学科论文从新课标全国卷看导数压轴题的常用解法

学科论文从新课标全国卷看导数压轴题的常用解法
学科论文从新课标全国卷看导数压轴题的常用解法

从全国新课标高考卷看导数压轴题的常用解法

西安电子科技大学附中 汪贵宏 周接夏

摘要:本文以2010至2015六年新课标全国卷9道函数与导数压轴题为研究对象,讨论了在解决这一类问题中构造函数的主要依据以及避免复杂的分类讨论的主要途径,同时也对今后高考压轴题的考查方式提出了新的预测.

关键词:新课标 导数 解法

在高等数学教材【1】

中,导数概念的起点是极限,从数列的极限到函数的极限,落脚导数.这种概念建立方式有严密的逻辑性和系统性,但就高中学生的认知水平而言,他们很难

理解极限形式的定义.而新课标教材【2】

(北师大版)对于导数的引入做了一定地简化,从变化率入手,用形象直观的“逼近”方法定义导数,旨在强调导数的几何意义,从而顺利地过渡到导数与单调性之间的关系,突出了导数在研究函数单调性、最值等问题中的工具性作用.

近年来,导数在中学数学教学和学习中的地位越来越重要.借助导数这一工具,可以研究函数极值、最值、单调区间,从而来判断函数图像、性质,最终使研究初等函数的方法得以升华和延续.鉴于此,新课标高考全国卷中导数压轴题的考查也变得越来越有韵味.

研究2010至2015年新课标全国卷的9道导数压轴题,可以看出,每年压轴题的第一问几乎都是导数几何意义或单调区间、极值的求解,属于基础内容考查.而第二问则是证明含参不等式成立或已知含参不等式在某一区间上成立,求参数范围. 一般而言,这类问题的求解主要遵循“化简→构造函数→求导判断单调性→证明不等关系”的解题流程.但问题在于:第一,就构造函数而言,并不存在通用的构造方法,如果构造不当,会出现很大的求导计算量甚至无法继续解答;第二,即使构造函数正确,在接下来的分类讨论中,学生也很难理清分类讨论的依据.如果以上这两点没有掌握,学生很难在压轴题的解答中有所突破.

1. 构造函数的依据是什么?

对于区分度颇高的压轴题第二问而言,考生往往是目的性不强的匆忙求导,形成一堆式子之后便无从下手,其原因是考生对构造的函数()F x 求导的目的不明确,或对如何构造函

数不明确.事实上,如何构造函数()F x ,关键在于明确构造函数的目的【3】

,即是为了通过研究构造函数的单调性得到最值,从而证明不等式.而通过导数研究单调性首先要解构造函数的导数不等式()0F x '>(0)<或,因此,构造函数的关键就在于()0F x '=的根是否易求或易估,这就是构造函数的标准和依据.

例1:(2015新课标Ⅱ卷)设函数2()mx

f x e

x mx =+-.

(1)证明:()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增;

(2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12()()1f x f x e -≤-,求m 的取值范围. 解:(1)略;(2)12()()1f x f x e -≤-恒成立,等价于12max ()()1f x f x e -≤-.由(1)可得最小值为(0)1f =,最大值可能是(1)f -或(1)f ,故需(1)(0)1,

(1)(0)1,

f f e f f e -≤-??

--≤-?,即

1,1,

m m

e m e e m e -?-≤-??+≤-??.构造函数()1,()1,()=00.t t

g t e t e g t e g t t ''=--+=-=则易得时, 0()0()0()0()t g t g t t g t g t ''>><<当时,时,单调递增;当时,时,单调递减.

1(1)=0(-1)=20()[1,1]()0g g e e g t m g m -+-<∈-≤又由,及的单调性知,当时,成立. 1()()0,1(-)0m g t g m m g m >><->当时,由单调性知不成立;同理,时,,不成立.

综上,m 的取值范围为[1,1].-

点评:本题采用直接作差法构造

()-g x =左右,得到

()1,()=0.t g t e t e g t '=--+易得的根从而利用单调性直接得到最值.作差法构造函数是新

课标卷高考压轴题所考察的主要方法,例如2014新课标Ⅱ卷、2010-2013四年新课标Ⅰ卷,本文不再一一解析.

