高三复习中直线与圆及应用易错题型

命题角度1 直线的方程 1．(典型例题)已知点

A )(

,,),0,3()0,0(),1,3(等于

其中那么有相交于与的平分线设λλCE E BC AE BAC C B =<

3

1.3

.2

1.2

.-

-D C B A [考场错解] ∵.3|,|3||,2

1

,2||,1||=∴==

===λ故由内角平分线定理得 [专家把脉]主要是没有考虑到.,,应为负值的方向相反与的向与λ [对症下药].3,|,|3||-==λ故的方向相反与而CE BC CE BC 2.(典型例题)点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )

2

23.

22.

2

3.2

1.D C B A

[考场错解]直接运用点到直线的距离公式.

C 故选.2

2

11|

11)1(11|2

2=

++?-+? [专家把脉]在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中，B 的取值，B 应取-1,而不是取1. [对症下药]

.2

2

311|

1)1()1(11|2

2D 故选=

++-?-+?

2．(典型例题)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x 2+y 2

=5相切，则c 的值为( ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-8

[考场错解]C.直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线方程为：2(x+1)-(y+1)+c=0即：2x-y+1+c=0,此直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即

4.55

|1|1

2|

10)1(02|2

2

=∴=+=

+++?-+?c c c 或-6, 故选C.

[专家把脉]坐标平移公式运用错误，应用x-h,y-k 分别来替换原来的x,y.

[对症下药]A 直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后的直线为2x-y-3+c=0,此直线与圆相切有：

85

|

)3()1(020|=∴-+-?+?c 或者说c=-2,故选A.

4.(典型例题)设直线ax+by+c=0的倾斜角为a,且sina+cosa=0,则a 、b 满足 ( ) A.A+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0

[考场错解]C..0.19

tan ,1tan 0cos sin C b a b

k a a a a 故选又=+∴-==

=-=?=+

[专家把脉]直线Ax+By+c=0的斜率k=.,B

A B A 而不是-

[对症下药]D .011tan 0cos sin =-∴=-==-=∴=+b a b

a k tnaa a a a 又

专家会诊

1． 已知直线的方程，求直线的斜率与倾斜角的范围，反之求直线方程，注意倾斜角的范围

及斜率不存在时的情况。

2． 会用直线的五种形式求直线方程，不可忽视每种形式的限制条件。 考场思维训练

1已知A(3,0),B(-1,-6),延长BA 到P ,3

1

=

则点P 的坐标是_________. 答案：(313，2) 解析：由已知P 分的比为-4

1

，由定比分点坐标公式可得． 2直线)(

2)3,2()(2322的一个点坐标是的距离等于上到点为参数-????

?+=--=A t t

y t x

A(-2,3) B(-4,5) C(-2-23,2+) D(-3,4) 答案： D 解析：略．

.

__________:

2

,2,),2,0(,313222111的方程为则角得直线逆时针方向旋转绕的纵截距为角得直线沿逆时针方向旋转上一点绕的倾斜角为设l l P l l l P l l l --∈απ

απαα

答案：16．2x-y+8=0 解析：由已知可设l2的方程为：y=tan2α2x-2，l 1与l 3垂直，l 1，的斜率为k 1=2,∴tan2α=

34

tan 1tan 22-=-α

α

，即l 2的方程为y=-34x-2，解方程组得P 点坐标(-3，2)．由点斜式得l 1，的方程为y=2(x+3)+2．

命题角度2两直线的位置关系

1．(典型例题)已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为 ( )

A.0

B.-8

C.2

D.10 [考场错解]A 两直线平行故斜率相等可得：224

=---m

m ∴m=0.故选A. [专家把脉].B

A B

A k 而不是-=

[对症下药]B 利用两直线平行斜率相等可得：

.8224

B m m

m 故选-=?-=--- 2．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条

[考场错解]D 由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行，可设直线y=kx+b 即,kx-y+b=0,

.21

|13|1

1

|2|2

22

1=++-=

=++-=

k b k d k b k d

.

,4,2

5

0,43.

25

5255,2121D b b k b b k 故选条故符合题意的直线有或此时或或此时解得===-=-=-= [专家把脉]当1k 21

-=时此时k AB =-,2

1不符合题意。

[对症下药]B 法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=kx+b,即kx-y+b=0

符合题意有两条直线

时或平行不合题意舍去

与解得∴===-=-==++-=++-2

5,04321

21:2

1

|

13|1

1

|2|2

2

2

1

b b k k k k b k d k b k d AB 法二：以A 为圆心，1为半径画圆，以B 为圆心2为半径作圆，∵圆心距|AB|=.215+<∴⊙A ′与⊙B 必相交，则⊙A 与⊙B 的分切线有两条，即到点A 距离为1到点B 距离为2的直线有2条.

