
5
， 从而(S △P AB 最大)＝12|AB |·d ＝1
2×25×4(2＋1)5
＝4(2＋1)．
法二：设直线l 的参数方程为?
????
x ＝2＋t cos α
y ＝1＋t sin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，
代入x 216＋y 2
4
＝1整理得(3sin 2α＋1)t 2＋4(cos α＋2sin α)t －8＝0.
∵M 是AB 中点，∴t 1＋t 2＝0，即cos α＋2sin α＝0，∴tan α＝－1
2
.
∴sin α＝55，cos α＝－25
5
.
∴t 1t 2＝－8
3sin 2
α＋1＝－5， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝0－4×(－5)＝2 5. 又直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0， 设P (4cos θ，2sin θ)，则P 到直线l 的距离 d ＝|4cos θ＋4sin θ－4|5
＝4|2sin ????θ＋π
4－1|5，∴当sin ????θ＋π4＝－1，即θ＝5π
4＋2k π(k ∈Z )， P (－22，－2)时，d max ＝
4(2＋1)
5
. ∴(S △P AB 最大)＝12|AB |·d max ＝1
2×25×4(2＋1)5
＝4(2＋1)．
1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为?
??
x ＝t －1t
，
y ＝t ＋
1t
(t 为参数)，l 与C
相交于A ，B 两点，求|AB |.
[导学号03351050] 解：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .
由?
??
x ＝t －1t
，
y ＝t ＋1t
，
得y 2－x 2＝4.
由?
????
y ＝3x ，y 2－x 2
＝4，)可得??
?
x ＝22，
y ＝322
或??
?
x ＝－22，
y ＝－322
，
不妨设A ??
??22，
322，则B ????
－22
，－322，
故|AB |＝
????－22
－222＋????－322－3222＝2 5.
2．已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1，直线l ：???
x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t
(t 为参数)．
(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；
(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．
[导学号03351051] 解：(1)椭圆C ：???
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)，直线l ：x －3y ＋9＝0.
(2)设P (2cos θ，3sin θ)，
则|AP |＝ (2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ， 点P 到直线l 的距离
d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92
.
由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝3 5，cos θ＝－4
5
.
故P ???
?－85，335.
3．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?
????
x ＝4cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经
过点P (1,2)，倾斜角α＝π
6
.
(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|P A |·|PB |的值． [导学号03351052] 解：(1)圆C 的标准方程为x 2＋y 2＝16.
直线l 的参数方程为???
x ＝1＋t cos π6
，
y ＝2＋t sin π
6
(t 为参数)，即???
x ＝1＋32t ，
y ＝2＋1
2
t (t 为参数)．
(2)把直线l 的参数方程???
x ＝1＋32t ，
y ＝2＋1
2
t 代入x 2＋y 2＝16，
得?
???1＋
32t 2＋????2＋12t 2＝16，t 2
＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，即|P A |·
|PB |＝11. 4．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为?
????
x ＝4cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)已知点M 是曲线C 1上任意一点，点N 是曲线C 2上任意一点，求|MN |的取值范围． [导学号03351053] 解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入上面方程，得x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. (2)|MC 2|min －1≤|MN |≤|MC 2|max ＋1.
|MC 2|2＝(4cos φ－1)2＋9sin 2φ＝7cos 2φ－8cos φ＋10，
当cos φ＝－1时，|MC 2|2
max ＝25，|MC 2|max ＝5；
当cos φ＝47时，|MC 2|2min ＝547，|MC 2|min ＝342
7
.
所以3427－1≤|MN |≤5＋1，即|MN |的取值范围是???
?3427－1，6. 5．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?
????
x ＝3＋2cos θ，
y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)．
(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值．
[导学号03351054] 解：(1)圆C 的参数方程为?
????
x ＝3＋2cos θ，
y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，所以普通
方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.
所以圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.
(2)点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|
2
.
△ABM 的面积S ＝12
×|AB |×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝????22sin ????π4－θ＋9， 所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.
6．已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：?
????
x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．
[导学号03351055] 解：(1)曲线C 的参数方程为?
????
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)．
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为225
5.
当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为25
5
.
7．已知直线l 的参数方程为???
x ＝－1－3t 2，
y ＝3＋1
2
t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ???
?θ－π
6. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ????θ－π
6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． [导学号03351056] 解：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ????θ－π
6，所以ρ2＝4ρsin ???
?θ－π
6 ＝4ρ??
?
?32sin θ－12cos θ.
又ρ2＝x 2＋y 2
，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.
