2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义 8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
1． 直线的方向向量：在空间直线l 上任取两点A ，B ，则称AB →
为直线l 的方向向量．
平面的法向量：如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量叫作平面α的法向量． 2． 用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3． 用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的． ( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．
( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．
( × ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行． ( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．
( × ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行． ( × ) 2． 若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(2,4，－4)，b ＝(－6,9,6)，则
( )
A ．l 1∥l 2
B ．l 1⊥l 2
C ．l 1与l 2相交但不垂直
D ．以上均不正确
答案 B
解析 a ·b ＝－12＋36－24＝0，故a ⊥b ，即l 1⊥l 2选B.
3． 已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P
中，在平面α内的是 ( )
A ．P (2,3,3)
B ．P (－2,0,1)
C ．P (－4,4,0)
D ．P (3，－3,4)
答案 A
解析 逐一验证法，对于选项A ，MP →
＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ， ∴点P 在平面α内，
同理可验证其他三个点不在平面α内．
4． 若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，5
8
)是平面α内的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，
y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________. 答案 2∶3∶(－4)
5． 已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →
＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，
则实数x ，y ，z 分别为______________． 答案
407，－157
，4 解析 由题意知，BP →⊥AB →，BP →⊥BC →
.
所以?????
AB →·BC →＝0，
BP →·AB →＝0，
BP →·BC →＝0，
即????
?
1×3＋5×1＋(－2)×z ＝0，(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，3(x －1)＋y －3z ＝0，
解得，x ＝407，y ＝－15
7
，z ＝
4.
题型一 证明平行问题
例1 (2013·浙江改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，
BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点， 点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC . 证明：PQ ∥平面BCD
.
思维启迪 证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量． 证明 方法一 如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD 、OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知， A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)． 因为AQ →＝3QC →，
所以Q ????34
x 0，24＋34y 0，1
2.
因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)． 又P 为BM 的中点，故P ????0，0，1
2， 所以PQ →
＝???
?34x 0，24＋34y 0，0.
又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，故PQ →
·a ＝0. 又PQ 平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .
方法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A 、B 、C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0)． ∵CF →＝14CD →
，设F 点坐标系(x ，y,0)则
(x －x 0，y －y 0,0)＝1
4
(－x 0，2－y 0,0)
∴???
x ＝34
x 0
y ＝24＋3
4y
∴OF →＝(3
4x 0，24＋34
y 0,0)
又由证法一知PQ →＝(3
4x 0，24＋34y 0,0)，
∴OF →＝PQ →
，∴PQ ∥OF .
又PQ 平面BCD ，OF 平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .
思维升华 用向量证明线面平行的方法有
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．
如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，
△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、 CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .
证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形，
∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、 E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．
∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →
＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，
即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴????
?
t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，
解得s ＝t ＝2.
∴PB →＝2FE →＋2FG →，
又∵FE →与FG →不共线，∴PB →、FE →与FG →
共面． ∵PB 平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 题型二 证明垂直问题
例2 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1
的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .
思维启迪 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平 面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．
证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →
.
令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →
＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，
则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→
＝a －c ，
m ＝λBA 1→＋μBD →
＝????λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·????????λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4????λ＋1
2μ－2μ－4λ＝0. 故AB 1→
⊥m ，结论得证．
方法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .
因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .
因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.
取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →
为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)， A (0,0，3)，B 1(1,2,0)．
设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1,2，3)，BD →
＝(－2,1,0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →
，
故?????
n ·BA 1→＝0，n ·
BD →＝0????
－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，
令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，
故n ＝(1,2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1,2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→
∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .
思维升华 用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零． (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，
PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角． (1)求证：CM ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .
证明 以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ， ∵PC ⊥平面ABCD ，
∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°.
∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4.
∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)， M (
32，0，32
)，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →
＝(23，3,0)， CM →
＝(32，0，32
)，
(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面P AD 的一个法向量， 则?????
DP →·
n ＝0，DA →·
n ＝0，
即???