3．(典型例题)如下图，定圆半径为a,圆心为(b,c)则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

[考场错解]B 由图知b>a>c>0.取b=3,a=2,c=1.解方程组

.5

1

54

10132B y x y x y x 故交点在第二象限选得=-=??

?=+-=++ [专家把脉]由图看出的是长度大小关系，在比较时坐标值与长度值相混淆。

[对症下药]C 由图形如此图圆心在第二象限且a 、b 、c 满足球队0

?=+-=+-0

10

132y x y x 得x=-2,y=-1,故选C.

此题也可以讨论ax+by+c=0在y 轴截距及斜率与直线x-y+1=0进行比较去解决。

4．(典型例题)由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，

,则动点P 的轨迹方程为_____.

[考场错解]设A(x 1,y 2),B(x 2,y 2), ∴PA 的直线方程为x 1x+y 1y=1.PB 的直线方程为x 2x+y 2y=1.

又∵

，从而求出x 1、y 1、x 2、y 2的关系. 联立两方程解得x 2+y 2

=3.

[专家把脉]引方法过于繁琐复杂，使运算很易出错，应考虑此特殊性。

[对症下药]如图∵

,OP 平分

∴

,在Rt △AOP 中，|OA|=1为定值∴|OP|=2

故P 轨迹为以O 为圆心，以2为半径的圆x 2+y 2=4故正确答案：x 2+y 2

=4

5.(典型例题)曲线C ：

.___,0______,)(sin 1cos 的取值范围是那么实有公共点与直线如果曲线的普通方程是为参数a a y x C y x =++?

?

?+-==θθθ

[考场错解]曲线C 的普通方程可化为：x 2+(y+1)2

=1,与直线x+y+a=0有公共点，故联立得

????

?=++=++0

1

)1(22a y x y x 消去x .2y 2+2(a+1)y+a 2=0,有公共点故 .12120+<<-?>?a

[专家把脉]忽略了直线与圆相切时的情况。 [对症下药]1212;1)1(22+≤≤-=++a y x

.

12120)1,0(:,1,)1,0(,1)1(:1cos sin 2222+≤≤-=++-=++=+a d a y x y x 式可得的距离到直线圆心由题意得为半径的圆为圆心是以得消去参数由公式θθθ

专家会诊

1． 两直线平行与垂直的充要条件在解题中的应用。

2． 夹角与距离公式是求距离或角、斜率的最值问题的工具.一定要注意公式的运用及条件. 3． 关于直线对称问题，即点关于直线对称，或直线关于直线对称.是命题热点。 考场思维训练

1直线l 1:x+3y-7=0 、l 2:kx-y-2=0与x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k 的值等于 ( )

A.-3

B.3

C.-6

D.6 答案： B 解析：略．

2已知点M 是点P(4,5)关于直线y=3x-3的对称点，则过点M 且平行于直线y=3x+3的直线方程是_____.

答案： y=3x+1解析：略．

3若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2

)y-4=0关于直线y-x=0对称的图形仍是其本身，则实数a= ( )

2

2

21.2221.2

2.2

1..或

或--±

±

D C B A

答案： B 解析：略．

4求直线l 2:7x-y+4=0到l 1:x+y-2=0的角平分线的方程。 答案：解：法一：设l 2到l 1角平分线J 的斜率为k ， ∵k 1=-1，k 2=7 ∴

k k k k ---=+-11717，解之得k=-3或k=3

1

，由图形可知 k<0，∴k=-3，又由???=+-=-+0

47022y x y x 解得l 1，与l 2的交点Q ??? ??-49,41，由点斜式得y-49=-3???

??+41x

即6x+2y-3=0

法二：设l2到l1的角为θ，则tg θ=

3

4

12121=+-k k k k = ，所以角θ为锐角，而α1=α2=2θ，由

二倍角公式可知

2

12

22θ

θtg

tg -

tg θ=3

4 ∴tg 2θ=-2或tg 2θ=21 ∵2

θ

为锐角， ∴tg

2θ=21=k

k 717+- ,∴k=-3等同解法一. 命题角度3 简童单线性规划

1．(典型例题)已知点P(x,y)在不等式组

)(

,.022,

01,02的取值范围是则表示的平面区域内y x z y x y x -=??

?

??≥-+≤-≤-

A ．[-2，-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] [考场错解]由约束条件画出可行域，再平移y=x.过(0,1)时截距最大为1，过(2,0)时截距最小为-2，∴取值范围为[-2，1]选B.

[专家把脉] z=x-y 可化为y=x-z,此时y=x-z 的截距为-z.故错选。

[对症下药]平移y=x 得最大截距为1，最小截距为-2，∴-2≤-z ≤1∴1-≤z ≤2.

2.(典型例题)设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( )

[考场错解]由题意可得?????

??+<-->-->>y

x y x y x y x 1010

???

?

?

??

