The One-Way Speed of Light on Rotating Earth and the Definition of the Meter

Die Einweg-Lichtgeschwindigkeit auf der rotierenden Erde

und die Definition des Meters

Peter Ostermann

Seit 1983 ist das Meter definiert als …L?nge der Strecke, die Licht im Vakuum w?hrend der Zeit von 1/299792458 s durchl?uft“ [1]. G?be es genau ein einziges widerspruchsfrei durchführbares Synchronisations-verfahren für natürliche Uhren, oder w?ren alle entsprechenden Verfahren ?quivalent, so k?nnte man aus der Gültigkeit der speziellen Relativit?tstheorie auf einen eindeutigen, vom Synchronisationsverfahren unabh?ngi-gen Wert der Einweg-Lichtgeschwindigkeit c in Inertialsystemen schlie?en. Es ist diese offenbar allgemein ak-zeptierte Auffassung einer unbedingten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in Inertialsystemen, die der zitierten Meter-Definition zugrunde liegt.

Zwar ist es richtig, da? hinreichend langsam auseinandergeschobene Uhren beim Austausch von Lichtsi-gnalen immer Reflexion im Zeitmittelpunkt anzeigen. Eine einfache überlegung zeigt jedoch die ? im Prinzip mit einer einzigen Uhr, d.h. unabh?ngig von jeder Synchronisation ? nachweisbare Orts- und Richtungsabh?n-gigkeit der Einweg-Lichtgeschwindigkeit in rotierenden Systemen, aus der sich zwangsl?ufig eine Verletzung der unbedingten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in lokalen Inertialsystemen ergibt. Es wird gezeigt, da? dies keinen Widerspruch zur ursprünglichen E INSTEIN'schen Relativit?tstheorie darstellt, wohl aber zur aktuellen Meter-Definition.

Mit Berücksichtigung einer einfachen, hier formulierten Synchronisations-Bedingung ist eine globale sy-steminterne Synchronisation ortsfester Uhren auf der Erde prinzipiell m?glich, und zwar dadurch, da? ein ent-sprechendes Verfahren der unterschiedlichen Einweg-Lichtgeschwindigkeit in station?ren Systemen Rechnung tr?gt. Dagegen ist eine solche Synchronisation mit dem E INSTEIN schen Prinzip der Reflexion im Zeitmittelpunkt bekanntlich nicht m?glich.

Natürliche Ma?st?be und Uhren zeigen nicht den wahren Raum oder die wahre Zeit. Im Rahmen der allge-meinen Relativit?tstheorie verlangt die denkbar einfachste Behandlung der rotierenden Scheibe keine lokale L ORENTZ-, sondern eine G ALILEI-Transformation. Im Unterschied zur herk?mmlichen Interpretation und im Hinblick auf das l?ngst konkret bestimmte kosmische Ruhsystem lassen sich die unverzichtbaren Systemkoordi-naten der allgemeinen Relativit?tstheorie sehr einfach verstehen als wahre Repr?sentanten des absoluten euklidi-schen Raums und der absoluten kosmischen Zeit.

Sowohl die Versuche von S AGNAC bzw. M ICHELSON und G ALE – auf denen auch sehr aktuelle Experimente mit Laserkreiseln beruhen – als auch das Experiment von H AFELE und K EATING werden bisher mit Bezug auf ein übergeordnetes Inertialsystem erkl?rt. Intern k?nnen sie nur mit Berücksichtigung der orts- und richtungsab-h?ngigen Einweg-Lichtgeschwindigkeit in station?ren Systemen verstanden werden.

Angesichts der demzufolge prinzipiell me?baren Abweichungen der Einweg-Lichtgeschwindigkeit auf der rotierenden Erde wird eine Modifizierung der Definition des Meters auf Basis des unbedingt konstanten Durch-schnittswerts c der Lichtgeschwindigkeit für Hin- und Rückl?ufe vorgeschlagen, die von der Einstellung der Zeit-Nullpunkte verschiedener Uhren unabh?ngig ist.

Anhang: Nach E INSTEIN s allgemein akzeptierter Auffassung sollte es sich bei L?ngenkontraktion und Zeit-dilatation um rein kinematische Effekte handeln, die – im Unterschied zur Auffassung von L ORENTZ und P OINCARé – keiner dynamischen Erkl?rung bedürfen. Am E HRENFEST'schen Paradoxon der rotierenden Scheibe aber wird gezeigt, da? eine scharfe Trennung von relativistischer Kinematik und Dynamik prinzipiell nicht m?glich ist. Da? es solch eine Einschr?nkung geben mu?, ist zwar l?ngst bekannt – bisher allerdings nur aus der Quantenmechanik.

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PACS numbers: 04.20.-q, 04.20.Cv

Inhalt

Die Einweg-Lichtgeschwindigkeit auf der rotierenden Erde und die

Definition des Meters1

Zusammenfassung (1)

1. Nachweis der Richtungsabh?ngigkeit (3)

2. Das Paradoxon der Einweg-Lichtgeschwindigkeit (3)

3. Elementare Berechnung für tangentiale Ausbreitung (4)

4. Die bedingte Konstanz der Einweg-Lichtgeschwindigkeit (5)

5. E INSTEIN s ursprüngliche Formulierung (5)

6. Allgemeine Synchronisations-Bedingung (6)

7. Die globale Synchronisation auf der Erde (8)

8. Die Lichtgeschwindigkeit in der allgemeinen Relativit?tstheorie (9)

9. G ALILEI-Transformation und Relativit?tstheorie (11)

10. Das kosmische Bezugssystem: der wahre Raum und die wahre Zeit (13)

11. Neue Interpretation alter Versuche (14)

12. Das Experiment von H AFELE und K EATING (14)

13.Zur Definition des Meters (15)

Anhang: D AS E HRENFEST'sche Paradoxon und die Unm?glichkeit einer scharfen Trennung zwischen relativistischer Kinematik und Dynamik 16

a B ORN s Interpretation (17)

b. P LANCK s Unterscheidung (17)

c. V. L AUE s Beweis der Unm?glichkeit starrer K?rper (18)

d. K ALUZA s Einführung der nichteuklidischen Geometrie (18)

e. E INSTEIN s übertragung auf das Gravitationsfeld (18)

f. Die rotierende Scheibe im euklidischen Raum (18)

g. L?ngenkontraktion – Kinematik oder Dynamik? (20)

h. Abschlie?ende Bemerkung zu diesem Anhang (21)

Literatur (22)

1. Nachweis der Richtungsabh?ngigkeit

Der Nachweis, da? die Einweg-Lichtgeschwindigkeit in rotierenden Systemen nicht konstant sein kann, ist unabh?ngig vom Ausgang irgendeines realen Experiments – unter der einzigen Voraussetzung, da? sie in dem-jenigen System konstant ist, in welchem die Drehachse ruht.

Wir betrachten einen nicht notwendigerweise starren, aber station?r rotierenden Kreisring bzw. eine ent-sprechende Kreisscheibe S*, auf der eine Lichtquelle L* mit Uhr sowie ein Satz von n gleichm??ig verteilten Spiegeln S 1*, S 2* ... S n * fest installiert sind (s. Abb. 1). Die Drehachse von S * ruht in einem Inertialsystem S, in dem die Lichtgeschwindigkeit nach Voraussetzung den konstanten Betrag c hat. Bei Verwendung hinreichend vieler Spiegel 1) k?nnen kreisf?rmige Uml?ufe von Lichtsignalen in einer für alle praktischen Belange genügen-den Ann?herung realisiert werden. Von zwei Lichtsignalen, die in entgegengesetzter Richtung gleichzeitig von L* ausgehen und den Ring S* auf angen?herten Kreisbahnen umlaufen, kehrt bekanntlich dasjenige früher zu L* zurück, das entgegen der Drehrichtung von S* gelaufen ist. Diese Feststellung steht au?er Zweifel, da das ei-ne Lichtsignal wegen der Drehgeschwindigkeit v =ωr der Lichtquelle L* im Inertialsystem S einen kürzeren Weg zurückgelegt hat als das andere. Für den Grenzfall kreisf?rmiger Bahnen betr?gt der entsprechende Lauf-zeitunterschied:

?T r v c v c =?412

22π.(1)

Einen von Null verschiedenen Laufzeitunterschied gibt es aber auch im rotierenden System S*. Und zwar gilt diese Aussage unabh?ngig von Ganggeschwindigkeit und Zeitnullpunkt einer mitbewegten Uhr bei L*.Denn wie schnell diese Uhr im Vergleich zu denen des Systems S auch geht – wenn sie überhaupt nur irgendwie vorw?rts geht, dann mu? sie für die Rückkehr der beiden gegenl?ufigen Lichtsignale ebenfalls unterschiedliche Zeitpunkte anzeigen:

?T *≠0.

Das l??t aber gar keine andere Deutung zu, als da? die

Geschwindigkeiten der beiden Lichtsignale, die ja im rotie-

renden System S* den gleichen Weg 2) zurückgelegt haben,

verschieden sein müssen: Der Betrag der Einweg-Lichtge-

schwindigkeit in rotierenden Systemen ist abh?ngig von Ort

und Richtung.

Weil schlie?lich aber zu dieser blo?en Feststellung un-

terschiedlicher Rückkehrzeiten bei zwei gleichzeitig aus der

gleichen Quelle ausgesandten Lichtsignalen die Verwendung

einer einzigen Uhr ganz beliebiger Ganggeschwindigkeit ge-

nügt, ist die hier nachgewiesene Abh?ngigkeit der Einweg-

Lichtgeschwindigkeit von Ort und Richtung in rotierenden

Systemen als qualitative Feststellung vollst?ndig unabh?ngig

von allen diesbezüglichen Erkenntnissen der speziellen und

der allgemeinen Relativit?tstheorie.

2. Das Paradoxon der Einweg-Lichtgeschwindigkeit

Aus dieser Orts- und Richtungsabh?ngigkeit der Lichtgeschwindigkeit in rotierenden Systemen scheint sich nun aber ein Widerspruch in den Grundlagen der E INSTEIN 'schen speziellen Relativit?tstheorie zu ergeben:

1) E INSTEIN selbst hat von dieser Voraussetzung der polygonalen Approximation bereits in seiner grundlegenden Arbeit von 1905 Gebrauch gemacht: …Nimmt man an, da? das für eine polygonale Linie bewiesene Resultat auch für eine stetig ge-krümmte Kurve gelte, so erh?lt man den Satz ...“ – A. E INSTEIN [2], S. 904

2) Dies gilt für den Grenzfall kreisf?rmiger Bahnen mit Mittelpunkt auf der Drehachse. Im Unterschied zu diesen sind beliebige polygonale Lichtwege für wechselnde Laufrichtung nicht genau identisch. V . L AUE [3], Bd. I, weist aber darauf hin, da? die resultierenden Unterschiede nach dem F ERMAT 'schen Prinzip klein sind in O(v 2/c 2) und damit ohne praktische Bedeutung für die Laufzeitunterschiede, diese selbst sind klein in O(v/c ).

Abb. 1: Weil die Lichtgeschwindigkeit in S konstant ist,kehren zwei gegenl?ufige, von L* gleichzeitig emittierte Lichtsignale auch zu verschiedenen Zeiten t*zur mitbewegten Uhr in S* zurück -ganz unabh?ngig von jeder Synchronisation.

