导数及其应用测试题(有详细答案)(文科、整理)
高二数学(文)期末复习题《导数及其应用》
一、选择题 1.
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: (
)
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件 2、设曲线
21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为(
)
A. B. C. D.
3.在曲线y =x 2
上切线的倾斜角为
π
4
的点是( ) A .(0,0)
B .(2,4) C.???
?14,1
16
D.???
?12,14 4.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b)处的切线方程是x -y +1=0,则( )
A .a =1,b =1
B .a =-1,b =1
C .a =1,b =-1
D .a =-1,b =-1 5.函数f(x)=x 3
+ax 2
+3x -9,已知f(x)在x =-3时取得极值,则a 等于( )
A .2
B .3
C .4
D .5
6. 已知三次函数f(x)=13x 3-(4m -1)x 2+(15m 2
-2m -7)x +2在x∈(-∞,+∞)是增函数,则m 的取值范围是( )
A .m<2或m>4
B .-4 C .2 D .以上皆不正确 7. 直线 y x =是曲线ln y a x =+的一条切线,则实数a 的值为( ) A .1- B .e C .ln 2 D .1 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数,则实数k 的取值范围( ) A .3113≥≤≤--≤k k k 或或 B .3113<<-<<-k k 或 C .22<<-k D .不存在这样的实数k 9. 10.函数 ()f x 的定义域为(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示, 则函数 ()f x 在(),a b 内有极小值点( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 10.已知二次函数 2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则 (1)'(0) f f 的最 小值为( ) A .3 B . 5 2 C .2 D . 32 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 11.函数 sin x y x = 的导数为 _________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10,则f(2)等于____________. 13.函数 2cos y x x =+在区间[0,]2 π 上的最大值是 14.已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 15. 已知函数 )(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f , 0) ()(2 >-'x x f x f x ) (0>x ,则不等式 0)(2>x f x 的解集是 三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 设函数f(x)=sinx -cosx +x +1,0 17. 已知函数 3()3f x x x =-.(Ⅰ)求)2(f '的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间. 18. 设函数 R x x x x f ∈+-=,56)(3.(1)求)(x f 的单调区间和极值; (2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根,求实数a 的取值范围. (3)已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立,求实数k 的取值范围. 19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点,其中,,0m n R m ∈<(1)求m 与n 的关系式; (2)求()f x 的单调区间; (3)当[1,1]x ∈-,函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ,求m 的取值范围。 20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--(I )当1a =-时,若函数()f x 在其定义域内是增函数,求b 的取值范围; (II )若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点,且AB 的中点为0(,0)C x ,求证:0'()0.f x < 21. 已知函数 2 (),()2ln (x f x g x a x e e ==为自然对数的底数) (1)求()()()F x f x g x =-的单调区间,若() F x 有最值,请求出最值;(2)是否存在正常数a ,使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切 线?若存在,求出a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。 高二数学(文)期末复习《导数及其应用》参考答案 二、填空题:11. 2 'y x = ;12. 18 13.36 +; 14.}0|{ 4)+1 (0 令f′(x)=0,即sin(x +π4)=-22,解之得x =π或x =3 2 π. x ,f′(x)以及f(x) ∴f(x)的单调增区间为(0,π)和(2π,2π)单调减区间为(π,2π).f 极大(x)=f(π)=π+2,f 极小(x)=f(32π)=3π 2. 17. 解:(Ⅰ) 33(2-='x x f ),所以9)2(='f . (Ⅱ) 2()33f x x '=-,解()0f x '>,得1x >或1x <-.解()0f x '<,得11x -<<. 所以(,1)-∞-,(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间,(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 18. 解:(1)2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分 ∴当()0;,()0x x f x x f x ''<><<,当,…………………2分 ∴ )(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和,单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ;当245)(,2-=有极小值x f x .…………4分 (2)由(1)可知)(x f y =图象的大致形状及走向(图略) ∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点,……6分 即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分 (3) )1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. 令5)(2-+=x x x g ,由二次函数的性质,),1()(+∞在x g 上是增函数, ∴,3)1() (-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分 19. 