2011年5月汕头二模理科数学试题
汕头市2011年普通高中高三教学质量测评试题（二）
数学（理科）
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=?.
一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案） 1．
函数y =
）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ． (1,)+∞
D ．[1,)+∞ 2．已知命题:, 20;x p x R ?∈>命题00:, sin 2;q x x ?=，则（ ）
A ．p q ∨为真
B ．p q ∧为真
C ．p q ?∨为真
D ．p q ?∨?为真 3．分类变量X 和Y
则下列说法中正确的是（ ）A ．ad bc -越小，说明X 与Y 关系越弱； B ．ad bc -越大，说明X 与Y 关系越强； C ．||ad bc -越大，说明X 与Y 关系越强； D ．||ad bc -越接近于0，说明X 与Y 关系越强； 4．已知两条不同的直线l m 、和两个不同的平面αβ、，则下列命题中为假命题的是（ ） A ．若α∥β，l α?，则l ∥β B ．若α∥β，l α⊥，则l ⊥β C ．若α⊥β，l αβ= ，m α?m l ⊥，则m ⊥β D ．若l ∥α，m α?，则l ∥m
5．已知ABCD 为平行四边形，则“||||AB AD AB AD +=-
”是“ABCD 为矩形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎 叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ） A ．3与3 B ．23与3 C ．3与23 D ．23与3
7．下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．已知函数0
()sin a f a xdx =
?
，则[(
)]1cos 12
f f π
=-
B ．设回归直线方程为 2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位
0 8 9
1 1
2
3
4 6 7 8 9
2 0 1 1
3 3 3 5 7 8 8 3 0 1 2 2 3
4 8 9 4
0 1
C ．已知ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=
D ．对于命题2
000:, 10p x R x x ?∈++<；则2
: ,10p x R x x ???++>
8．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),[0,1)()1|3|,[1,)x x f x x x +∈??
=??--∈+∞?，则关于x 的函数 ()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）
A ．21a -
B ．21a --
C ．12a --
D ．12a -
二．填空题（本大题共7小题，只做6小题。每小题5分，满分30分）
9．设复数z 满足2(iz i i =-为虚数单位)，则复数z 的模||z = ．
10．定义运算a b ad bc c
d
=-，函数12()3
x f x x
x -=-+图像的顶点是(,)m n ，且k m n r 、、、成等差
数列，则k r +=
11．直线10x y -+=交圆22:1M x y +=于A B ,两点，则 线段A B 的垂直平分线的方程为
12．已知实数,x y 满足：14x y -≤+≤且23x y ≤-≤， 则23z x y =-的最大值是
13．执行如图所示的程序框图，若输出的b 值为16， 则图中判断框内“？”处应填的数为 选做题：（二选一）
14．在极坐标系中，曲线ρ=4sin θ-与cos 1ρθ=相交于点,A B ,则
||A B = ．
15．（几何证明选讲）如图，在四边形ABCD 中，E F ∥BC ，FG ∥A D ， 则
E F F G B C
A D
+=
三．解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）已知函数()3cos()cos()(0)2
f x x x π
ωωπω=-++>图像的相邻两条对称轴之
间的距离等于π。
（1）求()f x 的表达式；（要写出推导过程）
（2）若B 是直角三角形ABC 的内角，求()f B 的值域。
A E
F
D
G
C B
17．（本小题满分12分）
某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）。该校学生会共有100名学生，他们参加活动的次数统计如下表：
用分层抽样的方法从中抽取10人作为样本，将这个样本作为总体。 （1）从样本任意选两名学生，求至少有一个参加了2次活动的概率；
（2）从样本任意选一名学生，若抽到的学生参加了2次活动，则抽取结束，若不是，则放回重聚，求恰好在第4次抽取后结束的概率。
18．（本小题满分14分）
如图，沿等腰直角三角形ABC 的中位线D E ，将平面A D E 折起（转动一定角度），得到四棱锥A BCDE -，设CD 、B E 、A E 、A D 的中点分别为M 、N 、P 、Q ，平面A D E ⊥平面BCDE 。
（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ； （2）求证：M 、N 、P 、Q 四点共面； （3）求异面直线B E 与M Q 所有的角。
