高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
高中数学竞赛专题讲座（解析几何）
一、基础知识
1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 e d PF =| |(0 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a x (a>b>0)， 参数方程为? ??==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=， 与右焦点对应的准线为c a x 2 =；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2知0 椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+22 22b y a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=； 3）过焦点F 2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为 θ 2 222 cos 2c a ab l -=。 6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF 1|-|PF 2||=2a(2a<2c=|F 1F 2|, a>0)的点P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 122 22=-b y a x ， 参数方程为?? ?==? ? tan sec b y a x （?为参数）。 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 122 22=-b x a y 。 8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线 12 2 22=-b y a x (a, b>0), a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F 1(-c,0), F 2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,2 2c a x c a x =- =离心率a c e =，由a 2+b 2=c 2知e>1。两条渐近线方程为x a k y ±=，双曲线12222=-b y a x 与122 22-=-b y a x 有相同的渐近 线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b ，则称为等轴双曲线。 9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线122 22=-b y a x ，F 1（-c,0）, F 2(c, 0)是它 的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF 2|=ex-a ；若P （x,y ）在左支上，则|PF 1|=-ex-a ，|PF 2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是θ 2 222 cos 2c a ab -。 10．抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于K ，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点F 坐标为 )0,2 (p ，准线方程为2p x -=，标准方程为y 2=2px(p>0)，离心率e=1. 11．抛物线常用结论：若P(x 0, y 0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=2 p x + ； 2）过点P 的切线方程为y 0y=p(x+x 0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为 θ 2cos 12-p 。 12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O ，从O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P ，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P 的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点P ，若0 ρcos 1e ep -=。 二、方法与例题 1．与定义有关的问题。 例 1 已知定点A （2，1），F 是椭圆 116 252 2=+y x 的左焦点，点P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P 的坐标。 [解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=2245-=3,5 3 == a c e .椭圆左准线的方程为325- =x ，又因为116 1 254<+，所以点A 在椭圆内部，又点F 坐标为（-3，0），过P 作 PQ 垂直于左准线，垂足为Q 。由定义知 5 3 ||||==e PQ PF ，则35|PF|=|PQ|。 所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ 3 5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM ⊥左准线于M)。 所以当且仅当P 为AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得 4155± =x ，又x<0，所以点P 坐标为)1,4 15 5(- 例2 已知P ，'P 为双曲线C ：122 22=-b y a x 右支上两点，'PP 延长线交右准线于K ，PF 1延 长线交双曲线于Q ，（F 1为右焦点）。求证：∠'P F 1K=∠KF 1Q. [证明] 记右准线为l ，作PD ⊥l 于D ，l E P ⊥'于E ，因为E P '//PD ，则 | '|| '|||||E P K P PD PK =，又由定义 |'||'|||||11E P F P e PD PF ==，所以| '|| ||'||||'|||11K P PK E P PD F P PF = =，由三角形外角平分线 定理知，F 1K 为∠PF 1P 的外角平分线，所以∠K F P 1'=∠KF 1Q 。 2．求轨迹问题。 例3 （1984年高考理科）求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21 的椭圆的左 顶点的轨迹方程 解：因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴 设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为21 ， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为) ,23(y x 设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1 根据 21 ||=d MF 及两点间距离公式，可得 1 )2(4)32 (9,)2 1 ()2()123( 22222=-+-=-+-y x y x 即 这就是所求的轨迹方程 例4 长为a, b 的线段AB ，CD 分别在x 轴，y 轴上滑动，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求此动圆圆心P 的轨迹。 [解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A ，B ，C ，D 的坐标分别为A(x-2a ,0), B(x+2a ,0), C(0, y-2 b ), D(0, y+ 2 b ), 记O 为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为4 422 22 b y a x -=-，即.42222b a y x -= - 当a=b 时，轨迹为两条直线y=x 与y=-x ； 当a>b 时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线； 当a π ，AB 边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB 的外心的轨迹方程。 [解] 设∠xOB=θ,并且B 在A 的上方，则点A ，B 坐标分别为B(3, 3tan θ),A(3,3tan(θ- 3 π)),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB 中点为M ?? ? ??θtan 23,23。 由外心性质知.3tan tan 23???? ????? ? ?-+= πθθy 再由OB PM ⊥得 2 3tan 23 --x y θ×tan θ=-1。结合上式有 )3tan(π θ- ?tan θ=.2332?? ? ??-x ① 又 tan θ+)3 tan(π θ- = .3 2 y ② 又 .3tan 3tan 3????????? ? ?--==πθθπ 所以tan θ-)3tan(π θ- =????? ???? ?? -?+3tan tan 13πθθ两边平方，再将①，②代入得112 4)4(2 2=--y x 。即为所求。 3．定值问题。 例6 过双曲线122 22=-b y a x (a>0, b>0)的右焦点F 作B 1B 2x ⊥轴，交双曲线于B 1，B 2两点， B 2与左焦点F 1连线交双曲线于B 点，连结B 1B 交x 轴于H 点。求证：H 的横坐标为定值。 [证明] 设点B ，H ，F 的坐标分别为(asec α,btan α), (x 0, 0), (c, 0)，则F 1，B 1，B 2的坐标分别 为(-c, 0), (c, a b 2-), (c, a b 2 )，因为F 1，H 分别是直线B 2F ，BB1与x 轴的交点，所以 .cos sin sin ,cos sin 20α ααααb a ac ab x b a ab c ++=-= ① 所以 α αααα2 22220cos cos sin sin 2)sin (b ab a c b b a cx -++= α αααα222222sin cos sin sin ) sin (c b ab a c b b a +-++= ) sin )(sin ()cos sin (sin ) sin (2b c b c b a a c b b a +-+++= αααααα。 由①得,) sin (cos sin 0 x c b a b a ααα+= + 代入上式得,)sin (0 20b c x b a cx -= α 即 c a x 2 -=（定值）。 注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例7 设抛物线y 2 =2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在准线上，且BC//x 轴。证明：直线AC 经过定点。 [证明] 设???? ?????? ??22 2121,2,,2y p y B y p y A ，则??? ??-2,2y p C ，焦点为??? ??0,2p F ，所以),2(121y p y =，??? ??-=2,2y p ，),22(121y p p y -=，??? ? ??-=22 2,22y p p y FB 。由于//，所以p y 221?y 2-22212 22p y p y y p +-y 1=0，即???? ??+-22)(2121p p y y y y =0。因为21y y ≠，所以02221=+p p y y 。所以0221 21=??? ? ??+y p p y y ，即0221221=??? ??--y p y p y 。所以//，即直线AC 经过原点。 例8 椭圆12222=+b y a x 上有两点A ，B ，满足OA ⊥OB ，O 为原点，求证：2 2||1 ||1OB OA + 为定值。 [证明] 设|OA|=r 1,|OB|=r 2,且∠xOA=θ,∠xOB= θπ +2 ，则点A ，B 的坐标分别为A(r 1cos θ, r 1sin θ),B(-r 2sin θ,r 2cos θ)。由A ，B 在椭圆上有 .1cos sin ,1sin cos 2 222222222212221=+=+b r a r b r a r θθθθ 即 2 22221sin cos 1b a r θθ+= ① .cos sin 1222222b a r θθ+= ② ①+②得 2 2221 1||1||1b a OB OA +=+（定值）。 4．最值问题。 例9 设A ，B 是椭圆x 2+3y 2 =1上的两个动点，且OA ⊥OB （O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。 [解] 由题设a=1，b= 33 ,记|OA|=r 1,|OB|=r 2,t r r =2 1，参考例8可得222111r r +=4。设m=|AB|2 =)12(41)11)((4122222122212 221t t r r r r r r ++=++= +, 因为θθθ2 2 2222222221sin 1sin cos 1b a b a a b a r -+=+=，且a 2>b 2，所以2212111b r a ≤≤，所以b ?r 1?a ，同理b ?r 2?a.所以b a t a b ≤≤。又函数f(x)=x+x 1在?? ? ???1,2 2 a b 上单调递减，在? ? ????22,1b a 上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当a b t =或b a 时，|AB|取最大值 3 3 2。 例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 3，若圆C ：=-+22 )23(y x 1 上点与这椭圆上点的最大距离为71+，试求这个椭圆的方程。 [解] 设A ，B 分别为圆C 和椭圆上动点。由题设圆心C 坐标为?? ? ?? 23,0，半径|CA|=1，因为|AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A ，B ，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值 71+，所以|BC|最大值为.7 因为2 3 = e ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t 3,t ，椭圆方程为1422 22=+t y t x ，并设点B 坐标为B(2tcos θ,tsin θ)，则|BC|2=(2tcos θ)2 +2 23sin ??? ? ?-θt =3t 2sin 2θ-3tsin θ+49+4t 2=-3(tsin θ+21)2+3+4t 2. 若2 1≤ t ，则当sin θ=-1时，|BC|2取最大值t 2 +3t+749<，与题设不符。 若t>21,则当sin θ=t 21-时，|BC|2取最大值3+4t 2，由3+4t 2 =7得t=1. 所以椭圆方程为14 22 =+y x 。 