(2)设z ＝3x ＋y ，
由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.
将???
x ＝－1－32t ，y ＝3＋1
2
t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半
径是2，所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]．
8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?
????
x ＝cos t ，
y ＝sin t (t 为参数)，曲线C 2
的参数方程为?
????
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极
坐标系中，射线l ：θ＝α与曲线C 1、C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π
2
时，这两个交点重合．
(1)分别说明C 1、C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；
(2)设当α＝π4时，l 与C 1、C 2的交点分别为A 1、B 1，当α＝－π
4
时，l 与C 1、C 2的交点分
别为A 2、B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
[导学号03351057] 解：(1)由题意可知，曲线C 1为圆，曲线C 2为椭圆，
当α＝0时，射线l 与曲线C 1、C 2交点的直角坐标分别是(1,0)、(a,0)，因为这两个交点间的距离为2，所以a ＝3，
当α＝π
2
时，射线l 与曲线C 1、C 2交点的直角坐标分别是(0,1)、(0，b )，
因为这两个交点重合，所以b ＝1.
(2)由(1)可得，曲线C 1、C 2的普通方程分别为x 2＋y 2
＝1，x 29＋y 2＝1，当α＝π4
时，射线
l 与曲线C 1的交点A 1????22，22，与曲线C 2的交点B 1???
31010，31010；
当α＝－π
4
时，射线l 与曲线C 1、C 2的两个交点A 2、B 2分别与A 1、B 1关于x 轴对称，
则四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，所以四边形A 1A 2B 2B 1的面积为?
???2×31010＋2×22????
31010－222＝25
.
人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
北师大版数学高二选修4-4讲义第二讲参数方程3参数方程化成普通方程习题解答
习题2－3 第42页 A 组 1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2 b 2＝1，双曲线. (4)原参数方程变形为?????x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2， 所以y －2x －1＝4. 所以4x －y －2＝0，直线. (5)? ?? ??y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5. 3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225 ＝1，焦距为221. 4.椭圆的普通方程为（x －1）216 ＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0). 5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24 ＝1，中心坐标(2，1). 6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23 ＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°. 7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12. 8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b 2， 点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1). B 组 1.设动点A (x ，y )，则???x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ， 即x 2＋y 2＝2. 2.解 设动点M (x ，y )，则? ????x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2.
所以?????x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53 （y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25. 即（x ＋1）225＋（y －2）29 ＝1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24 ＝1. 4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20 x 2，射程为3v 202g ， (2)证明略.
高中数学 《参数方程的概念》教案 新人教A版选修4-4
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
新人教选修4-4教案参数方程的概念曲线的参数方程
曲线的参数方程 教学目标 1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路． 2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力． 3．从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 教学重点与难点 曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立． 教学过程 师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的曲线? 生:1.必须同时满足两个条件：（１）曲线上任一点的坐标都是这个方程的解；（２）同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程就称作曲线的方程，而这条曲线就称作这个方程的曲线． 师：请写出圆心在原点，半径为r的圆Ｏ的方程，并说明求解方法． (师板书——⊙O:) 师：求圆的方程事实上是探求圆上任一点Ｍ（x,y）的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗？ 生：…… 师：（诱导一下）不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难，能否考虑用间接的方法来求？即在x、y之间是否能建立一座桥梁，使之联系起来？ （计算机演示动画，如图３－１）
师：驱使Ｍ运动的因素是什么？ 生：旋转角θ. 师：当我们把x轴作为θ角始边，并使ＯＭ绕Ｏ点逆时针旋转，请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了？ 生： 师：至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了，谁能具体地说说它们之间的关系？ 生3：（c∈[0,2π],θ为变量，r为常数） （生３叙述，师板书） 师：①式是⊙Ｏ的方程吗？ 生４：①式是⊙Ｏ的方程. 师：请说明理由. 生４：（生４叙述，师板书）（１）任取⊙Ｏ上一点，总存在，由三角函数定义知 ，显然满足方程①； （２）任取, 由①得即M（）．
选修4-4《第二讲参数方程》高考真题
第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由???x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0 2．已知两曲线参数方程分别为?????x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和???x ＝54 t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． [命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围． 解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)，得x 25＋y 2＝1(y ≥0，x ≠－5)，
由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2， 则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2 ＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为? ????1，255. 答案 ? ????1，255 3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆? ????x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线? ????x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________． [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力． 解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普 通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0. 答案 x －2y －4＝0 4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为? ????x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ
高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
高中数学选修坐标系与参数方程知识点总结
坐标系与参数方程 知识点 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-4【综合检测】第二讲 参数方程
(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．参数方程? ??? ? x ＝3t 2＋2y ＝3t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线 答案：A 2．圆的参数方程为? ???? x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则 参数θ的值是( ) A.π3 B.2π 3 C.4π3 D.5π3 答案：B 3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( ) A.? ???? x ＝t 2y ＝2t 2＋1(t 为参数) B.????? x ＝2t －1y ＝4t ＋1(t 为参数) C.????? x ＝t －1y ＝2t －1(t 为参数) D.? ???? x ＝sin θy ＝2sin θ＋1(θ为参数) 答案：C 4．参数方程??? x ＝2＋t y ＝3－4－t 2 (t 为参数)表示的曲线为( ) A ．半圆 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 答案：A
5．参数方程? ???? x ＝2＋sin 2θ y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．2x －y ＋4＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．2x －y ＋4＝0 x ∈[2,3] D ．2x ＋y －4＝0 x ∈[2,3] 答案：D 6．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·y x －2 ＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cos θ，θ≠k π 4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|? ???? x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( ) A ．A ＝ B B ．B ＝D C ．A ＝C D ．B ＝C 答案：B 7．设圆? ???? x ＝3＋r cos θy ＝－5＋r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线－4x ＋3y ＋2＝0的距离等于 1，则r 的取值范围是( ) A ．4 一 曲线的参数方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即? ??==)(),(t g y t f x （＊）.并且对于t 的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程. 在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P （x ，y ）的坐标x,y 之间满足的等量关系F （x ，y ）＝0，这样得到的方程F （x ，y ）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y 的方程F （x ，y ）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t ，使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来，此时可得到方程组???==) (),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t 的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x ，y ）都在曲线C 上；反之，对 于曲线C 上的每一个点（x ，y ），其中x,y 都是t 的函数，则把方程组? ??==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义. 疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程. 深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量. 二、圆的参数方程 1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程：???==θ θsin ,cos r y r x (θ为参数). 2.圆心为O 1(a,b)，半径为r 的圆的参数方程：?? ?+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数). 参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（其中O 为坐标原点，P 为圆上一动点）. 圆的参数方程还可以表示为x=???+=+=θ θcos ,sin r b y r a x (θ为参数). 高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=?? =? ， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参 数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系 中,曲线的方程为,以坐标原点为 极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程 （2）若 与有且仅有三个公共点,求 的方程 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． xOy C 2cos 4sin x θy θ=?? =? ， θl 1cos 2sin x t αy t α=+??=+? ， t C l C l (1,2) l 解：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?，∴O e 的普通方程为22 1x y +=，当90α=?时， 直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠?时，设直线l 的方程为tan y x α=-直线l 与O e 1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴ 4590α?< ——基础梳理—— 1．椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________． (2)中心在(h ，k)的椭圆的普通方程为－a2＋－b2＝1，则其参数方程为__________． 2．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________． 3．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px(p ＞0)的参数方程为__________，t ∈__________. (2)参数t 的几何意义是__________． [答案] 1．(1)????? x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数) [0,2π) (2)????? x ＝h ＋acos φy ＝k ＋bsin φ (φ为参数) 2．(1)????? x ＝asec φy ＝btan φ (φ为参数) [0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2 (2)????? x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数) 3．(1)????? x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) (－∞，＋∞) (2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 自主演练 1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则() A ．m ＜1 B ．－1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 [解析]方程化为x2＋y21m ＝1，若要表示焦点在y 轴上的椭圆，需要1m ＞1，解得0＜m ＜1.故应选D. 高中数学选修4-4参数方程本章整合及题型归纳 知识网络 要点归纳 1．直线的参数方程 直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y －y 0＝k (x －x 0)．其中k ＝tan α.α为直线的倾斜角，代入上式得， y －y 0＝sin αcos α(x －x 0)，α≠π 2，即x －x 0cos α＝y －y 0sin α . 记上式的比值为t ，整理后得? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α. 2．圆的参数方程 若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为? ???? x ＝x 0＋r cos θ y ＝y 0＋r sin θ，0≤θ≤2π. 3．椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点，而在点M 0(x 0，y 0)，相应的椭圆(x －x 0)2a 2＋(y －y 0)2 b 2 ＝1的参数方 程为? ???? x ＝x 0＋a cos t y ＝y 0＋b sin t ， 0≤t <2π. 4．双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程是? ???? x ＝a sec θ，y ＝b tan θ， 5．