人教版选修2-2 第一章《导数及其应用》单元测试

2015-2016学年人教版选修2-2 第一章《导数及其应用》单元测试

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案 A

解析 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1、x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．

2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1

x 2在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[1

2，2]上的最大值是( )

A.13

4 B.54 C ．8

D ．4

3．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋2

3上移动，设点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )

A ．[0，π

2] B ．[0，π2]∪[3

4π，π) C ．[3

4π，π) D ．[π2，34π]

答案 B

4．已知函数f (x )＝1

2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A ．m ≥3

2 B ．m ＞3

2 C ．m ≤3

2 D ．m ＜3

2

答案 A

解析 因为函数f (x )＝1

2x 4－2x 3＋3m ， 所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.

令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27

2.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥3

2.

5．函数f (x )＝cos 2

x －2cos 2

x

2的一个单调增区间是( )

A.? ????π3，2π3

B.? ????

π6，π2 C.? ?

?

??0，π3 D.? ??

??－π6，π6

解析 f (x )＝cos 2x －cos x －1，

∴f ′(x )＝－2sin x ·cos x ＋sin x ＝sin x ·(1－2cos x )． 令f ′(x )>0，结合选项，选A. 6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0

f (x 0＋3Δx )－f (x 0)

Δx

＝1，则f ′(x 0)等于( )

A ．1

B ．0

C ．3 D.13

答案 D

7．经过原点且与曲线y ＝x ＋9

x ＋5相切的切线方程为( )

A ．x ＋y ＝0

B ．x ＋25y ＝0

C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0

D ．以上皆非 答案 D

8．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b ＜0时，f (x )是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．常数

D ．既不是增函数也不是减函数 答案 A

9．若a >2，则方程13x 3

－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )

A ．0个根

B ．1个根

C ．2个根

D ．3个根

答案 B

解析 设f (x )＝1

3x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，当x

∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )在(0,2)上为减函数，又f (0)f (2)＝1?

??

??

83－4a ＋1＝

11

3－4a <0，

f (x )＝0在(0,2)上恰好有一个根，故选B.

10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s ＝14t 4－5

3t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )

A ．1 s 末

B ．0 s

C ．4 s 末

D ．0,1,4 s 末

答案 D

11．设f (x )＝?????

x 2

， x ∈[0，1]，

2－x ，x ∈(1，2]，

则??02f(x)d x 等于( )

A .3

4 B .4

5 C .5

6 D ．不存在

答案 C

解析 数形结合，如图．

??02f(x)d x ＝??01x 2

d x ＋??1

2

(2－x)d x ＝ ???13x 310

???

＋(2x －12x 2)21 ＝13＋(4－2－2＋12) ＝5

6，故选C .

12．若函数f(x)＝sin x x ，且0

x 2

，则

a ，

b 的大小关系是( )

A ．a>b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a 、b 的大小不能确定

答案 A

解析 f ′(x)＝x cos x －sin x

x 2， 令g(x)＝x cos x －sin x ，则

g ′(x)＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x.

∵0b ，故选A .

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若f(x)＝13x 3

－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 答案 23

解析 f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1，令x ＝1，得f ′(1)＝2

3.

14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈? ??

??

－π2，π2时，f(x)

＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a 、b 、c 的大小关系是________．

答案 c

解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因为f ′(x)＝1＋cos x ≥0，

故f(x)在? ??

??－π2，π2上是增函数，∵π

2>π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π

－3)，即c

15．已知函数f(x)为一次函数，其图像经过点(2,4)，且

??0

1

f(x)d x ＝3，则函数f(x)的解析式为________． 答案 f(x)＝23x ＋8

3

解析 设函数f(x)＝ax ＋b(a ≠0)，因为函数f(x)的图像过点(2,4)，所以有b ＝4－2a.

∴??0

1f(x)d x ＝??0

1 (ax ＋4－2a)d x

＝[12ax 2＋(4－2a)x] |10

＝12a ＋4－2a ＝1. ∴a ＝23.∴b ＝83.∴f(x)＝23x ＋83.