??>+>><+?.21001

y x y x y x 故选D. [专家把脉]三角形两边之和大于第三边没有写完全，.2

1

0.

21

0.

1,1<<<+-->+--y x x y y x y x y x

[对症下药]由题意可列?????????

?

?+<-->-->+-->+-->>y

x y x y x x y y x y x y x y x 101110

??

?

??

???

???

>+<-+<<<

?

?+-≤-≥.1||3,

1x y x y 所表示的平面区域的面积为 ( )

2.2

23.2

3

.2

.D C B A

[考场错解]依条作出当x ≥0时即??

?+-≤-≥1

31

x y x y 所表示的区域，其面积为1，故当x ≤0时，同

理其面积为1，故总面积为2，故选D.

[专家把脉]y=-3|x|+1是关于y 轴对称，但y=x-1并不关于y 轴对称，故当x ≤0时的面积与x ≥0时的面积不相等。

[对症下药]先作出y=-3|x|+1的图像(依此函数为偶函数作)，再作出y=x-1的图像，再标出其围成的区域，如图所示：其阴影部分为所求且为2

3，故选B .

4.(典型例题)设实数x,y 满足??

???≤->-+≤--0

32,0420

2y y x y x 则x y

的最大值是______.

[考场错解]依题意作出可行域如图所示：

.7

3

,73,,的最大值为故连线斜率最大即离原点最远的点故求其最大值点相连的斜率实指可行域内的点与原x y k CO x y oc =

[专家把脉]连线斜率的最大与最小并不取决于此点与原点的远近。 [对症下药]连接OA ，则k OA 最大，.2

3,2

3的最大值为故x

y k OA =

专家会诊

1． 对线性目标函数z=Ax+By 中的B 的符号一定要注意，当B>0时,z 最大，当B<0时，当直

线过可行域且y 轴上截距最大时，z 值最小。

2． 由于最优解是通过图形来规定的，故作图要准确，尤其整点问题。 考场思维训练

1在直角坐标面上有两个区域M 和N.M 是由y ≥0,y ≤x 和y ≤2-x 三个不等式来确定的.N 是由不等式t ≤x ≤t+1来确定的，t 的取值范围是0≤t ≤1,设M 和N 的公共面积是函数f(t),

则f(t)为 ( )

22

22)2(2

1

.2

11.22.2

1.--+-++-t D t C t t B t t A 2

答案： A 解析：画出M 和N 的所表示的区域，可得面积等于-t 2+t+2

1

,所以选A 2设实数x,y 满足不等式组

)(

)2(),(,|32|24

1最小值分别为的最大值则函数>-=?

?

?-≥+≤+≤a ax y y x f x y y x

A ．7+3a,1-3a B.7+3a,-1-2a C.-1-2a,1-3a D.以上都不对

答案： A 解析：画出不等式组所表示的平面区域，由线性规划的知识知选A 3某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车，有11名驾驶员。在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A 型车350元，B 型车400元。问每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？ 答案：解：设每天派出A 型车与B 型车各x 、y 辆，并设公司每天的成本为z 元．由题意，得

?????

??

??∈≥+≤+≤≤,

,,605648,

11,5,10N y x y x y x y x 且z=350x+400y.

?????

??

??∈≥+≤+≤≤,

,,5576,11,5,10N y x y x y x y x 作出可行域，作直线l 0:350x+400y=0， 即7x+8y=0．

作出一组平行直线：7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x +7y=60和y=5的交点A(6

25

，5)，由于点A 的坐标不都是整数，而x ，y ∈N,所以可行域内的点A(

6

25

,5)不是最优解． 为求出最优解，必须进行定量分析． 因为，73

6

25

+835≈69.2，所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直线是7X+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以(10，0)是最优解，即当l 通过B 点时，z=350310+4003O=3500元为最小． 答：每天派出A 型车10辆不派B 型车，公司所化的成本费最低为3500元 命题角度4 圆的方程

1(典型例题)从原点向圆x 2+y 2

-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( ) ππππ6.4.2..D C B A [考场错解]由半径为3，圆心与原点距离为6，可知两切线间的夹角为60。

，故所相应的圆心角为120，故所求劣弧为圆弧长的C 故选为.43

2323

2ππ=??.

[专家把脉]没有理解清楚优弧，劣弧的概念，劣弧应为相对较短的一段弧。 [对症下药]所求劣弧是整个圆弧的ππ23

1323

1=??故所求弧长为.

2.(典型例题) △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H.),(OC OB OA m OH ++=则实数m=______.

[考场错解]选取特殊三角形，取△ABC 为等边三角形，则,0||,0||=++=OC OB OA OH 故m 可取任意实数。

[专家把脉]情况太特殊，若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时

0||,0||≠++≠OC OB OA OH 此时与m 为任意实数相矛盾。

[对症下药]

.

