最新人教A版必修5高考数学一轮复习 3.2《一元二次不等式及其解法(3课时)》教案(精品)

最新人教A版必修5高考数学一轮复习 3.2《一元二次不等式及其解法(3课时)》教案(精品)
最新人教A版必修5高考数学一轮复习 3.2《一元二次不等式及其解法(3课时)》教案(精品)

高考数学一轮复习:3.2《一元二次不等式及其解法(3课时)》

(新人教A版必修5)

(一)教学目标

1.知识与技能:从实际问题中建立一元二次不等式,解一元二次不等式;应用一元二次不等式

解决日常生活中的实际问题;能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式

的过程表示出来;

2.过程与方法:通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念,通过让学生比较

两种不同的收费方式,抽象出不等关系;利用计算机将数学知识用程序表示出

来;

3.情态与价值:培养学生通过日常生活中的例子,找到数学知识规率,从而在实际生活问题

中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用。

(二)教学重、难点

重点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型,围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想;

难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

(四)教学设想

[创设情景]

通过让学生阅读第84页的上网问题,得出一个关于x的一元二次不等式,

250

-<

x x

[探索研究]

首先考察不等式250x x -<与二次函数25y x x =-以及一元二次方程250x x -=的 关系。

容易知道,方程250x x -=有两个实根:120,5x x == 由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系,知120,5x x ==是二次函数25y x x =-的两个零点。通过学生画出的二次函数25y x x =-的图象,观察而知,

当0,5x x <>时,函数图象位于x 轴上方,此时0y >,即250x x ->; 当05x <<时,函数图象位于x 轴下方,此时0y <,即250x x -<。

所以,一元二次不等式250x x -<的解集是{}05x x <<

从而解决了以上的上网问题。

[总结归纳]

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20a x b x c +

+>或20(0)ax bx c a ++<>的解集:可分0,0,0?>?=?<三种情况来讨论。 引导学生将第86页的表格填充完整。

[课后作业]:习题3.2(A 组)第1、2、6题;(B 组)第1、2题。

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”,这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元,将二次转化为一次是降次,这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组;“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法(即代入法) 二·一”型方程组的一般方法,具体步骤是: 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示; 数式代入二元二次方程,得到一个一元二次方程; 元二次方程,求得一个未知数的值; 的这个未知数的值代入二元一次方程,求得另一个未知数的值;如果代入二元二次方程求另一个未知数,就会出现“增解”的问题; 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起,就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组,可以根据一元二次方程根与系数的关系,把x、y看做一根,解这个方程,求得的z1和z2的值,就是x、y的值。当x1=z1时,y1=z2;当x2=z2时,y2=z1,所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法,它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外,还有加减消元法、分解降次法、换元法等,解题时要注意分析方程的结构特征,灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。(2)要防止漏解和增解的错误。

程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时,可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组,所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时,将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组,可得到四个二元一次方程组,解这四个二元一次方程组,所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解,“二·二”型方程组最多有四个解,解方程组时,即不要漏解,也不要增解。 析:例1.解方程组 观察这个方程组,不难发现,此方程组除可用代入法解外,还可用根与系数的关系,通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2),整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3),得y1=6. 把x2=6代入(3),得y2=2. 所以原方程组的解是。

人教A版高中数学必修五一元二次不等式及其解法教案(1)