16．(2010·江苏卷)函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的

值是________．

答案 21

解析 ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2

k ＝2a k (x

－a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝1

2a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝1

2，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．

解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形面积S ＝?

?0

1(x －x 2)d x ＝

???? ????x 22－x 3

310＝12－13＝1

6.

又?????

y ＝x －x 2

，y ＝kx ，

由此可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标x 3＝0，x 4＝1－k ，所以S

2＝??01-k (x －x 2－kx)d x ＝

?

??? ????1－k 2x 2－x 331－k

0＝16

(1－k)3.

又S ＝16，所以(1－k)3

＝12，∴k ＝1－3

42.

18．(12分)已知函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．

(1)求a 的值；

(2)若点A(x0，f(x0))在函数f(x)的图像上，求证：点A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上．

解析 (1)由函数f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在区间[0,1]单调递增，在区间[1,2)单调递减，

∴x ＝1时，取得极大值，∴f ′(1)＝0. 又f ′(x)＝4x3－12x2＋2ax ， ∴4－12＋2a ＝0?a ＝4.

(2)点A(x0，f(x0))关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(2－x0，f(x0))，

f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1 ＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1 ＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，

∴A 关于直线x ＝1的对称点B 也在函数f(x)的图像上． 19．(12分)设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．

(1)求常数a ，b ；

(2)试判断x ＝－2，x ＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．

解析 f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b. (1)由极值点的必要条件可知：

f ′(－2)＝f ′(4)＝0，即?

????

12－4a ＋b ＝0，

48＋8a ＋b ＝0，

解得a ＝－3，b ＝－24.

或f ′(x)＝3x2＋2ax ＋b ＝3(x ＋2)(x －4) ＝3x2－6x －24， 也可得a ＝－3，b ＝－24. (2)由f ′(x)＝3(x ＋2)(x －4)．

当x ＜－2时，f ′(x)＞0，当－2＜x ＜4时，f ′(x)＜0. ∴x ＝－2是极大值点，而当x ＞4时，f ′(x)＞0， ∴x ＝4是极小值点．

20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．

解析 a ≠0(否则f(x)＝b 与题设矛盾)，

由f ′(x)＝3ax2－12ax ＝0及x ∈[－1,2]，得x ＝0. (1)当a ＞0时，列表：

f(x)在[0,2]上是减函数．

则当x ＝0时，f(x)有最大值，从而b ＝3. 又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3， ∵a ＞0，∴f(－1)＞f(2)． 从而f(2)＝－16a ＋3＝－29， 得a ＝2.

(2)当a ＜0时，用类似的方法可判断当x ＝0时f(x)有最小值． 当x ＝2时，f(x)有最大值．

从而f(0)＝b ＝－29, f(2)＝－16a －29＝3， 得a ＝－2.

综上，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.

21．(12分)(2010·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2＋bx(其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．

(1)求f (x )的表达式；

(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解析 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的解析式为f (x )＝－1

3x 3＋x 2.

(2)由(1)知g (x )＝－13x 3

＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.

令 g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数；当－20，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．

由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝4

3.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝4

3.

22．(12分)已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x

1＋x

，x ≥0，其中a >0.

(1)若f (x )在x ＝1处取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；

(3)若f (x )的最小值为1，求a 的取值范围．

分析 解答本题，应先正确求出函数f (x )的导数f ′(x )，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．

解析 (1)f ′(x )＝a ax ＋1－2

(1＋x )2＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，

∵f (x )在x ＝1处取得极值，

∴f ′(1)＝0，即a ·12＋a －2＝0，解得a ＝1. (2)f ′(x )＝ax 2＋a －2(ax ＋1)(1＋x )2，

∵x ≥0，a >0，∴ax ＋1>0.

①当a ≥2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调增区间为[0，＋∞)． ②当00，解得x > 2－a a . 由f ′(x )<0，解得x < 2－a a .

∴f (x )的单调减区间为(0, 2－a

a )，单调增区间为(

2－a a ，＋

∞)．

(3)当a ≥2时，由(2)①知，f (x )的最小值为f (0)＝1； 当0

a 处取得最小值，且

f (

2－a

a )

综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．