例2:(2014新课标Ⅰ卷)设函数1

()ln x x

be f x ae x x

-=+,曲线()y f x =在点(1,(1)

f 处的切线为(1)2y e x =-+. (1)求,a b ;(2)证明:()1f x >

解:(1) 1,2a b == (2) 由(1)知,1

2()ln x x

e f x e x x

-=+,

从而()1f x >等价于2

ln x x x xe e

->-

设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+, 所以当10,x e ??∈ ???时,()0g x '<,当1,x e ??∈+∞ ???时,()0g x '>,故()g x 在10,e ?? ???

单调递

减,在1,e

??+∞ ???

单调递增,从而()g x 在()0,+∞ 的最小值为11()g e e

=-. 设函数2()x h x xe e

-=-

,则()()1x

h x e x -'=-, 所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,当()1,x ∈+∞时,()0h x '<,故()h x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,从而()h x 在()0,+∞的最大值为1(1)h e

=-.

综上:当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >.

点评:本题求解中,采用分离指数、对数函数的构造法,如果直接采用原函数

1

2()ln x x

e f x e x x

-=+

的最小值

min ()1f x >,就需要求出导函数

2122

()(ln )x f x e x x ex ex

'=+

+-的零点,从而无法进行求解.因此,需要转化构造新的函数,容易看出,导函数零点求解运算的难点在于遇到了ln x

e x 与1

2x e x

-这两个式子,为化解这个

难点,务必实施x

e 与ln x 、1x 的分离,转化成不等式2

ln x x x xe e

->-证明.从而求得了左边的最小值和右边的最大值.

例3:(2013新课标Ⅱ卷)已知函数()ln()x f x e x m =-+

(1)设0m =为()y f x =的极值点,求m 并讨论()f x 单调性;(2)当2m ≤时,证明

()0.f x >

解:(1)略;

(2)由2m ≤,所以ln()ln(2)x m x +≤+,记()ln(2)x F x e x =-+, 则2

11(),()02(2)

x x F x e F x e x x '''=-

=+>++,所以()F x '在(2,)-+∞上单调递增. 又11

(0)10,(1)102F F e

''=-

>-=-<,由零点存在定理知,存在0(1,0)x ∈-使得0()0F x '=,即00001

,ln(2)2

x e x x x =

=-++ 且0

2000000(1)1

()ln(2)022

x x F x e x x x x +=-+=+=>++

又当0(2,)x x ∈-时()0F x '<,()F x 单调递减;当0(,)x x ∈+∞时()0F x '>,()F x 单调递增,所以有min 0()()()()0f x F x F x F x ≥≥=>,得证.

点评:本题采用控元法和放缩法构造函数.如果不加思考直接用作差法构造函数()F x ,则会无法求解()0F x '=,问题出在含参,因此应该控元,将两个变量变为一个变量,从而放缩到函数()ln(2)x

F x e x =-+的最值求解中,最后结合二次求导和零点存在定理估算出

()0F x '=的根,从而求得最小值.

可以说,这六年的9道题都可以用构造函数的方法来求得最值.但问题是,有些题中即

使构造函数正确,也会存在分类讨论相当复杂的情形,考生最后无法继续进行,例如2013、

2011、2010这三年新课标Ⅰ卷压轴题的求解中,均可用作差法构造函数【4】

,然后利用导数判断单调性求最值,从而得到参数的范围.但由于解题过程中涉及到较为复杂的分类讨论,

考生很容易遗漏或出错.而利用分离参数法简化构造函数,问题就简单多了.

2. 利用分离参数法简化构造函数

若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,求另一个变量的范围;且在已知条件中,容易通过恒等变形将两个变量分离到不等号两边,则可以将此类恒成立问题转化为函数最值的求解.然而,分离变量后,如果出现“0

”型的代数式,这便是高等数学中的不定式问题,可以利用洛必达法则进行有效求解.