I. Ist die Lichtgeschwindigkeit in einem Inertialsystem S konstant, so ist sie bezüglich einer in S rotieren-den Scheibe S* nicht konstant. Ihr Betrag unterscheidet sich auf S* erstens mit der Entfernung von der Drehach-se und zweitens an ein und demselben Ort von S* je nach Ausbreitungsrichtung.

II. Da die Lichtgeschwindigkeit demzufolge auf einem beliebig herausgegriffenen infinitesimal kleinen Stück der rotierenden Scheibe je nach Laufrichtung verschieden ist, so ist sie es auch in einem entsprechend be-wegten Inertialsystem, in dem dieses Stück w?hrend der infinitesimal kurzen Laufzeiten der beiden Signale in hinreichender N?herung ruht.

III. Dies steht in klarem Widerspruch zur offenbar allgemein akzeptierten Auffassung 3), da? n?mlich die E INSTEIN 'sche spezielle Relativit?tstheorie den konstanten Wert c der Einweg-Geschwindigkeit von Lichtsigna-len in Inertialsystemen impliziert.

Hier ist von entscheidender Bedeutung, da? die oben festgestellte Orts- und Richtungsabh?ngigkeit der Lichtgeschwindigkeit wegen der vorliegenden Symmetrieverh?ltnisse auch für beliebig kleine Teilabschnitte der durchlaufenen Bahn, d.h. nicht nur global sondern auch lokal gelten mu?. Denn wenn auch die Differenz der Laufzeitintervalle zweier in entgegengesetzter Richtung umlaufender Signale für ein und dieselbe – immer klei-ner werdende – infinitesimale Teilstrecke gegen Null geht, so bleibt doch ihr Quotient verschieden von Eins.Dieser Quotient ist aber nichts anderes als das Verh?ltnis der beiden unterschiedlichen Werte der tangentialen Einweg-Lichtgeschwindigkeit auf der entsprechenden Kreisbahn des rotierenden Systems S*. Es ist dabei sehr bemerkenswert, da? für ein und dieselbe vorgegebene Geschwindigkeit v des Scheibenrands die Abweichung eines entsprechend kleinen Bereichs der Peripherie von einem idealen lokalen Inertialsystem S' mit zunehmen-dem Scheibenradius in jeder gewünschten Ann?herung schwindet.

3. Elementare Berechnung für tangentiale Ausbreitung

Die Relativit?tstheorie, und zwar zun?chst die spezielle, kommt erst jetzt ins Spiel, wenn nach den konkre-ten Werten der Einweg-Lichtgeschwindigkeit gefragt wird. Wir bleiben beim aufschlu?reichen Grenzfall kreis-f?rmiger Lichtwege um die Drehachse, was tangentialen Lichtwegen auf hinreichend kleinen Teilstrecken ent-spricht. Weil die Laufzeiten T ±* von einer einzigen an der Rotation teilnehmenden Uhr bei L* abgelesen wer-den, ergeben sich diese mit Berücksichtigung der Zeitdilatation aus den Laufzeiten T ± des Inertialsystems S zu

T T r c v v c v c ?

±±=?=?1212

222πm .(2)

Weiterhin gilt für den von einem mitbewegten Beobachter gemessenen Umfang U* der rotierenden Scheibe S*gegenüber dem Umfang U eines deckungsgleichen Kreises im Inertialsystem S wegen der F ITZ G ERALD -L O -

RENTZ -Kontraktion bekanntlich 4):

U U

r v

c v c *=?=?1212222π.(3)

Ohne jeden Vorgriff auf den mathematischen Apparat der allgemeinen Relativit?tstheorie, ergeben sich allein daraus die beiden gesuchten Werte der Einweg-Lichtgeschwindigkeit für entgegengesetzte Laufrichtungen im rotierenden System S* zu

c U T c v c ±==*

*m m 1.(4)

Bei klassischer Berechnung h?tte man stattdessen die beiden Werte c ± v erhalten. Diese stimmen zwar mit den soeben gefundenen in erster Ordnung überein, weisen aber bei n?herem Hinsehen einen wesentlichen Un-terschied auf. Der einfache Ausdruck (4) zeigt n?mlich die bemerkenswerte Eigentümlichkeit, da? er einerseits der unterschiedlichen Einweg-Lichtgeschwindigkeit Rechnung tr?gt, andererseits aber bei Hin- und Rückl?ufen

3

) wie sie eben in der aktuellen Meterdefinition deutlich zum Ausdruck kommt 4) Auf das daraus resultierende E HRENFEST 'sche Paradoxon [4] werden wir im Anhang dieser Arbeit ausführlich einge-hen.

auf beliebigen Teilstrecken der hier behandelten Kreisbahn für die Durchschnittsgeschwindigkeit der Lichtsi-gnale immer den exakten Wert c liefert.

Prinzip der lokalen Durchschnittsgeschwindigkeit c für hin- und zurücklaufende Lichtsignale: In je-dem Inertialsystem ist der mit natürlichen Ma?st?ben und Uhren gemessene Durchschnittswert der Licht-geschwindigkeit für Hin- und Rückl?ufe auf demselben Weg gleich der Naturkonstanten c.

Dies ist deshalb von weitreichender Bedeutung, weil sich L?ngenkontraktion, Zeitdilatation und selbst eine allen Erfahrungstatsachen genügende Theorie der Inertialsysteme – auch ohne Relativit?t der Gleichzeitigkeit –allein aus dem Prinzip der konstanten Durchschnittsgeschwindigkeit c in Verbindung mit dem E INSTEIN'schen Relativit?tsprinzip in seiner ursprünglichen Formulierung ableiten lassen. Und genau darin liegt auch die eigent-liche Rechtfertigung für die Anwendung der Formeln von L?ngenkontraktion und Zeitdilatation auf rotierende Systeme, in denen zwar die Lichtgeschwindigkeit bezüglich ihres Durchschnittswertes konstant ist, nicht aber die Einweg-Geschwindigkeit von Lichtsignalen.

4. Die bedingte Konstanz der Einweg-Lichtgeschwindigkeit

Zur endgültigen Kl?rung des oben aufgezeigten Paradoxons denken wir uns an den Enden zweier Ein-heitsma?st?be, die sich für die Dauer des Experiments unmittelbar nebeneinanderher in L?ngsrichtung bewegen sollen, jeweils Uhren gleicher Ganggeschwindigkeit angebracht. Eine Lichtwelle, deren Ausbreitungsrichtung parallel zur Ausrichtung der Ma?st?be liegt, m?ge zuerst die Uhren am jeweils linken Ende, eine kurze Zeit sp?ter die Uhren am jeweils rechten Ende der beiden Ma?st?be erreichen. Die entsprechenden Zeitpunkte wer-den registriert, woraus sich die Laufzeiten ergeben:

a) Die Uhren an den Enden des einen Ma?stabs bewegen sich beide mit konstanter Geschwindigkeit v exakt auf einer Geraden. Wir befinden uns in einem Inertialsystem. Die Lichtgeschwindigkeit, die sich aus den regi-strierten Zeitpunkten dieser beiden Uhren ergibt, sei gleich c.

b) Die Uhren an den Enden des anderen Ma?stabs bewegen sich beide mit konstanter Geschwindigkeit v=ωr auf dem Bogen eines Kreises, der so gro? ist, da? sich auch bei h?chster Pr?zision der Messung keiner-lei Abweichungen im Vergleich zu der geradlinig-gleichf?rmigen Bewegung der erstgenannten Uhren feststellen lassen. Die Lichtgeschwindigkeit, die sich aus den registrierten Zeitpunkten dieses zweiten Uhrenpaares ergibt, ist aufgrund des oben gefundenen Ausdrucks (4) gleich c/(1± ωr/c), was unter der Bedingung ωr

Dasselbe Lichtsignal bewegt sich also mit vollkommen verschiedener Geschwindigkeit gleichzeitig über zwei, w?hrend der Dauer des Experiments relativ zueinander in Ruhe befindliche, unmittelbar nebeneinander liegende Einheitsma?st?be hinweg, wobei alle vier verwendeten Uhren gleich schnell gehen. Wie l?st sich dieser Widerspruch? – Es ist kein Widerspruch.

Dies deshalb, weil aufgrund unterschiedlich eingestellter Zeitnullpunkte beides nebeneinander m?glich ist. Im Falle a) sind die Zeitnullpunkte der Uhren lokal synchronisiert nach dem E INSTEIN'schen Prinzip, im Falle b) jedoch global nach einem allgemeineren Synchronisations-Prinzip, das wir im folgenden auffinden wollen.

Der scheinbare Widerspruch l??t sich also durch blo?es Verstellen der Zeitnullpunkte aufl?sen: Im Unter-schied zur Durchschnittsgeschwindigkeit c ist die Einweg-Lichtgeschwindigkeit in Inertialsystemen ohne Angabe des gew?hlten Synchronisationsverfahrens nicht eindeutig festgelegt, sondern systemintern eine unbestimmte Gr??e.

5. E INSTEIN s ursprüngliche Formulierung

Daraus folgt, da? das Prinzip einer unbedingten Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, wie es z.B. der aktu-ellen Meterdefinition zugrunde liegt, nicht aufrecht zu erhalten ist. Zwar ist es offenbar richtig, da? die Lichtge-schwindigkeit in einem beliebigen Inertialsystem bei geeigneter Synchronisation konstant gleich c sein kann. Aber es ist falsch, da? sie gleich c sein mu?. Und dies steht ganz im Einklang mit E INSTEIN s ursprünglicher Formulierung:

…Die letztere Zeit kann nun definiert werden, indem man durch Definition festsetzt, da? die ?Zeit‘, welche das Licht braucht, um von A nach B zu gelangen, gleich ist der ?Zeit‘, welche es braucht, um von B nach A zu gelan-

gen ... Wir nehmen an, da? diese Definition des Synchronismus in widerspruchsfreier Weise m?glich sei ...“(Hervorhebung wie im Original) ? [2], S. 894

E INSTEIN s ?Definition‘ ist also in allen Inertialsystemen widerspruchsfrei m?glich – aber sie ist nicht zwin-gend. Die spezielle Relativit?tstheorie setzt lediglich voraus, da? sich der universelle Wert c einer richtungs-unabh?ngigen Einweg-Lichtgeschwindigkeit durch eine entsprechende Synchronisation der Uhren in jedem Inertialsystem realisieren l??t.

Das von E INSTEIN dazu begründete Synchronisationsverfahren der Reflexion im Zeitmittelpunkt aber zeichnet sich gegenüber anderen denkbaren Verfahren dadurch aus, da? es in allen Inertialsystemen zur Syn-chronisation durch langsamen Uhrtransport ?quivalent ist. Eine hinreichend langsam verschobene Uhr bleibt hier also im Sinne der speziellen Relativit?tstheorie synchronisiert. Allerdings führt dieses Verfahren bereits für einfachste Nicht-Inertialsysteme zu Widersprüchen. Nach dem E INSTEIN'schen Prinzip w?re insbesondere eine systeminterne Synchronisation der Uhren auf der Erde prinzipiell unm?glich, selbst wenn man diese als ideales Geoid5) betrachtet, auf welchem alle Uhren gleich schnell gehen.

Bereits K ALUZA [5] hat auf …die theoretische M?glichkeit eines Nachweises der Erdrotation durch rein opti-sche bzw. elektromagnetische Experimente“ hingewiesen6), wobei er einen ?Schlu?fehler‘ der Synchronisation einführt und diesen mit maximal 2*10-7 s beziffert.

