一元函数微分学,极限的计算与证明
全国数学竞赛提高班讲义
一、极限的计算与证明
例 1
求极限(
lim 1sin n
n π→∞
+
解：有理化得
(
)
()2
sin sin 20n n π==→→∞
同时2
lim 4
n n n π
→∞
?==
，原式=4
e π
例2 求极限()lim sin 2!n n en π→∞
解：利用泰勒公式()()111112!!1!2!e e n n n θ
=++++++
++ 于是()()
222!2112e en k n n n θ
ππππ=++
+++ 所以()()()22lim sin 2!lim sin 2112n n e n en n k n n n θ
ππππ→∞→∞??=++??+++?? ()()()()2222lim sin lim 2112112n n e e n n n n n n n n θθπππππ→∞→∞????+=+=????++++++???
? 例3 设()()101121,,1,2,2n n
n x n x x a x b x n n
-++-===
= ，求极限lim n n x →∞ 解：()()1112111222(1)n n n n n n x x x x x x n n n +---?
?????-=--=--- ? ? ?-??????
()10111122(1)22!n
b a
x x n n n ??-??????=----=-?
? ? ? ?-???????? 从而()()1010011
2!k
n
n
n k k k k x x x x a b a k ++==??=+-=+--? ??
?∑∑
于是()()1
2011
lim 2!k
n n k x a b a a b a e k ∞
-→∞=??=+--?=+- ??
?∑
例4 设{}0n n a ∞
= 为数列，,a λ为有限数，求证：
（1）如果lim n n a a →∞
=，则12lim
n
n a a a a n
→∞+++= ；
（2）如果存在正整数p ，使得()lim n p n n a a λ+→∞
-=，则lim
n n a n p
λ
→∞= 证明：（1）因为lim n n a a →∞
=，根据收敛数列的有界性得，存在0M >，使得n a M ≤
再由N ε-语言得，对110,,..,2
n N s t n N a a ε
ε?>?>-<
再考虑到()1
lim
0n M a N n
→∞
+=，于是，()1
2
2
0,,..,
2
M a N N s t n N n
ε
ε+?>?><
于是，对0ε?>，取{}12max ,N N N =，当n N >时
111111N N n n
a a N a a a a a a a a n n n ++--+-+-=-
()111
111222
N n a a a a
M a N
N M N a
n N n
n
n
n εεε
ε+-++-++-≤
+
≤
+
?<+= （2）对于给定的p ，显然数列{}0n pn ∞
= 为数列{}1n n ∞
= 的子列，从而
{}
(1)1
n n p np n A a a ∞+==-为{}
1
n p n n a a ∞+=-的子列，因为()lim n p n n a a λ+→∞
-=，从而
l i m n n A λ→∞
=，由结论（1）得12lim
n
n A A A n
λ→∞
+++= ，而()121n p n p A A A a a ++++=- 从而()()()111lim
lim
lim
lim
p
n p n p
n p
p n n n n a a a a a n
n
n
n
λ+++→∞
→∞
→∞
→∞
-=-==
而()()()()()()()11111lim
lim
lim
lim
11m n p
n p
n p
n p
m
n n n m a a a n p a p p n
n p
n
n p
m
λ=++++→∞
→∞
→∞
→∞+=?
=?=?=++，即
l i m n n a n p
λ→∞= 例5
求极限(lim x →+∞
解：由三角公式=
因2≤是有界变量，又由复合函数的极限得
lim sin lim
sin 00x x →+∞
===，故原式的极限为0
例6 求极限2lim arctan tan 1x a a x arc x x →∞?
?- ?+??
解：对arctan y z =在,1a a x x ????+??
上使用拉格朗日中值定理得
21arctan
tan 111a a a a arc x x x x ξ??
-=- ?+++??
，其中ξ介于1a x +与a x 之间，则当,0x ξ→∞→，于是原极限=()
22
1lim 11x a x a x x ξ→∞
?
?=++ 例7 求1x -
→时，与2
n n x ∞
=∑等价的无穷大量
解：固定1x <，记2
()t f t x =，由定积分的几何意义的（把()f t 看成指数函数）
2
222
222
22
1
2
3
1021320
1
2
,,,t t t x x dt x x x dt x x x dt x <<<<<
2
2
2
1
n t n n n x x dt x ∞
∞
+∞
==<<∑∑?