例4:(2013新课标Ⅰ卷)已知函数()f x =2

x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+.

(1)求a ,b ,c ,d 的值;

(2)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围. 解:(1) 4,2a b c d ====;

(2) 题设即证明:2422(1)(2)x x x ke x x ++≤+≥-恒成立.构造函数

242()(1)x

x x h x e x ++=+,则即证min max ()2,(21)()2,(1)h x k x h x k x ≥-≤<-??≤>-?

恒成立.得2

2

(2)()(1)x x x h x e x +'=-+,所以:当[2,1)x ∈--时,()0h x '≥,()h x 单调递增,min ()h x =22(2)22,.h e k k e -=≥∴≤ 当(1,)x ∈-+∞时,易知()h x 先增后减,max ()h x =(0)22, 1.h k k =≤∴≥

综上,所求k 的取值范围为2[1,]e .

点评:可以看出,本题是在导数的基础上分正负区间讨论,简单易行,相比作差法构造

函数分类讨论的方法,可以达到事半功倍的效果.

例5:(2010新课标卷)设函数2()1x f x e x ax =---,若当0x ≥时,()0f x ≥,求a 的取值范围.

解:题设即2

1(0)x e x

a x x

--≤>恒成立. 设21()(0)x e x g x x x --≤

>则:3

(2)2

()(0)x x e x g x x x -++'=> 令()(2)2(0),()(1)1(0)x

x

h x x e x x h x x e x '=-++>=-+>则,故()0(0)x

h x x e x ''=

>>

所以()h x '是增函数,得()(0)0h x h ''>=;又得()h x 是增函数,得()(0)0h x h >=,

所以()0(0)g x x '>>,所以()g x 是增函数,最小值在接近0处取,从而可连续使用洛必达

法则,得:200000(1)111(1)11lim ()lim lim lim lim ()22()22

x x x x

x x x x x e x e e g x e x x x +++++

→→→→→''----====='' 又因为当0,()0x f x ==时,所以参数a 的取值范围是1

(,]2

-∞.

点评:本题通过分离参数后,两次求导,得到构造函数在所求区间上的单调性,从而判断出最值所在点,但问题是最值所在点处函数值是“

”型的代数式,在这里我们通过两次使用洛必达法则,求得极限值.这种方法其实就和本文开头提到的高等数学中导数的定义相呼应了.因此,对于这类题,我们提倡老师适当讲解“洛必达法则”.

对于求导的必要性,需知道,每次求导都是为其原函数服务的,如果求导后会使原函数的单调性判断更简捷,则可以出现多次求导.如2011年新课标卷理科压轴题,在分离参数后对构造函数2ln ()1

x x g x x =

-进行了三次求导,最后利用洛必达法则求得了参数范围【5】

. 3. 未来新课标高考卷导数压轴题的一种可能的趋势

可以看出,不论是分离参数法还是直接构造函数后分类讨论去解压轴题,其解答并没有万能的解法或者通解一说.每年的压轴题都是一次集数学中化归与转换思想、分类讨论思想、导数与函数结合的数学盛宴,强调的是数学综合素养的考查,并非刻意的追求一些技巧.

而这两年,在全国范围内压轴题中较多地考查了数形结合的思想方法.可以预测,数形结合在导数题中的考查会在今后的压轴题中略有加重.当然,早先就有人用数形结合的思想

方法通解了新课标全国卷07年到13年这7年的所有题【6】

,虽然对考生而言要求会较高,但这也是一种很好的训练.而恰好2015年新课标Ⅰ卷,便是在构造函数的基础上,利用数形结合的思想可以得到较标准答案快捷的解答,省去过多的分类讨论.

例6:(2015新课标Ⅰ卷)已知函数f (x )=31

,()ln 4

x ax g x x ++=-. (1)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线;

(2)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x => ,讨论()h x 零点的个数.

解:(1) 34

a =

; (2) ①当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =-<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<, ∴()h x 在(1,)+∞无零点.