Aus unserer Sicht entspricht dies gerade der Differenz der mit einer einzigen Uhr me?baren Laufzeit eines elektromagnetischen Zeitsignals um den ?quator, verglichen mit der Laufzeit, die sich errechnet, wenn man f?lschlicherweise eine Konstanz der Einweg-Lichtgeschwindigkeit unterstellt7).

Da? aber zumindest im Spezialfall eines rotierenden Ringes sogar eine natürliche Synchronisation – ohne jeden technischen Eingriff in die Ganggeschwindigkeit mitbewegter natürlicher Uhren – m?glich sein mu?, er-gibt sich aus folgender überlegung: Angenommen der Ring S* befindet sich zun?chst ruhend in einem überge-ordneten Inertialsystems S. Alle Uhren sollen hier synchronisiert sein. Wird nun S* allm?hlich in gleichm??ige Rotation versetzt, so kann die Synchronisation der Uhren von S* schon aus Symmetriegründen nicht aufgeho-ben werden, weil sich in diesem speziellen Fall eine m?gliche rotationsabh?ngige Ver?nderung der Gangge-schwindigkeit auf alle Uhren gleichm??ig auswirken mu?.

Doch diese Voraussetzung ist bereits auf einer rotierenden Scheibe nicht mehr erfüllt, ein solches Verfah-ren kommt für die Erde ohnehin nicht in Betracht. Ist es nicht trotzdem auch in diesen F?llen m?glich, die E INSTEIN'sche Synchronisationsvorschrift durch eine allgemeinere, widerspruchsfreie aber ebenfalls system-interne zu ersetzen?

6. Allgemeine Synchronisations-Bedingung

Was immer ein Synchronisationsverfahren auch leisten mag, eines ist ganz unverzichtbar – am Ende hat je-de Uhr notwendigerweise synchron zu gehen zu sich selbst. Ist dies nicht der Fall, so kann man die These ver-treten, dies liege daran, da? eine vollst?ndige Synchronisation innerhalb des betreffenden Systems prinzipiell nicht widerspruchsfrei m?glich sei. Vorher jedoch stellt sich die Frage, ob das gew?hlte Synchronisationsverfah-ren nicht einfach auf falschen Voraussetzungen beruht.

Zun?chst einmal ist klar, da? jede vernünftige Synchronisation8) die folgende, unmittelbar aus dem Kausa-lit?tsprinzip flie?ende Bedingung erfüllen mu?:

1.) Allgemeine Synchronisations-Bedingung: Uhren sind nur dann richtig synchronisiert, wenn alle

durch das Vakuum übertragenen elektromagnetischen Zeitsignale einer beliebigen Uhr bei jeder an-

5) s. Abschnitt 7

6) s. Abschnitt d) und e) des Anhangs

7) Seit damals wird eine unbedingte Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in rotierenden Systemen gewisserma?en da-durch gew?hrleistet, da? man erstens die Uhren auf jedem einzelnen Lichtweg so synchronisiert, da? die Einweg-Lichtgeschwindigkeit per definitionem gleich der Konstanten c ist, zweitens deklariert, da? dies nur entlang nichtgeschlosse-ner Lichtwege m?glich ist, drittens aber für geschlossene Wege einem ?Schlu?fehler‘ einführt, der betragsm??ig gerade die falsche Voraussetzung einer konstanten Lichtgeschwindigkeit ?erkl?rt‘.

8) Unter Synchronisation verstehen wir i. a. die Anpassung sowohl der Zeitnullpunkte als auch der Ganggeschwindig-keiten technischer Uhren.

deren Uhr in Zeitpunkten reflektiert werden, die zwischen den Zeitpunkten ihrer Aussendung und Rückkehr liegen.

Wir betrachten nun verschiedene Typen station?rer Systeme: a) die station?re Translation, b) die station?re Ro-tation, c) das station?r schwingende System. Die Stationarit?t ist hier gegebenenfalls auch statistisch 9) zu verste-hen, wodurch auch Vielteilchensysteme wie z.B. eine station?re Atmosph?re (a), Luftwirbel (b) und stehende Schallwellen (c) eingeschlossen sind (das statische System ist jeweils als Grenzfall enthalten).

Alle station?ren Systeme haben gewisse r?umlich-station?re Punkte, zwischen denen die zun?chst mit na-türlichen Uhren gemessenen Zeitspannen für hin- und zurücklaufende elektromagnetische Signale immer die gleichen bleiben. Denkt man sich nun aber alle Zeitpunkte an technischen Systemuhren abgelesen, die sich an Ort und Stelle des jeweiligen Ereignisses befinden und bezüglich Zeitnullpunkt und Ganggeschwindigkeit ein-stellbar sind, dann gilt die folgende

2.) Bedingung für station?re Systeme: Seien in allen r?umlich-station?ren Punkten eines abgeschlos-senen Systems technische Uhren angebracht, so haben diese nur dann die richtige Ganggeschwindig-keit, wenn die durch das Vakuum übertragenen elektromagnetischen Zeitsignale einer beliebigen Uhr bei jeder anderen Uhr – gegebenenfalls statistisch gemittelt – immer mit derselben, für dieses Uhren-paar charakteristischen Verz?gerung eintreffen.

Die allgemeine Bedingung 1.) gew?hrleistet eine dem Kausalit?tsprinzip entsprechende zeitliche Reihen-folge und damit die Vermeidung irgendwelcher `Schlu?fehler`. Die Bedingung 2.) stellt – i. a. durch technische Eingriffe – die gleiche Ganggeschwindigkeit aller Systemuhren sicher. Beide Bedingungen zusammengenom-men erm?glichen bereits eine widerspruchsfreie, allerdings noch keine eindeutige Synchronisation. Doch eine solche kann es für abgeschlossene Teilsysteme auch gar nicht geben 10), wenn sich diese n?mlich nach Voraus-setzung ohne Bezug auf das übergeordnete System physikalisch vollst?ndig beschreiben lassen.

Es ist nun aber bemerkenswert, da? sich die denkbar einfachste systeminterne Synchronisation im Spezial-fall eines rotierenden Rings Schritt für Schritt durchführen l??t, ohne dabei auf ein externes, übergeordnetes Inertialsystem Bezug nehmen zu müssen, und zwar bei Verwendung der folgenden

3.) Zusatzbedingung für symmetrische Systeme: Sind die Uhren eines symmetrischen r?umlich-station?ren Systems richtig synchronisiert, so sind – bei Beachtung der Ausbreitungsrichtung – die Laufzeiten für alle Lichtwege gleich, deren Endpunkte durch symmetriebezogene Operationen aufein-ander abgebildet werden k?nnen. Symmetriebezogene Operationen sind insbesondere die Parallel-verschiebung in Inertialsystemen und die Drehung um die Achse in rotierenden Systemen.

Diese Zusatzbedingung 3.) flie?t ebenso wie 1.) aus dem Kausalit?tsprinzip. Zusammen sorgen nun beide für einen gemeinsamen Zeitnullpunkt aller Uhren auf einem rotierenden Ring. Nach denselben Bedingungen k?nnte dann aber auch – und zwar systemintern – eine alternative Synchronisation beliebiger Inertialsysteme vonstatten gehen 11). Insbesondere l??t sich in allen lokalen Inertialsystemen des Geoids (s. Abschn. 7) oder des rotierenden Rings S* jeweils sogar eine solche widerspruchsfreie Synchronisation der natürlichen Uhren durch-führen, da? diese mit der globalen Synchronisation des gesamten station?ren Systems S* bis auf einen gemein-samen konstanten Dilatationsfaktor übereinstimmt.

Um nun aber zugleich in allen rotierenden Systemen und Inertialsystemen nicht nur eine widerspruchsfreie,sondern auch eine eindeutige, systeminterne Synchronisation zu erreichen, stellen wir schlie?lich die

9

) Die Erdatmosph?re ist im Idealfall ein Beispiel solch eines statistisch-station?ren Systems.

10) Auf den Sonderfall des einen und einzigen station?ren offenen Systems wird in einer eigenen Arbeit d. Verf. …Ein station?res Universum und die Grundlagen der Relativit?tstheorie“ ausführlich eingegangen, die voraussichtlich in Kürze hier erscheinen wird.

11) Dazu sind z.B. den Hin- und Rücklaufzeiten eines Lichtsignals vom Koordinatenursprung zu jedem beliebigen Punkt (x',y',z') des Inertialsystems S' die Werte ′=′+′+′±′

±t c x y z v x c 12222

zuzuordnen, und zwar mit frei w?hlbarem v/c aus dem Intervall von -1 bis 1. Durch diese interne, widerspruchsfrei m?gliche Synchronisation ist bei externer Betrachtung ein parallelachsiges Inertialsystem S als (lokales) Ruhsystem ausgezeichnet,gegen das sich das (lokale) Inertialsystem S' mit der Geschwindigkeit v in Richtung der positiven x'-Achse bewegt.

4.) Forderung der minimalen zeitlichen Abweichung: Die Zeitnullpunkte hinreichend nah benachbar-

ter, gleichm??ig verteilter Uhren sind, soweit dies nach Berücksichtigung der Punkte 1.) – 3.) noch m?glich ist, nach dem Prinzip minimaler quadratischer Abweichung von der Reflexion im Zeitmittel-punkt einzustellen12).

Die Schritte gem?? den Bedingungen 1.) – 3.) haben zuvor eine eindeutige Synchronisation aller Uhren eines je-den ringf?rmigen Teilbereichs bewirkt, soda? jetzt nur noch eine für alle Uhren eines jeden einzelnen Rings ge-meinsame Verstellung des Zeitnullpunktes erlaubt ist. Zur Erfüllung der abschlie?enden Forderung 4.) genügt es deshalb, diese mit Rücksicht auf die Symmetrieverh?ltnisse in S* nur auf solche benachbarten Uhren anzu-wenden, die auf demselben Radius der rotierenden Scheibe bzw. in Nord-Süd-Richtung auf der rotierenden Erde liegen. Demgegenüber betrifft Forderung 4.) aber alle Uhren eines beliebigen Inertialsystems S.

Insgesamt ist nun also nach dem Verfahren gem?? 1.) – 4.) eine eindeutige, systeminterne Synchronisation der Uhren in allen station?ren Systemen zumindest statistisch m?glich. Das Verfahren führt auch im statischen Gravitationsfeld zu einem eindeutigen Ergebnis. Die Eindeutigkeit der internen Synchronisation kann sich aller-dings immer nur auf das jeweils ins Auge gefa?te abgeschlossene station?re bzw. statische System beziehen. So stimmt zwar die interne Synchronisation des rotierenden Systems Erde überein mit der externen des rotations-freien Schwerpunktsystems Erde, nicht aber mit der des Teilsystems Erde bei Synchronisation des übergeord-neten Sonnensystems.

Man k?nnte am Ende versuchen, den jetzt noch verbliebenen Spielraum zur systeminternen Wahl eindeuti-ger r?umlicher Koordinaten zu nutzen, und zwar durch die abschlie?ende

*) Forderung der minimalen r?umlichen Abweichung: Zuletzt sind die Raum-Koordinaten, falls dies m?g-lich ist, so zu w?hlen, da? der mit natürlichen Ma?st?ben gemessene r?umliche Abstand solcher benachbarter Uhren, die beim Signalaustausch Reflexion im Zeitmittelpunkt zeigen, mit der Differenz einer entsprechenden Koordinate übereinstimmt .