，于是2
2
2
1t n t n x dt x x dt ∞
+∞
+∞
=<<+∑?
?
考虑到22
1ln
t t x
x dt e
dt -+∞
+∞
=??，
令u du ==，
考虑到20x e dx +∞-=?
则2
2
~
t u x dt e
du +∞
+∞
-=
=
?
二、一元函数微分学
例8 设函数()f x 二阶可导，试证明：()()()()
2
2''lim
h f x h f x h f x f x h →++--=
证明：由导数的定义得()()()
'lim
,h f x h f x f x h
→--=-于是
()()()()()
0'lim
lim h h f x h h f x h f x f x h f x h h h
→→+--+-++==--
()()()
''''lim
h f x h f x f x h
→+-=
()()()()0001lim lim lim h h h f x h h f x h f x h f x h h h →→→+--+--?
?=-??--??
=()()()()()()()222002lim lim h h f x h f x f x h f x f x h f x h f x h h h →→+---++--??+=???? 例9 求arcsin y x =在0x =处的n 阶导数
1y =，再对x
'''0y =
化简得到()21'''0x y xy --=.利用莱布尼兹公式，把()21'''0x y xy --=两端对x 求
n 阶导数得到()()()22(1)2()12
10n n n x y n xy n y ++--+-=.令0x =代入得到(2)2
(
)(0)(0)n n y n y +=.容易计算(0)(1)(0)0,(0)1y y ==，于是解这个递推关系式得到：
当n 为偶数时，()(0)0n y =；当n 为奇数时，
()()2
()(2)(0)20n n y n y -=-
()()()2
222(4)222(4)(0)2(4)1'(0)2!!n n n y n n y n -=--=--=-????
例10 设()f x 在区间[]0,1上可微，()00,(1)1f f ==，三个正数123,,λλλ的和为1，证明：存在三个不同的数()123,,0,1x x x ∈，使得
()
()
()
3
1
2
1231'''f x f x f x λλλ+
+
=
证明：利用介值定理选择01a b <<<使得()112(),f a f b λλλ==+，分别在三个区间[][][]0,,,,,1a a b b 上使用拉格朗日中值定理，得到
()()()123()(0)()()(1)()
',','01f a f f b f a f f b f x f x f x a b a b
---===---
其中123,,x x x 分别在区间()()()0,,,,,1a a b b 内，变形为
()
()
()
3
1
2
123,
,
1,'''a b a b f x f x f x λλλ==-=- 相加得
()
()
()
3
1
2
1231'''f x f x f x λλλ+
+
=
例11 设()f x 在[],a b 上有连续的导函数，且存在(),c a b ∈使得()'0f c =，试证：
存在(),a b ξ∈使得()()()
'f f a f b a
ξξ-=
-
证明：利用原函数法构造辅助函数()()()x b a
F x f x f a e
--=-?????，则
()()()()0,c
b a
F a F c f c f a e
-
-==-?????，
()()()1''()()x
b a F x f x f x f a e b a --?
?=--???-?