1,.,.90,,.1.=∴++=-===<=m OC OB OA OH OC OB OA OH A ABC m 故或利用直角三角形意义又可求由向量的加减法的几何

3．(典型例题)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C 的方程为_____.

[考场错解]设圆的方程为

???????=---+=-?-=----=-++?-==-+-.

072)2()4(224,24,02,0.)()(00

2

2

0200220200222020y x r y x x r y x x x x y r y y x x 故分别为方程的两根令

解得x 0=-3,y 0=-13,r=168.故所求圆的方程为(x+3)2

+(y+13)2

=168. [专家把脉]应是令x=0,而不是令y=0，故后面的结果均错。

[对症下药] 法一:∵AB 的中垂线,3-=y 必过圆心 故解?

?

?=---=0723

y x y 得圆心坐标为=-'|'|),3,2(0A O

∴.5所求圆的方程为.5)3()2(22=++-y x

法二:设圆C 的方程:22020)()(r y y x x =-+-

圆心在直线072=--y x 上 07200=--∴y x

①

又 圆过A (0, -4) B (0, -2)

22020)4(r y x =--+∴ ② 22020)2(r y x =--+ ③

由①②③解得?????=∴-==532

00r y x 圆的方程++-y x ()2(2

2)3

专家会诊

1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解.

2讨论点、直线、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征（方程组解的个数）或几何特征去考虑，其中几何特征数更为简捷实用。 考场思维训练

1过点A （1，-2），B （-1，1），且圆心在直线=-+2y x 0上的圆的方程是 ( )

A.4)1()3(22=++-y x

B.4)1()3(22=-++y x

C.4)1()1(22=+++y x

D.4)1()1(22=-+-y x

答案： A ∵只有A 中的圆心(3，-1)在直线x+y-2=0上， ∴选A.

2 方程0)1lg(122=-+-y x x 所以表示的曲线图形是

答案： D 解析：方程的解为x=1或x 2

+y 2

=2，且x 2

+y 2

>1，当x=1，y ≠0． 3．已知两点A （-1，0），B （0，2），若点P 是圆（x-1）2+

y 2=1上的动点，则△ABP 面积的最大值和最小值分别为 （ ）

)25(2

1

),52(21.)53(21

),53(21.)54(21

),54(21.)15(21

),54(21.

.-+

++

-+-+D C B A 答案： B 解析：过圆心C 作CM ⊥AB 于M ，设CM 交圆于P 、Q 两点，从图可以看出，△ABP 和△ABQ 分别为最大和最小值，可以求得最大值和最小值分别为2

1(4+5)，2

1 (4-5)，所以选

B

4 如图8 – 5，已知点A 、B 的坐标分别是（-3，0），（3，0），点C 为线段AB 上任一点，P 、Q 分别以AC 和BC 为直径的两圆 O 1、O 2的外公切线的切点，求线段PQ 的中点的轨迹方程.

答案：解：作MC ⊥AB 交PQ 于点M ，则MC 是两圆的公切线，

∴|MC|=|MQ|，|MC|=|MP|，即M 为PQ 的中点．设M(x ，y)，则点C 、O 1、O 2的坐标分别是(x ，0)、(

23x +-, 0)、(2

3x

+，0)．连O 1M ，O 2M ，由平几知识得：∠O 1MO 2=90°， ∴有|O 1M|2

+|O 2M|2

=|O 1O 2|2

，即： (x-23x +-)2+y 2+(x-2

3x +)2+y 2

=(

23x +--2

3x +)2，化简得x 2+4y 2

=9.

又∵点C(x,0)在线段AB 上，且AC 、BC 是圆的直径，

∴ -3

故所求的轨迹方程为x 2+4y2=9(-3

1．（典型例题）已知直线L 过点（-2，0，当直线L ） 与圆x

y x 222=+有两个交点时，其斜率k 取值范围是

（ ）

)8

1,81(.)4

2,42.()2,2.()

22,22.(-

-

--D C B A

[考场错解] 设此直线为.)2(+=x k y 圆心到直线的距离刚好好等于半径（即相切）时 .

.8

111322

=

?=+k k k ,8

1

2=

∴k 故选D . [专家把脉] 计算出,2k 见答案中有此结果, 便盲目选出答案 .并没有开方算出.4

2±

=k [对症下药] 可设直线方程为)2(+=x k y 代入圆的方程中,用

.4

2428102<<-<

相切的2)(2=++b y

( )

A. 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件

C ． 充分必要条件

D ． 既不充分又不必要条件

[考场错解] 当 b a =时圆心坐标为,),(a a -圆心到直线的距离为

22

|

2|=+-a a 与半

径杨等，故b a =是直线和圆相切的充分人条件，同理不直线与圆相切时，圆心),(b a -到

2+=x y 的距离为

.22

)

2(b a b a =?=+-故

b a = 是直线与圆相切的充分必要条件.