Diese Forderung *) l??t sich im rotierenden System – als Spezialfall eines reinen Beschleunigungsfeldes –leicht, im wahren, statischen Gravitationsfeld aber gar nicht erfüllen. Das entspricht der Tatsache, da? im (loka-len) Gravitationsfeld eine eindeutige Zuordnung zwischen wahren L?ngen und den entsprechenden Koordina-tendifferenzen nicht m?glich ist: in solchen Teilsystemen – nicht aber im kosmischen Bezugssystem – gibt es kein eindeutiges Gravitationsgesetz, d.h. keine eindeutige Trennung von Gravitation und Geometrie. Im Unter-schied zu den Bedingungen 1.) – 3.) handelt es sich bei 4.) und *) ausdrücklich um Forderungen, die gegebenen-falls mittels einer vertr?glichen Koordinaten-Transformation durch andere ersetzt werden k?nnen.

7. Die globale Synchronisation auf der Erde

Eine globale systeminterne Synchronisation der Uhren auf der rotierenden Erde ist nicht nur m?glich, son-dern geradezu unverzichtbar13). Auf der Oberfl?che des abgeplatteten Geoids gehen natürliche Uhren trotz brei-tengradabh?ngiger Rotationsgeschwindigkeit überall gleich schnell, weil sich Geschwindigkeitseffekt und Gra-vitationseffekt hier gerade aufheben. Dies ist von A LLEY und Mitarbeitern experimentell best?tigt [6]. Auf einem idealen Geoid ist deshalb eine systeminterne globale Synchronisation sogar bei ausschlie?licher Verwendung natürlicher Uhren m?glich.

Die aufgrund der Symmetrieverh?ltnisse einzig angemessene und zugleich denkbar einfachste systeminter-ne Synchronisation rotierender Systeme, die sich hier – im Unterschied zur E INSTEIN-Synchronisation – prinzi-piell Schritt für Schritt gem?? den Bedingungen 1.) – 3.) sowie der Forderung 4.) bewerkstelligen l??t, führt im Ergebnis schlie?lich gerade auf die Systemzeit des übergeordneten Inertialsystems S zurück14). d.h. die system-interne Synchronisation stimmt überein mit der üblichen, bisher alleine für m?glich gehaltenen externen aus dem

12) Die nicht unproblematische, hier geforderte ?gleichm??ige‘ Verteilung der Uhren ist mit Berücksichtigung der Symmetrieverh?ltnisse bei Bedarf n?her zu spezifizieren.

13) Die Internationale Atomzeit TAI wird definiert als gewichteter Mittelwert aus über 200 Atomuhren weltweit. Es ist eine interessante Frage, ob sich die richtige Synchronisation station?rer Systeme m?glicherweise allein aus den Bedingungen 1.) und 2.) in Kombination mit der Forderung 4.) statistisch ermitteln l??t.

14) Zun?chst bis auf einen gemeinsamen konstanten Dilatationsfaktor, der sich z.B. aus dem Gravitationspotential an den abgeplatteten Polen ergibt, dann aber mit der Wahl einer geeigneten Zeiteinheit korrigiert werden kann.

rotationsfreien Schwerpunktsystem. Die direkte Laufzeitmessung von Langwellensignalen auf der Erde mit glo-bal synchronisierten Uhren würde bei entsprechender technischer Qualit?t des Verfahrens demzufolge erweisen,da? die Einweg-Lichtgeschwindigkeit unterschiedlich ist, je nachdem, ob ein Signal mit oder entgegen der Erd-drehung l?uft. M?glicherweise genügt zu diesem Nachweis eine systeminterne Neubewertung bereits vorhande-ner Me?daten.

8. Die Lichtgeschwindigkeit in der allgemeinen Relativit?tstheorie

Die allgemeine Relativit?tstheorie kennt von Anfang an verschiedene Werte für die Lichtgeschwindigkeit im Beschleunigungs- bzw. im Gravitationsfeld 15). Dabei handelt es sich zun?chst einmal um die mit natürlichen Ma?st?ben und E INSTEIN -synchronisierten, natürlichen Uhren zu messende ?Lichtgeschwindigkeit‘ c = konst des lokalen Inertialsystems. Demgegenüber stellt der ?Koordinatenwert der Lichtgeschwindigkeit‘ c*± eine auf die in Teilsystemen frei w?hlbaren Raum-Zeit-Koordinaten bezogene Lichtgeschwindigkeit dar. Nach dem oben gesagten ist nun aber auch die Berücksichtigung einer dritten Lichtgeschwindigkeit c ± unumg?nglich, die wir die Einweg-Geschwindigkeit für Lichtsignale in station?ren Systemen nennen wollen, und bei der es sich um den auf ?natürliche‘ Ma?einheiten bezogenen Wert der Einweg-Lichtgeschwindigkeit handelt. Aufgrund der Ergebnisse des Abschnitts 3 stimmt der Durchschnittswert dieser Einweg-Geschwindigkeit c ± mit der Naturkonstanten c überein. Schlie?lich definieren wir noch die l?ngenbezogene sowie auch die zeitbezogene Einweg-Geschwin-digkeit c l ± bzw.c τ±(s. Tab. 1). Setzt man im Linienelement des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums,

welches das Linienelement der speziellen Relativit?tstheorie als Sonderfall enth?lt,

ds g dx dx ik i k 2=(5)

für Lichtsignale ds = 0, und l?st diese Gleichung nach dx 0 auf, so findet man zwei L?sungen, die der Ausbrei-tung in entgegengesetzte Richtungen entsprechen (im Unterschied zu lateinischen i, k, l ...= 0, 1, 2, 3 zeigen grie-chische Indizes α, β, γ ...= 1, 2, 3 nur die r?umlichen Koordinaten an):

dx dl g g dx g dl g g dx g 00000000000=?=±αααα.(6)

Hier und im folgenden steht dl für das bekannte Linienelement [7] der r?umlichen Entfernung

dl g g g g dx dx 20000=?+F H G I K J αβαβαβ.(7)

Dieses wurde seinerzeit für den Spezialfall der rotierenden Scheibe von K ALUZA [5] aus der Voraussetzung ge-wonnen, da? die spezielle Relativit?tstheorie im übergeordneten Inertialsystem gelten mu?. Wir aber interpretie-ren es dahingehend, da? der gesuchte r?umliche Abstand dem halben Produkt c

d τ gleich sein mu?, wobei

d dt g τ=00 das Intervall der Eigenzeit einer im Ausgangspunkt ruhenden Uhr 16) bedeutet, das unabh?ngig von

der gew?hlten Synchronisation für Hin- und Rücklauf eines entsprechenden Lichtsignals insgesamt ben?tigt wird. Mit anderen Worten – zur Berechnung des r?umlichen Linienelements bedient man sich seit langem einer Formel, die mit dem Prinzip von der Konstanz der durchschnittlichen Lichtgeschwindigkeit in Einklang steht.

Gehen wir einen einfachen Schritt weiter, indem wir voraussetzen, da? bei hinreichend kleinem Lichtweg dl die ?nderung von g 00 in der infinitesimalen Umgebung des gew?hlten Raumpunktes vernachl?ssigbar ist, oh-ne da? aber der Begriff der Geschwindigkeit zwischen zwei benachbarten Punkten seinen Sinn verliert. Mit der daraus resultierenden Erweiterung des üblichen Begriffs der Eigenzeit d τ auf eine infinitesimale Umgebung dx c dt c d g 000==

τ(8) 15

) Unter Gravitationsfeld verstehen wir das wahre Gravitationsfeld (R i klm ≠ 0), im Unterschied zum reinen Beschleuni-gungsfeld (R i klm = 0).

16) Die isolierten Bezeichnungen ?Eigenzeit', ?τ‘ oder ?d τ‘ beziehen sich immer auf die Eigenzeit einer ruhenden Uhr,bei einer bewegten Uhr soll es dagegen ausdrücklich ?s‘ bzw. ?ds‘ hei?en.

ergibt sich aus (6) die allgemein-relativistische Formel zur Berechnung der Einweg-Geschwindigkeit

c dl

d c g dx d g c g dx d g ±±==+=±ττταααα000000.(9)

Wie im Spezialfall der rotierenden Scheibe haben wir c ± hier analog zur ursprünglichen Ableitung (4) als Quoti-ent aus lokaler Eigenl?nge und Eigenzeit bestimmt. Wir finden demzufolge

?c g dx d g =±000αα

τ.(10)

Man sieht sofort, da? die Einweg-Geschwindigkeit c ± in allen statischen Gravitationsfeldern gleich c ist,wie es auch sein mu?. Ganz anders aber verh?lt sich die Angelegenheit, wenn es nicht mehr um statische, son-dern um station?re Systeme geht.

Gehen wir, um zu dem konkreten Beispiel der rotierenden Scheibe zurückzukehren, von den Zylinderkoor-dinaten t r z ,,,? des Inertialsystems S über zu den entsprechenden Koordinaten des rotierenden Systems S*vermittels folgender Transformation, die interessanterweise genau einer G ALILEI -Transformation, und im Er-gebnis gerade den Bedingungen und Forderungen 1.) – 4.) und *) entspricht:

t t r r t z z ===+=*****,,,??ω. (11)Damit erhalten wir ds r c c dt r dt d dr r d dz 2222222222212=?F H G I K

J ????ωω??*********.(12)Für die mit natürlichen Uhren gemessenen Laufzeiten von Lichtsignalen folgt bei angepa?ter Synchronisation aus (6) und (8)d dt g dl c r d c r c τω?ω±±?==±****0012222

2.(13)

Das r?umliche Linienelement dl ergibt sich hier bekanntlich zu

dl dr r d dz r c =+?+*****222

2122

2?ω.(14)

Schlie?lich aber finden wir aus der allgemeinen Beziehung (9) die Einweg-Geschwindigkeit c ±

c dl

d c g dx d g c r d cdt r c ±±==±=±?ττω?ααω0002122****.(15)

Man liest sofort ab, da? die Einweg-Geschwindigkeit c ± sowohl in radialer Richtung als auch in Richtung der z*-Achse 17) wegen d ?* =0 einfach gleich c ist, was natürlich zu erwarten war:

c c c z ±±==radial *.(16)Zur Ermittlung der tangentialen Einweg-Geschwindigkeit c ± tangential berechnen wir aus ds 2 = 0 zun?chst einmal den Koordinatenwert

d dt ?**

17

) Der Weg eines Lichtsignals kann auf einer rotierenden Scheibe natürlich nur auf infinitesimalen Strecken bzw. bei Verwendung hinreichend vieler Spiegel ann?hernd radial bzw. axial verlaufen.

d c r dr c dt dz c dt dt ?ω*

******=??±1222222.(17)Einsetzen in (15) ergibt dann unter der Voraussetzung d dt ?**≠ 0:

c c r dr c dt dz c dt r c r c ±=±??±F H G G I K J J ?ωωω*****

**1122222222

.(18)

Und mit dr* =dz*= 0 findet man endlich:

c c r c ±=

tangential 1m ω*

.(19)

Dies stimmt wegen v =ωr und r =r* mit dem ursprünglich ohne Verwendung des mathematischen Apparats der allgemeinen Relativit?tstheorie gefundenen Ausdruck (4) genau überein.

Welche der am Anfang des Abschnitts genannten verschiedenen Werte der Lichtgeschwindigkeit (s. Tab.