例11在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：2 4 1x y = ，实数p 、q 满足042≥-q p ，1x ，2x 是方程02=+-q px x 的两根，记(){}|||,|max ,21x x q p =?。 ⑴ 过点()041, 0200≠?? ? ?? p p p A 作L 的切线交y 轴于点B 。证明：对线段AB 上的任一点()q p Q ,，有()2 | |,0p q p = ?； ⑵ 设()b a M ,是定点，其中a 、b 满足042 >-b a ，0≠a ，过()b a M ,作L 的两条切线1l ， 2l ，切点分别为??? ??21141,p p E ，??? ? ?222'41,p p E ，1l 、2l 与y 轴分别交于F 、'F ，线段EF 上异于两端点的点集记为X 。证明：()()2 | |,||||,121p b a p p X b a M =?>?∈?； ⑶ 设()()? ?????-+≥ -≤=45141 ,1|,2x y x y y x D ，当点()q p ,取遍D 时，求()q p ,?的最小值（记为min ?）和最大值（记为max ?）。 解：⑴ 证明：由已知知点A 在L 上，过点A 的L 的切线的斜率为2 p y = ∴直线AB 的方程为：()2002000 4 12412p x p p p x p y -=+-= 设点()1,0y B ∴2 014 1p y - = ∵()q p Q ,为线段AB 上的任一点 ∴2 004 12p p p q -= ∴方程02 =+-q px x ，即方程0412 2002 =??? ??-+-p p p px x 的两根 ()()2 2 4 12 4020022,1p p p p p p p p x -±= ??? ??---±= ∴()? ?? ???-=|2||,22| max ,0 0p p p q p ? ∵()q p Q ,为线段AB 上的任一点 1 当00>p 时，00p p ≤≤ Ⅰ 当2 00 p p ≤ ≤时 ()??? ???-=??????-=2,2 2max |2||,22| max ,000 0p p p p p p q p ? 此时 02 2200≥=--p p p p ∴()2 | |2,00p p q p ==? Ⅱ当002 p p p ≤<时 ()??? ? ??-=??????-=2,22max |2||,22| max ,0000p p p p p p q p ? 此时 02 2200 0≥-=--p p p p p ∴()2| |2,00p p q p ==? 2 当00 Ⅰ 当2 0p p p < ≤时 ()??? ???--=??????-=2,2 2max |2||,22| max ,000 0p p p p p p q p ? 此时02 22000≥-=-- ??? ? ?- p p p p p ∴()2 | |2,00p p q p =-=? Ⅱ当 02 ≤≤p p 时 ()??? ? ??--=??????-=2,22max |2||,22| max ,0000p p p p p p q p ? 此时02 220 0≥-=-- ??? ? ?- p p p p ∴()2 ||2,00p p q p =- =? 综上所述，对线段AB 上的任一点()q p Q ,，有()2 | |,0p q p =?。 ⑵ 证明： 由已知有直线1l 的方程为：211412p x p y -= 由已知有直线2l 的方程为：2 224 12p x p y -= ∴2 11412p a p b -= 2114 12p a p b -= 解得2 2 1p p a += 1 当01>p 时， ()||||2 00,2112112 11p p p p p p p p p a X b a M >?<<-?<+ |,0,11p b a p a X b a M =?< 2 当01 ()||||02 0,211212 111p p p p p p p p a p X b a M >?-< ?< |,0,11p b a a p X b a M =?< 综上所述，()()2 | |,||||,121p b a p p X b a M =?>?∈? ⑶ 当()D q p ∈,时，设过点()q p ,的L 的切线的斜率为23p y =，其中3p 为切点处的横坐 标 ∴该切线方程为：2 334 12p x p y -= ∵()q p ,为该切线上的点 ∴q p p p q pp p p p p q 40424 122332 3233-±=?=+-?-= ∵()()? ?????-+≥ -≤=45141 ,1|,2x y x y y x D ∴()()()???? ??-≤-≤-≤≤???????????-+≥-≤p q p p p p q p q 2242204514112 22 ()? ??-≤-≤-≤≤?p q p p p 22422 02 1 当q p p p 423-+ =时， ()2 5252222222 3≤+???? ??- --=-+≤≤p p p p 即25 23≤≤p 2 当q p p p 423--=时， ()222223≤-≤≤--p p p p 又()2 5 222222 +???? ??+--=--p p p ∴()222-≥--p p ∴223≤≤-p 综上所述，25 23≤ ≤-p 又由“⑴”有：()2 | |,3p q p =? ∴0min =? 4 5max =? 5．直线与二次曲线。 例12 若抛物线y=ax 2 -1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 [解] 抛物线y=ax 2 -1的顶点为(0,-1)，对称轴为y 轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条 件是存在一对点P(x 1,y 1)，'P (-y 1,-x 1)，满足y 1=a 12 1-x 且-x 1=a(-y 1)2-1，相减得 x 1+y 1=a(2 121y x -),因为P 不在直线x+y=0上，所以x 1+y 1≠0,所以1=a(x 1-y 1)，即x 1=y 1+.1a 所以.01112 1=-++a y ay 此方程有不等实根，所以0)11(41>--=?a a ，求得4 3>a ，即为所求。 例13，已知抛物线2 4y x =的准线与x 轴交于M 点，过M 点作直线与抛物线交于,A B 两点，若AB 的垂直平分线与x 轴交于0(,0)E x ，问ABE ?能否是直角三角形？若能，求0x 的值，若不能，请说明理由． 解：1）由题知，M （-1，0），因为直线AB 的斜率存在，故可设AB 方程为： (1),0y k x k =+≠1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点),(y x N ''，由2(1)4y k x y x =+???=? 2 2 2 2 (24)0,k x k x k +-+=所以2 2 4 (24)4011k k k ?=-->?-<<，2122 24 k x x k -+=- k y k k x 2,22 2='--='∴，所以AB 的垂直平分线方程为：22212 ()k y x k k k --=-+令0y =得 如果三角形ABE 为直角三角形，因EA=EB ，所以角AEB 为直角，且||2||EN AB = ||(1AB ==， 2 01||,532 EM k x =?=∴=> 所以当05x =时，三角形ABE 为直角三角形. 例14.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22 94 1+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的 取值范围. 