[专家把脉] 在运用点到直线的距离公式时,2+=x y 应先变为02=+-y x 再计算. 这刊里y 的系数应为- 1而不是未变形前的1.

[对症下药] 当b a =,时圆心),(a a -到直线2+-y x =0的距离为

2

|

2|++a a 不一定刚好等

于2,故不是充分条件, 当直线与圆相切时,),(b a -到直线02=+-y x 的距离应等于半径, 即

40,22

|

2|-=+=+=++b a b a a a 或解得故也不是必要,综合得b a =是直线与圆相切的既不充

分也不必要条件.

1. (典型例题) 圆心为( 1 ,2 ) 且与直线--x x 125

7=0相切的圆的方程为__________.

[考场错解] 圆心到直线的距离等于半径即

∴==+--?+?.2125|

7)12(251|2

2r 圆的方程为+-2)1(x

.2)2(2=-y

[专家把脉] 在算出r 后,往22020)()(r y y x x =++- 中代入时、忘记后面是r 2.

[对症下药] 由圆心到直线的距离等于半径得r = 2.

.4)2()1(22=-+-y x 圆的方程为

4. (典型例题) 设P < 0 是一常数,过点`Q(2P,0)的直线与抛物线px y 22=交于相导两点A 、B 以线段AB 为直径作圆H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆H 的圆周上;并求圆H 的面积最小

时直线AB 的方程.

[考场错解] 设AB 直线方程为).2(p x k y -=

),().,(2211y x B y x A

①

.0242,222222=--∴=-=px k p x k px

y px kx y

2212

2214,24p x x k

p

pk x x =?+=

+∴

① 式中联立消去.04222>--k p py ky x 得

.4,222121p y y k

p

y y -=?=

+ 由.12

1212211-=??=?=

?x x y y x y x y k k OA OB 故不存在最小值

又取最小值

时当上在圆0,01

.4251)251

(

2)2

(2.222

2

2121≠=∴-++=+++==∴⊥∴ r k

k p y y x x OH r H O OA OB

[专家把脉] ∵

012

=k 时,，虽然不成立，而

01

2

=k 时说 明k 不存在，即直线AB 轴x ⊥.

[对症下药] 法一;由题意, 直线AB 不能是水平线,故可设 直线方程为:.2p x ky -==又设A

),,(),,(B B B A y x B y x 则其坐标

满足

?

??=-=px y p

x ky 222

消去x 得 .04222=--p pky y ,由此得

?

??-==+.422P y y pk y y B A B A ,4)2()()24()(42

22?

?

?

??==+=++=+P P y y x x p k y y k p x x B A B A B A B A 因此必故即O OB OA y y x x OB OA B A B A ⊥=+=?,0 在圆H 的圆周上.

又题意圆心),(H H y x H 是 AB 中心点

,

故???

????

==++=+.2.)2(22kp y y p k x x x B y

A B B A H 由前已证,OH 应是圆H 的半径,且|OH|=2

2H

H y x + .4524p k k ++=从而当k=0时,圆H 的半径最小,亦使

圆H 和面积最小,此时,直线AB 的方程为:.2p x =

法二:由题意,直线AB 不能是水平线，故可设直线方程 为：),,(),,(2B B A A y x B y x A p x ky 又设-=则其坐标满足

??

???=++-=--???=-=.04)2(2.

042,,2,2222222p x k p x p pky y y x px y p x ky 得分别消去 故 得A 、B 所在圆的方程.02)2(2222=-+-+pky x k p y x 明 显的，O ，（0，0）满足上面方程A 、B 、O 三点均在上面方 程所表示的圆上，又知A 、B 中点H 的坐标为,2

(

B

A x x + .)2(|0|),,)2(()2

222222p k p k H kp p k y y B

A +++=+故 而前面圆的方程可以可表示为=-++-222)(])2([pk y p k x

,)2(22222p k p k ++故|OH|为上面圆的半径R ，从而以AB

为直径直圆必过点O （0，0）.又 ++==24225(||k k OH R

22.0,)4R k p 时故当=J 最小.从而圆的面积最小,此时直

线ABR 的方程为:p x 2=

法三:,同解法得O 必在圆周上,又直径|AB

|==++=-+-2

2222)()(B B A B A B A y x x y y x x

.442222

2p x x p x x px px x x B A B A B A B A =?+≥+++

上式当B A x x = 时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆 面积最小,此时直线AB 的方程为.2p x =

专家会诊

1．直线与圆、圆与圆的位置关系判断时利用几何法(即圆心到直线，圆心与圆心之间的距离，结合直角三角形求解.)