－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，
∴???
z ＝1
2y ，x ＝－3
2
y ，
令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)．
∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，
∴n ⊥CM →
，又CM 平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .
(2)取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE →
＝(－3，2,1)． ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .
又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →
，∴BE ⊥DA ，
又P A ∩DA ＝A ，∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE 平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面P AD . 题型三 解决探索性问题
例3 (2012·福建)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，
E 为CD 的中点． (1)求证：B 1E ⊥AD 1；
(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由．
思维启迪 利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．
(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)． 设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)， E ???
?a
2，1，0，B 1(a,0,1)， 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝????－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →
＝????a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →
＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
∴B 1E ⊥AD 1.
(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)． 使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →
＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵n ⊥平面B 1AE ，
∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →
，得?????
ax ＋z ＝0，ax 2
＋y ＝0.
取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝????1，－a
2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →
，有a 2－az 0＝0，
解得z 0＝1
2
.
又DP 平面B 1AE ，
∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝1
2
.
思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．
如图所示，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱
的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD .
(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC . 若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由． (1)证明 连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .
由题意知SO ⊥平面ABCD .
以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →
分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图．
设底面边长为a ，则高SO ＝62
a ， 于是S ?
???0，0，
62a ，D ???
?－22a ，0，0， B ??
??22a ，0，0，C ????0，22a ，0，OC →＝???
?0，22a ，0，
SD →＝????－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →
＝0.
故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .
(2)解 棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC . 理由如下：
由已知条件知DS →
是平面P AC 的一个法向量， 且DS →＝????22a ，0，62a ，CS →
＝????0，－22a ，62a ，
BC →
＝???
?－22a ，22a ，0.
设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →
＝?
??
?－
22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE →·DS →＝0?t ＝13
.
即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →
.
而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .
利用向量法解决立体几何问题
典例：(12分)(2012·湖南)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面
ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．
(1)证明：CD ⊥平面P AE ；
(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．
思维启迪 本题中的(1)有两种证明思路：
(1)利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之； (2)将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积． 规范解答
方法一 (1)证明 如图，
连接AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°得AC ＝5. [1分] 又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .
[2分]
因为P A ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，所以P A ⊥CD .[4分] 而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面P AE .
[5分]
(2)解 过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于点F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE . 于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角， [6分]
且BG ⊥AE .
由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． [7分]
由题意得∠PBA ＝∠BPF ，
因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，
所以P A ＝BF .
由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC .
又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形． 故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.
在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以 BG ＝AB 2
＋AG 2
＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝85
5
.
于是P A ＝BF ＝85
5
.
[10分]
又梯形ABCD 的面积为S ＝1
2×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515
.
[12分]
方法二 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分 别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
设P A ＝h ，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)， P (0,0，h )．
[2分]
(1)证明 易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →
＝(0,0，h )． 因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，
[4分]
所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .
而AP ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线， 所以CD ⊥平面P AE .
[5分] (2)解 由题设和(1)知，CD →，P A →
分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量． [6分]
而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →
〉|， 即??????CD →·PB →|CD →|·
|PB →|＝?????
?P A →·PB →|P A →|·|PB →|.
[8分]
由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →
＝(0,0，－h )， 又PB →
＝(4,0，－h )，
故??????－16＋0＋025·16＋h 2＝????
??0＋0＋h 2
h ·16＋h 2. 解得h ＝85
5
.
[10分]
又梯形ABCD 的面积为S ＝1
2×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515
.
[12分]
温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；
(2)建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线； (3)对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量．
方法与技巧
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的
运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、
面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；
(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
失误与防范
用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
一、选择题
1．若直线l的一个方向向量为a＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u＝(1,1，－1)，则() A．l∥α或lαB．l⊥α
C．lαD．l与α斜交
答案 A
2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是() A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
答案 D
解析若l∥α，则a·n＝0，
D中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，
∴a⊥n.
3．设平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量b＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为() A．－2 B．－8 C．0 D．－6
答案 C
解析 由α∥β得a ∥b ，∴
－21＝h 2＝k －2
， ∴h ＝－4，k ＝4，∴h ＋k ＝0.