解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得 5 1 -=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 () 045544922 =+++kx x k 解之得 .4 95 96272 22 ,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时，4 95 9627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ， 所以 21x x PB AP -== 5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =2 5 929181k -+-. 由 () 049180)54(22≥+--=?k k , 解得 9 5 2 ≥k ， 所以 5 15 92918112 -<-+- ≤-k ， 综上 5 1 1-≤≤-PB AP . 解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 () 045544922 =+++kx x k （*） 则 ??? ??? ?+=+-=+.4945,4 954221221k x x k k x x 令λ=2 1x x ，则，.2045324212 2 +=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥?可得 9 5 2 ≥ k ， 从而有 5 36 204532442 2≤+≤k k ， 所以 5 3621 4≤ ++≤λ λ， 解得 55 1 ≤≤λ. 结合10≤<λ得151 ≤≤λ. 综上，5 1 1-≤≤-PB AP . 例15 已知双曲线12 2:2 2=-x y C ，直线l 过点() 0,2A ，斜率为k ，当10< 解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为： 21 222 2=+-+-k k x kx ()10< 于是，问题即可转化为如上关于x 的方程. 由于10< 2，从而有 .222222k x kx k x kx +++-=-+- 于是关于x 的方程()* ?)1(22222+=+++ -k k x kx ?() ??? ??>+-++-+=+02)1(2,)2)1(2(22 2222kx k k kx k k x ?() ()() ?? ? ? ?>+-+=--++-++-.02)1(2, 022)1(22)1(2212 2 2 222kx k k k k x k k k x k 由10< ) ()() 022)1(22)1(2212 2 2 2 2 =--++ -++-k k x k k k x k 的二根同正， 故02)1(22 >+-+kx k k 恒成立，于是()*等价于 () ( )() 022)1(22)1(2212 2 2 22 =--++ -++-k k x k k k x k . 由如上关于x 的方程有唯一解，得其判别式0=?，就可解得 5 5 2= k . 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 例16 已知椭圆C:x y 2 2 28+=和点P （4，1），过P 作直线交椭圆于A 、B 两点， 在线段AB 上取点Q ，使 AP PB AQ QB =-，求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 解：设()),(),(,,2211y x Q y x B y x A ，，则由 QB AQ PB AP -=可得：x x x x x x --=--212144， 解之得：) (82)(4212 121x x x x x x x +--+= （1） ① ② 设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 得出关于 x 的一元二次方程： () 08)41(2)41(412222 =--+-++k x k k x k （2） ∴ ??? ???? +--=+-=+.128)41(2,12)14(422 21221k k x x k k k x x 代入（1），化简得：.2 3 4++= k k x (3) 与1)4(+-=x k y 联立，消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在（2）中，由02464642 >++-=?k k ，解得 4 10 24102+< <-k ，结合（3）可求得 .9 10 216910216+<<-x 故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x （ 9 10 216910216+< <-x ）. 例17.（1991年高考）双曲线的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，过双曲线右焦点且斜率为5 3 的直线交双曲线于P 、Q 两点．若OP ⊥OQ ，|PQ|=4，求双曲线的方程． 本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力．满分12分． 解法一：设双曲线的方程为22 22b y a x -=1． 依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组 ()() ??? ????+=-==-2222 22531 b a c c x y b y a x 其中 将②式代入①式，整理得 (5b 2－3a 2)x 2+6a 2cx －(3a 2c 2+5a 2b 2)=0． ③ ——3分 设方程③的两个根为x 1，x 2，若5b 2－3a 2=0，则 a b =5 3，即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b 2－3a 2≠0． 根据根与系数的关系，有 2 2221356a b c a x x -=+ ④ 2 22 222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分 由于P 、Q 在直线y= 5 3 (x －c)上，可记为 P (x 1， 53(x 1－c))，Q (x 2，5 3(x 2－c))． 由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·2 2)(53 x c x -=－1， 整理得3c(x 1+x 2)－8x 1x 2－3c 2=0． ⑥ 将④，⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式，并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因为 a 2+3 b 2≠0，解得b 2=3a 2， 所以 c=22b a +=2a ． ——8分 由|PQ|=4，得(x 2－x 1)2=[ 53(x 2－c)－5 3 (x 1－c)]2=42． 整理得(x 1+x 2)2－4x 1x 2－10=0． ⑦ 将④，⑤式及b 2=3a 2，c=2a 代入⑦式，解得a 2=1． ——10分 将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3． 故所求双曲线方程为x 2 －3 2 y =1． ——12分 解法二：④式以上同解法一． ——4分 解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-，x 2=2 22 235403a b ab c a --- ④ ——6分 由于P 、Q 在直线y= 53(x －c)上，可记为P (x 1，53(x 1－c))，Q (x 2，53 (x 2－c))． 由OP ⊥OQ ，得x 1 x 2＋ 53(x 1－c)·5 3 (x 2－c)=0． ⑤ 将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2－3b 4=0， 即 (a 2+3b 2)(3a 2－b 2)=0． 