2.有关过圆外或圆上一点的切线问题，要熟悉切线方程的形式． 考场思维训练

1 已知直线ax+by+c=0(abc ≠0)与圆x 2+y 2=1相切，则三条边分别为，|a|、|b|、|c|的三角形是( )

A.锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在 答案： B 解析：

1||2

2

=+b

a c ．

2 若a 2+b 2-2c 2=0，则直线ax+by+c=0被x 2+y 2=1所截得的弦长为 ( ) A ．2

1 B ．1 C ．

2

2

D ．2 答案： D 解析：设圆心到直线的距离为d ，弦长为l ， 则d 2=

2

1

2

22=

+b a c ，l=2.222=-d R 3 如图，已知点F(0，1)，直线L ：y=-2，及圆C ：x 2+(y-3)2=1．

(1)若动点M 到点F 的距离比它到直线L 的距离小1，求动点M 的轨迹E 的方程； 答案：解①x 2

=4y ②x 1x 2=-4 ③P(±2，1)S min =7

(2)过点F 的直线g 交轨迹E 于C(x 1，y 1)、H(x 2，y 2)

两点，求证:x l x 2为定值；

(3)过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ，要使四边形PACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值．

4 如图8-9，已知圆C:(x+4)2+y 2=4．圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 外切．圆D 与y 轴交于A 、B 两点，点P 为(-3，0)．

(1)若点D 坐标为(0，3)，求∠APB 的正切值； 答案：∵|CD|=22||||OD CO +=5，(O 为原点)且

圆D 与圆C 外切， ∴圆D 半径r=5-2=3，

此时，A 、B 坐标分别为(0，0)、(0，6)， ∴PA 在x 轴上，且BP 的斜率k=2， ∴tan ∠APB=2．

(2)当点D 在y 轴上运动时，求∠APB 的最大值；

答案：设D 的坐标为(0，a)，圆D 的半径为r ，则(r+2)2=16+a 2

. ①

设PA 、PB 的斜率为k 1、k 2，又A 、B 的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)．则

k1=

3

,3

2r

a k r a +=

-,

∴tan ∠APB=963

313322+-=-?

++--

+r a r r a r a r

a r a ② 由①解出a 2

代人②，得tan ∠APB=,6

89

233346-+=-r r r 而8r-6为单调增函数，r ∈[2，+∞]．

∴tan ∠APB ∈(5

12,

23) ∠APB 的最大值为arttan

5

12. (3)在x 轴上是否存在定点Q ，当圆D 在y 轴上运动时，∠AQB 是定值?如果存在，求出点Q 坐标；如果不存在，说明理由．

答案：假设存在Q 点，设Q(b ，0)，QA 、QB 的斜率分别为 k 1、k 2，则中 k 1＝

,,2b

r

a k

b r a -+=-- tan ∠AQB=12121|1||1|r a b br b

b b r

a b r a k k k k -+-=-?

-+---

-+=+-将a 2=(r+2)2-16代人上式，得 tan ∠AQB=4122|

|4122|

2

2

+--=+--r

b b r

b br 欲使∠AQB 大小与r 无关，则应有b 2

=12，即b=±23，

此时tan ∠AQB=3，∠AQB=60°,

∴存在Q 点，当圆D 变动时，∠AQB 为定值60°，这Q 点坐标为(±23，0)

探究开放题预测

预测角度1 直线的方程

1．求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线乙的方程． [解题思路] 满足两个条件才能确定一条直线．一般地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数．

[解答] 解法一：先用“平行”这个条件设出乙的方程为3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求m ，∵直线l 交 x 轴于A(-3m ，0)，交了轴于B(0，-4m )由2124

3m

m -?-=24，得m=

±24，代入①得所求直线的方程为：3x+4y ±24=0

解法二：先用面积这个条件列出l 的方程，设l 在x 轴上截距离a ，在y 轴上截距b ，则有2

1

，|ab|=24，因为乙的倾角为钝角，所以a 、b 同号，|ab|=ab ，l 的截距式为148

=+

y

a x ，即48x+a 2

y-48a=0②又该直线与3x+4y+2=0平行， ∴,2

4843482a

a -≠=

∴a=±18代入②得所求直线l 的方程为3x+4y ±24=O

2．设正方形ABCD(A 、B 、C 、D 顺时针排列)的外接圆方程为x 2+y 2-6x+a=0(a<9)，C 、D 点

所在直线l 的斜率为3

1

．

(1)求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；

(2)如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；

(3)如果ABCD 的外接圆半径为2 ，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程．

[解题思路] (1)利用斜率公式求倾斜角．(2)(3)运用轨迹法．

[解答] (1)由(x-3)2+y 2=9-a(a<9)可知圆心 M 的坐标为(3，0)，依题意：∠ABM=∠BAM=

4π，k AB = 3

1 ∴MA 、MB 的斜率A 满足：k k 3

1131

+-

=1，解得：k AC =-21,k AB =2. (2)设MB 、MA 的倾斜角分别为θl 、θ2，则tan θ1=2， tan θ2=-21

，可以推出：cos θ1=

55，sin θ1=

552，cos θ2=- 552,sin θ2=

55

． 再设|MA|=|MB|=r ，则A(3-

r r 5

5

,552)，B(3+

r r 552,55) 设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，由于A 、B 两点在抛物线上，

∴???????