?， （1）若()0F c =，则在[],a c 上应用罗尔定理，存在()(),,a c a b ξ∈?使得
()'0F ξ=，即()()1'()()0b a
f f f a e b a ξξξ--??--?=??-??，整理便得结论 （2）若()0F c ≠，不妨设()0F c >，考虑到()'0f c =，从而()()1
'0F c F c b a
-=?<- 由朗格朗日中值定理得()()()()
'0F c F a F c F c a c a
η-=
=>-- ，从而()'F η与()'F c 异
号，又()'F x 在[],c η上连续，由零点定理知，存在()(),,c a b ξη∈?使得()'0F ξ=
例12 设()f x 有三阶导数，()()l i m
,l i m '''0x x f x A f x →∞
→∞
==，
证明：l i m '(
)l i m x x f x f x →∞
→∞
==
证：考虑三个点1,,1x x x -+，利用泰勒公式把()()1,1f x f x -+在点x 处展开，则有两点12,ξξ，满足1211x x x ξξ-<<<<+，且
()()()111
(1)()''''''26f x f x f x f x f ξ-=-+
-， ()()()111
(1)()''''''26f x f x f x f x f ξ+=+++，
两式分别相加减，并计算出',''f f ，得到
()()()()()1211
'11''''''212
f x f x f x f f ξξ=
+---+???????? ()()()()()()211
''112''''''6f x f x f x f x f f ξξ=++----???? 两边取极限x →∞ 便可得结论 例13 设f 是一定义于长度不小于2的闭区间I 上的实函数，满足
()()1,''1f
x f x ≤≤，证明：()'2f x ≤
证明：令闭区间[],I a b =，并且2b a -≥，将()(),f a f b 在任意点x I ∈泰勒展开
()()()()()()()()()()()()
2
12
2'''2
'''2f f a f x f x a x a x f f b f x f x b x b x ξξ=+-+
-=+-+- 两式相减
()()()()()()()22
21''''2'22
f f f b f a f x b x a x ξξ-=+
---，于是 ()()()()()()()22
121'''''24f b f a f x f a x f b x ξξ-??=
+---?
?，所以
()()()
()()()()()()()()22
122222
1'''''241111 1244f a f b f x f a x f b x a x b x a x b x ξξ+??
≤
+-+-??+????
≤+-+-=+-+-????
考虑到()()()()[]()222222
a x
b x x a b x x a b x b a ????-+-=-+-≤-+-=-????
()()21'14f x b a ≤+- ，考虑到2b a -≥，只要()()2
1'124
f x b a ≤+-≤
例14 设函数()f x 在()00,x x δδ-+内有n 阶连续导数，又
()()()()000,2,3,,1,0k n f x k n f x ==-≠ ，当0h δ<<时，
()()()()000'01f x h f x hf x h θθ+-=
+<<，试证：0
lim h θ→=
证明：把()0f x h +在0x 处按泰勒公式展开
()()()(
)
()000'!
n n f f x h f x f x h h n ξ+=++
把()0'f x h θ+在0x 处按泰勒公式展开
()()()()()()()()()21
0000'''''''2!1!n n f x f f x h f x f x h h h n ηθθθθ-+=+?+?+-
()()()()()1
0'1!
n n f f x h n ηθ-=+-
根据题设条件整理得
(
)
()(
)
()1n n n f f n
ξηθ-=
，令0,h → 此时00,x x ξη→→
(
)
()()
()1
000lim n n n h f x f x n
θ-→?
?=???
，所以0
lim h θ→=
例15
比较
解：由于在()0,+∞上自然对数函数ln x 以及二次幂函数2x 都是严格单调增加的，
因此比较
()21ln n n +与()2ln 1n n +的大小
做差()()()()222
2
ln 1ln ln 11ln 11n n n n n n n n n n ??
++-+=+-??+??
考虑函数()2ln x
f x x
=的单调性即可
例16 设()f x 是二次可微的函数，满足()()01,'00f f ==，且对任意的0x ≥有
()()()''5'60f x f x f x -+≥，证明：对每个0x ≥，都有()2332x x f x e e ≥- 证明：首先()()()()''2'3'20f x f x f x f x ---≥????????
令()()()'2g x f x f x =-，则()()'30g x g x -≥，即()3'0x
g x e -???≥??，从而 ()()302x g x e g -?≥=-，即()()3'22x f x f x e -≥-，进而有()2'2x x
f x e e -???≥-??