因a 2+3b 2≠0，解得b 2=3a 2． ——8分 由|PQ|=4，得(x 2－x 1)2+[53(x 2－c)－5 3 (x 1－c)]2=42． 即 (x 2－x 1)2=10． ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b 2－3a 2)2－16a 2b 4=0． ——10分 将b 2=3a 2代入上式，得a 2=1， 将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3． 故所求双曲线方程为 x 2 －3 2 y =1． ——12分 例18.已知双曲线C ：22 221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，过点(0)P m ， （0m >）斜率为1的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且3AP PB =，3OA OB ?=． （1）求双曲线方程； （2）设Q 为双曲线C 右支上动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴负半轴上是否存在定点M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （1）由双曲线离心率为2知，2c a =，b =， 双曲线方程化为22 2213x y a a -=． 又直线l 方程为y x m =+．由22 2213x y a a y x m ?-=? ??=+? ，得 2222230x mx m a ---=． ① 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x m +=，22 1232 m a x x --= ． 因为 3AP PB =，所以 1122()3()x m y x y m --=-，，，123x x =-． 结合12x x m +=，解得132x m =，212x m =-．代入221232 m a x x --=，得 22 23342 m a m ---=，化简得226m a =．又 121212122 2 2 2 1212()() 2()33OA OB x x y y x x x m x m x x m x x m m a a ?=+=+++=+++=-=， 且3OA OB ?=． 所以21a = ．此时，m 2290x --=，显然该方程有两个不同的实根．21a =符合要求． 故双曲线C 的方程为2 2 13 y x -=． （2）假设点M 存在，设(0)M t ， ．由（1）知，双曲线右焦点为(20)F ，．设00()Q x y ，（01x ≥）为双曲线C 右支上一点． 当02x ≠时，00tan 2Q F y QFM k x ∠=-=- -，00tan Q M y QMF k x t ∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以 0 002 000221()y y x t y x x t ? --=---． 将22 0033y x =-代入，并整理得，2220 0002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++． 于是 2 42243 t t t t +=-??-=+?，解得1t =-． 当02x =时，090QFM ∠=，而1t =-时，045QMF ∠=，符合 2Q F M Q M F ∠=∠． 所以1t =-符合要求．满足条件的点M 存在，其坐标为(10)-， ． 例19. 如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝32，BC ＝1 2．椭圆C 以 A 、 B 为焦点且经过点D ．⑴ 建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程； ⑵ 若点E 满足→EC ＝12→ AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在， 求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立 直角坐标系，?A （?1，0），B （1，0）设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 令c b y C x 20=?= ∴???==??????= =32 2 312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13 422=+y x （2）→EC ＝12→ AB ?E(0, 12)，l ⊥AB 时不符，设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0） 由01248)43(134 22222=-+++???? ??=++=m kmx x k y x m kx y , M 、N 存在 ?22220644(34)(412)0k m k m ?>?-+->?2234m k ≥+? 设M (1x ，1y )，N (2x ，2y )，MN 的中点F (0x ，0y ) ∴2 2104342k km x x x +-=+=，20 0433k m m kx y +=+= 243143421433121 ||||22 200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=?-=+- -+?-=-?⊥?= ∴222 )2 43(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴ 102≤ 4]． 三、基础训练题 1．A 为半径是R 的定圆⊙O 上一定点，B 为⊙O 上任一点，点P 是A 关于B 的对称点，则点P 的轨迹是________. 2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m 2 (>0)，则动点的轨迹是________. 3．椭圆136 1002 2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________. 4．双曲线方程152||2 2=-+-k y k x ，则k 的取值范围是________. 5．椭圆 164 1002 2=+y x ，焦点为F 1，F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积是________. 6．直线l 被双曲线14 22 =-y x 所截的线段MN 恰被点A （3，-1）平分，则l 的方程为________. 7．ΔABC 的三个顶点都在抛物线y 2 =32x 上，点A （2，8），且ΔABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率为________. 8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________. 9．已知曲线y 2 =ax ，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点 的直线的倾斜角为450 ，那么a=________. 10.P 为等轴双曲线x 2 -y 2 =a 2 上一点， | || |||21PO PF PF +的取值范围是________. 11．已知椭圆1212212=+b y a x 与双曲线122 2 222=-b y a x 有公共的焦点F 1，F 2，设P 是它们的一个 焦点，求∠F 1PF 2和ΔPF 1F 2的面积。 12．