19.（本小题满分14分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）t 万件与年促销费用x 万元（,x a a ≥为一个正常数）满足231
t x =-
+，已知2011年生产该产品的
固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入6万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）。
（1）将2011年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （注：利润＝销售收入－总成本）
（2）该厂家2011年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
20．（本小题满分14分）已知椭圆的C 两个焦点分别为12(0,1),(0,1)F F -，离心率12
e =，P 是椭圆C 在
第一象限内的一点，且12||
||1PF PF -=。
D
A
D E B
Q A D E
B M N P
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点P 的坐标；
（3）若点Q 是椭圆C 上不同于P 的另一点，问是否存在以P Q 为直径的圆G 过点2F ？若存在，求出圆G 的方程，若不存在，说明理由。
21.（本题满分14分）数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，若数列{}n a 中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列” （1）试写出一个不是．．
“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由； （2）求证：数列{}n a 为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数1m ≥-，使1a m d =。
绝密★启用前 试卷类型：A
汕头市2011年普通高中高三教学质量测评试题
数学（理科）参考答案与初步评分标准
一、选择题： BACD ，CDAD 二、填空题：
9．答5；10．答9-；11．答0=+
y x ；12．答：8；13．答
4；14
．答15．答：1．
解答：
1．解：1,01≤∴≥-x x ，∴选B ．
2．解：p 真，q 假，∴q p ∨为真，∴选A ． 3．解： ||,)
)()()(()
)((2
2
bc ad d b c a d c b a bc ad d c b a k
-∴++++-+++=
越大，则2
k 越大，
∴X 与Y 关系越强，∴选C ．
4．解： α//l ，α?m 时l 与m 可以异面，∴选D ． 5．解：
|
|||AD AB AD AB -=+?AD AB AD AB AD AB AD AB ?-=??-=+22||||2
2
AD AB AD AB ⊥?=??0，又ABCD 为平行四边形，∴ ABCD 为矩形，∴选C ．
法二：
|
|||AD AB AD AB -=+?||||BD AC =,对角线相等的平行四边形为矩形。
6．解：23 出现3次，为最多，∴众数23
比23大的数有14个，比23小的数有13个，∴中位数为23，∴选D ． 7．解： 0
()sin a f a xdx =
?
＝a x a cos 1)
cos (0
-=-
1cos 1)1(,1)2
(
-==∴f f π
，即[(
)]1cos 12
f f π
=-，∴选A ．
8．解：11,0101≥-?-≤>-≥?<≤-x x x x ，又)(x f 为奇函数 0<∴x 时，
???
?
?--∞∈----∈+--=--=]
1,(|,3|1)0,1[),1(log )()(21x x x x x f x f 画出)(x f y =和)10(<<=a a y 的图象，如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为54321,,,,x x x x x ，则
a x x x x x =+--=+-=+)1(log
,32
,
32
32
15
42
1而a
x a x 21)1(log 332-=?=-?，
可得a
x x x x x 2154321-=++++，∴选D ．
1
=a
=
9．解：5)
2()1(||,2122
2=-+-=∴--=-=
z i i
i z ．
10．解：3
,2,1)(+--=
x x x x f 7)2(34)(2)3)(1(2
2-+=-+=--+-=x x x x x x
9,7,2-=+=+∴-=-=∴n m r k n m ．
11．解： 线段AB 的垂直平分线过圆心（0，0），且斜率为1-∴方程为x y -=．
12．解：画出满足不等式组???
???
?≤-≥-≤+-≥+3
241y x y x y x
y x
的可行区域，在可行域内平移直线23z x y =-，当直线经过
1-=+y x 与3=-y x 的交点A （1，2-）时，目标函数有最大值82312=?+?=z ．
13．解：根据程序框图中的当型循环，设“？”处填,i 可知： 若1=i ，则第一次运行即退出循环，则输出的b 的值为1，不合； 若,2=i 则第二次运行即退出循环，则输出的b 的值为2，不合； 若,3=i 则第三次运行即退出循环，则输出的b 的值为4，不合；
若4=i ，则第四次运行即退出循环，则输出的b 的值为16，符合；∴4=i ．
14．解：化为直角坐标方程即圆C ：0422=++y y x 和直线:l 1=x ，圆心C （)2,0-到直线的距离为1，圆的半径为2，
32||,31
2||212
2
=∴=-=
∴AB AB ．