解:(1)2 '()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f = 即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+ (2)由(1)知,22 '()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m =-+++=--+ 当0m <时,有2 11>+ ,当x 为化时,()f x 与'()f x 的变化如下表: 故由上表知,当0m <时,()f x 在(,1)m -∞+单调递减,在(1,1)m +单调递增,在(1,)+∞上单调递减. (3)由已知得'()3f x m >,即22(1)20mx m x -++>又0m <,所以222 (1)0x m x m m -++<,即 222 (1)0,[1,1]x m x x m m -++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++,其函数图象开口向上,由题意知①式恒成立,所以 22(1)0120(1)010 g m m g ? -<+++??? ??- 解之得403m m -<<又所以4 03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3- 20.(1)由题意: bx x x x f -+=2ln )(, )(x f 在),0(+∞上递增,∴021 )(≥-+= 'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立,即x x b 21+≤ 对),0(+∞∈x 恒成立,∴只需min )21 (x x b +≤, 0>x ,∴ 2221≥+x x ,当且仅当2 2=x 时取“=”,∴22≤b ,∴b 的取值范围为)22,(-∞ (2)由已知得,???=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=22 221 211ln ln bx ax x bx ax x ,两式相减,得: )())((ln 21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 21212 1b x x a x x x x ++-=,由b ax x x f -+='21 )(及 2102x x x +=,得:])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--= '2 111ln 1 222x x x x x x +-+= ]ln )(2[1 2 1111222x x x x x x x x -+--=]ln )1() 1( 2[1212 121 12x x x x x x x x -+--= ,令)1,0(21∈=x x t , 且t t t t ln 122)(-+-=?)10(< 2 <+--='t t t t ?,∴)(t ?在)1,0(上为减函数, ∴0)1()(=>??t ,又21x x <,∴0)(0<'x f 21. 解:(1)3222() ()()()( 0)x a x ea F x f x g x x e x ex -'''=-=-=>①当0, ()0a F x '≤>时 恒成立 ()(0,)F x +∞在上是增函数,()F x F 只有一个单调递增区间(0,-∞),没有最值……3分 ②当0a >时,()0)F x x = >, 若0x <<()0,()F x F x '<在上单调递减; 若x > ()0,())F x F x '>+∞在上单调递增, x ∴=当()F x 有极小值,也是最小值,即min ()2ln F x F a a a a ==-=- 所以当0a >时,()F x 的单调递减区间为 ,单调递增区间为)+∞,最小值为ln a a -,无最大值 (2)方法一,若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点, 则方程 ()()0f x g x -=有且只有一解,所以函数()F x 有且只有一个零点 由(1)的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得 此时,2 ()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ min ()0F x F == 1,()()f g f x g x ∴==∴与 的图象的唯一公共点坐标为 又f g ''== ()()f x g x 与 的图象在点处有共同的切线, 其方程为 1y x -=- ,即1y x =- 综上所述,存在 a 1=,使()()f x g x 与 的图象有且只有一个公共点 ,且在该点处的公切线方程为 1.y x = - 方法二:设 ()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ,根据题意得???==)()()()(0' 0'00x f x f x g x f 即2 002ln 22x a x e x a e x ?=????=??由②得2 x a e = ,代入①得0 21 ln ,2x x = ∴= 从而1a = 此时由(1 )可知min ()0F x F == 0x x ∴>≠当且()0,()()F x f x g x >>即 因此除0 x =0x ,使00()()f x g x = 故存在1a =,使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点,且在该公共 点处有共同的切线,易求得公共点坐标为 ,公切线方程为1y x = - 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 中档大题规范练——导数的应用 1.已知函数f (x )=x 3-2x +1,g (x )=ln x . (1)求F (x )=f (x )-g (x )的单调区间和极值; (2)是否存在实常数k 和m ,使得x >0时,f (x )≥kx +m 且g (x )≤kx +m ?若存在,求出k 和m 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)由F (x )=x 3-2x +1-ln x (x >0), 得F ′(x )=3x 3-2x -1x (x >0), 令F ′(x )=0得x =1,易知F (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而F (x )的极小值为F (1)=0. (2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0),而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y =x -1,下面只需 验证????? f (x )≥x -1 g (x )≤x -1都成立即可. 设 h (x )=x 3-2x +1-(x -1)(x >0), 则h ′(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1)(x >0). 易知h (x )在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以h (x )的最小值为h (1)=0, 所以f (x )≥x -1恒成立. 设k (x )=ln x -(x -1),则k ′(x )=1-x x (x >0). 易知k (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以k (x )的最大值为k (1)=0, 所以g (x )≤x -1恒成立. 故存在这样的实常数k =1和m =-1,使得x >0时,f (x )≥kx +m 且g (x )≤kx +m . 2.设函数f (x )=ax 3+bx 2+cx 在区间[0,1]上单调递增,在区间(-∞,0),(1,+∞)上单调递 减,又f ′(12)=32 . (1)求f (x )的解析式. (2)若在区间[0,m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立,求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )=3ax 2+2bx +c , 由已知f ′(0)=f ′(1)=0, 即????? c =0,3a +2b +c =0,解得????? b =-32a ,c =0.导数练习题 含答案
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