已知（i ）半圆的直径AB 长为2r ；（ii ）半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，设|AT|=2a(2a< 2 r )；（iii ）半圆上有相异两点M ，N ，它们与直线l 的距离|MP|，|NQ|满足.1| |||==AN NQ AM MP 求证：|AM|+|AN|=|AB|。 四、高考水平测试题 1．双曲线与椭圆x 2 +4y 2 =64共焦点，它的一条渐近线方程是y x 3+=0，则此双曲线的标准方程是_________. 2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A 1，B 1，则∠A 1FB 1=_________. 《解析几何》专题训练 一、选择题 1、（04福建）在平面直角坐标系中,方程 1(,22x y x y a b a b +-+ =为相异正数),所表示的曲线 是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形 1,D 令y x =,得y x a ==±,令y x =-得x y b =-=±,由此可见,曲线必过四个点:(,)a a , (,)a a --,(,)b b ,(,)b b --,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易知 它是非正方形的菱形. 2、若椭圆22 13620 x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为 A, B,(- C,(3, D,(3,- C 设00(,)P x y ,又椭圆的右准线为9x =,而122PF PF =,且1212PF PF +=, 得24PF =,又 20 2 93 PF e x == -,得03x =, 代入椭圆方程得0y =3、设双曲线22 221x y a b -= 的离心率 e 2?∈??? ，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( ) C A. ,63ππ?????? B ．,62ππ?????? C ．,32ππ?????? D ．2,33ππ?? ???? 4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。 （ C ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5= AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条 共切线。正确答案为C 。 5、双曲线122 22=-b y a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别 以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（B ） （A ）相交 （B ）相切 （C ）相离 （D ）以上情况均有可能 解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量 一、三角函数部分 1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且 A C ， A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ， 因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A= 41，而sinA>0，∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π 3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ= 11+-b ab B ．cos θ=1 1+-a ab C ．tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间， ∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C) A ．[0, ]4 π B ．[,]4 ππ C ．5[, ]4 4ππ D ．3[,)42 ππ 7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310 cos 10 B =．若△AB C 的最长边为1，则最短边的长为 （ D ） A ．455 B ．355 C ．255 D ．5 5 8．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x x f 2cos 2 sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】： 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数, 高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比 为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 空间解析几何数学竞赛辅导 一. 向量代数 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 ),,(12121221z z y y x x M M ---=→ 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→ ，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→ → （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→ →?b a （1）><→ →b a ,为向量→ → b a ,的夹角，且π>≤≤<→ →b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→ → ?b a （遵循右手原则，且→ → → ⊥?a b a 、→ → → ⊥?b b a ） 3 2 1 3 21 b b b a a a k j i b a → → → → →=? （1）3 3 2211//b a b a b a b a b a ==? =?→ → → → λ （2）00332211=++?=??⊥→ →→ → b a b a b a b a b a （3）几何意义： ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ； 平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为 212131 3111 |||0|22 ABC i j k S AB AC x x y y x x y y =?=---- 21 21 31 3112x x y y x x y y --=--的绝对值 也可以写成1 1223 31 1121 ABC x y S x y x y =的绝对值。 5. 混合积：(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b == (2)坐标表示：1 11 2 223 3 3 (,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。 (3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体 的体积。 ,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。 