2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)3：导数
2012高考试题分类汇编：3:导数
一、选择题
1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是
【答案】C
【解析】由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0x f x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>,选C.
2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数
A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b
B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b
C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b
D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A
【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+，则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选
项用同样方法排除．
3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=
2
x
+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1
2
为f(x)的极小值点
C ．x=2为 f(x)的极大值点
D ．x=2为 f(x)的极小值点 9.【答案】D. 【解析】x
x x f x x x f 1
2)(',ln 2)(2+-=∴+=
，令0)('=x f ，则2=x ，当20< 0)(' 4.【2012高考辽宁文8】函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B 【解析】211 ln ,,00,02y x x y x y x x x x ''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。 5.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x 3-6x 2+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 12.【答案】C ． 【解析】9123)(',96)(223+-=∴-+-=x x x f abc x x x x f ，令0)('=x f 则1=x 或 3=x ，当1 所以1=x 时)(x f 有极大值，当3=x 时)(x f 有极小值， 函数)(x f 有三个零点， 0)3(,0)1(<>∴f f ，且c b a <<<<31，又 abc f -+-=275427)3(，0>∴abc ，即0>a ，因此0)()0(=<∴f f f f .故选C. 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2 =2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2， 过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C 【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2. 由2 2 12,,,2 x y y x y x '== ∴=则所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一 起，这是写出切线方程的关键。 二、填空题 7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y 【解析】函数的导数为4ln 33 1ln 3)('+=? ++=x x x x x f ，所以在)1,1(的切线斜率为 4=k ，所以切线方程为)1(41-=-x y ，即34-=x y . 8..【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2 B 、 (1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为 【答案】 4 1。 【解析】?????+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴?????+-=,22,222x x x y , 12 1, 2 10≤<≤≤x x ∴围成的面积?? +-+= 1 2 12 21 2 )22(2dx x x dx x S =21 3 310 x +12 123 )5310(x x +- =41。 三、解答题 9.【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。 【答案】 10.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。 已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值； （2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-， ，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点， ∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。 （2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ， ∴()()2 3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。 ∵当2x <-时，()0g x <'；当21 ∵当21 （3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈- 当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注意 到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。 当 2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----， (1)=(2)=20f d f d d <----- ， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。 由（1）知()()()=311f'x x x +-。 ① 当()2x ∈+∞，时，()0f 'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而 ()(2)=2f x >f 。 此时()=f x d 在()2+∞，无实根。 ② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。 又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。 同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当()1 1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。 又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。 因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当 2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x 现考虑函数()y h x =的零点： ( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零 点。 ( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足 2 =3, 4, 5i t 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。 综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数() y h x =有9 个零点。 【考点】函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。 11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分） 已知函数a ax x a x x f ---+= 232 131)(，x 错误！未找到引用源。其中a>0. （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （III ）当a=1时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为M （t ），最小值为m （t ）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[--上的最小值。 【答案】 12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分） 设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2 {|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ， D A B = . （1）求集合D （用区间表示） （2）求函数3 2 ()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 【答案】 【解析】（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++， 229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ?=+-=-+=--。 ① 当1 03 a <≤ 时，0?≥， 方程 () g x =的 两 个 根 分 别 为 2 1339309 4 a a a x +- -+ = ， 22339309 4 a a a x ++-+= ， 所 以 (g x > 的解集为 22339309339309(,)(,)44 a a a a a a +--+++-+-∞+∞ 。 因 为 12,0 x x >，所以 D A B == 22339309339309 (0,)(,)44 a a a a a a +--+++-++∞ 。 ② 当1 13 a <<时，0?<，则()0g x >恒成立，所以D A B == (0,)+∞， 综 上所述，当1 03 a <≤时 ， D =22339309339309 (0,)(,)44 a a a a a a +--+++-++∞ ； 当 1 13 a <<时，D =(0,)+∞。 （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =。 ① 当1 03 a <≤ 时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞ ， 因为2 ()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤， 所以1201a x x <<<≤， 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表： x (0,)a a 1(,)a x 2(,)x +∞ ()f x ' + 0 - + ()f x ↗ 极大值 ↘ ↗ 所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点。 ② 当 1 13 a <<时，由（1）知D =(0,)+∞， 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表： x (0,)a a (,1)a 1 (1,)+∞ ()f x ' + 0 - 0 + ()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x =。 