1) sind nun tats?chlich me?bar? Es ist sofort klar, da? sich nach Durchführung einer globalen Synchronisation zus?tzlich zur lokalen Lichtgeschwindigkeit c nun auch die l?ngenbezogene Einweg-Lichtgeschwindigkeit c l ±messen l??t, aus der sich dann die Einweg-Lichtgeschwindigkeit c ± durch Berücksichtigung der zuvor erfolgten technischen Korrekturen der Ganggeschwindigkeit der natürlichen Uhren eindeutig ergibt. Da man nach E IN -STEIN …darauf verzichten mu?, den Koordinaten eine unmittelbare metrische Bedeutung zu geben (Koordinaten-differenzen = me?bare L?ngen bzw. Zeiten)“ [8], so kann in Teilsystemen auch der Koordinatenwert der Licht-geschwindigkeit c*± selbst nur von mittelbarer metrischer Bedeutung sein. Immerhin aber sind Unterschiede die-ses Wertes – wie S HAPIRO [9] gezeigt hat – als Laufzeitverz?gerungen ?t* indirekt 18) me?bar.

9. G ALILEI -Transformation und Relativit?tstheorie

Die Transformation (11) vom ruhenden auf ein rotierendes System entspricht nicht etwa einer L ORENTZ -,sondern exakt einer G ALILEI -Transformation. Da aber in der allgemeinen Relativit?tstheorie jede Koordinaten-Transformation erlaubt ist, so mu? natürlich auch eine G ALILEI -Transformation erlaubt sein. Es ist nun aller-dings sehr bemerkenswert, da? ein entsprechender station?rer übergang auf Basis einer L ORENTZ -Trans-formation nicht m?glich ist.

Für die eigentliche G ALILEI -Transformation der Koordinaten t =t G , x =x G +v t G , y =y G , z =z G des Ruhsy-stems S auf das bewegte Inertialsystem S G lautet das Linienelement:

ds c dt c dt dx dx dy dz G G G G G G 222222212=???++ββe j e j .(20)

Die r?umliche Entfernung, so wie sie sich bei der Ermittlung mit natürlichen Einheitsma?st?ben in S G ergibt,finden wir gem?? (7) zu:

dl dx dy dz G G G =?++22221β.(21)

Aus (8) ergibt sich für die Eigenzeit τ einer in S G ruhenden Uhr:

d dt G τβ=?12.

(22) 18

) Da? hier – allerdings mit global falsch gehenden natürlichen Uhren – unzweifelhaft Unterschiede der absoluten Sy-stemzeit t* gemessen werden, k?nnte m?glicherweise ein Grund dafür sein, da? E INSTEIN die Berechnung dieses Effekts ge-wisserma?en 'vergessen' hat.

Und schlie?lich betr?gt die Lichtgeschwindigkeit für eine Ausbreitung parallel zur x G-Achse im bewegten Sy-stem wieder

c

c

G

±

=

1mβ

,(23)

was sich aus (15) ergibt, wenn man gem?? ds=0 berücksichtigt, da? dx G/dt G =-v ± c sein mu?. Nach diesem Muster kann man also auch in der Relativit?tstheorie mit der G ALILEI-Transformation rechnen, was für lokale Inertialsysteme bei zweckm??iger Wahl der Systemkoordinaten in der Regel sogar unvermeidlich ist.

Tab. 1: Die verschiedenen Werte der Lichtgeschwindigkeit in der übersicht

10. Das kosmische Bezugssystem: der wahre Raum und die wahre Zeit

Müssen natürliche Uhren notwendigerweise die wahre Zeit (natürliche Ma?st?be den wahren Raum) anzei-gen, wenn sie, an ein und demselben Ort unter denselben Bedingungen nebeneinander ruhend, immer und über-all die gleiche Ganggeschwindigkeit (bzw. die gleiche L?nge) aufweisen? – Nein.

… ... Ebensowenig kann man in K' eine den physikalischen Bedürfnissen entsprechende Zeit einführen, welche durch relativ zu K' ruhende, gleich beschaffene Uhren angezeigt wird.“ ?[10], S. 775 (die Bezeichnung K' meint ein gleichf?rmig rotierendes Koordinatensystem)

Mit der hier aus dem E HRENFEST'schen Paradoxon der rotierenden Scheibe von E INSTEIN – im Anschlu?19) an K ALUZA s Behandlung – gefolgerten Notwendigkeit, in die allgemeine Relativit?tstheorie eine Systemzeit t* einzuführen, die nicht übereinstimmt mit der von natürlichen Uhren angezeigten Eigenzeit τ, und Systemkoor-dinaten x*α, die sich in ihrer Gesamtheit nicht darstellen lassen durch entsprechende mit natürlichen Ma?st?ben angezeigte L?ngen lα, sind nach unserem Verst?ndnis nur wenige Jahre nach Formulierung der speziellen Rela-tivit?tstheorie Raum und Zeit als absolute Gr??en in die Physik zurückgekehrt.

Diese Auffassung wird von vorneherein durch folgende Tatsache nahegelegt: Ganz unabh?ngig von der jeweils aktuellen Theorie über Zustand bzw. Entwicklung des Universums – mit Hilfe des D OPPLER-Effekts l??t sich statistisch immer ein ausgezeichnetes Ruhsystem festlegen, und zwar durch die Forderung gr??tm?glicher Isotropie des kosmischen Hintergrunds20). Die absoluten Geschwindigkeiten von Sonne und Erde sind auf dieser Basis bekanntlich l?ngst ermittelt.

Die spezielle Relativit?tstheorie zeigt nun zwar, da? in Inertialsystemen trotz L?ngenkontraktion und Zeit-dilatation eine solche Koordinatenwahl m?glich ist, bei der den Differenzen r?umlicher Koordinaten unmittelbar me?bare Entfernungen, und den Differenzen der Zeitkoordinaten unmittelbar me?bare Zeiten entsprechen. Doch die allgemeine Relativit?tstheorie zeigt gerade, da? dies in Nicht-Inertialsystemen bzw. bei Berücksichtigung der Gravitation nicht mehr m?glich ist. Angesichts der Tatsache, da? es abgesehen vom kosmischen Ruhsystem überhaupt nur lokale Inertialsysteme geben kann, beweist dies also die Existenz eines absoluten Raums und ei-ner absoluten Zeit – durchaus im Sinne N EWTON s – als notwendige Voraussetzung für die Beschreibung der physikalischen Wirklichkeit21).

Da? die wahren Systemkoordinaten allerdings in lokalen Teilsystemen nicht eindeutig identifizierbar sind, kann ihre Existenz ebensowenig widerlegen, wie die Eigenschaft einer Ebene, flach zu sein, durch die notwen-dige Bezugnahme auf weitgehend willkürlich w?hlbare krummlinige Koordinaten bei Verwendung tempera-turabh?ngiger Ma?st?be widerlegt werden kann.

Den hier22) gezogenen Schlüssen über die wahre Bedeutung der Systemkoordinaten entsprechend, lassen sich alle herk?mmlichen Aussagen über die ?Raum-Zeit‘ der Relativit?tstheorie unseres Erachtens am einfach-sten verstehen als Aussagen über reale Objekte, Felder, Ma?st?be und Uhren, die im absoluten euklidischen Raum und in der absoluten kosmischen Zeit dem Einflu? von Gravitationspotential und Bewegung unterliegen. Im Hinblick auf die kosmischen Systemkoordinaten aber gilt:

Raum und Zeit selbst sind keine physikalischen Objekte, denen sich ver?nderliche Eigenschaften zu-schreiben lassen. Gegenstand der physikalischen Beschreibung sind allein Ver?nderungen gegenüber dem, was notwendigerweise unver?nderlich ist, und dessen Unver?nderlichkeit keiner Erkl?rung be-darf.

19) s. Fu?noten 32/33)

20) Dies kann heute durch die Forderung gr??tm?glicher Isotropie der Hintergrundstrahlung definiert werden. Prinzipi-ell h?tte man sich bereits mit H UBBLE s Entdeckung auf eine maximale Isotropie der beobachtbaren statistischen Verteilung der Rotverschiebung beziehen k?nnen, vorher auf mittlere Sterngeschwindigkeit Null. Und selbst wenn sich der uns heute bekannte Kosmos eines Tages als Teil eines Universums aus ?hnlichen und anderen Gebilden zeigen sollte – es l??t sich immer ein ausgezeichnetes Ruhsystem finden (ein ernsthaftes Problem entstünde umgekehrt erst dann, falls es mehr als ein einziges derartiges Ruhsystem geben sollte).

21) Diese Auffassung von Raum und Zeit führt unmittelbar zu der M?glichkeit eines station?ren kosmischen Lini-enelements im Rahmen der allgemeinen Relativit?tstheorie. Auf die diesbezügliche Arbeit, aus der sich auch ein natürlicher Erkl?rungsansatz für den Pioneer-Effekt ergibt, wurde bereits in Fu?note 10) hingewiesen.

22) s. auch Abschnitt f) des Anhangs

Was nun ist die wahre Zeit? Wenn die Systemzeit eines beliebigen abgeschlossenen Teilsystems dessen interne globale Zeit darstellt, dann ist die singularit?tsfreie Systemzeit des Universums t* als die wahre kosmi-sche Zeit zu verstehen. Es l??t sich zeigen 23), da? eine besonders einfache Synchronisation entsprechender im absoluten kosmischen Bezugssystem ruhender technischer Systemuhren im Sinne des Abschnitts 6 auf Basis der Reflexion im Zeitmittelpunkt prinzipiell immer m?glich ist. Die kosmische Zeit ist durch die Bedingung einer –abgesehen von kleinen Abweichungen in der N?he lokaler Inhomogenit?ten des Gravitationsfeldes – konstanten kosmischen Lichtgeschwindigkeit c eindeutig festgelegt .

11. Neue Interpretation alter Versuche

Die Orts- und Richtungsabh?ngigkeit der Einweg-Lichtgeschwindigkeit in rotierenden Systemen ist expe-rimentell l?ngst best?tigt. Das wird sofort klar, wenn man darauf besteht, die Versuche von S AGNAC [11] sowie von M ICHELSON und G ALE [12] systemintern , d.h. ohne Rückgriff auf ein übergeordnetes Inertialsystem zu er-kl?ren. Diese Interferenzversuche haben bekanntlich folgende N?herungsformel für die Streifenverschiebung in rotierenden Systemen best?tigt:

?Z A c ≈4ωλ.(24)

Uns kommt es hier ganz allein darauf an, da? im rotierenden System S* bei gleichem Weg U* zweier peri-pher umlaufender Lichtstrahlen überhaupt keine Verschiebung der Interferenzstreifen auftreten dürfte, w?re die Geschwindigkeit der beiden Lichtsignale tats?chlich gleich gro?. Da n?mlich die mit einer einzigen Uhr gemes-senen Frequenzen der beiden zu L* zurückkehrenden Lichtanteile in S* wegen der bei gleichf?rmiger Rotation station?ren Lichtwege mit der Emissionsfrequenz f* übereinstimmen müssen, h?tten gleiche Geschwindigkeiten c ± auch gleiche Phasen zur Folge, was insgesamt zu keiner Streifenverschiebung Anla? geben k?nnte. Benutzt man die unterschiedlichen Wellenl?ngen 24)

λ**±±=c f ,(25)

so ergibt sich der relativistisch exakte Wert der Streifenverschiebung für unser anf?ngliches Beispiel unmittelbar als Differenz der Anzahl von Wellenl?ngen, die den beiden Uml?ufen entsprechen:

?Z U U =??+*

***λλ.(26)Mit (3), (4) ergibt sich aus (25), (26) nunmehr als endgültiger Wert für die Streifenverschiebung

?Z v r f c v

c =?41222π*

.(27)

Wenn man zum Vergleich A = π r 2 und ω = v/r in die klassische Verschiebungsformel (24) einsetzt, erh?lt man einen N?herungswert, der sich auch durch direkte Absch?tzung aus dem Laufzeitunterschied (1) ergibt

??Z c T v r c v r f c ≈≈=λπλπ442.(28)

Wie zu erwarten war, stimmt dieser N?herungswert mit dem exakten Wert (27) bis auf Gr??en dritter Ordnung in v/c überein.