教学要求:正确理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法;理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系,能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点:熟练掌握一元二次不等式的解法. 教学难点:理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系. 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗? 2、比较,,a b c 的大小:22,5a b c ===- 二、讲授新课: 1、教学不等式2 0(0)ax bx a ++>≠的解集 ① 若判别式240b ac ?=->,设方程20ax bx ++=的二根为1212,()x x x x <,则:0a >时,其解集为{} 12|,x x x x <>或;0a <时,其解集为{}12|x x x x <<. ② 若0?=,则有:0a >时,其解集为|,2b x x x R a ??≠- ∈???? ;0a <时,其解集为?. ③ 若0?<,则有:0a >时,其解集为R ;0a <时,其解集为?.. ④ 一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关,从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解” ⑤ 简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。 2、教学例题: ① 出示例1:求不等式244150x x --≤的解集. (解方程 → 给出图象 →学生板演) ② 变式训练:求不等式244150x x -->的解集. ③ 变式训练:求不等式244150x x -+->的解集. ④ 出示例2:求不等式223x x -+< (方程的解→函数草图→观察得解) ⑤ 出示例3:已知220ax x c ++>的解集为1132 x -<<,试求,a c 的值,并解不等式220cx x a -+-> (将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来) ⑥ 变式训练:已知不等式2 0ax bx c ++>的解集为(,)αβ,且0αβ<<,求不等式20cx bx a ++<的解集. 3、小结:不等式20(0)ax bx a ++>≠的解集情况,解一元二次不等式的三步曲. 三、巩固练习: 1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23x x ?- <

一元二次不等式及其解法教学设计

一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范.

如何解一元二次不等式

如何解一元二次不等式,例如:x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解:对于高中“解一元二次不等式”这一块, 通常有以下两种解决办法: ①运用“分类讨论”解题思想; ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①:原不等式可化为: (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零, 等价于以下两个不等式组: (1)x -- 4 ≥ 0 或(2)x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得:x ≥ 4(因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”) 解不等式组(2)得:x ≤ -- 2(因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”) ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法②:原不等式可化为: [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为:( -- ∞,-- 2 ] ∪[ 4,+ ∞)。 解法③:如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方,

那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解, 如本题,用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为:(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会:以上三种解法,都是死板板地去解; 至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④:在平面直角坐标系内,函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和(4,0), 显然,当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时, 图像在x 轴的上方; 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时,x2 -- 2x -- 8 ≥ 0, 即:不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为:x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在x 轴的下方,即:x2 -- 2x -- 8 ≤ 0,∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为:-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为:[ -- 2,4 ]。 领悟:对于ax2 + bx + c >0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”; 对于ax2 + bx + c <0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 >0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得:(x + 1)2 + 2 >0。 无论x 取任何实数,(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑, ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△<0, ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即:无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 >0的解集为x ∈R。

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值

人教新课标版数学高一必修5人教A版 第三章3.2第3课时一元二次不等式解法

第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第3课时 一元二次不等式解法(习题课) A 级 基础巩固 一、选择题 1.不等式(x -1)x +2≥0的解集是( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |x ≥1或x =-2} D .{x |x ≤-2或x =1} 解析:(x -1)x +2≥0, 所以???x -1≥0,x +2≥0 或x =-2, ?x ≥1或x =-2,故选C. 答案:C 2.若集合A ={x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的值的集合是 ( ) A .{a |00,Δ≤0????a >0,a 2-4a ≤0 ?0≤a ≤4. 综上知,0≤a ≤4.选D. 答案:D

3.已知集合M =???? ??x ???x +3x -1<0,N ={x |x ≤-3},则集合{x |x ≥1}等于( ) A .M ∩N B .M ∪N C .?R(M ∩N ) D .?R(M ∪N ) 解析:因为M ={x |-33 C .12 解析:f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a >0,a ∈[-1,1]恒成立?(x -2)a +x 2-4x +4>0,a ∈[-1,1]恒成立.

人教新课标版数学高二必修五练习3.2一元二次不等式的解法(第一课时)

1.(2011·广东高考)不等式2x 2-x -1>0的解集是( ) A .(-1 2,1) B .(1,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(-∞,-1 2)∪(1,+∞) 解析:由原不等式得(x -1)(2x +1)>0, ∴x <-1 2或x >1. 答案:D 2.(2012·蚌埠二中高二检测)不等式x 2-|x |-2<0的解集是( ) A .{x |-22} C .{x |-11} 解析:令t =|x |,则原不等式可化为 t 2-t -2<0,即(t -2)(t +1)<0. ∵t =|x |≥0.∴t -2<0.∴t <2. ∴|x |<2,得-2f (1)的解集是( ) A .(-3,1)∪(3,+∞) B .(-3,1)∪(2,+∞) C .(-1,1)∪(3,+∞) D .(-∞,-3)∪(1,3)