综上所述，当1 03 a <≤ 时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当 1 13 a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。 13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分） 已知函数3()sin (),2f x ax x a R =- ∈且在,0,2π?? ???? 上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。 【答案】 14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分) 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2 2 n a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设() f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。 （Ⅰ）用a 和n 表示()f n ； （Ⅱ）求对所有n 都有 ()1()11 f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较 111 (1)(2)(2)(4)()(2) f f f f f n f n ++???+---与 (1)(1) 6(0)(1) f f n f f -+- 的大小，并说明理由。 命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑 推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】 15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分） 已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.[@#中国教育出版网 （1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合； [z （2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1 存在x 0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '=恒成立. 【答案】解：(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. 当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当 ln 1a a a -≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=- 当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21 212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令21 21 ()(),x x x e e x f x k e x x ?-'=-=--则 121 12121()()1,x x x e x e x x x x ?-??=----??- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ?-??=---? ?- 令()1t F t e t =--，则()1t F t e '=-. 当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t --> 从而21 21()10x x e x x ---->，12 12()10,x x e x x ---->又 1210,x e x x >-2 21 0,x e x x >- 所以1()0,x ?<2()0.x ?> 因为函数()y x ?=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ?=即0()f x k '=成立. 【解析】 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值 (ln )ln .f a a a a =-对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合； 第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断. 16【2012高考新课标文21】（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【答案】 17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数3 ()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c - （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值． 【解析】（Ⅰ）因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得 极值 故有(2)0(2)16f f c '=?? =-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ，化简得12048a b a b +=??+=-?解得1 12 a b =??=-? （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3 ()12f x x x c =-+，2 ()312f x x '=- 令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值 (2)16f c =-由题设条件知 1628 c += 得 12 c =此时 (3) 921,f c f c - =+==-+=，(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =- 18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分） 设函数 ，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方 程为x+y=1. （1）求a,b 的值； （2）求函数f(x)的最大值 （3）证明：f(x)< 1ne . 【答案】 【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln x e x 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分） 设定义在（0，+∞）上的函数1 ()(0)f x ax b a ax =++> （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3 2 y x = ，求,a b 的值。 【解析】（I ）（方法一）11 ()22f x ax b ax b b ax ax =++≥+=+ ， 当且仅当1 1()ax x a == 时，()f x 的最小值为2b +。 （II ）由题意得：313 (1)22 f a b a = ?++=， ① 2113 ()(1)2 f x a f a ax a ''=-?=-=， ② 由①②得：2,1a b ==-。 20.【2012高考江西文21】（本小题满分14分） 已知函数f(x)=（ax 2+bx+c ）e x 在[]0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0. （1）求a 的取值范围； （2）设g(x)= f(-x)- f ′(x)，求g(x)在[]0,1上的最大值和最小值。 【答案】 【解析】 21.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分) 设()ln 1f x x x =+-，证明： (Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 3 2 （ 1x -） (Ⅱ)当13x <<时，9(1) ()5 x f x x -<+ 【答案】 22.【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a ∈R ，函数3 ()42f x x ax a =-+ （1）求f(x)的单调区间 （2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0. 【答案】 【解析】（1）由题意得2 ()122f x x a '=-， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞. 当0a >时，()12()()66a a f x x x '=-+，此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ??-???? . (2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，33 ()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时，333 ()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2 33()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x 30,3?? ? ??? 3 3 3,13?? ? ??? 1 ()g x ' - 0 + ()g x 1 减 极小值 增 1 所以min 343()( )1039 g x g ==->. 当01x ≤≤时，3 2210x x -+>. 故3 ()24420f x a x x +-≥-+>. 23.【2012高考全国文21】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数ax x x x f ++= 23 3 1)( （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值。 24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分) 已知函数ln ()(e x x k f x k += 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间； (Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+. 【答案】(I)1 ln ()e x x k x f x --'=， 由已知，1(1)0e k f -'= =，∴1k =. (II)由(I)知，1 ln 1()e x x x f x --'=. 设1()ln 1k x x x = --，则211 ()0k x x x '=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<. 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. (III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立. 当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e x x x x g x x x x --= <--. 设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+. 综上，对任意0x >，2()1e g x -<+. 25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分） 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈ （1）设2n ≥，1, 1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12?? ??? 内存在唯一的零点； （2）设n 为偶数，(1)1f -≤，(1)1f ≤，求b+3c 的最小值和最大值； （3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围； 【答案】