空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z , 444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何 1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为． 【答案】[]36， 【解析】设()9A a a -， ，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =?，由直线AC 与圆M 相交，得 d 36a ≤≤． 2、（2009一试5）椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ?的最小值为． 【答案】22 222a b a b + 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ??????±± ? ? ?????? ?，． 由P ，Q 在椭圆上，有 222221 cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得222211 11a b OP OQ +=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22 222a b a b +． 3、（2010一试3）双曲线12 2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是. 【答案】9800 4、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，?=∠90ACB ，则点C 的坐标为． 【答案】)2,1(-或)6,9(- 即0)(24)(21212212214=?++-+?++-y y t y y t x x t x x t ， 复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握． 例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4 1 i +的等比复数列． （1）求4z ． （2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2 1)26(41ππi i r +=+= ．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6 r 的等比数列．所以 4 3 3= a ． （3）这个级数是公比8 1 6 - ==r 的无穷等比级数，从而和3 128 ) 8 1(148= --=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时） 分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论． 解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13 1tan ∞→→+-=n n n θ． （2）当1≠k 时，21111 1)1(a k k k a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++ --=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1 3313)13(1tan 1∞→?? ? ??<<>+-→---+=-n k k k k k k k n n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示． （2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2 1223)(αα=-=-z z z z (1) 211)(----=-=-n n n n n z z z z α α 于是，从1≠α得，α α--=11n n z ． 高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义 第十五讲 解析几何一（教师版） 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距. 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。 在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。 一、知识精讲 1.点到直线的距离 ： d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 2.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ =+??=+?. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若 d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 高一上期数学竞赛培训资料（16） ——解析几何部分（4）——与圆有关的点的轨迹问题 一、知识要点——求点的轨迹方程的基本步骤： （1）建：建立直角坐标系； （2）设：设立动点坐标P （x ，y ）； （3）现：将动点的等量关系呈现出来； （4）代：代入点的坐标； （5）化：化简上述等式。 应注意：所求方程的完备性！ 二、题型示例： 1、ABC ?的两顶点A 、B 的坐标分别为(0,0)A 、(6,0)B ，顶点C 在曲线23y x =+上运动，求ABC ?重心的轨迹方程。 2、过原点作曲线2 1y x =+的割线12OPP ，求弦12PP 中点的 P 的轨迹方程。 3、已知两点(2,2)P -、(0,2)Q 以及一直线:l y x =，AB 在直线l 上移动，试求直线PA 和QB 的交点M 4、已知ABC ?的顶点A 是定点，边BC 在定直线上滑动，且||4BC =，BC 边上的高为3，求ABC ?的外心M 的轨迹方程。 5、设定点(6,0)P ，圆229x y +=上一点Q ，M 是PQ 上一点，满足 12 PM MQ =，当点Q 在圆上运动时，试求点M 的轨迹方程。 6、ABC ?中，边||6BC =，且0135B C ∠+∠=，试求顶点A 的轨迹方程。 7、过定点(,)M a b 任作两条互相垂直的直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，试求线段AB 的中点P 的轨迹方程。 8、已知圆222:O x y r +=，点M 为圆O 上任意一点，又点(,0)A r -、(,0)B r ，过B 作BP ∥OM 交AM 的延长线于点P ，试求点P 的轨迹方程。 9、过圆22:4O x y +=与y 轴的交点A 作圆的切线l ，M 为直线l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，试求MAQ ?垂心的轨迹方程。 10、已知点P 是圆22 :4O x y +=上一动点，定点(4,0)Q 。 （1）试求线段PQ 中点的轨迹方程； （2）设POQ ∠的角平分线交PQ 于点R ，求点R 的轨迹方程。 解析几何知识点 一、基本内容 （一）直线的方程 1、直线的方程 确定直线方程需要有两个互相独立的条件，而其中一个必不可少的条件是直线必须经过一已知点．确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围． 2、两条直线的位置关系 两条直线的夹角，当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠ 外注意到角公式与夹角公式的区别． (2)判断两直线是否平行，或垂直时，若两直线的斜率都存在，可用斜率的关系来判断．但若直线斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断． 