北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——三角函数

2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——三角函数

（2015年1月·昌平期末·14）某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．

方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为_________.6π- ，60cm π

（2015年1月·延庆期末·8．若x x f 3cos )(cos =，则)

3(sin

π

f 的值为

A ． 1-

B ．

2

3 C ．0

D ．1

（2015年1月·西城期末·1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2

（B ）π(,π)2

（C ）3π(π,

)2

（D ）3π

(

,2π)2

（2015年1月·西城期末·3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）

3 （B ）4-

（C ）

3 （D ）3-

（A ）

3 （B ）3

（C ）5π3

（D ）7π3

（2015年1月·海淀期末·10.为了得到函数sin(2)2

y x π

=-的图象，可以将函数sin 2y x =的

图象 A

A. 向右平移

4π个单位长度 B. 向左平移4π

个单位长度 C. 向右平移2π个单位长度 D. 向左平移2

π

个单位长度

（2015年1月·西城期末·9．为得到函数π

cos()6

y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）

（A ）向左平移π

3个单位 （B ）向右平移

π

3个单位 （C ）向左平移2π

3

个单位

（D ）向右平移2π

3

个单位

（2015年1月·海淀期末·11.已知(,)αππ∈-，且sin cos

7

π

α=-，则α= A

A. 514π-

或914π- B. 914π-或914π C. 514π或514π- D. 514π或914

π （2015年1月·密云期末·2．sin 240=

A ．

B ．12

-

C ．

12

D （2015年1月·顺义期末·2．sin120的值等于

A .12

B .12-

C

D .

（2015年1月·海淀期末·2. 7sin

6

π

=D

A.

B. C. 1

2

D. 12-

（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角3

π

-终边相同的角是

A ．

3

π B ．

3

2π C ．

34π D ．

3

5π （2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是 A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

（2015年1月·延庆期末·4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．

5

4 B ．5

3-

C ．3

4-

D. 4

3-

（2015年1月·延庆期末·11. 要得到)4

2sin(π

+

=x y 的图象只需将x y 2sin =的图象

A ．向左平移4π

个单位 B ．向右平移

4π

个单位 C ．向右平移8

π

个单位

D ．向左平移8

π

个单位

（2015年1月·海淀期末·6.若直线x a =是函数()sin f x x =的一条对称轴，则()f a = D

A.0

B.1

C. 1-

D. 1或1- （2015年1月·密云期末·5．函数)3

2sin(2π

+=x y 的一个对称中心

A ．)0,6

(

π

B ．)0,6

(π

-

C ．)0,12

(

π

D ．)

0,12

(π

-

（2015年1月·西城期末·6．如果函数cos()y x =+?的一个零点是3

π，那么?可以是（ ） （A ）6

π

（B ）6

π-

（C ）

3

π （D ）3

π

-

（2015年1月·东城期末·2. 已知sin 0,cos 0θθ<>，则角θ是 A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

