三角形“五心”优美的向量形式

三角形五心性质概念整理(超全)

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 。 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC） —

三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明 1. O 是123PP P ?的重心?1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ?三边) 证明：充分性: 1230OP OP OP ++=?O 是123PP P ?的重心 若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即' 33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ?的中线，同理，1 2,PO P O 亦为123PP P ?的中线，所以，O 为的重心。 * △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心 1(),3 1()3AP AB AC P ABC BP BA BC ?=+???? ?=+?? 为的重心， *1()3 PG PA PB PC =++?G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点). 证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+?3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心 ∴GA GB GC ++=0?AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ P 1 2 P P 3 O P ABC ?() 1 , 2 AD AB AC =+ABC ?2.在 中，给等于已知AD 是 中 BC 边的中线;

由此可得1 ()3 PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)) *若O 是ABC ?的重心，则 ABC AOB AOC BOC S 31 S S S ????= == 2. 0 AP BC P ABC BP AC ?=??? =??为的垂心 * 点O 是123PP P ?的垂心?122331OP OP OP OP OP OP ?=?=? 证明：O 是123PP P ?的垂心?312OP PP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ?=??-=??=? 同理123OP P P ⊥?3112OP OP OP OP ?=? 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ?=?=?. * O 是△ABC 所在平面内一点2 2 22 2 2 → →→→ → →+=+=+AC OB BA OC BC OA 则O 是△ABC 的垂心 证明：由 ，得 ，所以 。同理可证 。容易得到 由以上结论知O 为△ABC 的垂心。 * 设()+∞∈,0λ，则向量cos cos ( C AC B AB + λ必垂直于边BC ， 该向量必通过△ABC 的垂心 [)+∞∈????? ? ??+=→ →→→→,0,cos cos λλC AC AC B AB AB AP ()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ???+=+ ||||cos() ||||cos ||||0 ||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC C π?-?= + =-+=

三角形五心定律

垂心 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清， 重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点 内心 内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 希望对你有帮助！三角形五心定律 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。 一、三角形重心定律 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的

三角形五心性质概念超全

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重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x ，y ） 则该点到三顶点距离平方和为： (x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2+(x 3-x)2+(y 3-y)2 =3x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32 =3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)]2+3[y-1/3*(y 1+y 2+y 3)]2+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（）时 上式取得最小值x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 最终得出结论。 4、在中，重心的坐标是的， 即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空间——：(X 1+X 2 +X 3 )/3，：(Y 1 +Y 2 +Y 3 )/3，：（Z 1 +Z 2 +Z 3 ）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC） 内心 设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+∠BAC/2． 3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 那么△ABC内心I的坐标是：

三角形五心性质概念整理(超全)

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC）

中考数学之三角形五心定律

三角形五心定律 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。 三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称. 重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交 于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心定理：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心定理：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））（除正三角形） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明：连接DE

完整版三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明 1. O是RP2R的重心 UJU uuir umr r Op OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边) P2 P P3 uu uur uur r 证明：充分性：OR OF2 OP 3 0 O是PP2F3的重心 uuu uir uur r uur uur uur uuur uur 若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2 OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有 即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同 理, uur uuu OP3 OP3 ， 为邻边作平行四边形 uur OP 1 uur uuur, OP2OP3，得 PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。 2?在ABC中，给uur AD uur uuu AB AC , 等于已知AD是ABC 中BC边的中 线； ————uur * △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重 心 luu AP uu BP *PUG 1 uuu (AB 3 1 uuu -(BA 3 1 uur - (PA uur AC), uur BC), P为VABC的重 心 uur uir PB PC) uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uur PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC) -G是厶ABC的重心 uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu -GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PC G ABC的重心（P是平面上任意点）. 证明 （反之亦然（证 略）） uur PB uir PC). uur 1 uur 由此可得 PG (PA 3 S *若O是ABC的重心，则 BOC S AOC S AOB 1S S ABC 3

三角形五心及其性质.