抛物线y 2＝2px 的参数方程是? ??? ? x ＝2pt 2，y ＝2pt . 专题一 参数方程化为普通方程的考查 参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M 的坐标x 、y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x 、y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围． 在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线． 【例1】 (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为 四渐开线与摆线 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、渐开线的产生过程 我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1). 图2-4-1 也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象. 渐开线在实际生活和生产中比较常见.在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程. 在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础.在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题. 深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线.但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等.只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线.研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质. 二、摆线的概念和产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线. 市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板.把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动.将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2). 高中数学选修参数方程练习题 学校：_____姓名：___班级：___考号：___ 一．填空题 1．直线l：（t为参数）的倾斜角为______． 2．若P（m，n）为椭圆（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是______．3．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（其中t为参数），以Ox为极值的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心到直线的距离为______．4．在直角坐标系xOy中，M是曲线C1：（t为参数）上任意一点，N是曲线C2：（θ为参数）上任意一点，则|MN|的最小值为______． 5．（坐标系与参数方程选做题）过点A（2，3）的直线的参数方程（t为参数），若此直线与直线x-y+3=0相交于点B，则|AB|=______． 6．已知曲线C的参数方程为（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______． 7、A．将参数方程（e为参数）化为普通方程是______． B．不等式|x-1|+|2x+3|＞5的解集是______． C．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，|DC|=|BE|，DG⊥CE于G，且|EC|=8，则|EG|=______． 8．椭圆的离心率是______． 三．简答题 9．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）． （Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值． 10．已知曲线C1：（t为参数，C2：（θ为参数）． （Ⅰ）C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C1上的点P对应的参数t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． 11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．直线l经过点P（2，2），倾斜角． （1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程． （2）设l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值． 12．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：（α为参数）与极坐标下的点． （1）求点M与曲线C的位置关系； 极坐标与参数方程单元练习1 。一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. 53，-? ? ?? ?π B. 543，π? ? ??? C. 523，-? ? ?? ?π D. ?? ? ? ? - 355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-，的极坐标为 。 2、若A 33，π? ? ???，B ??? ? ?-64π，，则|AB|=___________，S AOB ?=___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。 一曲线的参数方程 课后篇巩固探究 A组 1.与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程的是() A.(t为参数) B.(t为参数) C.(t为参数) D.(t为参数) 2.圆(θ为参数)的半径等于() A.2 B.4 C.3 D. (x-2)2+(y-2)2=9,故半径等于3. 3.参数方程(t为参数)表示的曲线是 () A.双曲线x2-y2=1 B.双曲线x2-y2=1的右支 C.双曲线x2-y2=1,且x≥0,y≥0 D.双曲线x2-y2=1,且x≥,y≥1 x2-y2=1,且x=,y=≥1,故选D. 4.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是() A. B. C.1 D. d满足d2=(|sin θ|+|cos θ|)2=1+|sin 2θ|≤2,且当 θ=时上式取等号,故d的最大值为. 5.参数方程(t为参数)表示的图形为() A.直线 B.圆 C.线段(但不包括右端点) D.椭圆 x=中解得t2=,将其代入y=中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=≥0解得0≤x<3.所以其对应的普通方程为2x+y-5=0(0≤x<3),它表示一条线段,但不包括右端点. 6.若曲线(θ为参数)经过点,则a=. 1+cos θ=,则cos θ=,于是sin θ=±,a=2sin θ=±. 7.已知圆的方程为x2+y2=2x,则它的参数方程为. 2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,设x-1=cos θ,y=sin θ,则参数方程为 (0≤θ<2π,θ为参数). (0≤θ<2π,θ为参数) 8.指出下列参数方程分别表示什么曲线: (1); (2)(t为参数,π≤t≤2π); 选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时） 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 高中数学选修极坐标与参数方程知识点与题型 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 极坐标与参数方程练习1 ·一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθ θ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()11,y x M ，()22,y x N 是椭圆上两点， M ，N 对应的参数为21,θθ且21x x <，则 A ．21θθ< B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π 的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 ( ) A.??? ??? ? -=+=t y t x 23 521 1 B. ?????? ? +=-=t y t x 23 521 1 C. ?????? ? -=-=t y t x 23 521 1 D. ?????? ? +=+=t y t x 2 3521 1 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 5．若动点(x ,y )在曲线 14 2 22 =+ b y x (b >0)上变化，则x 2 2y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(44 2 b b b b ； (B) ?????≥<<+) 2(2)20(4 4 2 b b b b ；(C) 44 2 +b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5(新)高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程导学案新人教A版选修4-41
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