（2015年1月·房山期末·7）要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数cos(2)5

y x π

=+的图象

（A ）向左平移5π

个单位 （B ）向右平移

5π

个单位 （C ）向左平移10

π

个单位

（D ）向右平移10

π

个单位

（2015年1月·房山期末·8）函数π

sin 2()6

y x =+的图象

（A ）关于点π(,0)6

对称 （B ）关于点π(,0)3

对称 （C ）关于直线π

6x =-对称 （D ）关于直线π

3

x =

对称

（2015年1月·丰台期末·4．已知13

5

sin =

α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A ．513

-

B ．

513

C ．1213-

D ． 1213

（2015年1月·顺义期末·6.先将函数sin 2y x =的图象向右平移

3

π

个长度单位，再作所得图象关于x 轴的对称图形，此时函数的解析式为 A.sin(2)3y x π

=- B ．sin(2)3y x π=-+ C.2sin(2)3y x π=-- D.2sin(2)3

y x π

=-+

（2015年1月·昌平期末·6）将函数cos 2y x =的图象上所有的点向右平移1

2

个单位，得到的图象所对应的函数解析式为

（A ）1cos(2)2y x =- （B ）1cos(2)2

y x =+ （C ）cos(21)y x =- （D ）cos(21)y x =+

（2015年1月·顺义期末·8.如图，现要在一块半径为1m 圆心角为

3

π

的扇形金属板AOB 上，

剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，记

MNPQ Y 的面积为S ，则S 的最大值为

2 2

m

2 2

（2015年1月·昌平期末·2）已知角α的终边经过点(1P -，则cos α=

（A （B ）- （C ）12 （D ）12-

（2015年1月·丰台期末· 7．已知函数sin()y A x ω?=+ππ,(0,0,)22

A ω?>>-

<<的

图象如下，则ω与?的值分别为（ ） A ．2,

3π B ．2,6π C ．1,23π D ．1,26

π

（2015年1月·密云期末·4．在下列函数中，既是偶函数又在区间

0,1（）上单调递减的函数为

A ．x

y 1= B ．x y lg = C ．x y cos = D ．2

x y =

（2015年1月·丰台期末·8． 关于π()3cos(2),R 6

f x x x =-∈，下列叙述正确的是（ ）

A ． 若12()()3==f x f x ，则12-x x 是2π的整数倍

B ． 函数()f x 的图象关于点π

(,0)6-

对称 C ． 函数()f x 的图象关于直线π

6

x =对称

D ． 函数()f x 在区间π

(0,)4

上为增函数

（2015年1月·密云期末·8.已知函数11

()sin cos =

+f x x x

，在下列结论中： ①π是()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线x 4π=对称;③()f x 在(,0)2

π

-上单调

递减.

正确结论的个数为 A. 0

B.1

C. 2

D. 3

（2015年1月·西城期末·12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α1213

-． （2015年1月·西城期末·13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_(,)42

ππ

．

（2015年1月·石景山期末·11．若cos 2

α=

，且α的终边过点(,2)P x ，则x = （2015年1月·石景山期末·12．sin α=3cos α，则tan α＝ 3 .

（2015年1月·房山期末·12）若角α的终边经过点(2,1)P ，则tan =α ，

π

tan()4

+=α12；3

（2015年1月·丰台期末·12．已知点3(,)5

P m -为角α的终边与单位圆的交点，则=αcos ；

35

- （2015年1月·顺义期末·9．已知角α的终边经过点()3,4P ，则sin α的值为____

4

5

___. （2015年1月·西城期末·16．关于函数()sin(2)()6

f x x x π

=-∈R ，给出下列三个结论：

① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3

f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ

+=-；

③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33

f x f x ππ

-=+．

其中，全部正确结论的序号是_____． ① ② ③

（2015年1月·房山期末·13）已知3

cos 5

=-

α，且α为第二象限的角，则sin()α-= 4

5

- . （2015年1月·顺义期末·12.函数2sin(2)6

y x π

=+

图像的对称中心是_________;对称轴

方程是_______. (

,0),,21226

k k x k Z ππππ-=+∈ （2015年1月·延庆期末·16．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是__ ____.4

（2015年1月·东城期末·12. 已知1tan(3)2απ-=-，则π

cos()cos()

2sin(π+)2cos(π)αααα++---的值是

1

3

． （2015年1月·东城期末·15. 函数1π

2s i n ()36

y x

=-的单调递减区间是__[6π2π,6π2π](Z)k k k ++∈_.

（2015年1月·丰台期末·14．函数)3πsin(2+

=x y )2

π

0(≤≤x 的值域是 ；[1,2] （2015年1月·顺义期末·12．不等式cos 0x >的解集为_________ππ

{|2π2π+,}22

x k x k k -<<∈Z _______ .

（2015年1月·海淀期末·17. 已知函数sin()y A t ω?=+（其中0,0,||2

A π

ω?>><

）的图象如右图所示，它刻画了质点P 做

匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y （||y 是质点与直线l 的距离（米），质点在直线l 上方时，y 为正，反之y 为负）随时间t （秒）的变化过程. 则

（1）质点P 运动的圆形轨道的半径为________米； （2）质点P 旋转一圈所需的时间T =_________秒； （3）函数()f t 的解析式为：__________________； （4）图2中，质点P 首次出现在直线l 上的时刻

t =_______秒.

