2019届内蒙古赤峰市高三上学期第一次统一考试数学理试题Word版含答案

2019届内蒙古赤峰市高三上学期第一次统一考试

数学理试题

一、选择题（共25题，每题2分，共50分）

1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则?U（A∩B）=（）A． {4} B．{3，5} C．{1，2，4} D．?

2．复数的虚部是（）

A．﹣i B．i C．﹣D．

3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（）

A． l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2?αD．l1∥α且l2?α

4．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A 的距离大于1的概率为（）

A． 1B．C．1D．1

5．给出性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）

A． y=sin（2x+）B． y=sin（2x+）

C． y=sin（2x﹣）D．y=sin（x+）

6．已知命题p：?x＞0，x+＞2，命题q：“x=2“x2﹣5x+6=0“的必要不

充分条件，则下列命题为真命题的是（）

A． p∧（￢q）B．q∧（￢p）C．p∨q D．p∨（￢q）

7．（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A．B．1

C．D．3

8．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），

（x3，y3）…，（x n，y n）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x

值为（）

A． 80 B．81 C．79 D．78

9．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）

A． [2，5] B．[1，5] C．[，5] D．[，2]

10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）

A．B．C．D．

11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）

A． 3 B．4 C．5 D．6

12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分

13．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为_________ ．

14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为_________ ．

15．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是_________ ．

16．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为_________ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d．

（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n公式；

（2）求数列{3n﹣1a n}的前n项和T n．

18．（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．

（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；

（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．

（I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

20．（12分）已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．

（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．

（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB 的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣﹣bx（a≠0）．

（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．

四、选考题：满分30分，在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）（已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；

（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．

23．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．

（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；

（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．

2019届内蒙古赤峰市高三上学期第一次统一考试

数学理试题参考答案

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．

利用韦达定理得，解得a=1，d=2．

由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（6分）

（2）令，

则，

，（8分）

两式相减，得（10分）

=

=﹣2﹣2（n﹣1）?3n．

∴．（12分）

18．解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．

因为事件A，B互斥，

所以．

故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．

（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．

其中，，．所以ξ的分布列是：

ξ0 1 2

p

所以．

19．解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD，（4分）

∵E、F为PA、PB的中点，

∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD；（6分）

（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，

∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．

取AO中点M，连OG，EO，EM，

∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，

故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求（11分）

在RT△EOM中，EM=OM=1

∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）

20．解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，

x=﹣，y=﹣，

则P（﹣，﹣），

则|PF1|+|PF2|=+=2，

则a=，c=1，b=1；

则椭圆C的方程为．

（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），

使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt?k Qs=k（k为定值），

即=k，将y2=1﹣代入并整理得

（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）

由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，

所以k+=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；

解得k=﹣，s=，t=﹣；或k=﹣，s=﹣，t=；．

所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），

使得k Qt?k Qs为定值﹣．

21．解：（I）当b=2时，f（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），则

因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．

又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．

①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；

②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，若ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；

则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．

综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）

（II）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为∵f（x2）﹣f（x1）=lnx2﹣lnx1﹣=0

∴lnx2﹣lnx1=

f′（x0）==×[]

设，则y==，t＞1

令r（t）=，则

因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．

故r（t）＜r（1）=0

而＞0．故f′（x0）＜0．

22．解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；

对于l：由（t为参数），

得，即．（5分）

（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，

则弦心距，

弦长，

因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）

23．解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，

当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；

当a＞1时，解集为全体实数R；

当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．

（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）

又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，