高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估新人教A版选修2_2

第三章数系的扩充与复数的引入

单元质量评估

(120分钟150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知a是实数,是纯虚数,则a等于( )

A.1

B.-1

C.

D.-

【解析】选A.==是纯虚数,则a-1=0,a+1≠0,解得a=1. 【补偿训练】复数a2-b2+(a+|b|)i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是( )

A.a=±b

B.a<0,且a≠-b

C.a>0,且a≠b

D.a>0,且a=±b

【解析】选D.由已知复数为纯虚数得

即

所以a>0且a=±b.

【误区警示】求一个复数是纯虚数的条件.避免出现只限制实部等于0,而忽视虚部不等于0的条件的错误.

2.(2016·山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( )

A.1+2i

B.1-2i

C.-1+2i

D.-1-2i

【解题指南】利用共轭复数的性质解题.

【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),

则2z+=3a+bi=3-2i,

所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.

3.复数|z|=1,且z≠±1,则是( )

A.实数

B.纯虚数

C.非纯虚数

D.复数

【解析】选 B.设z=x+yi(x,y∈R),由z≠±1,知y≠0,因为|z|=1,所以x2+y2=1,所以

===i,因为y≠0,所以该数为纯虚数.

4.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则

a= ( )

A.-3

B.-2

C.2

D.3

【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3.

5.设z∈C,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在( )

A.实轴上

B.虚轴上

C.直线y=±x(x≠0)上

D.以上都不对

【解析】选C.设z=x+yi(x,y∈R),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.

因为z2为纯虚数,所以

所以y=±x(x≠0).

6.复数(i是虚数单位)的共轭复数是( )

A.-i

B.+i

C.-i

D.-+i

【解析】选B.===-i,

所以其共轭复数为+i.

7.(2017·全国丙卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= ( )

A. B. C. D.2

【解析】选C.由题意知:z====i+1,

则|z|==.

8.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则= ( )

A.+i

B.+i

C.--i

D.--i

【解析】选C.由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以===--i.

9.复数1+在复平面上对应的点的坐标是( )

A.(1,1)

B.(-1,1)

C.(-1,-1)

D.(1,-1)

【解析】选D.1+=1-i,所以对应的点的坐标为(1,-1).

10.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是( )

A. B.i

C.+i

D.+2i

【解析】选C.设z=x+yi(x,y∈R),

因为z+|z|=5+i,

所以x+yi+=5+i,

所以

解得

所以z=+i.

【补偿训练】若|z|=2,且|z+i|=|z-1|,则复数z=________.

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则

解得或

答案:(1-i)或-(1-i)

11.(2017·济宁高二检测)在复平面内,复数ω=-+i对应的向量为,复数ω2对应的向量为,则向量对应的复数是( )

A.1

B.-1

C.i

D.-i

【解题指南】先求出对应的复数ω2,再由=-,求对应的复数. 【解析】选D.ω2==--i.

因为=-,

故对应的复数为-

=-i.

【补偿训练】在复平面内,复数z=1-i对应的向量为,复数z2对应的向量为,那么向量对应的复数为( )

A.1-i

B.1+i

C.-1+i

D.-1-i

【解析】选 D.复数z=1-i对应的向量为,复数z2=-2i对应的向量为,则向量对应的复数为:-2i-(1-i)=-1-i.

12.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是( )

A.若+>0,则>-

B.|z1-z2|=

C.+=0?z1=z2=0

D.z1-是纯虚数或零

【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则=15+8i,=-8i,+>0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A错误;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,故B 错误;若z1=2+i,z2=1-2i,则=3+4i,=-3-4i,+=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时,是零,当b≠0时,是纯虚数,故D正确.

【补偿训练】对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的

是( )

A.|z-|=2y

B.z2=x2+y2

C.|z-|≥2x

D.|z|≤|x|+|y|

【解析】选D.因为=x-yi,所以z-=2yi,

所以|z-|=2|y|,

所以A错,易知C也不正确.

因为z2=(x+yi)2=(x2-y2)+2xyi,

所以B错,

因为|z|=≤

≤|x|+|y|,故D正确.

二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.已知复数z=1+i,则-z=________.

【解析】-z=-1-i=×-1-i=-2i.

答案:-2i

14.(2017·银川高二检测)如果x-1+yi与i-3x是共轭复数(x,y是实数),则x+y=________.

【解析】由题意得x-1=-3x,y=-1,

解得x=,y=-1,

所以x+y=-.

答案:-

15.在复数范围内解方程|z|2+(z+)i=(i为虚数单位),则z=________.

【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,

设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,

所以x2+y2=1且2x=-1,

解得x=-且y=±,

所以原方程的解是z=-±i.