②当1x =时,5

(1)ln10.(1)4

g f a =-==+, 若5

4

a ≥-

,则(1)0f ≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故1x =是()h x 的零点;

5

4

a<-,则(1)0

f<,(1)min{(1),(1)}(1)0

h f g f

==<,故1

x=不是()

h x的零点.

③当(0,1)

x∈时,()ln0

g x x

=->,所以只需考虑()

f x在(0,1)的零点个数.

即32

11

0,

44

x ax a x

x

++==--

即.构造函数2

1

()((0,1))

4

m x x x

x

=--∈,

3

22

118

()2((0,1))

44

x

m x x x

x x

-

'=-+=∈,

11

()0(0,);()0(,1)

22

m x x m x x

''

>∈<∈

时,时,,易知()

m x的极大值为

13

()

24

m=-. 画出()

m x的函数草图如下:

综上,我们可以列表得出()

h x零点个数情况:

点评:本题相比前几年考题而言,难度有所下降,但试题新颖,对数形结合能力的要求也有所强调.

综上可以看出,函数、导数解答题贯穿始终的是数学思想方法,在含有参数的试题中,分类与整合思想是必要的.由于是函数问题,所以函数思想、数形结合思想也是必要的,把不等式问题转化为函数最值问题、把方程根的问题转化为函数零点问题等,转化与化归思想也起着同样的作用.因此,在平常的教学中,思想方法的渗透显得尤为重要.

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2012:90-92.

[2] 数学课本选修2-2.[M].北京师范大学出版社,2014:30-34.

[3] 贺平等,与导数有关的函数体的统一解法[J].数学教学研究. 2014(4):29-32.

[4] 杨海霞,函数不等式高考压轴题巧解[J].试题赏析. 2012(1):24.

[5] 甘志国,高考压轴题[M].哈尔滨工业大学出版社,2015:175-177.

[6] 王耀文,从新课标全国卷压轴题看数形结合思想[J].数学教学研究,2013(12):42-45.

2015年9月7日

导数压轴处理套路与大招(上)

导数压轴题处理套路 专题一双变量同构式(含拉格朗日中值定理)..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立(含洛必达法则).................................... - 4 -专题三导数与零点问题(如何取点) .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 - 微信公众号:中学数学研讨部落 说明:题目全来自网络和QQ群友分享,在此一并谢过

专题一 双变量同构式(含拉格朗日中值定理) 例1. 已知 (1)讨论的单调性 (2)设,求证: 例2. 已知函数,。 (1)讨论函数的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明:若,则对任意x ,x ,x x ,有。 例3. 设函数 . (1)当(为自然对数的底数)时,求的最小值; (2)讨论函数零点的个数; (3)若对任意恒成立,求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1 t +2+t = 1+t 2 t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 (1)121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f =

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

函数导数压轴题隐零点的处理技巧

函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中,用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题,最终都会归结于函数的单调性的判断,而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系,可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念,经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出,我们把它分为两类:一类是在数值上可以准确求出的,不妨称之为显性零点;另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象,能够判断出零点确实存在,但是无法直接求出,不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析: 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值. 解析:(1)(略解)若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在R上单调递增; 若a>0,则f(x)的单调减区间是(﹣∞,ln a),增区间是(ln a,+∞). (2)由于a=1,所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1. 故当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0等价于k< 1 1 x x e + - +x(x>0)(*), 令g(x)= 1 1 x x e + - +x,则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - , 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,①f(1)<0,f(2)>0, 所以f(x)在(0,+∞)存在唯一的零点.故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零点. 设此零点为a,则a∈(1,2).当x∈(0,a)时,g′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(a). ③所以g(a)=a+1∈(2,3).由于(*)式等价于k<g(a),故整数k的最大值为2. 点评:从第2问解答过程可以看出,处理函数隐性零点三个步骤: ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定); ②根据零点的意义进行代数式的替换; ③结合前两步,确定目标式的范围。