（1）2；（2）2；（3）()f t =π2sin(π)6t -；（4）1

6

第17题（图2）

（2015年1月·延庆期末·18．设函数)3

2

sin(

π

π

+

=x y ，若对任意R x ∈，存在x 1，x 2使

)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，则21x x -的最小值是_______.2

（2015年1月·房山期末·16）已知函数()sin()f x x ω?=+（0ω>，0π?<<）的图象

与直线y b =（10b -<<）的三个相邻交点的横坐标分别为1，3，7，则()f x 的最小正周期为 ，()f x 取得最大值时x

；

56,k k +∈Z

（2015年1月·丰台期末·18）（本小题满分9分） 已知θ为锐角

（Ⅰ）若tan 2θ=，求sin cos sin cos θθ

θθ+-的值；

（Ⅱ）若1)cos (sin sin 2=+θθθ，求θ的值. 解：（Ⅰ）

sin cos tan 121

3sin cos tan 121

θθθθθθ+++===--- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分

（Ⅱ）2

2sin (sin cos )2sin 2sin cos 1cos2sin 21θθθθθθθθ+=+=-+=

s i n 2c o s

θθ= 由π

(0,)2

θ∈得2(0,π)θ∈ 故π24

θ=

所以π

8

θ=

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 （2015年1月·丰台期末·19. （本小题满分10分） 已知函数()sin(2)sin(2)cos 233

f x x x x a π

π

=++-++

的最大值是（Ⅰ）求常数a 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. 解：（Ⅰ）()sin(2)sin(2)cos 233f x x x x a π

π

=+

+-++

sin 2cos 2π

)4

x x a

x a

=++=++

a =

a ∴= ┄

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄６分 （Ⅱ）2π

π2

T =

= 令πππ

2π-22π+,242k x k k Z ≤+≤∈

解得3ππ

π-π+,88

k x k k Z ≤≤∈ 所以函数()=y f x 的单调递增区间为3ππ

[π-,π+],88

k k k Z ∈┄

┄┄┄┄10分

（2015年1月·顺义期末·15．（本小题满分13分）

已知4sin 5α=

，且02

απ

<<. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos 2sin(

)2

ααπ

++的值. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为4sin 5α=,02απ<<， 故3

cos 5α=，所以34tan =α. -------------6

分

（Ⅱ）23238

cos 2sin()12sin cos 1225525

ααααπ++=-+=-+=. --------------13分

（2015年1月·昌平期末·18）(本小题共14分)

在平面直角坐标系xOy 中，角,(0)2

π

αβαβπ<<

<<的顶点与原点O 重合，始边与x

轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的横坐标分别为54,135

-. （I ）写出cos ,cos αβ的值；（只需写出结果） （II ）求tan β的值； （III ）求AOB ∠的余弦值.

解:（Ⅰ）5cos 13α=

；4cos 5

β=-.

（Ⅱ）因为4cos 5β=-，2

π

βπ<<，

所以3

sin 5

β=

. ……………………4分 所以3

sin 3

5tan 4cos 4

5

βββ===--. ……………………6分

(Ⅲ) 因为5cos 13α=，02π

α<<，

所以12

sin 13

α=. ……………………8分

所以cos cos()AOB βα∠=- ……………………9分

cos cos sin sin βαβα=+ …………………11分

45312513513=-?+? 16

65

=. ……………………14分

（2015年1月·延庆期末·21．（本题10分）设函数x

x

x f tan sin )(=. （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）已知)2

,0(π

α∈，且135)(=

αf ，求)4

(π

α+f 的值. 解：

解：（Ⅰ）要使函数)(x f 有意义，只要使0tan ≠x ， ∴函数)(x f 的定义域为,|{R x x ∈且},2

Z k k x ∈≠π

. ………………3分 （Ⅱ）由x x x cos sin tan =

，得x x f cos )(=，∴135

cos )(==ααf . …………5分 ∵)2,0(πα∈，∴13

12cos 1sin 2

=-=αα. ………………7分

∴4

sin

sin 4

cos

cos )4

cos()4

(π

απ

απ

απ

α-=+

=+

f

26

2

722131222135-=?-?=

. ………………10分 （2015年1月·石景山期末·17.（本题满分9分）

已知02απ<<

,4sin 5

α=. （I ）求cos α的值；

（II ）求tan()4

π

α+的值；

（III ）求

sin()cos()tan(

)

2

cos()

π

παααπα---+的值.