法二：在极坐标系中直接作出该圆和直线，32||,31
2||2
12
2=∴=-=∴AB AB ．
15．解：
=+AD
FG BC
EF 1=+AC
FC AC
AF ．
三．解答题： 16．解：（1）
)cos()2
cos(3)(πωπ
ω++-
=
x x x f =x x ωωcos sin 3- ------2分
（每个诱导公式1分） =)cos 2
1sin 2
3(
2x x ωω-
----------3分
)6
sin(2π
ω-
=x ----------4分
由条件有
,2,2
1ππ=∴=T T ----------5分
1,22=∴=∴ωπω
π
----------6分
)
6sin(2)(π
-
=∴x x f ----------7分
（2） 由条件2
0π
≤
6
2
6
6
πππππ=
-
≤
-
<-
∴B ----------2分
2
3)6
sin(2
1≤
-
<-
∴π
B ----------3分
3
)(1≤<-∴B f ----------4分
)(B f ∴的值域是]3,1(-． ----------5分
17．解：（1）因参加活动1次、2次、3次的人数比例为10：40：50，即1：4：5；-- 1分 故样本中参加活动1次、2次、3次的人数分别为1人、4人、5人 ----------2分
记事件A 为“恰有一人参加了2次活动”，事件B 为“恰有两人参加了2次活动”，则A 与B 互斥。 ----------3分 故P （A ）＝
45
242
101
61
4=
C
C C ，----------4分
P （B ）＝
45
62
10
2
4
=
C C ----------5分
3
245
3045
645
24)()()(=
=+=+=+∴B P A P B A P
答：至少有一人参加了2次活动的概率为3
2． ----------6分
(2)记事件C 为“恰好在第4次抽取后结束” 每一次抽到参加了2次活动的学生的概率均为10
4即
5
2， ----------1分
抽到参加了1次或3次活动的学生的概率为
53， ----------2分
依题即前3次均取到参加了1次或3次活动的学生，第4次取到参加了2次活动的学生 ---------- 3分
5
2
)53()(3?=∴C P ----------4分
＝
625
54
----------5分
答: 恰好在第4次抽取后结束的概率为625
54． ----------6分
18．（1）证明:由等腰直角三角形ABC 有AD D E ⊥，CD ⊥DE ，D E ∥BC -------- 1分 又D CD AD =?，⊥∴DE 面ACD ， ----------2分 又D E ∥BC
∴BC ⊥平面ACD ，BC ?平面ABC ， ----------3分 ∴平面ABC ⊥平面ACD 。 ----------4分
(2)由条件有PQ 为ADE ?的中位线，MN 为梯形BCDE 的中位线 ----------1分
R
C
B
A
∴P Q ∥DE ，MN ∥DE ----------2分 ∴PQ ∥MN ----------3分 ∴ M 、N 、P 、Q 四点共面． ----------4分
(3) 解法一： 平面A D E ⊥平面BCDE ,交线为DE, AD ⊥DE ∴AD ⊥面BCDE ----------1分 ∴AD 、DC 、DE 两两互相垂直
可以以D 为原点建立如图空间直角坐标系， ----------2分 设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，
则C （2，0，0），A （0，0，2），E （0，2，0），
B （2，4，0） ----------3分
)
2,0,2(),0,2,2(-=--=∴AC BE ----------4分
设异面直线BE 与MQ 所成的角为θ，∵MQ ∥BC, ∴|,cos |cos ><=AC BE θ
2
1|
=
= ----------5分
2
0π
θ<
< ，3
πθ
=
∴
∴异面直线BE 与MQ 所成的角大小为
3
π．----------6分
解法二：设AD=1（长度单位），则DC=1，BC=2，
延长ED 到R ，使DR ＝ED ，连结RC ---1分 则ER ＝BC ，ER ∥BC ，故BCRE 为平行四边形 --2分 ∴RC ∥EB ，又AC ∥QM
∴ACR ∠为异面直线BE 与QM 所成的角θ（或
θ ------3分
DA=DC=DR ，且三线两两互相垂直，
∴由勾股定理得 ---------4分 ?∴ACR 为正三角形，∴ACR ∠＝
3
π ------5分 ∴异面直线
BE 与QM 所成的角大小为
3
π ------6分
解法三：设AD=2（长度单位），则DC=2，BC=4，
取BC 中点K ，再取CK 中点H ，连结MH ，则在梯形BCDE 中可得MH ∥BE
QMH ∠∴为异面直线BE 与MQ 所成的角θ
（或θ的补
角） ----------1分 且MH ＝
2
1BE ，CH ＝
4
1BC ＝1，又CM ＝1，
?∴Rt CHM 中，可得MH ＝2
B
D
Q
A
D
C
B
又?Rt MDQ 中可得QM ＝2， --------------2分 又?Rt DCH 中可得DK ＝5，
?Rt QDH 中可得QH ＝=
=
=--------------3分
|2|
|cos |cos 2
2
2
MH
QM QH
MH QM
QMH ?-+=∠=∴θ --------------4分
2
1|2
22)
6()2()2(|
2
2
2=
?
-+= --------------5分
2
0π
θ<
< ，3
πθ
=
∴
∴异面直线BE 与MQ 所成的角大小为3
π ----------6分
19．解： （1）1
2
3+-
=x t .