解析:f (1)=1-4+6=3, 则有????? x ≥0,x 2-4x +6>3或????? x <0,x +6>3, 解得0≤x <1或x >3或-33. 答案:A 5.(2011·海南三亚高二检测)已知{x |ax 2-ax +1<0}=?,则实数a 的取值范围是________. 解析:当a =0时,显然成立;当a ≠0时,要满足题意,需有????? a >0, a 2-4a ≤0,解之得00解集为________. 解析:由根与系数的关系,可得 ????? -a =1+2,b =1×2,即????? a =-3, b =2. ∴不等式bx 2+ax +1>0,就是2x 2-3x +1>0. 由于2x 2-3x +1>0?(2x -1)(x -1)>0 ?x <12 或x >1. ∴bx 2+ax +1>0的解集为(-∞,12 )∪(1,+∞). 答案:(-∞,12 )∪(1,+∞) 7.(2012·中山一中高二检测)设f (x )=(m +1)x 2-mx +m -1. (1)当m =1时,求不等式f (x )>0的解集; (2)若不等式f (x )+1>0的解集为(32 ,3),求m 的值. 解:(1)当m =1时,不等式f (x )>0为2x 2-x >0,

2015高考数学一轮题组训练:7-2一元二次不等式及其解法

第2讲 一元二次不等式及其解法 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、填空题 1.(2014·长春调研)已知集合P ={x |x 2-x -2≤0},Q ={x |log 2(x -1)≤1},则(?R P )∩Q =________. 解析 依题意,得P ={x |-1≤x ≤2},Q ={x |1<x ≤3},则(?R P )∩Q =(2,3]. 答案 (2,3] 2.(2014·沈阳质检)不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是________. 解析 不等式x 2+ax +4<0的解集不是空集,只需Δ=a 2-16>0,∴a <-4或a >4. 答案 (-∞,-4)∪(4,+∞) 3.(2013·南通二模)已知f (x )=????? x 2 ,x ≥0,-x 2+3x ,x <0, 则不等式f (x )2,因此x <0. 综上,f (x )

人教版高中数学必修5不等式练习题及答案

第三章 不等式 一、选择题 1.若a =20.5,b =log π3,c =log πsin 5 2π ,则( ). A .a >b >c B .b >a >c C .c >a >b D .b >c >a 2.设a ,b 是非零实数,且a <b ,则下列不等式成立的是( ). A .a 2<b 2 B .ab 2<a 2b C . 21ab <b a 21 D . a b <b a 3.若对任意实数x ∈R ,不等式|x |≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .a <-1 B .|a |≤1 C .|a |<1 D .a ≥1 4.不等式x 3-x ≥0的解集为( ). A .(1,+∞) B .[1,+∞) C .[0,1)∪(1,+∞) D .[-1,0]∪[1,+∞) 5.已知f (x )在R 上是减函数,则满足f (11 -x )>f (1)的实数取值范围是( ). A .(-∞,1) B .(2,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2) 6.已知不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为图中( ). A B C D 7.设变量x ,y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2++- 则目标函数z =5x +y 的最大值是( ). A .2 B .3 C .4 D .5 8.设变量x ,y 满足?? ? ??5 --31+-3-+y x y x y x 设y =kx ,则k 的取值范围是( ). A .[ 21,3 4 ] B .[ 3 4 ,2] C .[ 2 1 ,2] D .[ 2 1 ,+∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题)

2019-2020年高中数学 一元二次不等式组解法教案 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤,能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 二、例题 第一阶梯 例1什么是一元二次不等式的一般式? 【解】一元二次不等式的一般式是: ax2+bx+c(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中,严格要求a>0,这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一,当a1<0时,将不等式乘-1就化成了“a>0”。 例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么? 【点拨】用函数的观点来回答。 【解】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系是:设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L,则不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集分别是抛物线L在x轴上方,在x轴下方的点的横坐标x的集合;二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的