解：（I ）

02απ<<

,4sin 5α=，3

cos 5

α∴=； …………2分 （II ）4

tan 3

α=

…………4分 tan()74

π

α+

=- …………6分

（III ）

sin()cos()tan(

)

2

cos()

π

παααπα---+

=

sin cos cot cos αααα-=3

sin cot cos 5

ααα-=-=-. …………9分

（2015年1月·石景山期末·18. （本题满分8分）

函数()2sin(2)3

f x x π

=-

的部分图象如右图所示．

（I ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （II ）求()f x 在区间[,]46

ππ

-上的最大值和最小值．

解：（I ） ()f x 的最小正周期为π,05

12

x π=

,02y =. …………4分 （II ）因为[,]46x ππ∈-，所以52[,0]36

x ππ

-∈-

. 于是，当203

x π

-=，即6

x π

=

时，()f x 取得最大值0；

当23

2

x π

π

-

=-

，即12

x π

=-

时，()f x 取得最大值2- …………8分

y

O

x

0x 0y

（2015年1月·延庆期末·22．（本题10分）已知函数x x x x f 22cos 32sin sin )(++=. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调减区间； （Ⅲ）当]4

4[π

π-∈x 时，求函数)(x f 的最小值.

解：

解：（Ⅰ）∵1cos 22sin )(2++=x x x f

x x 2cos 2sin +=)4

2sin(2π

+

=x ， ……………………2分

∴)(x f 的最小正周期πω

π

==

2T . ……………………4分

（Ⅱ）由

ππ

π

ππ

k x k 22

34

222

+≤

+

≤+得

ππ

ππ

k x k +≤

≤+8

58

)(Z k ∈ ∴函数的单调减区间]8

5,

8[

ππ

ππ

k k ++)(Z k ∈. …………………7分

（Ⅲ）由]4

3,

4[42]2,2[2]4,4[π

ππππππ-∈+?-∈?-∈x x x . ∴当4

4

2π

π

-

=+

x 时，即4

π

-

=x 时，)(x f 取得最小值0. …………10分

（2015年1月·昌平期末·20）(本小题共16分)

已知函数()

()12cos2f x x x =+. （I ）求函数()f x 的定义域； （II ）求函数()f x 在区间[,]66

ππ

-

上的最大值和最小值； （III ）求函数()f x 的单调递增．．区间. 解：（Ⅰ）要使函数有意义，只需22

x k π

π≠+

,即24

k x ππ

≠

+. ………………2分 所以函数()f x 的定义域为,24k x x k ππ?

?

≠+∈???

?

Z . ………………3分

（Ⅱ）()(12)cos2f x x x =

(12x = ………………4分

cos22x x = ………………5分

2sin(2)6

x π

=+

. ………………7分

因为6

6

x π

π

-

≤≤

,

所以2662x π

π

π

-

≤+

≤

. ………………8分

所以1sin(2)126

x π

-≤+≤.

即12sin(2)26

x π

-≤+

≤.

所以当

26

2x π

π

+

=

，即6

x π=时,函数()f x 的最大值为2； ……10分

当

26

6x π

π

+

=-

；即6x π=-时,函数()f x 的最小值为1-. ……12分

(Ⅲ) 因为2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

， ………………14分

所以3

6

k x k π

π

ππ-

≤≤+

. ………………15分

结合定义域，可知函数()f x 单调递增区间为

,,,()3446k k k k k ππππππππ????---+∈? ???

???Z . ………………16分 （2015年1月·东城期末·18．（本题满分10分）

已知函数2()22cos 1f x x x ==+-.

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??

-

???

?上的最大值和最小值.

18．（本题满分10分）

解：（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-

x x 2cos 2sin 3+=

)6

2sin(2π

+

=x .

所以)(x f 的最小正周期为π.