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形垂心的性质 设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、 C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的 垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的 垂心； 3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。 4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF。 5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。 7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC。 8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 13、设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。 垂心的向径 定义 设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c， 则h=(tanA a +tanB b +tanC c)/(tanA+tanB+tanC). 垂心坐标的解析解： 设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。 其中， Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]); Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);

高考数学专题突破：三角形的五心与向量【精编版】

高考数学专题突破：三角形的五心与向量 一、 外心 1.定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径． A B C O 2.性质： ① 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③OA=OB=OC=R ④∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA ⑤S△ABC=abc/4R ⑥||||||==(或 2 22O O O ==) ⑦C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=???：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 二、内心

1.定义：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． I K H E F A B C M 2.性质： 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，r=2S/(a+b+c) 特别的，在直角三角形中,有 r =1 2(a +b －c )． ②∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 ③S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径) ④O 是内心ABC ?的充要条件是 0| CB || CA || BC || BA |AC | AB |=- ?=- ?=- ?引进单位向量，使条 件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ?内心的充要条 件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+?=+?=+? ⑤O 是ABC ?内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ ⑥若O 是ABC ?的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ⑦||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? ABC ?的内心; ⑧向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； 三、垂心

三角形五心的性质【超全总结】

重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是： Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c). 3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 4、(欧拉定理)ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr． 5、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 6、内心到三角形三边距离相等。 旁心的性质：（外角的角平分线的交点） 1、每个三角形都有三个旁心。 2、旁心到三边的距离相等。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形“五心”的充要条件的向量表示

三角形“五心”的充要条件的向量表示 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 让我们先来赏析一道颇有趣的向量题： 命题1：在ΔABC 内任取一点O ，证明：=?+?+?S S S C B A …①（其中S A 、S B 、S C 分别表示ΔBOC 、ΔCOA 、ΔAOB 的面积）。 解：记,,方向上的单位向量依次为321,,e e e ，并 记∠BOC 、∠COA 、∠AOB 依次为α1、α2、α3，则 121sin ||||αS A ?= ， 21sin ||||αS B ?= ， （图1） 321 sin ||||αS C ?= 。 所以，①式等价于0sin sin sin 332211=++αααe e e …② 如图1，在OA 上取点D ，使11sin αe =，过D 作DE ∥OB 交CO 延长线于E ，则 在ΔODE 中，32sin ,sin αα==OE DE ，∴3322sin ,sin ααe e ==，于是，11sin αe 、22sin αe 、33sin αe 恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。 评注：如果把②式放到力学背景中，将321,,e e e 看作是大小 为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力11sin αe 、 22sin αe 、33sin αe 平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证 明。根据图2可知，11sin αe 、22sin αe 在33sin αe 反方向上的 分量分别为2120 1cos sin )180cos(sin αααα-=-和 （图2） 12102cos sin )180cos(sin αααα-=-；在垂直于33sin αe 方向上的分量分别为 21sin sin αα和12sin sin αα 。由于πααα2321=++，故1221c o s s i n c o s s i n αααα-- 321sin )sin(ααα=+-=，而21sin sin αα=12sin sin αα显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。 这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形“五心”用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形“五心”的一种向量表示。真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”啊！

O向量表示三角形的五心

O向量表示三角形的五 心 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

向量代表三角形的“心” 向量是代数与几何的主要桥梁，这种联系不仅体现在平面直角坐标系中点的坐标与向量的坐标之间的对应关系，还体现在由向量表达式和向量的几何中意义与平面几何中三角形的“心”之间的密切联系。 一、重心 例1 已知O 是△ABC 的重心，求证：0=++OC OB OA 。 解：如图，由已知，O 是△ABC 的重心。连结AO 、BO 、CO ，使它们的延长线与BC 、CA 、AB 分别交于点D 、E 、F 。 )(3232CA DC DA OA +==，)(32 32AB EA EB OB +==， )(3 2 32BC FB FC OC +== ， 所以BC BC AB CA FB EA DA OC OB OA 2 1(32)(3 2=+++++=++ 0)2 1 21=++=+++++BC AB CA BC AB CA AB CA 。 例2 已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若0=++OC OB OA ，则 O 是△ABC 的重心。 证：∵0=++OC OB OA ，∴)(OC OB OA +-=，即OC OB +是与OA 方向相反且长度相等的向量。 以OB 、OC 为相邻的两边作平行四边形BOCD ，则OC OB OD +=，∴OA OD -=。在平行四边形BOCD 中，设BC 与OD 相交于E ，EC BE =，则ED OE =。∴点O 是△ABC 的重心 例3 在凸六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6中，各边A 1A 2、A 2A 3、A 3A 4、A 4A 5、A 5A 6、A 6A 1的中点依次为M 1、M 2、M 3、M 4、M 5、M 6。求证：△M 1M 3M 5与△M 2M 4M 6的重心重合。 证：设△M 1M 3M 5的重心为G ，则对于平面内的任一点O ，有 )(3 1 531OM OM OM OG ++=。 ∵M 1、M 3、M 5分别为A 1A 2、A 3A 4、A 5A 6的中点，∴)(2 1211OA OA OM +=，)(2 1433OA OA OM +=，