12. Das Experiment von H AFELE und K EATING

Bekanntlich haben H AFELE und K EATING [13], ausgestattet mit Atomuhren, Rundflüge um die Erde sowohl in Ost-West-Richtung als auch in West-Ost-Richtung unternommen und dabei folgende Formel best?tigt gefun-

23

) Der entsprechende Nachweis wird in der bereits erw?hnten Arbeit d. Verf. erbracht (s. Fu?note 10).

24) Dieser Unterschied in der Wellenl?nge bedeutet nicht etwa, da? es verschiedenfarbiges Licht gleicher Frequenz ge-ben sollte. Er verschwindet, wenn man von der globalen Synchronisation zur lokalen E INSTEIN -Synchronisation übergeht.

den, welche die Zeitunterschiede zwischen den Uhren im Flugzeug und der ortsfesten Uhr auf der Erde n?he-rungsweise beschreibt:

ττπ?≈±?L N M 0222R c gh v R v ?.(29)

Diese Formel ergibt sich sehr einfach durch Rechnung im rotationsfreien Schwerpunktsystem, d.h. bei externer Betrachtung des rotierenden Systems Erde. Dabei ist R der Radius des überflogenen Breitengrads, ? die Win-kelgeschwindigkeit der Erde, h die Flugh?he über dem Meeresspiegel und v die Fluggeschwindigkeit relativ zur Erdoberfl?che. Die mittleren Me?werte betrugen -59 ns für West-Ost-Flug und 273 ns für Ost-West-Flug.

Betrachten wir nun den theoretischen Grenzfall h = 0 und v = 0, auf den die Autoren nicht eingegangen sind. In der Praxis w?re das etwa ein langsamer Transport per Schiff. Der resultierende Zeitunterschied w?re bei Rückkehr der rund um die Erde transportierten Uhr nicht etwa Null. Vielmehr ergibt sich aus (29) ein Zeitunter-schied von 2πR 2?/c 2, was gerade K ALUZA s ?Schlu?fehler‘ entspricht. Und genau hier gibt es einen Hund, der nicht bellte: W?re n?mlich jemand auf die Idee verfallen, den Gang der Uhren im Flugzeug w?hrend der Erdum-rundung mit der zurückgelassenen, ortsfesten Uhr durch Signalaustausch auf Grundlage des E INSTEIN 'schen Prinzips der Reflexion im Zeitmittelpunkt zu vergleichen, wie dies in A LLEY s Maryland-Experiment [6] tats?ch-lich geschehen ist, so h?tte er – von technischen Schwierigkeiten abgesehen – gravierende Abweichungen 25) in der Gr??enordnung von ±160 ns zwischen den auf diese Weise gefundenen Me?werten und den theoretischen Werten feststellen müssen. Die so gemessenen Zeitunterschiede w?ren für Ostflug und Westflug die gleichen gewesen, beide n?mlich in der Gr??enordnung von +100 ns, was sich aus (29) ergibt, wenn man jeweils das mittlere Glied der Klammer wegl??t.

Da? aber die tats?chlichen Me?werte von H AFELE und K EATING eben einmal -59 ns, das andere Mal +273ns betrugen, widerlegt die Tauglichkeit des E INSTEIN 'schen Prinzips der Reflexion im Zeitmittelpunkt für die globale Synchronisation – und damit die Konstanz der Einweg-Lichtgeschwindigkeit auf der Erde.

13. Zur Definition des Meters

Vom Comité International des Poids et Mesures wird als erstes von zwei m?glichen Verfahren ausdrücklich die praktische Festlegung des Meters auf Basis des Zusammenhangs l = c . t empfohlen [1]. Dies impliziert aber die Aussage, da? die L?nge des ?quators z.B. prinzipiell mit beliebiger Genauigkeit durch die Angabe mitgeteilt werden kann, welchen Bruchteil einer Sekunde elektromagnetische Wellen brauchen, diesen zu umlaufen. Gera-de das aber ist ganz sicher unm?glich 26). Denn welche Korrekturen auch immer man anbringen mag, es bleibt ein richtungsabh?ngiger Unterschied der Lichtgeschwindigkeit von bis zu ca. ±460 m/s (lokale Rotations-geschwindigkeit) an ein und demselben Ort der Erde, wenn man zur Abmessung der Laufzeit Uhren verwendet,die global richtig synchronisiert sind. Die Beibehaltung der aktuellen Festlegung des Meters h?tte also insbe-sondere die unsinnige Konsequenz, da? sich der in ?stlicher Richtung gemessene Erdumfang am ?quator von dem in westlicher Richtung gemessenen um ca. 2*60 m unterscheiden mü?te. Zu sagen, die Einweg-Lichtgeschwindigkeit auf der rotierenden Erde sei konstant, hat tats?chlich keine gr??ere Berechtigung als die Aussage, die Erde sei eine Scheibe. Denn praktisch me?bare Abweichungen treten hier wie dort erst in globalen Dimensionen auf.

Natürlich kann man Uhren zur Festlegung des Meters verwenden, die aufgrund einer vorgeschriebenen Synchronisation lokal das gewünschte Ergebnis liefern. Eine unmi?verst?ndliche Definition des Meters aber –wenn sie überhaupt auf der Geschwindigkeit des Lichts und nicht auf der L?nge stehender Lichtwellen basieren soll – mü?te nach den Ergebnissen der vorausgegangenen Abschnitte entweder ausdrücklich auf die E IN -STEIN 'sche (oder eine ?quivalente) Synchronisationsvorschrift Bezug nehmen, oder aber sie k?nnte unabh?ngig von jeder Synchronisation lauten: Das Meter ist die L?nge der Strecke, die von Licht im Vakuum w?hrend der Zeitspanne von 2 mal 1/299792458 s hin und zurück durchlaufen wird.

25

) Bei A LLEY s zitiertem Maryland-Experiment dagegen h?tten sich entsprechende Abweichungen nicht bemerkbar ma-chen k?nnen, weil hier nur eine relativ kleine Schleife mit geringer Ost-West-Komponente geflogen wurde.

26) Etwas anderes ist es, Entfernungen in Lichtsekunden cs anzugeben, wenn man diese dabei als zusammengesetzt aus hin- und zurück durchlaufenen Teilstrecken , nicht aber auf Basis der Einweg-Lichtgeschwindigkeit versteht.

Die hier vorgeschlagene Formulierung geht nicht nur über den auf statische – und damit auch rotationsfreie – Systeme begrenzten Einsatzbereich der derzeitigen Definition hinaus, sie l??t sich in der Praxis überdies leicht umsetzen, indem man sich nach bew?hrtem Muster auf die L?nge stehender Lichtwellen einer Referenzstrahlung gegebener oder gemessener Frequenz bezieht. Denn es ist zu beachten, da? sich die Abweichungen der Einweg-Lichtgeschwindigkeit vom Wert der Naturkonstanten c in diesen Experimenten zur praktischen Festlegung eines L?ngenstandards nicht bemerkbar machen, weil hierbei die Interferenz ebener, auf demselben Weg hin- und zu-rücklaufender Wellen benutzt wird27). Insbesondere ist auch die Anzahl der Wellenknoten28) um den ?quator (oder auf der Peripherie einer rotierenden Scheibe) grunds?tzlich unabh?ngig von der Frage der lokalen oder globalen Synchronisation – und damit vom Wert der Einweg-Lichtgeschwindigkeit schlechthin. Es ist zwar richtig,

… ... that these various forms, making reference either to the path travelled by light in a specified time interval or to the wavelength of a radiation of measured or specified frequency, have been the object of consultations and deep discussions, have been recognized as being equivalent ... “ – [1].

Doch die naturgem?? station?re L?nge stehender Wellen als doppelter Abstand zweier Schwingungsknoten ist nicht das gleiche wie die Wellenl?nge als Abstand zweier gleichzeitig lokalisierter benachbarter Wellenberge, da letztere genau wie die Einweg-Lichtgeschwindigkeit abh?ngig ist vom gew?hlten Synchronisationsverfahren gem?? λ±=c±/f, erstere aber nicht.

Anhang: Das E HRENFEST'sche Paradoxon und die Unm?glichkeit einer scharfen Trennung zwischen relativistischer Kinematik und Dynamik

Die N EWTON'sche Kinematik des starren K?rpers ist für die klassische Physik bekanntlich von fundamen-taler Bedeutung. Nur mit ihrer Hilfe ist es m?glich, die Bewegungsgesetze ausgedehnter K?rper unter dem Ein-flu? ?u?erer Kr?fte auf eine Mechanik des Massenpunkts zu reduzieren. Wenn etwas entsprechendes auch in der Relativit?tstheorie m?glich sein soll, ist es jedenfalls ganz unverzichtbar, das Modell des starren K?rpers, wenn auch in abgewandelter Form, als station?ren K?rper hierhinein zu übertragen. Dabei l??t es sich aber keines-wegs von Anfang an ausschlie?en, da? die dazu notwendigen Einschr?nkungen des Starrheitsbegriffs auch Kon-sequenzen für den Begriff des Massenpunkts haben. Denn natürlich gibt es keine punktf?rmigen Teilchen, jeder K?rper ist ausgedehnt.

Was k?nnte nun – angesichts andernfalls auftretender überlichtgeschwindigkeiten – an die Stelle des Be-griffs ?starrer K?rper‘ in einer relativistischen Mechanik treten? Die oben immer wieder benutzte Voraussetzung lokaler Inertialsysteme wurde seinerzeit von B ORN [14] zur Grundlage der Definition eines relativ-starren29) K?rpers gemacht. Wegen der L?ngenkontraktion kann dies – in einer ?quivalenten Formulierung von E H-RENFEST – nur bedeuten, da? für einen solchen K?rper

… ... jedes seiner infinitesimalen Elemente in jedem Moment für einen ruhenden Beobachter gerade diejenige L ORENTZ-Kontraktion (gegenüber dem Ruhezustand) aufweist, welche der Momentangeschwindigkeit des Ele-mentmittelpunktes entspricht“.? [4]

27) Die Ausbildung stehender Wellen wird hier keineswegs dadurch gest?rt, da? bezogen auf das station?re System S* gem?? (25) Licht gleicher Frequenz f, aber verschiedener Wellenl?nge λ± = c±/f überlagert wird. Bei Berücksichtigung des Ausdrucks (4) für die Einweg-Geschwindigkeit c± (s. auch Tab. 1) ergibt sich n?mlich mit Wellenzahl k = 2π/λ, Kreisfre-quenz ω = 2πf , Amplitude A aus den Anteilen a± = A sin(ωt±k±x) durch überlagerung a = 2A cos kx [cos(kxv/c)sinωt+ sin(kxv/c)cosωt], soda? die Schwingungsknoten nach wie vor an der gleichen Stelle liegen wie bei überlagerung von Licht derselben Frequenz f und einheitlicher Wellenl?nge λ = c/f (das kann das auch gar nicht anders sein, wie sich aus den n?ch-sten S?tzen oben ohne jede Rechnung von selbst ergibt).