导数压轴题的几种处理方法

等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法: 1、求导之后,将参数分离出来,构造新函数,计算 1+ ln x 例:已知函数 f (x ) = . (Ⅰ)若函数在区间 (a , a + 12) (其中 a > 0 )上存在极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果当 x ≥ 1 时,不等式 f (x ) ≥ k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x +1 解:(Ⅰ)因为 f (x ) = 1+ ln x , x > 0 ,则 ' = - ln x , … 1 分 x f (x ) x 当 0 < x < 1 时, ' > 0 ;当 x > 1 时, ' . 所以 f (x ) 在(0,1)上单调递 f (x ) f (x ) < 0 增 ; 在 (1, +∞) 上 单 调 递 减 , 所 以 函 数 f (x ) 在 x = 1 处 取 得 极 大 值 . … 2 分 因为函数 f (x ) 在区间 (a , a + 1 ) (其中 a > 0 )上存在极值, 2 ?a < 1 1 所以 ?? 1 , 解得 < a < 1. … 4 分 ?a + > 1 2 2 ? (Ⅱ)不等式 f (x ) ≥ k ,即为 (x +1)(1+ ln x ) ≥ k , 记 g (x ) = (x +1)(1+ ln x ) , x +1 x x 所以 ' ' x - ln x … 6 分 [(x +1)(1+ ln x )] x - (x +1)(1+ ln x ) g (x ) = x 2 = x 2 , 令 h (x ) = x - ln x , 则 h '(x ) = 1 - 1x , x ≥ 1,∴ h '(x ) ≥ 0. ∴ h (x ) 在 [1, +∞) 上单调递增,∴[h (x )]min = h (1) = 1 > 0 ,从而 g '(x ) > 0 故 g (x ) 在 [1, +∞) 上也单调递增,∴[g (x )]min = g (1) = 2 ,所以 k ≤ 2 …8 分 2、直接求导后对参数展开讨论,然后求出含参最值,从而确定参数范围

专题6.1 导数中的构造函数 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

【方法综述】 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中.在导数小题中构造函数的常见结论:出现()()nf x xf x '+形式,构造函数()()F n x x f x =;出现()()xf x nf x '-形式,构造函数()() F n f x x x = ;出现()()f x nf x '+形式,构造函数()()F nx x e f x =;出现()()f x nf x '-形式,构造函数()() F nx f x x e = . 【解答策略】 类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1.利用()f x 与x (n x )构造 常用构造形式有()xf x , ()f x x ;这类形式是对u v ?,u v 型函数导数计算的推广及应用,我们对u v ?,u v 的导函数观察可得知,u v ?型导函数中体现的是“+”法,u v 型导函数中体现的是“-”法,由此,我们可以猜测,当导函数形式出现的是“+”法形式时,优先考虑构造u v ?型,当导函数形式出现的是“-”法形式时,优先考虑构造 u v . 例1.【2019届高三第二次全国大联考】设 是定义在上的可导偶函数,若当 时, ,则函数 的零点个数为 A .0 B .1 C .2 D .0或2 【答案】A 【解析】 设 ,因为函数 为偶函数,所以 也是上的偶函数,所以 .由已知, 时, ,可得当 时, , 故函数在上单调递减,由偶函数的性质可得函数在 上单调递增.所以

,所以方程,即无解,所以函数没有零点.故选A. 【指点迷津】设,当时,,可得当时,,故函数 在上单调递减,从而求出函数的零点的个数. 【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是,其导函数为,若,且(其中是自然对数的底数),则 A.B. C.当时,取得极大值D.当时, 【答案】C 【解析】 设,则 则 又得 即,所以 即 , 由得,得,此时函数为增函数 由得,得,此时函数为减函数 则,即,则,故错误 ,即,则,故错误 当时,取得极小值 即当,,即,即,故错误 当时,取得极小值 此时,则取得极大值

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

导数压轴题题型(学生版)

导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. (I )讨论的单调性; (II )当时,证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +>[]1,2x ∈

例2.(21)(本小题满分12分)已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围; (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明:122x x +<.

例3.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m,n 中的最小值,设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => , 讨论h (x )零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围.

例5已知函数f(x)=e x-ln(x+m). (1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0.