横坐标。 【评注】 二次不等式、二次方程和二次函数的联系,通常称为“三个二次问题”,我们要深刻理解、牢牢掌握,并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系,不但能直接得到“二次不等式的解集表”,而且还能解决“二次问题”的难题。 例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。 【解】一元二次不等式的解集表: 【评注】 1.不要死记书上的解集表,要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”(数轴标根)。 例4、写出一元二次不等式的解法步骤。 【解】一元二次不等式的解法步骤是: 1.化为一般式ax2+bx+c>0 (a>0)或ax2+bx+c<0 (a>0)。这步可简记为“使a>0”。 2.计算△=b2-4ac,判别与求根:解对应的二次方程ax2+bx+c=0,判别根的三种情况,△≥0时求出根。

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______

必修5一元二次不等式解法

一元二次不等式及其解法 [考点梳理] 1.解不等式的有关理论 (1)若两个不等式的解集相同,则称它们是; (2)一个不等式变形为另一个不等式时,若两个不等式是同解不等式,这种变形称为不等式的; (3)解不等式变形时应进行同解变形;解不等式的结果,一般用集合表示. 2.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为ax >b (a ≠0)的形式.当a >0时,解集为_______;当a <0时,解集为.若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ,则实数a ,b 满足的条件是_______. 3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或ax 2+bx +c <0)(其中a >0)的形式,其对应的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x 1,x 2,且x 1<x 2(此时Δ=b 2-4ac >0),则可根据“大于号取,小于号取”求解集. (4)一元二次不等式的解: 函数与不等式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1=x 2=-b 2a 无实根 ax 2+bx +c >0(a >0)的解集 ① ② R ax 2+bx +c <0(a >0)的解集 {x |x 1<x <x 2} ? ③ (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 f (x ) g (x ) 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如: f (x ) g (x )>0 ? f (x )g (x )>0;f (x ) g (x ) <0 ? f (x )g (x )<0; f (x ) g (x )≥0 ? ???f (x )g (x )≥0,g (x )≠0;f (x )g (x )≤0 ? ???f (x )g (x )≤0,g (x )≠0.

高中数学必修五3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法

3.2 一元二次不等式及其解法 3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 从容说课 本节课是人民教育出版社A版必修数学5第三章不等式第二大节3.2一元二次不等式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时,第一个学时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法,以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解,在这些例题中设置思考项,让学生探究,层层铺设,以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念,有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后,再回归到先前的具体事例,总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤,由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来;然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来,根据这些图表,得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系,再辅以新的例题巩固.整个教学过程,探究一元二次不等式的概念,揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质,引出一元二次不等式解法的步骤和过程,并及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发学生的学习兴趣. 教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想. 教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 教具准备多媒体及课件,幻灯片三张 三维目标 一、知识与技能 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 3.会解一次二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图. 二、过程与方法 1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验; 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集,培养学生的数形结合的数学思想; 2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互转化的,树立辩证的世界观. 教学过程 导入新课 师上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司(Internet Servi c e Provider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用. 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家ISP公司可供选择,公司A每小时收费1.5元;公司B的收费原则是在用户上网的第一小时内收费1.7元,第二小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元.(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算)

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<.

因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =,

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.3知识点总结含同步练习及答案

描述:例题:高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式组的集合意义,能用平面区 域表示二元一次不等式组. 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 :,它把坐标平面分为两部分,每个部分叫做开半平面,开半平面 与 的并集叫做闭半平面.以不等式解 为坐标的所有点构成的集合,叫做不等式表示的 区域或不等式的图象. 对于直线 : 同一侧的所有点 ,代数式 的符号相同,所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ,由 符号即可判断 出 (或)表示的是直线哪一侧的点集.直线 叫做这 两个区域的边界(boundary). 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法:①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1) ;(2). 解:(1)① 画出直线 ,因为这条直线上的点不满足 ,所以画 成虚线. ② 取原点 ,代入 ,所以原点在不等式 所表示的平 面区域内,不等式表示的区域如图. 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0