28) Gelegentlich wird in diesem Zusammenhang übrigens die Frage gestellt, ob nun das E-Feld oder das B-Feld der richtige Repr?sentant der Lichtwelle sei. Tats?chlich aber kann dies nur ein Knoten der ?L ORENTZ-Feldst?rke‘ E + [v/c x B] sein (Quotient aus L ORENTZ-Kraft und Probeladung). Im Unterschied zum E- oder B-Feld ist n?mlich allein die r?umliche Zuordnung von Knoten der ?L ORENTZ-Feldst?rke‘ zu bestimmten Raumpunkten eines Inertialsystems lorentzinvariant.

29) in der Bezeichnung von E HRENFEST (B ORN s eigene Bezeichnung ist ?starr‘)

Ebenso wie der starre K?rper der N EWTON'schen Mechanik soll also auch der relativ-starre K?rper der Re-lativit?tstheorie zwar nicht dynamisch, im Unterschied zur N EWTON'schen Mechanik aber kinematisch defor-mierbar sein. E HRENFEST f?hrt fort:

…Als ich mir vor einiger Zeit die Konsequenzen dieses Ansatzes veranschaulichen wollte, stie? ich auf Folgerun-gen, die zu zeigen scheinen, da? obiger Ansatz schon für einige sehr einfache Bewegungsty pen zu Widersprüchen führt.“ (Hervorhebung wie im Original) ? [4]

Er schlie?t dies daraus, da? der Radius R rot einer relativ-starren rotierenden Scheibe einerseits, weil immer senk-recht zur Bewegungsrichtung, gleich gro? sein mü?te wie der Radius R derselben Scheibe, bevor sie in Rotation versetzt wurde, andererseits aber zugleich auch kleiner, weil der Umfang U rot =2πR rot der rotierenden Scheibe aufgrund der F ITZ G ERALD-L ORENTZ-Kontraktion für einen im Inertialsystem S ruhenden Beobachter verkürzt sei. E HRENFEST hat damit schlüssig bewiesen, da? es einen relativ-starren makroskopischen K?rper nicht geben kann. Und das ist der Beginn einer langen Auseinandersetzung mit dem nach seinem Entdecker benannten Para-doxon, wobei die rotierende Scheibe für die Relativit?tstheorie unseres Erachtens eine ?hnliche Rolle spielt wie der schwarze K?rper für die Quantenmechanik.

a.B ORN s Interpretation

In der Fu?note einer sp?teren Arbeit von 1910 interpretiert B ORN denselben Sachverhalt dahingehend, E HRENFEST habe gezeigt,

… ... da? ein ruhender K?rper niemals in gleichf?rmige Rotation gebracht werden kann; dieselbe Tatsache hatte ich schon mit Herrn A. Einstein auf der Naturforscherversammlung in Salzburg besprochen:“ (Hervorhebung wie im Original). ?[15]

Gemeint ist hier ein relativ-starrer K?rper. Nach dem Hinweis, da? ein solcher dementsprechend …nicht die er-forderlichen 6 Freiheitsgrade aufzuweisen hat“, sondern nur drei, weil die drei Freiheitsgrade der Rotation ent-fallen, verteidigt B ORN die Verwendbarkeit seines Starrheitsbegriffs …zur Grundlegung der Dynamik der Elek-tronen“ mit dem damals noch richtigen Hinweis: …Es gibt überhaupt keine Erscheinung, zu deren Erkl?rung bislang Rotationen der Elektronen herangezogen worden sind.“ Die Erfahrungstatsache, da? gew?hnliche mate-rielle K?rper sehr wohl in Rotation versetzt werden k?nnen, erkl?rt er so:

…Denkt man sich die materiellen K?rper aus Atomen und Elektronen aufgebaut, die etwa in meinem Sinne ?starr‘sind, so werden diese, wenn der ganze K?rper rotiert, krummlinige Bahnen beschreiben, die mit ihrer Kinematik wohl vertr?glich sind ...“ ? [15]

Wenn aber das Verhalten rotierender makroskopischer K?rper nur unter dieser Voraussetzung mit einer relativi-stischen Kinematik vertr?glich ist, dann l??t sich – B ORN s Argumentation auf die Spitze getrieben – daraus ein relativistischer ?Beweis‘ für die Existenz von Atomen ableiten: Weil jeder beliebige makroskopische K?rper in Rotation versetzt werden kann, was wegen des E HRENFEST'schen Paradoxons nicht m?glich w?re, wenn es sich bei diesem um ein relativ-starres Kontinuum handelte, folgt notwendig, da? ein makroskopischer K?rper aus Atomen besteht. Dies allerdings mit der hier vorausgesetzten Einschr?nkung, da? es sich bei einem makroskopi-schen K?rper im Rahmen einer relativistischen Kinematik nicht um ein elastisches Kontinuum handeln kann.

Mehr noch: die Tatsache, da? ein zun?chst ruhender relativ-starrer K?rper niemals in gleichf?rmige Rotati-on gebracht werden kann, bedeutet umgekehrt, da? ein einmal rotierender relativ-starrer K?rper niemals abge-bremst werden kann. Wenn wir dementsprechend B ORN s Argumentation aus heutiger Sicht gewisserma?en vom Kopf auf die Fü?e stellen, so k?nnte sich aus der zus?tzlichen Hypothese, da? der Begriff ?relativ-starr‘ nur auf mikroskopische, nicht aber auf makroskopische K?rper anwendbar sei, ein Hinweis auf konstant bleibende Ei-gendrehimpulse, d.h. den Spin von Mikroteilchen ableiten lassen.

b.P LANCK s Unterscheidung

Von P LANCK wurde das E HRENFEST'sche Paradoxon aufgegriffen, indem er die wichtige Unterscheidung macht zwischen der richtigen Aussage, da? ein K?rper in Bewegung um den F ITZ G ERALD-L ORENTZ-Faktor ver-

kürzt30) erscheine, und der – in der Regel unzutreffenden – Aussage, da? ein K?rper bei der Beschleunigung auf eine entsprechende Geschwindigkeit gerade eine Verkürzung um den F ITZ G ERALD-L ORENTZ-Faktor erfahre31). Zum Problem des starren K?rpers bemerkt er dann:

… ... scheint mir der Versuch, die für die gew?hnliche Mechanik so wichtige Abstraktion des starren K?rpers auch für die Relativit?tstheorie fruchtbar zu machen, keinen rechten Erfolg zu versprechen.“ ?[16]

In der Beschleunigung eines K?rpers etwa vom Zustand der Ruhe auf gleichf?rmige Rotation und der daraus re-sultierenden Deformation sah er insbesondere nicht eigentlich ein kinematisches, sondern vor allem ein ?elasti-sches‘ Problem.

c.V. L AUE s Beweis der Unm?glichkeit starrer K?rper

Da? es überhaupt weder starre noch relativ-starre makroskopische K?rper geben kann, wurde 1910 durch V. L AUE [17] in voller Allgemeinheit bewiesen. Ein makroskopischer K?rper n?mlich, der gleichzeitig an belie-big vielen Stellen angesto?en werden kann, mu? – im Unterschied zum starren bzw. relativ-starren K?rper – be-liebig viele Freiheitsgrade haben, weil sich alle St?rungen h?chstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, und sich demzufolge für eine gewisse, wenn auch sehr kurze, Zeitspanne nach dem Ansto? nicht gegenseitig beein-flussen k?nnen.

d.K ALUZA s Einführung der nichteuklidischen Geometrie

Bereits 1910 hat K ALUZA [5] – in einer in Bezug auf die mathematische Behandlung bahnbrechenden Ar-beit – nicht nur auf …die theoretische M?glichkeit eines Nachweises der Erdrotation durch rein optische bzw. elektromagnetische Experimente“ hingewiesen, wobei er einen ?Schlu?fehler‘ der Synchronisation akzeptiert und diesen mit maximal 2*10-7 s beziffert (s Abschn. 5), sondern vor allem auch – drei Jahre vor E INSTEIN und G ROSSMANN [18] – die nichteuklidische Geometrie in die Relativit?tstheorie eingeführt32). Und zwar flie?en die-se Konsequenzen daraus, da? er die Gültigkeit der speziellen Relativit?tstheorie im übergeordneten Inertialsy-stem voraussetzt und auf die lokalen Inertialsysteme des rotierenden Systems anwendet, ohne auf den übergang von der zuvor ruhenden zur gleichf?rmig rotierenden Scheibe einzugehen. Das Verh?ltnis von Kreisumfang U* zu Radius R* einer rotierenden Scheibe S* ergibt sich demzufolge für einen mitbewegten Beobachter gr??er als 2π, was nach K ALUZA ausdrücklich keinen Widerspruch zur Relativit?tstheorie bedeutet.

e.E INSTEIN s übertragung auf das Gravitationsfeld

K ALUZA s richtige Antwort U*/R* > 2π ist nun aber ganz unabh?ngig davon, welche Deformation die Scheibe S* tats?chlich dadurch erfahren hat, da? sie allm?hlich in Rotation versetzt wurde. Inhaltlich sind es ge-rade K ALUZA s Ergebnisse33), die E INSTEIN sp?ter sagen lassen:

…In der allgemeinen Relativit?tstheorie k?nnen Raum- und Zeitgr??en nicht so definiert werden, da? r?umliche Koordinatendifferenzen unmittelbar mit dem Einheitsma?stab, zeitliche mit einer Normaluhr gemessen werden k?nnten.“? [10], S. 775

Das E HRENFEST'sche Paradoxon beweist hier nach unserem Verst?ndnis die Ungültigkeit einer mit deformierten, natürlichen Ma?st?ben betriebenen euklidischen Geometrie zun?chst im rotierenden Bezugssystem – dann aber mit E INSTEIN s genialem ?quivalenzprinzip auch für jedes Gravitationsfeld überhaupt. Ist das E HRENFEST'sche Problem der rotierenden Scheibe damit vollst?ndig gel?st?

f.Die rotierende Scheibe im euklidischen Raum

Das Problem der rotierenden Scheibe hat E INSTEIN schlie?lich zu der Auffassung geführt, da? der dreidi-mensionale Raum durch das wahre Gravitationsfeld ?gekrümmt‘34) sei. Gerade dieses Problem zeigt aber umge-

30) Da? sich diese Verkürzung im Auge des Beobachters bekanntlich als Drehung darstellen mü?te, tut hier nichts zur Sache.

31) In diesem Sinne hat sich sp?ter auch E INSTEIN ge?u?ert.

32) Die gesamte Arbeit hat einen Umfang von einer Druckseite plus drei Halbzeilen (s. auch Abschn. 5).

33) Da? K ALUZA s Arbeit von E INSTEIN unseres Wissens sp?ter nicht zitiert worden ist – ebensowenig wie die von

E HRENFEST u.a. – l??t keineswegs darauf schlie?en, da? er sie nicht gekannt hat. Andererseits hat K ALUZA das von ihm be-handelte Problem der rotierenden Scheibe ganz sicher nicht im Zusammenhang mit der Gravitation gesehen.

kehrt sehr einfach, da? sich aus der Tatsache eines nichtverschwindenden r?umlichen Krümmungstensors – wie ihn K ALUZA s Linienelement (14) impliziert – keineswegs eine ?Krümmung des dreidimensionalen Raums‘ ab-leiten l??t. Denken wir uns n?mlich zwei in einem gewissen Abstand voneinander mit unterschiedlicher Win-kelgeschwindigkeit rotierende Scheiben, deren Drehachsen beide im Vakuum desselben Inertialsystems ruhen. Welche ?Krümmung‘ sollte sich für den dreidimensionalen Raum zwischen den Scheiben wohl ergeben ? die aus dem r?umlichen Linienelement der einen oder die aus dem der anderen Scheibe resultierende? Es ist klar, da? es auf diese Frage nur eine einzige sinnvolle Antwort gibt: beide Scheiben rotieren im absoluten Raum35) und dieser ist euklidisch.

