高中数学奥林匹克竞赛训练题(30)

数学奥林匹克高中训练题（30）

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题37)a 是由1998个9组成的1998位数，b 是由1998个8组成的1998位数，则b

a ?的各位数字之和为(C)．

(A)19980 (B)19971 (C)17982 (D)17991

2．(训练题37)已知)2,0(π∈x ，则方程03832=++ctgx x ctg 的所有根的和为(C)．

(A)π3 (B)π4 (C)π5 (D)π6

3．(训练题37)已知三个正数a 、b 、c 之和为10，如果它们之中没有一个大于其余数的2倍，那么abc 的最小值是(B)．

(A)32 (B)4131

(C)9727 (D)16137 4．(训练题37)已知])32()32[(2

1n n n x -++=)(N n ∈，n x 为正整数，则19981999x 的个位数字为(B)．

(A)1 (B)2 (C)6 (D)7

5．(训练题37)已知ABC ?中，2

lg ,2lg ,2lg C tg B tg A tg 成等差数列，则B ∠的取值范围是(B)． (A)60π≤∠

23ππ≤∠≤B (D)ππ≤∠≤B 3

2 6．(训练题37)一只小球放入一长方形容器内，且与共点的三个面相接触，小球上有一点到这三个面的距离分别是cm 3，cm 3，cm 6，则这只小球的半径(D)．

(A)只为cm 3 (B)只为cm 6 (C)只为cm 9 (D)以上说法不对

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题37)已知!1999|1998n ，则正整数n 的最大值为 55 ．

2．(训练题37)已知0O 是正ABC ?的内切圆，1O 与0O 外切且与ABC ?的两边相切，…，1n O + 与n O 外切且与ABC ?两边相切)(N n ∈．那么，在ABC ?内所有这些可能的圆（包括0O ，n O )(N n ∈）的面积之和与A B C ?的面积之比为

3．(训练题37)P 是边长为2的正ABC ?所在平面上的一动点，且162

22=++PC PB PA ，

则动点P 的轨迹为 以正ABC ?的中心为圆心，2为半径的圆 ．

4．(训练题37)已知方程)(88N n n z y x ∈=++有666组正整数解),,(z y x ．那么n 的最大值是 304 ．

5．(训练题37)已知正四面体ABCD 的六条棱的长分别为cm 4，cm 7，cm 20，cm 22，cm 28，xcm 。则][x 的最小值为 8 ．

6．(训练题37)已知对于每一个实数x 和y ，函数)(x f 满足xy y x f y f x f ++=+)()()(．若m f =)1(，则满足1998)(=n f 的正整数对),(n m 共有 16 个．

三、(训练题37)(本题满分20分)已知不等式组?

??>+<-+-12022a x a a x x 的整数解恰好有两个，求a 的取值范围？（12a <≤）

四、(训练题37)(本题满分20分)当x 为何实数时，2

222)5(2)3(21-++++-=x x x x y 有最小值，最大值是多少？min 2,1;9x y =-=

五、(训练题37)(本题满分20分)已知函数)(x f 在+

R 上有定义，且满足下列条件：①)(x f 在+R 严格递减，且21)(x x f >；②在+R 上恒有)1()1)(()(322f x

x f f x f =-． )1(求函数值)1(f ；（2）

)2(给出一个满足提设条件的函数)(x f ．

第二试

一、(训练题37)(本题满分50分)已知如图，AD 是锐角ABC ?的角平分线，α=∠BAC ，β=∠ADC ，且βα2cos cos =．求证CD BD AD ?=2．

二、(训练题37)(本题满分50分)求19992的末四位数．（4688）

三、(训练题37)(本题满分50分)已知n 是正整数，m 是正奇数，b a ,是正常数，且1+>b a ，函数b ax x

n x f m n n i m -+=+=∑12211),(．若实数t s ,满足0)1,(),(=+=n t f n s f 求证：t s <．

A B C