整理得()22'0x x
f x e e -???+≥??，从而()()22023x x f x e e f -?+≥+=，整理便得结论
例17 设函数
()f x 在
()
,-∞+∞上具有二阶导数，且
()()()''0,l i m '
0,l i m '0x x f x f x f
x αβ
→+∞
→-∞
>=>
=<，且存在一点
0x ，使得()00f x <，证明：方程()0f x =在(),-∞+∞恰有两个实根
证：由()lim '0x f x α→+∞
=>知，必有一个充分大的0a x >，使得()'0f a >.由已知得
()f x 为凹函数，从而当x a >时，()()()()'f x f a f a x a >+-，而且当x →+∞时 ()()()'f a f a x a +-→+∞，故存在b a >，使得()()()()'0f b f a f a b a >+-> 同理，由()lim '0x f x β→-∞
=<，必有0c x <，使得()'0f c <.由已知得()f x 为凹函数，
从而当x c <时()()()()'f x f c f c x c >+-，而且当x →-∞时
()()()'f c f c x c +-→+∞，故存在d c <使得()()()()'0f d f c f c d c >+->
在[]0,x b 和[]0,d x 利用零点定理，存在()()1020,,,x x b x d x ∈∈，使得
()()120f x f x ==
下面利用反证法和罗尔中值证明方程只有两个实根（略）
例18 设()()1
122cos cos 1cos n n
n n n
n n f x C x C x C x -=-++- ，求证：
（1）对于任何自然数n ，方程()12n f x =
在区间0,2π??
???
中仅有一根； （2）设0,2n x π??
∈ ???
满足()12n n f x =，则lim 2n n x π→∞=
证明：（1）因为()()11cos n n f x x =--在0,2π??????上连续，又()01,02n n f f π??
== ???
故由介值定理知：存在0,2n x π??∈ ???，使得()12n n f x =.且因为当0,2x π??
∈ ???
()()
1
'1cos sin 0n n f x n x x -=--<
所以()n f x 在0,2π??
???
内严格递减，因此，满足方程()12n f x =的根存在且唯一
（2）因为11cos 11n
n f arc n n ????
=-- ? ?????
，令n →∞两边取极限有
111lim arccos 12n n f n e →∞?
?=-> ???，说明存在正整数N ，使得当n N ≥时，有 ()11arccos 2n n n f f x n ?
?>= ??
?，因为()n f x 严格递减，所以1arccos 2n x n π<<
于是由夹逼定理知结论成立
例19 已知方程log b a x x =存在实根，常数1,0a b >>，求,a b 应满足的条件 解：设()()log ,0,b a f x x x x =-∈+∞，则()1ln 'ln b
bx a f x x a -=
，驻点1
01ln b
x b a ??= ???
当00x x <<时，()'0f x >，()f x 单调递增；当0x x >时，()'0f x <，()f x 单调递减，()0f x 是极大值.又()()0lim lim x x f x f x →+
→+∞
==-∞，所以依题设必有()00f x ≥
()ln ln 10ln ln b a b a b a
-
-≥或()ln ln 1b a ≤-，由此,a b 应满足1
0ln a be <≤
高等数学极限计算方法总结
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
极限的计算、证明
极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01 lim =∞→n n 证：要使ε<-01n ，只须ε 1 >n ，故 0>?ε，11 +?? ? ???=?εN ，N n >?，有ε<-01 n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限 例、证明：0! lim =∞→n a n n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ?∴正整数k ，使得k a ≤ ()ε 1!,01+???? ????=?>?∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0! n a n 3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()() n n n n 264212531lim ??-??∞ → 解： ()()()()n n n n n 212264212753264212531?-??-??=??-?? ()()()()n n n n n n 41 125312642211253264?-????=?-??> ∴ ()()n n n 41 2642125312 >??? ? ????-??