【数学】3.2《一元二次不等式及其解法》教案(新人教A版必修5)(2课时)

课题: §3.2一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型: 2 50x x -< (1) 2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义 象250x x -<这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式 2)探究一元二次不等式250x x -<的解集 怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根:120,5x x == 二次函数有两个零点:120,5x x == 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数2 5y x x =-的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x<0,或x>5时,函数图象位于x 轴上方,此时,y>0,即2 50x x ->; 当0

高中数学必修五《一元二次不等式及其解法》教学设计

一元二次不等式及其解法(第一课时) 一、教材分析 1、教学内容 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5第三章第二节《一元二次不等式及其解法》第1课时。 2、教材地位和作用 从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸,同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密,涉及的知识面较多。 从思想层面看,本节课突出本现了数形结合思想。同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具,因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。 3、教学目标 知识与技能:正确理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系。熟练掌握一元二次不等式的解法。 过程与方法:通过看图象找解集,培养学生从“从形到数”的转化能力,“从具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力;通过对问题的思考、探究、交流,培养学生良好的数学交流能力,增强其数形结合的思维意识。 情感态度与价值观:通过具体情境,使学生体验数学与实践的紧密联系,激发学生学习研究一元二次不等式的积极性和对数学的情感,使学生充分体验获取知识的成功感受;在探究、讨论、交流过程中培养学生的合作意识和团队精神,使其养成严谨的治学态度和良好的思维习惯。 4、教学重、难点 重点:一元二次不等式的解法。 难点:一元二次方程,一元二次不等式与二次函数的关系。 二、学习者特征分析: 学习者是普通高中高二理科学生(基础差)。已经学习了一元一次不等式,一元一次方程、一元一次函数,二元一次方程与函数。 三、教学方法和教学策略分析: 1、选择教法的原则和依据 根据学生的原有知识和现有的认知规律,以发展学生的能力和应试水平为原则。 2、教法选择 选择观察、探究、发现、类比、总结的教学模式。重点以引导学生为主,让他们能积极、主动的进行探索,获取知识。

必修五不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间

三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +?∈,||ax b c x φ+?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结:

高中数学必修5 第3章 不等式 教师版 不等式第14课时

听课随笔

第14课时 基本不等式的应用(2) 学习要求 1.进一步会用基本不等式解决简单的最大(小)值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究,进一步体会数学建模的思想。 3.进一步开拓视野,认识数学的科学价值和人文价值. 【课堂互动】 自学评价 1.设x>0时, y=3-3x -x 1的最大值为323- 2.已知a>b>c , n ∈N*, 且11n a b b c a c , 则n 的最大值为_____4_____ . 3.已知x>0且x 1, y>0且y 1 , 则log y x+log x y 的取值范围是),2[]2,(+∞--∞ 【精典范例】 例1.过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程 【解】 见书(但设直线方程可有两种方法). 例2.如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版 面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 见书. 思维点拔: 先建立目标函数,然后创造条件利用基本不等式求解。 追踪训练 1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客

运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y 万 元与营运年数n(n )N +∈的关系为 y=-n 2+12n -25,则每辆客车营运( C ) 年,使其营运年平均利润最大. A 3 B 4 C 5 D 6 2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴 的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两 点, 当||||PB PA 取最小值时, 求直线l 的 方程. 解:设)0)((:<-=-k a x k b y l 则),0(),0,(b ak B k b a A +--. 所以||||PB PA =a k k b k ?+-+221||1 =ab k k ab 2)||1 |(|≥+ (等号当且仅当1-=k 时成立) 所以||||PB PA 取最小值2ab 时, 直线l 的 方程为:0=--+b a y x . 3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要 向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距 离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距 离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验 公式: S=2403 v +v 85 , 为保证安全行驶, 要 求在这条公路上行驶着的两车之间保持的 “安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现 假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身 长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并 且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.

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