4． 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ
等于
( )
A.62
7 B.63
7 C.60
7 D.657
答案 D
解析 由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，
∴????
?
7＝2t －μ5＝－t ＋4μλ＝3t －2μ
，∴?????
t ＝337
μ＝17
7
λ＝657
.
5． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，
P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( ) A ．60° B ．45°
C ．90°
D ．以上都不正确
答案 C
解析 以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，
依题意，可得，D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．
∴PM →
＝(2，1，－3)， AM →
＝(－2，2,0)，
∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →
，∴AM ⊥PM . 二、填空题
6． 已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.
答案 －4
解析 ∵a·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4.
7． 设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝
________. 答案
16
解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →
＝(6，－1,4)． 根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →
(x 、y ∈R )， 则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴????
?
2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，
解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.
8． 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B
和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a
3
，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系 是________． 答案 平行
解析 ∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3
， ∴MB →＝23A 1B →，CN →＝23
CA →，
∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →
＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →
) ＝23B 1B →＋13
B 1
C 1→. 又∵C
D →
是平面B 1BCC 1的法向量， ∴MN →·CD →＝????23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0， ∴MN →⊥CD →
.又∵MN 平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 三、解答题
9． 如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1
2
PD .证明：平
面PQC ⊥平面DCQ .
证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射 线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .依题意有 Q (1，1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，
则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →
＝(1，－1,0)． ∴PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，
又DQ ∩DC ＝D ，故PQ ⊥平面DCQ ， 又PQ 平面PQC ，∴平面PQC ⊥平面DCQ .
10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ACBD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F
分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .
证明 (1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴， AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)， B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，
∴E (12，1，12)，F (0,1，12)，EF →＝(－12，0,0)，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝
(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →
＝(1,0,0)． ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →
，即EF ∥AB ，
又AB 平面P AB ，EF 平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB .
(2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →
，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD . ∵DC 平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 已知a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)，c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 与a 及b 都垂直，则m ，
n 的值分别为 ( )
A ．－1,2
B ．1，－2
C ．1,2
D ．－1，－2
答案 A
解析 由已知得c ＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)， 故a·c ＝3m ＋n ＋1＝0，b·c ＝m ＋5n －9＝0.
解得?
????
m ＝－1，n ＝2.
2． 已知平面ABC ，点M 是空间任意一点，点M 满足条件OM →＝34OA →＋18OB →＋18
OC →
，则直线
AM
( )
A ．与平面ABC 平行
B ．是平面AB
C 的斜线 C ．是平面ABC 的垂线
D ．在平面ABC 内 答案 D
解析 由已知得M 、A 、B 、C 四点共面．所以AM 在平面ABC 内，选D.
3． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，
O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →
的实数λ的有________个． 答案 2
解析 建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)， O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为
???
?x ＋12，y ＋12，1，
又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.
4． 如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角
形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的 中点．求证： (1)DE ∥平面ABC ； (2)B 1F ⊥平面AEF .
证明 (1)如图建立空间直角坐标系Axyz ，
令AB ＝AA 1＝4，
则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)．
取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →
＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →
，∴DE ∥NC ，
又∵NC 平面ABC ，DE 平面ABC . 故DE ∥平面ABC .
(2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →
＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.
∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →
，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .
5． 在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别
是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；
(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．
(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系， 设AD ＝a ，则D (0,0,0)、 A (a,0,0)、B (a ，a,0)、 C (0，a,0)、E ????a ，a
2，0、 P (0,0，a )、F ????
a 2，a 2，a 2.
EF →＝????－a 2，0，a 2，DC →
＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .
(2)解 设G (x,0，z )，则FG →
＝????x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则
由FG →·CB →＝????x －a
2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ????x －a
2＝0， 得x ＝a 2
；
由FG →·CP →＝????x －a
2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22
＋a ????
z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为???
?a
2，0，0，即G 点为AD 的中点．