两边开n 2次方： ()()121 21412642125311222→?=>??-??>n n n n n n n n 由两边夹：()() 1264212531lim =??-??∞ →n n n n 4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问 题 例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p p n l S →()∞→n 证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n 再记n n l S α+=()n n l l l βα+=??? ? ? ?+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p p n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 包头师范学院 本科毕业论文 题目：二重极限的计算方法 学生姓名：王伟 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 班级：应数一班 指导教师：李国明老师 二〇一四年四月 摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性 Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x 关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0 https://www.360docs.net/doc/d19841415.html, 版权所有翻印必究 考研数学极限计算方法：利用单侧极限 今天给大家带来极限计算方法中的利用单侧极限来求极限。为什么会有单侧极限这种极限的计算方法呢，我们知道极限存在的充要条件要求函数左右两侧的极限同时存在且相等才表示函数极限存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢？ 第一，当分段函数的分段点两侧表达式不同时，求分段点处的极限利用单侧极限。例如，讨论函数1,0arcsin(tan )()2,0ln(1arctan ),0121x e x x f x x x x x ?-+-?? 在0=x 处的极限。分析：在做这道题时我们发现0=x 处左右两侧的解析式是不同的，所以计算0=x 处的极限要分左右来求解，也即 1lim 22 1arctan lim 121)arctan 1ln(lim 000==?=-+++++→→→x x x x x x x x x ，1tan lim )arcsin(tan 1lim 00==---→→x x x e x x x ，左右两侧的极限同时存在且相等，所以1)(lim 0 =→x f x 。有一些特殊的分段函数，如,[],max{},min{},sgn x x x ，当题目中出现这几个函数时需要考虑单侧极限。 第二，如果出现(),arctan e a ∞∞∞，求极限是要分左右的，例如，???? ? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 410分析：这道题让我们求解0=x 处的极限，我们发现它有x ，在脱绝对值时 版权所有翻印必究 https://www.360docs.net/doc/d19841415.html, 2会出现负号，同时出现了e ∞，故分单侧计算极限， 11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ++++→→→→????+++ ? ?+=+=+= ? ? ? ?+++????，11144400002sin 2sin 2sin lim lim lim lim 1111x x x x x x x x x x e x e x e x x x x e e e ----→→→→????+++ ? ?+=-=-= ? ? ? ?+++???? ，所以1sin 12lim 410=???? ? ??+++→x x e e x x x 。上述几种情况原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，提高自己的解题能力。 经典合同 二元函数极限证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日 二元函数极限证明 目录 第一篇：二元函数极限证明 第二篇：二元函数的极限 第三篇：二元函数极限的研究 第四篇：二元函数的极限与连续 第五篇：函数极限的证明 正文 第一篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有 |f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 第 2 页共 26 页 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 第 3 页共 26 页 第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性 目录 摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4) 五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6) 内容摘要 摘要：极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法。极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法. 关键词:极限；计算；方法 Abstract:the limit is one of the most basic, the most important concept in mathematical analysis, the limit is an important foundation for the calculus, an important means to study the function of the nature of the concept description. The limit is an important trend in the infinite process function, through typical examples, infer other things from one fact,several commonly used methods for the limits. A lot of calculation method of limit, and there are rules and skills, certain of 极限计算方法总结 靳一东 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+∞ →3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 极限的几种计算方法 摘要:极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法. 关键词:极限；计算；方法 极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法. 一、 利用极限定义求极限 设{}n a 为数列, a 为定数.若对任给的正数ε ,总存在正整N ,使得当n N > ,n a a ε-<则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限, 并记作lim n n a a →∞ =或()n a a n →→∞. 例1 证明33545 lim 232 n n n n →∞+-=- 分析: 成立.从中解n 很困 难 ,因为要找的N 不是唯一的,所以可以用“放大”不等式的方法,再解不等式,并可限定正整数n 大于某个正常数,当然“放大”和“限定”的也不是唯一的. 证明:限定7n >,从而3 30n ->,要使不等式 ()()333333 54527272232222323n n n n n n n n n n n +-+++-==<--+- 3232 2n n n ε= << 成立， 从不等式 22n ε<，解得 n >取N = 于是, N = , N ,有33 545 232 n n n +---ε< , 即 . 例2 证明 ! lim 0n n n n →∞= 证明: 由于 !!10n n n n n n n -=≤,故对0ε>,取N =+1,则当n N >时，有 !1 0n n n n ε-≤<，因此!lim 0n n n n →∞=. 二、利用两个重要极限求极限 例3 求 2lim 1x n x -→∞ ?? - ??? 分析: 此题是一道比较典型的应用第二个重要极限的问题. 解: 2 2221lim 112x x t x n x x -?--=→∞ ??????- =+ ?? ??? ?? -? ? 2 21lim 1t t e t →∞ ?? ??+=?? ?????? ?. 例4 求 2 c o s l i m 2 x x x π π → - 解: 202cos cos 2lim lim 2 x t t x t x t x π πππ-=→→ ?? + ???→←???- 0sin lim 1t t t →=-=-. 例5 求30tan sin lim x x x x →- 解: 3200tan sin tan 1cos lim lim()x x x x x x x x x →→--=?定义证明二重极限_1
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