例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 例7已知函数,曲线在点处的切线方程为。 (Ⅰ)求、的值; (Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k

2020年高考数学导数压轴题每日一题 (1)

第 1 页 共 1 页 2020年高考数学导数压轴题每日一题 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. 例1 (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-10+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1}, f ′(x )=e x -1x +m =e x (x +1)-1x +1, 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2), 则g ′(x )=e x -1x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1(x +2)2 >0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -132 <0,g ′(0)=1-12>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-12,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1t +2+t =(1+t )2t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0.

2020年全国高考导数压轴题汇编

2016全国各地导数压轴题汇编 1、(2016年全国卷I理数) 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 (I )求a 的取值范围 (II )设21,x x 是)(x f 的两个零点,求证:221<+x x 2、(2016年全国卷I文数) 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x (I )讨论)(x f 的单调性 (II )若)(x f 有两个零点,求a 的取值范围 3、(2016年全国卷II 理数) (I )讨论函数x x 2f (x)x 2 -=+e 的单调性,并证明当x >0时,(2)20;x x e x -++> (II )证明:当[0,1)a ∈ 时,函数2x =(0)x e ax a g x x -->() 有最小值.设g (x )的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域. 4、(2016年全国卷II 文数) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程; (II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 5、(2016年全国卷III 理数) 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a >0,记|)(|x f 的最大值为A

(Ⅰ)求)(x f '; (Ⅱ)求A ; (Ⅲ)证明A x f 2)(≤' 6、(2016年全国卷III 文数) 设函数()ln 1f x x x =-+. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x -<<; (Ⅲ)设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->. 7、(2016年天津理数) 设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3 其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ,且)()(01x f x f =其中01x x ≠,求证:3201=+x x ; (Ⅲ)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于...4 1 8、(2016年四川理数) 设函数x a ax x f ln )(2 --=其中R a ∈ (Ⅰ)讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)确定a 的所有可能取值,使得x e x x f -->11)(在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…

导数压轴题处理专题讲解

导数压轴题处理专题讲解(上) 专题一双变量同构式(含拉格朗日中值定理)..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立(含洛必达法则).................................... - 4 -专题三导数与零点问题(如何取点) .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -

专题一 双变量同构式(含拉格朗日中值定理) 例1. 已知(1)讨论的单调性 (2)设,求证:例2. 已知函数,。(1)讨论函数的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明:若,则对任意x ,x ,x x ,有 。 例3. 设函数. (1)当(为自然对数的底数)时,求的最小值; (2)讨论函数零点的个数; (3)若对任意恒成立,求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m

导数压轴题7大题型归类总结

导数压轴题7大题型归类总结,逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4?若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围.

二、交点与根的分布 三、不等式证明 (一)做差证明不等式 LL期嗨敕门划=1扣 M】求的单调逼减区创! <2)^7 I >-1 r求证1 I ----- + x+ 1 W;的宦义域为(一4 +—=—-1 = ■―? x + 1 T t 4-1 I ■丈0 山厂w" 阳=」耳+ 1?二的中说逆减区簡为①,车呵一 ⑵国小由⑴得_虫(一1, ?时” /r Ct)>O f *庄曰① #8)时./'(XXO ?II /+(0) = 0 z.t>- 1 时.f骑)Wf(Qh ?〔耳口仇in(.T + h t T, I I x >X<^> = lnU + 1)+ ------ 1 t则K C<)* ----- -------- =------- -| r+1 立*1 {x+1)- G + I广/. — !< c<0时.X W Y O T ?A0时., JJ x F?h = <) 」?T A—l时、* S) (0)t UP \a(j[ + I M---------- 1MQ X + 1 ;.+1) ) ------- ,:心一1时t I------------- < ln{x + n^j. (二)变形构造函数证明不等式

Ehl&£ /I U li 故)白 )替换构造不等式证明不等式 >=/U ) “川理k C 1;/< <6 N 实出氓I:的崗散丿I + 20> I 沟申求齡./i (2JfiF(x) = /(.r)r-g(x> nt,护订} > 0 3r hH(f > [}). I J J //(:>- 2/0-^ . ft Injr". tl 中 i 堆fiU |他①5)的必人饥为hie' * = m 叫z ?削灯育公共恵?且在谆戍坯的也皱丹匸, %、b 、曲求占的E 大fh /(X) K (r K ). v = /Ol 存佥共C <^ r ()i 牡的岗绥翎同 ;In u J - 3