（Ⅱ）因为.3

26

26

,4

6

π

π

π

π

π

≤

+

≤-

≤

≤-

x x 所以 于是，当6

,2

6

2π

π

π

=

=

+x x 即时，)(x f 取得最大值2；

当)(,6

,66

2x f x x 时即π

π

π

-=-

=+

取得最小值—1．

（Ⅰ）根据函数()sin()f x A x =+ω? (0A >，0>ω，π

02

<<

?)的部分图象可得 2A =，

------------------1分 5πππ41264

T =-=，由此可得()f x 的最小正周期为π， ------------------1分 0>ω，2T π

==πω

，∴2ω= ------------------2分

又π()26

f =，∴

ππ

22π,62

k k ??+=+∈Z -----------------2分 ∴π2π,6k k ?=+∈Z ，而π

02<

∴π

6

?= ------------------1分

∴函数()f x 的解析式为π

()2sin(2)6

f x x =+ -----------------1分

（Ⅱ） ∵ππ[,]212x ∈--，∴π5π

2[,0]66x +∈-

∴当π206x +=，即π

12

x =-时，()f x 取得最大值0， ------------------2分

当ππ262x +

=-，即π

3

x =-时，()f x 取得最小值2- ------------------2分 （2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分

已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[

,]122

ππ

（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.

解：（Ⅰ）因为()f

x 1cos 222x x +=

π1

sin(2)62

x =++． ---------------------------------------------------4分

所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分

（Ⅱ）π1()sin(2)62

f x x =++． 因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1π

sin(2)126

x -+≤≤，

因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3

[0]2，-----------------------------10分

（Ⅲ）()f x 在[,

]1212

π11π

-上的图象如图所示. ----------------------------14分

（其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）

（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）

已知函数2()cos2sin f x x x =-. （I ）求(0)f 的值；

（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.

解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分 （II ）2222()cos2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分

所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2

x k k Z π

π=+

∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分

（2015年1月·顺义期末·20．（本小题共14分）

已知向量1,cos )a x x =-r ，(1,2cos )b x =r ，设函数()f x a b =?r r .

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；

（Ⅱ）若,2x ππ??

∈?

???

，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若不等式|()|1f x m -<在,43x ππ??

∈?

???

上恒成立求实数m 的取值范围.

解：（Ⅰ）)

()()21,cos 1,2cos f x a b x x x =?=

-?r r

2

212cos x x -+2cos 2x x +2sin(2)6

x π

=+

.————4分

∴最小正周期T π=

当2262x k πππ+=+即6x k π

π=+时()max 2f x =，

当2262x k πππ+=-即3

x k π

π=-时()min 2f x =-.()k z ∈———7分

（Ⅱ）由()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?

， 2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

，k Z ∈

∴()f x 的单调递增区间为3

6

k x k π

π

ππ-

≤≤+

k Z ∈.

令上式1k = ∴

2736x ππ≤≤()'1.又Q ,2x ππ??

∈????

()'2 又()'

1

()'

2得的 ()f x 的单调递增区间为2,3ππ??

????

————11分

（Ⅲ）由

4

3

x π

π

≤≤

∴

252366x πππ≤+≤

1sin 2262x π?

?∴≤+≤ ??

?;

∴12sin 26x π?

?≤+≤ ??

?——————————12分

要()||1f x m -<恒成立 ，即()||1m f x -<恒成立，

∴2sin 212sin 2166x m x ππ???

?+-<<++ ? ????

?

∴2sin 2162sin 21

6m x m x ππ??

?>+- ????

??

???<++ ?????

恒成立

∴12m m ?>??

)

1,2m ∈

————14分

（2015年1月·房山期末·20）（本小题共12分）

已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()()g x f x k =-在[0,

]2

π

上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．

（20）（本小题共12分） 解：

（Ⅰ）由()2cos (sin cos )1f x x x x =+-

(1)(1)sin 2 cos 2 x x =+分分 -------------------2分

)4

x π

=+ -------------------2分

由222()2

4

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈ -------------------2分

解得：

3()88

k x k k Z ππ

ππ-

+≤≤+∈ -------------------2分 所以函数)(x f 的递增区间为3[,]()88

k k k Z ππ

ππ-++∈. （Ⅱ）由0,2x π??

∈????

，得24x π+∈5,44ππ??????， 可知函数)(x f 在0,8π??