?+=-=)553(2)55

2(),55

2

3(2)55(

2

2r p r r p r 解出：r=5，p=21 . 得抛物线方程为y 2=x.

由此可知A 点坐标为(1，1)，且A 点关于M(3，0)的对称点C 的坐标是(5，-1)，∴直线l 的方程为y-(-1)=3

1(x-5),，即x-3y-8=0．

(3)将圆方程(x-3)2+y 2=(25)2分别与AC 、BD 的直线方程：

y=2

1(x-2)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)， B(5，4)．

设抛物线方程为了y 2=a(x-m)(*)将A(-1，2)、B (5，4)的坐标代入(*)，得

??

?-=--=)5(16)

1(4m a m a 解得：a=2，m=-3，

∴抛物线的方程为y 2=2(x+3)．

A(-1，2)，点关于M(3，0)的观点为C(7，-2)， 故直线l 的方程为y-(-2)=3

1(x-7)，即x-3y- 13=0．

预测角度2

两直线的位置关系

1．若直线mx+y+2=0与线段AB 有交点，其中A(-2，3)，B(3，2)，求实数m 的取值范围．

[解题思路] 运用数形结合的思想来解，直线mx+y+ 2=0的斜率-m 应为倾角的正切，而当倾角在(0°，90°)或 (90°，180°)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB 内部变化时，众应大于或等于k BC ，或者k 小于或等于k AC ，当A 、B 两点的坐标变化时，求出m 的范围．

[解答] 直线m+y+2=0过一定点C(0，-2)，直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0，-2)的直线系，因为直线与线段AB 有交点，则直线只能落在∠ABC 的内部，设BC 、CA 这两条直线的斜率分别为k 1、k 2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率A 应满足k ≥k 1，或k ≤k 2，∵A(-2，3) B(3，2)

25

342534253421≥

-≤-≤-≥-∴-==

∴m m m m k k 或即或

2．如图8-11，已知：射线OA 为y=kx(k>0，x>0)，射线OB 为了y=-kx(x>0)，动点P(x ，y)

在∠AOx 的内部，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥kOB 于N ，四边形ONPM 的面积恰为k ．

(1)当k 为定值时，动点P 的纵坐标y 是横坐标x 的函数，求这个函数y=f(x)的解析式； (2)根据A 的取值范围，确定y=f(x)的定义域． [解题思路] (1)设点的坐标而不求，直接转化． (2)垂足N 必须在射线OB 上，所以必须满足条件：y<

k

1

x ，将它代入函数解析式，得x k

k x 1

122<

--，解不等式即可． [解答] (1)设M(a ，ka)，N(b ，-kb)，(a>0，b>0)．则|OM|=a 21k +，|ON|=b 21k +． 由动点P 在∠AOx 的内部，得0

2

2

2

2

11||||,

11|

|||k y kx k

y kx PN k y

kx k y kx PM ++=

++=

+-=

+-=

∴

∴S 四边形ONPM =S △ONP +S △OPM =2

1

(|0M|2|PM|+ |ON|2|PN|) =2

1[a(kx-y)+b(kx+y)]=

21

[k(a+b)x- (a-b)y]=k ∴k(a+b)x-(a-b)y=2k ① 又由k PM =-k 1a x ka y --=，k PN =b

x kb y k -+=1， 分别解得a=

2

2

1,1k ky x b k ky x +-=

++，代入①式消a 、b ，并化简得x 2-y 2=k 2+1．

∵y>0，∴y=122--k x

(2)由0

????

?

+<-+>?????

?<-->--?1

)1((*)

11012222222222k x k k x x

k k x k x

当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)?x>2． 当0

<2

211k k -+，x<

.111(*),1142

4k k x k k k --<

<+?∴--

当k>1时，由不等式②得x 2>011,1122<-+-+k

k k

k 且

∴(*)?x>12+k

但垂足N 必须在射线OB 上，否则O 、N 、P 、M 四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y<

k 1x ，将它代入函数解析式，得122--k x

1x 解得1

11242

--<

<+k k k x k (k >1)，或x ∈A(0

综上：当k=1时，定义域为｛x|x>2｝； 当0

411k k --};

当k>1时，定义域为{x|12

+k

411k k --}.

预测角度3

线性规划

1．已知x 、y 满足约束条件

??

?

