高中数学选修1-1(北师版)第一章常用逻辑用语1.3(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

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第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词

一、知识清单

全（特）称命题的概念与真假

判断 全（特）称命题的否定

二、知识讲解

1.全（特）称命题的概念与真假判断

全称量词与全称命题

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量 的语句用 ， ， ， 来表示，变量 的取值范围用 表示，那么，全称命题“对 中任意一个 ，有 成立”可用符号简记为 ， ．

特称量词与特称命题

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），并用符号“ ”表示．含有特称量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在 中元素 ，使 成立”可用符号简记为 ， ．

?x p (x )q (x )r (x )?x M M x p (x )?x ∈M p (x )?M x p (x )?x ∈M p (x )用量词符号 “” 表达下列命题．

（1）实数的平方大于或等于 ；

（2）任意一个无理数的平方仍为无理数；

（3）对于任意的正数 ，都有函数 是增函数；

（4）对任意角 ，都有 ．

解：（1）；

（2）， 是无理数；

（3），函数 是增函数 ；

（4）．

?0a y =x log a αα+α=1sin 2cos 2?x ∈R ,?0x 2?x ∈{x |x 是无理数}x 2?a >0y =x log a ?α∈{角},α+α=1sin 2cos 2用量词符号“” 表达下列命题．

（1）存在实数 ，使得 ；

（2）存在实数对 ，使 成立；

（3）有些实数的绝对值是正数；

（4）至少有一个 ， 是无理数． 解：（1），；

（2），，，；

（3）， ；

（4）， 是无理数．?x >x 3x 2(x ,y )2x +3y <0∈{x |x 是无理数}x 0x 20?x ∈R >x 3x 2?(x ,y )x ∈R y ∈R 2x +3y <0?x ∈R |x |>0?∈{x |x 是无理数}x 0x 20

判断下列命题的真假．

（1），；

?x ∈R +

1>0x 2=2

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