重庆市中山外国语学校导数压轴题的几种处理方法 (1)

等号两边无法求导的导数恒成立求参数范围几种处理方法 常见导数恒成立求参数范围问题有以下常见处理方法: 1、求导之后,将参数分离出来,构造新函数,计算 例:已知函数1ln ()x f x x += . (Ⅰ)若函数在区间1 (,)2 a a +(其中0a >)上存在极值,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)如果当1x ≥时,不等式()1k f x x ≥+恒成立,求实数k 的取值范围; 解:(Ⅰ)因为1ln ()x f x x += ,0x > ,则ln ()x f x x '=-, … 1分 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递 增;在(1,)+∞上单调递减, 所以函数()f x 在1x =处取得极大值. … 2分 因为函数()f x 在区间1 (,)2 a a +(其中0a >)上存在极值, 所以1 ,112 a a ?? 解得1 1.2a << … 4分 (Ⅱ)不等式()1k f x x ≥+,即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )(),x x g x x ++= 所以22 [(1)(1ln )](1)(1ln )ln (),x x x x x x x g x x x '++-++-'= = … 6分 令()ln ,h x x x =-则1 ()1h x x '=-,1,()0.x h x '≥∴≥ ()h x ∴在[1,)+∞上单调递增,min [()](1)10h x h ∴==>,从而()0g x '> 故()g x 在[1,)+∞上也单调递增,min [()](1)2g x g ∴==,所以2k ≤ …8分 2、直接求导后对参数展开讨论,然后求出含参最值,从而确定参数范围 例题:设 ,其中 . (1)若有极值,求的取值范围; (2)若当 , 恒成立,求的取值范围.

高考压轴题:导数题型及解题方法总结很全.

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法: )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法:设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x )()()(000 求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f (x )=x 3 ﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169y x ) (2)若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线,求实数 m 的取值范围、 (提示:设曲线 )(x f y 上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。(答案: m 的范围是2,3) 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法:设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为( )(,11x f x )。()(,22x f x ); 建立 21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x ,12 212 )()(y y x f x x ;求出21,x x ,进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。(答案02e y x e ) 二.单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与 0的 关系不定);(3) 在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4) 在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 (1)求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)(2)若 e x ,2,求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。 方法1:研究导函数讨论。 方法2:转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题, 方法3:利用子区间(即子集思想) ;首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意:“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数,求实数 a 的取值范围. (答案 , 0) 题型 3 已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。 方法1:正难则反,研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题,再检验。方法3:直接研究不单调,分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ,R a 在区间 1,2 1内不单调,求实数 a 的取值范围。 (答案: 3, 2a ) )三.极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路:定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ,求在2,1x 的极小值。 (利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类) 题型 2 已知函数极值,求系数值或范围。 方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。(答案:1)

导数压轴题双变量问题题型归纳总结

导数应用之双变量问题 (一)构造齐次式,换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. (1)求实数,a b 的值; (2)设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点,求证:0F ' <. 【解析】(1)1,1a b ==-; (2)()2 ln f x x x x =+-,()()1ln F x m x x =+-,()11F x m x '=+- , 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点,所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? , 两式相减,得1212ln ln 1x x m x x -+=-, 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ,只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一:因为120x x << ,只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ,即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<,则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<, 所以函数()h t 在()0,1上单调递减,()()10h t h >=,即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题,此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数,常把12,x x 的关系变形 为齐次式,设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等,构造函数来解决,可称之为构造比较函数法. 思路二:因为120x x << ,只需证12ln ln 0x x -, 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<,则 () 21 10 Q x x x '= ==<, 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减,()() 20Q x Q x >=,即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中,由于两个变量的地位相同,将待证不等式进行变形,可以构造关于1x (或2x )的一元函数来处理.应用导数研究其单调性,并借助于单调性,达到待证不等式的证明.此乃主元法.