答案:-±i

16.已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若复数z满足(z-i)(1-i)=4,则在复平面内对应的点位于第

________象限.

【解析】由已知得,z-i===2+2i,

所以z=2+3i,

则z的共轭复数为=2-3i,

对应的点为(2,-3),位于第四象限.

答案:四

【补偿训练】在复平面内,复数z满足=,则z对应点的坐标是________.

【解析】因为|+i|==2,

则==1-i,z=1+i,

所以复数z的对应点的坐标是(1,1).

答案:(1,1)

三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量,(O为原点),若向量对应的复数为纯虚数,求a的值.

【解析】对应的复数为z2-z1,则

z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i-[a2-3+(a+5)i]

=(a-a2+2)+(a2+a-6)i.

因为z2-z1是纯虚数,

所以解得a=-1.

18.(12分)已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.

【解析】在坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量,,如图,则向量对应z1+z2,

对应z1-z2.

由题意知||=1,||=1,||=,

可得∠OZ1Z=120°,

所以∠Z2OZ1=60°.

所以在△Z2OZ1中,||=1,

即|z1-z2|=1.

【一题多解】设z1=a+bi,

z2=c+di(a,b,c,d∈R),

由题设知a2+b2=1,

c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=3.

所以2(ac+bd)=1.

因为|z1-z2|2

=(a-c)2+(b-d)2

=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)

=1+1-1=1,

所以|z1-z2|=1.

19.(12分)已知复数z1,z2满足10+5=2z1z2,且z1+2z2为纯虚数,求证:3z1-z2为实数.

【解题指南】对10+5=2z1z2配方,

得到(3z1-z2)2+(z1+2z2)2=0,z1+2z2为纯虚数,

纯虚数的平方为实数,则3z1-z2为实数.

【证明】由10+5=2z1z2,

得10-2z1z2+5=0

即(3z1-z2)2+(z1+2z2)2=0,

那么(3z1-z2)2=-(z1+2z2)2=[(z1+2z2)i]2

由于z1+2z2为纯虚数,

可设z1+2z2=bi(b∈R且b≠0),

所以(3z1-z2)2=b2,

从而3z1-z2=±b,

故3z1-z2为实数.

20.(12分)已知z为复数,z+2i为实数,且(1-2i)z为纯虚数,其中i是虚数单位.

(1)求复数z.

(2)若复数ω满足|ω-|=1,求|ω|的最小值.

【解题指南】(1)求复数z时采用待定系数法,首先设z=a+bi(a,b∈R),代入已知条件得到关于a,b的方程,从而解得a,b,得到复数z.

(2)采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式,进而结合两点间距离公式得到|ω|的最小值

【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),

则z+2i=a+(b+2)i,因为z+2i为实数,

所以有b+2=0, ①

(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=a+2b+(b-2a)i,

因为(1-2i)z为纯虚数,

所以a+2b=0,b-2a≠0, ②

由①②解得a=4,b=-2.故z=4-2i.

(2)因为z=4-2i,则=4+2i,设ω=x+yi(x,y∈R),因为|ω-|=1,即(x-4)2+(y-2)2=1

又|ω|=,故|ω|的最小值即为原点到圆(x-4)2+(y-2)2=1上的点距离的最小值,因为原点到点(4,2)的距离为=2,

又因为圆的半径r=1,原点在圆外,

所以|ω|的最小值即为2-1.

21.(12分)已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.

(1)求实数a,b的值.

(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,求当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.

【解析】(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,

所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

故

解得a=b=3.

(2)设z=m+ni(m,n∈R),

由|-3-3i|=2|z|,

得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),

即(m+1)2+(n-1)2=8,

所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.

如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.

因为|OO1|=,半径r=2,

所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.

【补偿训练】已知复数z=1-2i(i为虚数单位).

(1)把复数z的共轭复数记作,若·z1=4+3i,求复数z1.

(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.

【解析】(1)由题意得=1+2i,

所以z1===2-i.

(2)由题意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,

化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0,

则有-6+p+q=0,-8-2p=0,

解得p=-4,q=10.

22.(12分)设复数z1=(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i,a∈R,θ∈(0,π),z2在复平面内对应的点在第一象限,且

=-3+4i,

(1)求z2及|z2|.

(2)若z1=z2,求θ与a的值.

【解析】(1)设z2=m+ni(m,n∈R),则

=(m+ni)2=m2-n2+2mni=-3+4i,

即

解得或

所以z2=1+2i,或z2=-1-2i.

又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,

所以z2=-1-2i应舍去,

故z2=1+2i,|z2|=.

(2)由(1)知(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i=1+2i,即

解得cosθ=,

因为θ∈(0,π),所以θ=,

所以a2=1+4sin2θ=1+4×=4,a=±2.

综上,θ=,a=±2.