2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含解析)

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

课标1理科数学

2017年全国1高考数学与2016全国1高考数学难度方面相对持平，在选择题和填空题方面难度有所提升，解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上，进行适度创新，尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础性的考查，同时加大了综合性、应用性和创新性的考查，如理科第2、3、10、11、12、16、19题，文科第2、4、9、12、19题.

1.体现新课标理念，重视对传统核心考点考查的同时，增加了对数学文化的考查，如理科第2题，文科第4题以中国古代的太极图为背景，考查几何概型.

2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求.

3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值，体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精神.如理科第6、10、13、15题，文科第5、12、13、16题对数形结合思想的考查；理科第11，文科第9题对函数与方程思想的考查；理科第12、16题对数学的科学与人文价值的考查.

4.体现了创新性，如理科第19题，文科第19题立意新、情景新、设问新，增强了学生数学应用意识和创新能力.

命题趋势：（1）函数与导数知识：以函数性质为基础，考查函数与不等式综合知识，如理科第5题，；以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题，如理科第11题；对含参单调性以及零点问题的考查，如理科21题，比较常规.

（2）三角函数与解三角形知识：对三角函数图像与性质的考查，如理科第9题；；对解三角形问题的考查，如理科第17题.重视对基础知识与运算能力的考查.

（3）数列知识：对数列性质的考查，如理科第4题；突出了数列与现实生活的联系，考查学生分析问题的能力，如理科第12题，难点较大.整体考查比较平稳，没有出现偏、怪的数列相关考点.

（4）立体几何知识：对立体几何图形的认识与考查，如理科第7题，试题难度不大，比较常规；对简单几何体的体积知识的考查，如理科第16题，用到函数知识进行解决，体现了综合性，难度较大，立体几何解答题的考查较常规，如理科对二面角的考查.

（5）解析几何知识：对圆锥曲线综合知识的考查，如理科第15题，难度偏大；解答题考查较为常规，考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度中等，重视对学生运算能力的考查.

【试卷解析】

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>

D ．A B =?

【答案】

A

2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A ．

14 B ．

π8 C ．12

D ．

π4

【答案】B 【解析】

试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2

a ，圆的面积为24

a π.由图形的对称

性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色

部分的概率是

2

21248

a a ππ?=，选B. 秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率

11

42

p <<，故选B. 【考点】几何概型

【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题

1p ：若复数z 满足1

z

∈R ，则z ∈R ；

2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；

3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；

4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

其中的真命题为 A.13,p p

B ．14,p p

C ．23,p p

D ．24

,p p

【答案】B

4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C 【解析】

试题分析：设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165

6615482

S a d a d ?=+

=+=，

联立11

2724

,61548a d a d +=??

+=?解得4d =，故选C.

秒杀解析：因为166346()

3()482

a a S a a +=

=+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 【考点】等差数列的基本量求解

【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若

m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.

5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-

B ．[1,1]-

C ．[0,4]

D ．[1,3]

【答案】

D

6．621

(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为 A ．15

B ．20

C ．30

D ．35

【答案】C 【解析】

试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x

+

+=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22

26115C x x ?=，6

2

1(1)x x

?+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ?=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理

【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好2

x 的

项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式

展开式中的r不同.

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为

2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】B

8．右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1

B．A>1 000和n=n+2

C．A≤1 000和n=n+1

D．A≤1 000和n=n+2

【答案】D

9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π

3

)，则下面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度，得

到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得

到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π

6

个单位长度，得

到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1

2

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12

个单位长度，得

到曲线C2 【答案】D 【解析】

试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则

222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+

=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12

倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移

12

π

个单位得到2C ，故选D. 【考点】三角函数图像变换.

【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sin cos(),cos sin()22

π

π

αααα=-

=+；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.

10．已知F 为抛物线C ：y 2

=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直

线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】A

2222||sin cos ()

2

p p

DE π

α

α=

=

-，所以

22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222

222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16

cos sin cos sin αααααααα

=++=++≥?+=

11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z

==，则

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

【答案】D

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20

，接下来的两项是20

，21

，再接下来的三项是20

，21

，22

，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440

B ．330

C ．220

D ．110

【答案】A

【解析】试题分析：由题意得，数列如下：

11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -

则该数列的前(1)

122

k k k ++++=

项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++??=+++++++=-- ???

要使

(1)

1002

k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k + 的部分和，即1

2122

21t t k -+=+++=- ，

所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时5

2329k =-=，

对应满足的最小条件为

2930

5440

2

N

?

=+=，故选A.

【考点】等差数列、等比数列的求和.

【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

【答案】

14．设x，y满足约束条件

21

21

x y

x y

x y

+≤

?

?

+≥-

?

?-≤

?

，则32

z x y

=-的最小值为 .

【答案】5

-

15．已知双曲线C：

22

22

1

x y

a b

-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C

的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

【答案】

3

【考点】双曲线的简单性质.

【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；

③双曲线的顶点到渐近线的距离是ab

c

.

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.

【答案】

【考点】简单几何体的体积

【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

2

3sin a

A

（1）求sin B sin C;

（2）若6cos B cos C=1，a=3，求△ABC的周长.

【考点】三角函数及其变换.

【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边

的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ω?=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值.

则cos ,||||?=

=<>n m n m n m ，

所以二面角A PB C --的余弦值为3

-

. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向

量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

2(,)N μσ．

（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得116i x =

，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2=0.09≈．

试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此

(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=.

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

20.（12分）

已知椭圆C ：22

22=1x y a b （a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；

（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.

（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，

如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t

，（t

，.

则121k k +=

=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2

214

x y +=得

222(41)8440k x kmx m +++-=

由题设可知22=16(41)0k m ?-+>.

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km

k -+，x 1x 2=224441

m k -+.

而121212

11

y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 121212

2(1)()

kx x m x x x x +-+=

.