Zwar k?nnte man einwenden, der Raum werde nur durch wahre Gravitationsfelder (R i klm≠0) gekrümmt. Doch auch diese Position erweist sich als unhaltbar, wenn man daran festh?lt, da? sich physikalische Abl?ufe prinzipiell vollst?ndig und lückenlos in Raum und Zeit beschreiben lassen. In Wahrheit n?mlich beweist gerade das Auftreten eines nichteuklidischen r?umlichen Linienelements die Tatsache, da? insbesondere die Beschrei-bung von Vorg?ngen bei zeitlich ver?nderlichem Gravitationspotential nur im euklidischen Raum m?glich ist. Dies ergibt sich daraus, da? es keine Koordinaten-Transformation gibt, die von einer einmal gegebenen Krüm-mung des Raumes zu einer anderen führen kann. Doch die lückenlose deterministische Beschreibung eines Be-wegungsablaufs drückt sich mathematisch gerade durch eine entsprechende Koordinaten-Transformation aus! Und eine solche ist eben nur im euklidischen Raum m?glich. Alle zeitlichen Ver?nderungen eines wahren ma-kroskopischen Kontinuums w?ren dabei zwangsl?ufig verbunden mit dem spontanen Auftreten von Rissen und Sprüngen36).

Umgekehrt folgt aus der Relativit?tstheorie, da? man an einer Beschreibung realer Abl?ufe mit natürlichen Ma?st?ben und Uhren – ohne Bezug auf den absoluten Raum und die absolute Zeit – nur um den Preis eines Verzichts auf eine vollst?ndige deterministische Beschreibung festhalten kann.

In den r?umlichen Koordinaten des raum-zeitlichen Linienelements (12) sehen wir also Zylinderkoordina-ten des dreidimensionalen euklidischen Raums. Der mathematische Apparat der nichteuklidischen Geometrie je-doch, der sich im r?umlichen Linienelement (14) K ALUZA s manifestiert, kommt dadurch ins Spiel, da? er den notwendigen Zusammenhang herstellt zwischen den absoluten Entfernungen des euklidischen Raums und den natürlichen, wie sie mit F ITZ G ERALD-L ORENTZ-kontrahierten, an der Rotation teilnehmenden materiellen Meter-st?ben – bzw. mit ?Lichtmetern‘ – gemessenen werden37).

Alle Aussagen über die ?Raum-Zeit‘ der Relativit?tstheorie lassen sich unseres Erachtens – etwa im Sinne des L ORENTZ'schen dynamischen Ansatzes [19], der bekanntlich auch von P OINCARé [20] vertreten wurde38) –am einfachsten verstehen als Aussagen über reale Ma?st?be und Uhren, die im absoluten euklidischen Raum und in der absoluten kosmischen Zeit dem Einflu? von Gravitationspotential und Bewegung unterliegen. Damit werden die beiden fundamentalen Postulate der speziellen Relativit?tstheorie nun einfach zu heuristischen Prin-zipien39):

a)Natürliche Uhren lassen sich lokal derart synchronisieren, da? die Naturgesetze in allen Inertialsy-

stemen bei Verwendung natürlicher Ma?st?be die gleiche Form annehmen.

34) Sollte der Begriff der ?Krümmung‘ in diesem Zusammenhang lediglich in geometrischer Analogie auf den mathe-matischen Sachverhalt eines nichtverschwindenden r?umlichen ?Krümmungs‘-Tensors hinweisen, so w?re dies nichts weiter als ein – allerdings unn?tig Verwirrung stiftendes – Sprachproblem. Doch E INSTEIN meinte insbesondere in seiner Kosmolo-gie etwas anderes.

35) Man k?nnte noch versuchsweise einwenden, nur der von den Scheiben selbst eingenommene Raum sei gekrümmt, nicht aber der Zwischenraum. Doch ist dieser Einwand nicht stichhaltig, weil sich K ALUZA s r?umliches Linienelement aus dem Verhalten von Lichtstrahlen au?erhalb der rotierenden Scheibe bestimmen l??t.

36) Und zwar sp?testens dann, wenn wir – obwohl nur theoretisch – versuchen, die H?rte des Materials im Grenzwert gegen Unendlich gehen zu lassen.

37) Nach den Ausführungen des Hauptteils dieser Arbeit ist klar, da? beide Me?methoden auf das gleiche hinauskom-men, wenn wir unter dem ?Lichtmeter‘ einen L?ngenstandard verstehen, der auf der Konstanz der durchschnittlichen lokalen Lichtgeschwindigkeit für Hin- und Rückl?ufe beruht.

38) Der Einflu? P OINCARés auf die Entwicklung des Zeitbegriffs gerade im Sinne der sp?teren E INSTEIN'schen speziellen Relativit?tstheorie wird unseres Erachtens in heutigen Lehrbüchern nicht ausreichend gewürdigt.

39) Diese Formulierung der beiden fundamentalen Postulate der speziellen Relativit?tstheorie betont natürlich eher die Auffassung von L ORENTZ und P OINCARé.

b)Bei dieser speziellen Synchronisation ist die Einweg-Lichtgeschwindigkeit in einem beliebigen Inertial-

system gleich der Naturkonstanten c.

L?ngen- und Zeitvergleich werden wieder transitiv, die F ITZ G ERALD-L ORENTZ-Kontraktion wird – wie es das Kausalit?tsprinzip verlangt – von einer kinematischen Deformation wieder zu einer dynamischen, und die Ener-giedichte des Gravitationsfeldes schlie?lich wird lokalisierbar40).

g.L?ngenkontraktion – Kinematik oder Dynamik?

Fest steht ohne jeden Zweifel, da? es makroskopische K?rper gibt, die sich in Rotation versetzen lassen. Denken wir uns ein 314-eckiges ?Rad‘ aus lauter gleichen Ma?st?ben zusammengefügt, dessen 314 Speichen je-de wiederum aus 50 zusammengefügten Ma?st?ben besteht. Der Quotient von Umfang und Durchmesser U*/d* bleibt also für einen mitbewegten Beobachter in S* anscheinend immer gleich 314/100 (unsere N?herung für π)– ganz unabh?ngig, ob sich das Rad dreht oder nicht. Dies steht in eklatantem Widerspruch zu der Aussage: Die Ma?st?be, aus denen sich das ?Rad‘ zusammensetzt, erleiden keine andere Deformation au?er der F ITZ G ERALD-L ORENTZ-Kontraktion. Da n?mlich K ALUZA s Ergebnis U* >U sicher richtig ist, k?nnen sich die 314 Ma?st?be, aus denen der Umfang des ?Rads‘ besteht, beim direkten Vergleich mit dem transportablen Einheitsma?stab nicht als gleich lang erweisen wie dieser. Sie sind also nicht nur kinematisch, sondern zwangsl?ufig auch dyna-misch deformiert. Daraus schlie?en wir: Eine scharfe Trennung von relativistischer Kinematik und Dynamik ist prinzipiell unm?glich. Da? es solch eine scharfe Trennung tats?chlich nicht geben kann, ist zwar l?ngst bekannt – bisher allerdings nur aus der Quantenmechanik: in H EISENBERG s Relation n?mlich finden sich immer kinemati-sche mit dynamischen Unsch?rfen zur P LANCK'schen Konstanten verknüpft.

Wie nun verhalten sich makroskopische K?rper, die allm?hlich in gleichf?rmige Rotation versetzt werden? Welche Auswirkungen hat es, wenn man von leicht deformierbaren zu immer schwerer deformierbaren Mate-rialien übergeht? Offenbar mu? es für diese – abh?ngig von der jeweils erreichbaren Rotationsgeschwindigkeit –relativistische Grenzwerte der minimalen Deformation geben. Damit wird aber von der Relativit?tstheorie zwangsl?ufig die Frage nach Materialkonstanten gestellt.

Gegenüber dem oben zitierten dynamischen Ansatz besagt der E INSTEIN'sche kinematische Ansatz sinnge-m??: L?ngenkontraktion, Zeitdilatation und andere verwandte Ph?nomene ergeben sich unabh?ngig von der Natur irgendwelcher Kr?fte allein aus der Kombination von Relativit?tsprinzip mit dem Prinzip von der Kon-stanz der Lichtgeschwindigkeit und bedürfen keiner weiteren Erkl?rung.

Nach unserem Verst?ndnis h?tte E INSTEIN nicht recht mit diesem Verzicht auf eine dynamische Erkl?rung, wenn es richtig w?re, für die gesamte Physik an der M?glichkeit einer prinzipiell vollst?ndigen, kausalen Be-schreibung des Naturgeschehens festzuhalten41).

Aus der Tatsache n?mlich, da? sich durchaus zutreffende Aussagen machen lassen über station?re K?rper in verschiedenen Bewegungs-Zust?nden, ohne da? es aber m?glich ist, vollst?ndig zu beschreiben, wie sich sol-che K?rper w?hrend entsprechender überg?nge, d.h. in Beschleunigungsphase verhalten, schlie?en wir, da? ei-ner vollst?ndigen, kausalen raumzeitlichen Beschreibung des Naturgeschehens bereits innerhalb der Relativi-t?tstheorie prinzipielle Grenzen gesetzt sind. Bei konsequenter Berücksichtigung dieser Grenzen, die – wie oben gezeigt – die prinzipielle Unm?glichkeit einer scharfen Trennung von relativistischer Kinematik und Dynamik beinhalten, sollten sich schlie?lich die unterschiedlichen Ans?tze von L ORENTZ und P OINCARé einerseits sowie E INSTEIN andererseits miteinander vereinbaren lassen:

Aus heutiger Sicht ist klar, da? die in diesem Anhang aufgeworfenen Fragen allesamt nur im Sinne der Quantenmechanik l?sbar sind. So werden zusammengesetzte K?rper zwischen verschiedenen, eng beieinander-liegenden Zust?nden wechseln, wobei sich entsprechende überg?nge der lückenlosen raum-zeitlichen Beschrei-bung entziehen. Bereits mit der E INSTEIN'schen Zuordnung von L?ngenkontraktion und Zeitdilatation zur relati-

40) Den übergang vom ausgezeichneten kosmischen Ruhsystem zu beliebigen Bezugssystemen leistet die bimetrische Formulierung der allgemeinen Relativit?tstheorie durch R OSEN [21] u.a. auf Basis eines mathematischen Ansatzes von L EVI-

C IVITA (s. a. Literaturangaben in [3], Bd. II §54).

41) Es ist sehr bemerkenswert, da? gerade E INSTEIN – als der sp?tere exponierte Verteidiger des Kausalit?tsprinzips ge-gen die Kopenhagener Schule schlechthin – für F ITZ G ERALD-L ORENTZ-Kontraktion und Zeitdilatation nicht nur auf eine kau-sale Begründung verzichtet, sondern jeden Versuch einer kausalen Erkl?rung mehr oder weniger ablehnt.