向量三角形五心试题

向量 三角形的四心： （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 1.O 是ABC ?所在平面上一点，若0=++OC OB OA ，则O 是ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 2.O 是ABC ?所在平面上一点，若OA OC OC OB OB OA ?=?=?，则O 为ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 3.O 是ABC ?所在平面上一点，且 a , b , c 是三角形的三条边长， 0=++OC c OB b OA a ，则0为ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 4.O 是ABC ?所在平面上一点，OC OB OA ==， 则O 是ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 5.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 6.（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)( AC AC AB AB OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ?的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 7.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 )c o s c o s ( C AC AC B AB AB OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过 ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 8. 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ??+ ?=++ ??? ，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹 一定通过ABC △的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 9. P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ?=?=?，则P 是ABC △的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 10.若H 为△ABC 所在平面内一点，且2 2 2 2 2 2 AB HC CA HB BC HA +=+=+ 则点H 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 11.O 是ABC ?所在平面上一点， )| CB |CB | CA |CA ( OC )| BC |BC | BA |BA ( OB )AC AC | AB |AB ( OA =-?=-?=-? 则点O 的是ABC ?的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

用向量表示三角形的五心

用向量表示二角形的五心 如图， ABC 中，E 是AC 上一点，F 是AB 上一点，且 一 FB 数化为同分母分数)?连接BE 、CF 交于点D ，确定点D 的位置. 解:设 AB a, AC b. BD DE, CD DF ⑶若BE 、CF 是 ABC 两边上的高，交点D 是三角形的垂心. AD AB AE 1 1 1 1 ■ a n (1 )(l 1 AC AF 1 由定比分点的向量表达式，得 AD AB 1 1 1 —b n) (1 a )(l m) -(—AC) 1 l n m -( AB) 1 l m m : AC 1 (1 )(1 m) 1 1 m 1 (1 ~~)(1 m) n 1 (1 ~~)(1 n) 1 解得 — m ~ n _ 代入得：AD m 一 a n 一 b l m n l m n 设o 是平面上任意一点，则有AD OD OA, a 上式可化为：0D ----- OA m 一 OB l m n l m n 由()式出发，可得三角形五心的向量表达式 (1).若 BE 、CF 是 EE 1, C OB OA, b OC 0A ABC 两边的中线，交点D 是三角形的重心 m AF . 1 l FB OD ^(OA OB OC) 3 ABC AB c (2)若 BE 、CF 是 冲n AE 则_ l EC BC a 代入(*)式得： — a — OD OA a b c 两内角的平分线，交点D 是三角形的内心. m AF l FB AC b BC a b — OB a b c c — OC. a b c m ，伴 n (通分总可以把异分母分 l EC l

三角形五心的性质超全总结

三角形五心的性质【超全总结】 重心的性质：（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点） 1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质：（三条高的交点） 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是： Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c). 3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 4、(欧拉定理) ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr． 5、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 6、内心到三角形三边距离相等。 旁心的性质：（外角的角平分线的交点） 1、每个三角形都有三个旁心。 2、旁心到三边的距离相等。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 1 / 1

三角形'五心'的向量表示

三角形"五心"的向量表示 江苏省姜堰中学张圣官（225500） 让我们先来赏析一道颇有趣的向量题： 命题1：在ΔABC内任取一点O，证明： ...①（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。 解：记方向上的单位向量依次为，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α1、α2、α3，则， ，（图1） 。 所以，①式等价于 ...② 如图1，在OA上取点D，使，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则 在ΔODE中，，∴，于是，、、恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。 评注：如果把②式放到力学背景中，将看作是大小为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力、、平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证明。根据图2可知，、在反方向上的分量分别为和（图2） ；在垂直于方向上的分量分别为和。由于，故 ，而=显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。 这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形"五心"用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形"五心"的一种向量表示。真是"踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫"啊！ 命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC形外时，类似地还可以得到： 命题2：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论 ...②（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（证明略） 只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的"五心"，就可以得到三角形"五心"的向量表示。 命题3：设O是ΔABC所在平面内一点，则 （Ⅰ）O是ΔABC的重心； （Ⅱ）O是ΔABC的外心； （Ⅲ）O是ΔABC的内心； （Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心； （Ⅴ）O是ΔABC的旁心或或。 利用三角形面积公式和等式①、②，容易证明上面五个结论成立。由于ΔABC的外心可以在三角形内部，也可以在外部或一边上，情形较多，以下就选结论（Ⅱ）给出其证明，其余几个结论请读者自证。 证明：设O是ΔABC的外心，先证必要性，对ΔABC分两类情形讨论。 （1）若ΔABC是锐角三角形或直角三角形，则外心O在形内或周界上，此时，，，，根据命题1中的等式①易得结论成立； （2）若ΔABC是钝角三角形，不妨设A>900，则外心O在ΔABC形外且与A位于直线BC的两侧，此时，，，，代入命题2中的②得成立。 现在再来证明充分性。若ΔABC所在平面内一点满足，则由以上证明知，ΔABC的外心O 一定满足等式。两式相减，得，而在ΔABC中，，故，即点与外心O重合，也就是说，点即为ΔABC的外心。从而，O是ΔABC的外心的充要条件是。