????

上单调递增，()[1f x ∈，

在,82ππ??

???

上单调递减，()[1f x ∈-， -------------------2分 所以若函数()()g x f x k =-在0,2π??

????

上有两个不同的零点，则[1k ∈.

（2015年1月·海淀期末·18.本题满分13分

已知函数2()2sin()36f x x ππ

=+.

（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个 周期上的图象（先列表，再画图）； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间；

（Ⅲ）求()f x 在13

[,]24-上的取值范围.

18.本题满分13分

解：（Ⅰ）函数2()2sin(

)36

f x x ππ

=+的周期3T =，-----------------------------------1分

)

第17题（图1）

描点画图如图所示. --------------------------------------------------5分

（Ⅱ）函数sin y x =的单调增区间为ππ

[2π,2π]()22k k k -+∈Z .-----------------------6分

由π2π

2π2π()2362

k x k k ππ-

≤+≤+∈Z ， 得1

313()2

k x k k -≤≤+∈Z .

所以()f x 单调增区间为1

[31,3]()2k k k -+∈Z .----------------------------------------------9分

（Ⅲ）因为13

[,]24x ∈-，

所以

2πππ2π

[,]3663x +∈-， 所以2ππ1

sin(

)[,1]362

x +∈- 所以2ππ2sin(

)[1,2]36x +∈-，即()

f x 在13

[,]24

-上的取值范围是[1,2]-.-------------13分 说明：（Ⅱ）（Ⅲ）问，如果最终结果错误，可细化解题步骤给过程分；如果仅有最终正确结果，无步骤每问各扣1分。

（2015年1月·密云期末·18. （本小题满分14分）

函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0， |φ|<π

2)的部分图象如图所示.

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后得到新函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式；

（Ⅲ）求函数2()()-f x g x 的单调增区间.

--------------------3分

解：（Ⅰ）由所给图象知A ＝1， ---------------1分

34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2π

T ＝2.----------------2分 由sin ????2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π

6，-------4分 所以f (x )＝sin ???

?2x ＋π6. ----------------5分

（Ⅱ）f (x )＝sin ?

???2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解 析式为()g x ＝sin ?

??

?2????x －π6＋π6 ----------------7分

＝sin ???

?2x －π6. --------------9分

（Ⅲ）由题: 2()()f x g x -

2sin(2)sin(2)66

x x ππ

=+--

1

2cos 22cos 22

x x x x =++

3

2cos 222

x x =

+

)

3x π

=+

. ----------------12分

222,(),232k x k k Z πππ

ππ-≤+≤+∈令 ----------------13分

5,(),1212

k x k k Z ππ

ππ-≤≤+∈则 ∴函数f(x)的增区间为5()1212k k k Z ππππ?

?

-

+∈???

?

，.------------14分

（2015年1月·东城期末·20．（本题满分9分）

如图，半径为4 m 的水轮绕着圆心O 做匀速圆周运动，水轮每分钟旋转4圈，水轮圆心O 距离水面2 m ，如果当水轮上的点P 从离开水面的时刻（0P ）起开始计算时间.

（Ⅰ）求点P 到水面的距离y (m)与时间t (s)满足函数关系； （Ⅱ）求点P 第一次到达最高点需要的时间.

O P

P 0

2

20．（本题满分9分）

解：（Ⅰ）以O 为原点建立如图所示的直角坐标系. 由于水轮绕着圆心O 做匀速圆周运动，可设点P 到水面的距 离y (m)与时间t (s)满足函数关系

sin()2,(0)2

y A t

=++-<

水轮每分钟旋转4圈，

60154T ∴==. 2215

T ?ππ∴==.

水轮半径为4 m ，4A ∴=.

24sin(

)2,(0)152

y t

∴=++-<. 当0t =时，0y =.=6

?π

∴-.

24sin()2156

y t ππ

∴=-+.

（Ⅱ）由于最高点距离水面的距离为6，264sin()2156t ππ∴=-+.2sin()1156

t ππ

∴-=. 2+21562t k k Z πππ

∴-=π∈（）. 515()t k k Z ∴=+∈. =05(s)k t P ∴=当时，即时，点第一次达到最高点.