2016-2017海淀高三期中练习数学文科试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（文科） 2016.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A

B =

A. {1}x x >

B. {23}x x <<

C. {13}x x <<

D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,),(2,4)x =-=-a b . 若a b ，则x 的值为

A. 2-

B. 12-

C. 1

2

D. 2

3. 已知命题p ：0x ?>，1

x x

+

≥2命题q ：若a b > ，则ac bc >. 下列命题为真命题的是 A. q B. p ? C. p q ∨ D. p q ∧ 4. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan(π)θ+= A.

34 B.34- C. 43 D. 43

- 5. 已知函数,log a

b y x y x ==的图象如图所示，则 A. 1b a >> B. 1b a >> C. 1a b >> D. 1a b >>

6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0?>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 给定条件：①0x ?∈R ,00()()f x f x -=-；

②x ?∈R ,(1)(1)f x f x -=+ 的函数个数是

下列三个函数：3,|1|,cos πy x y x y x ==-=中，同时满足条件①②的函数个数是 A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．已知定义在R 上的函数 若方程1()2

f x =有两个不相等的实数

根，则a 的取值范围是 A. 1122a -

≤≤ B. 1

02

a ≤< C. 01a ≤< D. 102a -<≤

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 计算1

lg2lg

3lg54-+= ___. 10. 已知2

sin 3

θ=，则cos2θ=___.

11. 已知函数()y f x = 的导．

函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___处取得极值.

12. 在正方形ABCD 中，E 是线段CD 的中点，若AE AB BD λμ=+，则λμ-= ___. 13. 在ABC ?中，13

cos 14

A =

，73a b =, 则B =___. 14. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数π

sin()6y a b x ?=++

（,a b 为常数，π

02

?<<

）.其中三个月份的月平均气温如表所示：

则该地2月份的月平均气温约为___℃，?=___.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

已知函数π()cos(2)cos23

f x x x =--. （Ⅰ）求(0)f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.

16. （本小题满分13分）

已知数列{}n a 是等差数列，且21a =- ，数列{}n b 满足1n n n b b a --=(2,3,4,)n =，且131b b ==.

（Ⅰ）求1a 的值；

（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.

17. （本小题满分13分）

如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =

,AD =（Ⅰ）求

sin sin CAD

D

∠∠的值；

（Ⅱ）求CD 的长.

18. （本小题满分14分）

已知函数1

()e x

ax f x -=

. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.

19.（本小题满分13分）

已知{}n a 是等比数列, 22a =且公比0q >，132,,a a -成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）已知21(1,2,3,)n n n n b a a na n λ++=-=，设n S 是数列{}n b 的前n 项和. 若12S S >，且

1(2,3,4,)k k S S k +<=，求实数λ的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知函数3()9f x x x =-，2()3g x x a =+.

（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的某个交点处具有公共切线，求a 的值； （Ⅱ）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若方程()()f x g x =有三个不同的解123,,x x x ，且它们可以构成等差数列，写出实数a 的值. (只需写出结果)

()y f x =()y g x =

海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案

数学（文科） 2016.11 阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）π

(0)cos()cos03

f =--

1

12

=

---------------------------------------------------------------------------------4分 （每个三角函数值各2分）

1

2

=-.---------------------------------------------------------------------------------1分

（Ⅱ）因为ππ

()cos2cos sin 2sin cos233f x x x x =?+?-------------------------------------------2分

1cos22cos22x x x =-

1

2cos22

x x =

- π

sin(2)6

x =-,-----------------------------------------------------------------------2分

所以()f x 的最小正周期2π

π2

T =

=.------------------------------------------------------1分 函数sin y x =的单调增区间为ππ2π,2π()22k k k ?

?-+∈???

?Z .

由 πππ

2π22π262

k x k -

≤-≤+，k ∈Z ，----------------------------------------------2分 (没有k 范围，扣1分) 得 ππ

ππ63

k x k -

≤≤+， 所以()f x 的单调增区间为πππ,π63k k ?

?-+???

?（k ∈Z ）. -----------------------------1分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为数列{}n b 满足1(2,*)n n n b b a n n N --=≥∈，

所以2121b b a -==-，-------------------------------------------------------------------1分 又因为11b =，所以20b =，------------------------------------------------------------1分 所以332101a b b =-=-=，------------------------------------------------------------1分 又因为数列{}n a 是等差数列，所以321(1)2d a a =-=--=，-----------------1分 所以12123a a d =-=--=-.-----------------------------------------------------------1分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，数列{}n a 是以为3-为首项，2为公差的等差数列， 所以3(1)225n a n n =-+-?=-，------------------------------------------------------2分 由条件，当2n ≥时，125n n b b n --=- 122(1)5n n b b n ---=?--

…

211b b -=-，

将上述各等式相加整理得，211(25)

(1)432

n n b b n n n -+--=?-=-+,---------3分 （求和公式2分，结果1分）

所以221434 4 (2)n b b n n n n n =+-+=-+≥.----------------------------------------1分 当1n =时，11b =也满足上式，-----------------------------------------------------------1分 所以2*4 4 ()n b n n n =-+∈N .------------------------------------------------------------1分

17. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为ABC ?为等边三角形，所以AC BC =，

又因为2BC CD =，所以2AC CD =，------------------------------------------------1分 在ACD ?中，由正弦定理可得

sin sin CD AC

CAD D =

∠∠，--------------------------------------------------------------------3分 即

sin 1

sin 2

CAD CD D AC ∠==∠.-----------------------------------------------------------------1分

（Ⅱ）法一：设CD x =，则2BC x =，

所以3BD x =.-------------------------------------------------------------------------------1分

在ABD ?中，2,3

AD AB x B π

=∠=，------------------------------------------1分

由余弦定理可得

2222cos AD AB BD AB BD B =+-??∠，----------------------------------------------3分

即2274923x x x x =+-?，---------------------------------------------------------------2分 解得1x =，

所以1CD =. ------------------------------------------------------------------1分 法二：取BC 中点E ，连接AE .------------------------------------------------------------1分 在等边三角形ABC ?中，

AE BC ⊥，AE =

，------------------------------------------------------------1分 设CD x =，则2BC x =，---------------------------------------------------------------1分

所以AE =，2DE x =，------------------------------------------------------------2分 在直角三角形AED ?中，

222277AD AE DE x =+==，----------------------------------------------------------2分

解得1x =，即1CD =.--------------------------------------------------------------------1分 18.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）当1a =时，1

()e x

x f x -=，x ∈R 所以2

'()e x

x f x -+=

，---------------------------------------------------------------------2分 由'()0f x =得2x =. -------------------------------------------------------------------1分 '(),()f x f x 随x 的变化如下：

--------------------------------------------------------------------------------2分

所以()f x 的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞.------------------1分

（Ⅱ）由1

()e x

ax f x -=

得 1

'()e x

ax a f x -++=

,[0,1]x ∈.-------------------------------------------------------------------1分 令'()0f x =，因为0a <，解得1

11x a

=+<.-----------------------------------------------1分

①当1

10a

+≤时，即10a -<≤时，'()0f x ≥对[0,1]x ∈恒成立，

所以()f x 在[0,1]上单调递增，------------------------------------------------------------1分 所以min ()(0)1f x f ==-;---------------------------------------------------------------------1分 ②当1

011

<+

<时，即1a <-时，'(),()f x f x 在[0,1]上的情况如下： ----------------------------------------------------------------------------------------2分

所以min 111()(1)e a

a

f x f a

+=+=， ---------------------------------------------------1分

综上，当10a -<≤时，min ()1f x =-；当1a <-时，min 11()e

a

a f x +=.-------------1分

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为132,,a a -成等差数列，所以1322a a =-+ ①，---------------------------------1分 又因为{}n a 为等比数列，22,0a q =>， 所以312

2,a q a q

==

，----------------------------------------------------------------------2分

代入①，可得2

222q q

?

=-+， -------------------------------------------------------1分 即220q q --=，解得2q =或1q =-（舍），

所以2q =. -----------------------------------------------------------------1分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得12n n a -=，

所以2142n n n n n n b a a na n λλ++=-=-?.------------------------------------------------------1分 由12S S >，所以210S S -<，即20b <，--------------------------------------------------1分 所以24240λ-?<，解得2λ>；-----------------------------------------------------------1分 由1(2,*)k k S S k k +<∈N ≥，即10k b +>对2k ?≥且k ∈*N 恒成立， 由1

1

14

(1)2

0k k k b k λ+++=-+>可得1

21

k k λ+<+. ----------------------------------------------1分

设1

21

k k c k +=+ (2,*)k k ∈N ≥，只需min ()k c λ<(2,*)k k ∈N ≥即可.

因为21121(2)1222

k k k k c k k k c k k ++++++=?=>++，--------------------------------------------------1分

（也可以：因为211122212()2121k k k k k c c k k k k ++++-=-=?-++++120(2(1)k k k k +=?

>+?+）） 所以数列{}k c 在2k ≥且*k ∈N 上单调递增的， 所以3min 228

()33

k c c ===， -------------------------------------------------------------------1分

所以8

3

λ<

；--------------------------------------------------------------------------------------1分 又因为2λ>，所以8

(2,)3λ∈.----------------------------------------------------------------1分

20．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设()f x 与()g x 的交点坐标为00(,)x y ，则由条件，有0000'()'(),()(),f x g x f x g x =??=?

---------2分

即20032

000396,93,x x x x x a ?-=?

?-=+?? ------------------------------------------------------------------1分 解得0327x a =??=-?或015x a =-??=?

，所以27a =-或5a =.------------------------------------2分

（Ⅱ）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞， 即3239x x x a --<的解集为(,)b -∞. 令32()39h x x x x =--，

则()y h x =的图象在直线y a =下方的部分对应点的横坐标x ∈(,)b -∞.------------1分 2'()369h x x x =--，由'()0h x =解得123,1x x ==-，-----------------------------------1分

'(),()f x f x 的情况如下：

-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分

因为22422(5)(5)(71)5|h a a a a a a a +=+++>+≥≥，即2(5)h a a +>；

22422(2)(2)(71)(2)|h a a a a a a a --=-+++<-+≤-≤，即2(2)h a a --<，

------------------1分

（或者：因为当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞） 又因为 ()=(1)5h x h -=极大值，()=(3)27h x h =-极小值，

所以当5a >或27a -≤满足条件.------------------------------------------------------------2分 （两个区域各1分）

（Ⅲ）11a =-. -----------------------------------------------------------------------------------------2分