三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明 1.O 是123PP P ?的重心?1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ?三边) 证明：充分性: 1230OP OP OP ++=?O 是123PP P ?的重心 若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OP OP OP +=，得'33OP OP =-，即' 33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ?的中线，同理，1 2,PO P O 亦为123PP P ?的中线，所以， O 为的重心。 2. 点O 是123PP P ?的垂心?122331OP OP OP OP OP OP ?=?=? 证明：O 是123PP P ?的垂心?312OP PP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ?=??-=??=? 同理123OP P P ⊥?3112OP OP OP OP ?=? 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ?=?=?. *2 2 22 2 2 → →→→ → →+=+=+AC OB BA OC BC OA 则O 是△ABC 的垂心 证 明：由 ，得 ，所以 。同理可证 。容易得到 由以上结论知O 为△ABC 的垂心。 * 设()+∞∈,0λ ， 则向量+ λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC 的垂心 P 1 2 P P 3 O P

?? ?cos cos C AC B * 若H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA· HA +tanB·HB +tanC·HC =0 3.点O 是123PP P ?的外心? 23OP OP OP ==． 证明：O 是△ABC 的外心?|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ?(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线的交点) *若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足 ，则点O 为△ABC 的外心。 证明：因为，所以 同理得 由题意得 ，所以 ，得 。故点O 为△ABC 的外心。 *D E 、两点分别是ABC 的边BC CA 、上的中点,且 ()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC BC AB BC AC BC AB B AC C AB B AC C ???+=+ ||||cos()||||cos ||||0||cos ||cos BC AB B BC AC C BC BC AB B AC C π?-?=+=-+=()||cos ||cos AB AC BC AB B AC C ⊥+A B C D O

三角形五心的性质【超全总结】

-- 重心的性质:（三条中线的交点） 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为２︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的３个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形３个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X１+Ｘ２+X3)/3，（Y１＋Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质：(三条边的垂直平分线的交点) 1、若O是△AＢＣ的外心，则∠BOC＝2∠Ａ（∠A为锐角或直角）或∠BOC=３６0°-２∠A（∠A 为钝角)。 ２、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：ｄ1，ｄ2，ｄ3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。Ｃ１=d2d3,c2=d１ｄ3，c3＝d1d2;ｃ＝ｃ1+c２+c3。外心坐标:( （c２＋ｃ3)/2c,(c1+ｃ3）/2ｃ，(c1＋c2)/2c )。 4、外心到三顶点的距离相等 垂心的性质:（三条高的交点) 1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到６个四点圆。 2、三角形外心Ｏ、重心Ｇ和垂心H三点共线,且OＧ︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线) 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 内心的性质：（三个内角的角平分线的交点） 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 2、P为ΔＡＢＣ所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是:Ｐo＝(a×PA＋b×ＰB+ｃ×PC)/(a+b+ｃ). ３、O为三角形的内心,A、Ｂ、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有ＡO:ON=ＡB:BN＝AC:CN=(AB+AC）:BC ４、(欧拉定理）ΔＡＢＣ中,Ｒ和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心,则OI２=R2-２Rr． 5、(内角平分线分三边长度关系） △ＡBC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交ＢC、AＣ、AB于Ｑ、Ｐ、R，则BQ/QC=c/b, CP／PA=a/ｃ, BＲ/ＲA=a/b． ６、内心到三角形三边距离相等。 旁心的性质:(外角的角平分线的交点) 1、每个三角形都有三个旁心。 2、旁心到三边的距离相等。 附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。 --