每件产品的销售价格为t t
1685.1+?(元)， ----------1分
∴2011年的利润)168()1685.1(x t t t
t y ++-+?
= ----------3分 x x x t -+-+=-+=)1
2
3(8484
即y )(1
16
28a x x x ≥-+-
= ----------5分（定义域占1分） （2）1)
1(162
/
-+=
x y
----------2分
由0y '=解得x=3（舍去-5） -----------3分
令0/
>y 得30< 令0/ ∴当3>a 时，y 在),[+∞a 上为减函数，a x =时，y 最大 ----------6分 当3≤a 时，y 在)3,[a 上为增函数，在),3[+∞上为减函数， 3=x 时，y 最大 ---------8分 综上所述，当3>a 时，该厂家2011年投入的促销费用a 万元时，厂家的利润最大， 当3≤a 时，该厂家2011年投入的促销费用3万元时，厂家的利润最大。 -------9分 20．解：（1）依题可设椭圆方程为 )0(12 22 2>>=+ b a b x a y 则212 1=?=a a ，312 2 2 =-=a b -------------2故曲线C 的方程为 13 4 2 2 =+ x y ． ------------------- 3（2）法一：由椭圆定义得4||||21=+PF PF -----1联立1||||21=-PF PF 得2 3||,2 5||21= = PF PF -------2分 又2||21=F F ，有2212221||||||F F PF PF += 212F F PF ⊥∴ ∴P 的纵坐标为1， -------------------3分把1=y 代入 13 4 2 2 =+ x y 得2 3= x 或2 3- =x （舍去） )1,2 3(P ∴ -------------------4分 法二：由1||||21=-PF PF 得点P 在以)1,0(),1,0(21F F -为焦点，实轴长为1的双曲线的上支上， -------------------1分 双曲线的方程为 14 34 12 2 =- x y -------------------2分 联立 13 4 2 2 =+ x y 得1,4 92 2 == y x ------------------3分 因P 在第一象限内，故1,2 3== y x )1,2 3( P ∴ -------------------4分 （3）设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设),(t s Q ，则 0)1,()0,23(=--?-t s -------------------1分 得 0)1(02 3=-?+t s 得0=s -------------------2分 又 13 4 2 2 =+ s t ，2±=∴t -------------------3分 )2,0(Q ∴或)2,0(-Q -------------------4分 413,2 13||2=∴= =r PQ r ， ∴圆G 为：16 13)2 3()4 3(2 2 = - +-y x -------------6分 或445,245||2= ∴= =r PQ r ， ∴圆G 为：16 45)2 1()4 3(2 2 =++- y x ------------7分 21．解（1）如数列)(72* ∈-=N n n a n 不是“封闭数列”，---1分 8,3,52121-=+∴-=-=a a a a ， -------------------2分 依题，* ∈?N n ，使8-=n a --------------3分 即* ?-=?-=-N n n 2 1872， --------------4分 这与* ∈N n 矛盾 所以数列)(72* ∈-=N n n a n 不是封闭数列；--------------5分 法二：数列)(72*∈-=N n n a n 不是“封闭数列” ---1分 对任意的* ∈N n m ,)(n m ≠，有 )72()72(-+-=+n m a a n m -------------------2分 依题，* ∈?N p ，使 n m p a a p a +=-=72 --------------3分 即72)72()72(-=-+-p n m 得2 7- +=n m p -------------4分 * ∈N n m , ，* ∈N p ，而* ?- +N n m 2 7 ，矛盾 所以数列)(72* ∈-=N n n a n 不是封闭数列； ------------5分 （只要写出的通项公式能满足存在整数1-≥m ，使md a =1，就不合） （2）证明：（充分性）若存在整数1-≥m ，使md a =1，则任取等差数列的两项)(,t s a a t s ≠，于是 111)2()1()1(-++=-+++=-++-+=+t m s t s a d t m s a d t md d s a a a --------2分 由于*∈-++∴-≥≥+N m t s m t s 1,1,3为正整数， -------------------3分 ∈∴-++1t m s a }{n a ，}{n a ∴是封闭数列 -- ----4分 （必要性）任取等差数列的两项)(,t s a a t s ≠，若存在k a 使k t s a a a =+， 则d t s k a d k a d t s a )()1()2(2111--=?-+=-++ --------------------6分 故存在Z t s k m ∈+--=1，使md a =1， --------------------7分 下面证明1-≥m 。 当0=d 时，显然成立。 --------------------8分 对0≠d ，若1- 故存在整数1-≥m ，使md a =1。 --------------------------9分