导数压轴题训练

导数 压轴题训练 1.(2014 ). 22.(2014 )..已知常数0a >,函数()()2ln 12 x f x ax x =+- +. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性; (2)若 ()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值围. 【答案】(1)详见解析 【解析】解:(1)对函数 ()f x 求导可得 ()()24 '12a f x ax x =-++()()()()2 224112a x ax ax x +-+=++()()() 22 4112ax a ax x --=++,因为 ()() 2 120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a ≤时, ()()21'0a a f x x -=?=± ,则函数 ()f x 在区间()210, a a ?? - ? ?? 单调递减,在()21a a ?? - ?+∞??? 单调递增的. (2) 解:(1)对函数()f x 求导可得 ()()2 4 '12a f x ax x =-++()()()()2 224112a x ax ax x +-+=++()()() 224112ax a ax x --=++,因为 ()() 2 120ax x ++>,所以当10a -≤时,即1a ≥时,()'0f x ≥恒成立,则函数()f x 在()0,+∞单调递增,当1a <时, ()()21'0a a f x x a -=?=± ,则函数 ()f x 在区间()210, a a a ?? - ? ??? 单调递减,在()21a a ? -?+∞??? 单调递增的.

2020高考文科复习:导数压轴题(含解析)

2020高考文科复习:导数压轴题 1.(2019?新课标Ⅱ)已知函数()(1)1f x x lnx x =---.证明: (1)()f x 存在唯一的极值点; (2)()0f x =有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 2.(2019?天津)设函数()(1)x f x lnx a x e =--,其中a R ∈. (Ⅰ)若0a …,讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)若10a e <<, ()i 证明()f x 恰有两个零点; ()ii 设0x 为()f x 的极值点,1x 为()f x 的零点,且10x x >,证明0132x x ->.

3.(2019?新课标Ⅰ)已知函数()2sin cos f x x x x x =--,()f x '为()f x 的导数. (1)证明:()f x '在区间(0,)π存在唯一零点; (2)若[0x ∈,]π时,()f x ax …,求a 的取值范围. 4.(2019?北京)已知函数321()4 f x x x x =-+. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程; (Ⅱ)当[2x ∈-,4]时,求证:6()x f x x -剟; (Ⅲ)设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈,记()F x 在区间[2-,4]上的最大值为M (a ).当M (a )最小时,求a 的值.

5.(2018?北京)设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行,求a ; (Ⅱ)若()f x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围. 6.(2018?北京)设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,f (2))处的切线斜率为0,求a ; (Ⅱ)若()f x 在1x =处取得极小值,求a 的取值范围.

二次函数压轴题解题方法

中考二次函数压轴题———解题通法研究 ——付源 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题,同时在省级,国家级数学竞赛中也有二次函数大题,在市的拔尖人才考试中同样有二次函数大题,在,,泸县二中等地的外地招生考试中也有二次函数大题,很多学生在有限的时间都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关,学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否,直接关系到未来数学的学习。所以二次函数综合题自然就成了相关出题老师和专家的必选容。我通过近6年的研究,思考和演算了上1000道二次函数大题,总结出了解决二次函数压轴题的通法,供大家参考。 几个自定义概念: ①三角形基本模型:有一边在X轴或Y上,或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。 ②动点(或不确定点)坐标“一母示”:借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。如:动点P在y=2x+1上,就可设P(t, 2t+1).若动点P在y=3x2-2x+1,则可设为P(t,3t2-2t+1)当然 若动点M在X轴上,则设为(t,0).若动点M在Y轴上,设为(0,t). ③动三角形:至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的。或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形。 ④动线段:其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段。 ⑤定三角形:三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥定直线:其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。如:y=3x-6。 ⑦X标,Y标:为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x标,纵坐标称为y标。 ⑧直接动点:相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题: 借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来; 然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等。 2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题: 由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y轴的线段长度计算公式 y上-y下,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:先用点斜式(或称K点法)求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可。 4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题: (方法1)先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等),再由该直线与抛物线的

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