??≤+-≤-≥.3053,43,1y x y x x 求目标函数z=2x-y 的最大值和最小值．

[解题思路] 由x 、y 满足的约束条件作出可行域，利用平移法求最值． [解答] 根据x 、y 满足的约束条件作出可行域，即如图所示的阴影部分(包括边界)．

作直线l 0：2x-y=0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x-y= t ，t ∈R

可知，当l 在l 0的右下方时，直线l 上的点(x ，y)满足2x-y>0，即t>0，而且直线l 往右平移时，t 随之增大．当直线l 平移至ll 的位置时，直线经过可行域上的点 B ，此时所对应的t 最大；当l 在l0的左上方时，直线l 上的点(x ，y)满足2x-y<0，即t<0，而且直线l 往左平移时，t 随之减小．当直线l 平移至l 2的位置时，直线经过可行域上的点C ，此时所对应的t 最小．

由???=-+=+-,

03053,

043y x y x 解得点B 的坐标为(5，3)；

由??

?=-+=,

03053,1y x x 解得点C 的坐标为(1，527

)．

所以，z 最大值=235-3=7；z 最小值=2

2．已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示．

现在将xkg 的食物P 和ykg 的食物Q 及zkg 的食物 R 混合，制成100kg 的混合物．如果这100kg 的混合物中至少含维生素A44000单位与维生素B48000单位，那么 x 、y 、z 为何值时，混合物的成本最小? [解题思路] 由x+y+z=100，得z=100-x-y ，所以上述问题可以看作只含x 、y 两个变量．设混合物的成本为k 元，那么k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400．于是问题就归结为求∵在已知条件下的线性规划问题．

[解答] 已知条件可归结为下列不等式组：

?????????

?

?≤+≥--++≥--++≤+≥≥,

100.48000)100(400200800,44000)100(400600400,100,0,0y x y x y x y x y x y x y x ??

?≥-≥.

402,

20y x y 即① 在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x-y=40围成的一个三角形区域EFG(包括边界)，即可行域，如图所示的阴影部分．

设混合物的成本为k 元，那么k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400．

作直线l 0：2x+y=0，把直线l 0向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点E ，且与原点的距离最小，此时2x+y 的值最小，从而A 的值最小．

由?

?

?==-,20,

402y y x

得?

?

?==,20,

30y x 即点E 的坐标是(30，20)． 所以，k 最小值=2330+20+400=480(元)，此时z= 100-30-20=50．

答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元． 预测角度4 直线与圆

1．已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0

AT

，使BB'垂直且等于BT,A'B'交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系．

(1)写出直线A'B'的方程； (2)计算出点P 、Q 的坐标；

(3)证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q ．

[解题思路] (1)由两点式可求；(2)联立方程即可求出点P 、Q 的坐标； (3)要证由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q ，即只要证直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数．

[解答] (1)显然A'(1，1-t)，B'(-1，l+t)，于是直线A'B ，的方程为了y=tx+1；

(2)由方程组??

???+-==+,1,

122tx y y x 解出P(0，1)、);1,12(222t t o t t Q +-+ (3).1)1(11011,100122

22

t t t t t

t t t k t t k QT PT

=--=-+-+-=-=--= 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q ．

2．已知⊙M:x 2+(y-2)2=1，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切OM 于A 、B 两点， (1)如果|AB|=

3

2

4，求直线MQ 的方程； (2)求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．

[解题思路] (1)由射影定理知：|MB|2=|MP|2 |MQ|，得|MQ|=3，在Rt △MOQ ，求出OQ ．再求直线MQ 的方程；利用点M 、P 、Q 在一直线上，斜率相等求动弦AB 的中点P 的轨迹方程．

[解答] (1)由|AB|=

3

2

4，可得|MP|=31)322(1)2||(||2222=-=-AB MA ,由射影定理，得|MB|2=|MP|2|MQ|，得，|MQ|=3，

在RtAMOQ 中， |OQ|=,523||||2222=-=-MO MQ 故a=5或a=-5

所以直线MQ 方程是

2x+5y-25=0或2x-5y+25=0；

(2)连接MB 、MQ ，设P(x ，y)、p(a ，0)，由点M 、P 、Q 在一直线上，得

x

y a 22-=-,(*)由射影定理得 |MB|2=|MP|2|MQ|， 即

14)2(222=+?-a y x ,(答案：)把(*)及(答案：)消去a ，并注意到y<2，可得x 2+).2(16

1

)4

7(2≠=

-y y 预测角度5

有关圆的综台问题

1．设P 是圆M ：(x-5)2+(y-5)2=1上的动点，它关于A(9，0)的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90°到点S ，求|SQ|的最值．

[解题思路] 运用复数的几何意义求出SQ 的轨迹方程，再求|SQ|的最值．

[解答] 设P(x ，y)，则Q(18-x ，-y),记P 点对应的复数为x+yi ，则S 点对应的复数为： (x+yi)2i=-y+xi ，即S(-y ，x)