3、在学习中注意应用数形结合的数学思想，即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义． （二）圆的方程 (1)圆的方程 1、掌握圆的标准方程及一般方程，并能熟练地相互转化，一般地说，具有三个条件(独立的)才能确定一个圆方程．在求圆方程时，若条件与圆心有关，则一般用标准型较易，若 已知圆上三点，则用一般式方便，注意运用圆的几何性质，去简化运算，有时利用圆系方程也可使解题过程简化． 2、 圆的标准方程为(x －a )2+(y －b )2＝r 2；一般方程x 2+y 2+Dx+Ey +F =0,圆心坐标 (,)22D E -- 3、 在圆(x －a )2+(y －b )2＝r 2，若满足a 2+b 2 = r 2条件时，能使圆过原点；满足a=0，r ＞0条件时，能使圆心在y 轴上；满足b r =时，能使圆与x 轴相切；r =条件时， 能使圆与x －y ＝0相切；满足|a |=|b |=r 条件时，圆与两坐标轴相切． 4、 若圆以A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)为直径，则利用圆周上任一点P (x ，y )， 1PA PB k k =-求出圆方程(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)＝0 (2) 直线与圆的位置关系 ①在解决的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用△＞0，△=0，△＜0，而用圆心到直线距离d ＜r ，d=r ，d ＞r ，分别确定相关交相切，相离的位置关系．涉及到圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算交弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形，当然，不失一般性弦长式 ③已知⊙O 1：x 2+y 2 = r 2，⊙O 2：(x -a )2+(y -b )2＝r 2；⊙O 3：x 2+y 2+Dx+Ey +F =0则以M (x 0，y 0)为切点的⊙O 1切线方程为xx 0+yy 0＝r 2；⊙O 2切线方程 条切线，切线弦方程：xx 0+yy 0=r 2． (三)曲线与方程 (1)在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对x 、y 表示，这就是动点的坐标(x ，y )．当点按某种规律运动而形成曲线时，动点坐标(x ，y )中的变量x ，y 存在着某种制约关系．这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x ，y 方程F (x ，y )＝0． 曲线C 和方程F (x ，y )＝0的这种对应关系，还必须满足两个条件： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，这时，我们才能把这个方程叫做曲线的方程， 高中数学解析几何 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?<≤?1800α 2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k （1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直 线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2 121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； 2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距 离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直 线的方程：1 21 121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：1=+ b y a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。 ②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，??? ? ??+-+222 2 ,B A A B A B （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量） 6(选修4-4)参数式? ??+=+=bt y y at x x 00（t 参数）其中方向向量为),(b a ， 高中数学竞赛专题讲座之解析几何 一、选择题部分 1、(集训试题)过椭圆C ：12 32 2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足） ，延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围为（ ） A ．]3 3 , 0( B ．]2 3,33( C ．)1,3 3 [ D ．)1,2 3( 解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH ，所以 λ+-=11PQ HP ，所以由定比分点公式，可得：????? =-+= y y x x 11)1(3λ λ，代入椭圆方程，得Q 点轨迹为123)]1(3[222=++-y x λλ，所以离心率e=)1,33 [32132232 2∈-=-λλ λ。故选C 。 2．（2006年南昌市）抛物线顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y ＝12上,则抛物线方程为(D) A .212y x =- B .212y x = C .216y x =- D .216y x = 3．（2006年江苏）已知抛物线2 2y px =，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△ POF 是直角三角形，则这样的点P 共有 （ B ） ()A 0个 ()B 2个 ()C 4个 ()D 6个 4．（200 6天津）已知一条直线l 与双曲线122 22=-b y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两 点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ A ） （A ）22a b ab - （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2 2- （D ）ab a b 22- 5. (2005全国)方程 13 cos 2cos 3 sin 2sin 2 2 =-+ -y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：),2 3cos()22cos(,22 322 0,32π ππ π π π->-∴< - <-< ∴>+ 即.3sin 2sin >又 ,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32 ,220>-∴<>∴<<< <ππ π方程表示的曲线是椭圆。 ) ()4 232sin(232sin 22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=--- π 高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 数学竞赛《解析几何》专题训练(答案)
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