多色集合在加工系统建模与分析时的应用

第35卷　第9期2001年9月

西　安　交　通　大　学　学　报

JOURNAL OF XI′AN J IAO TON G UN IV ERSITY

Vol.35　№9

Sep.2001

文章编号:0253-987X(2001)09Ο0926Ο04

多色集合在加工系统建模与分析时的应用

维?维?巴伏洛夫1,李宗斌2,高　峰2

(1.国立莫斯科斯坦基工业大学工艺设计自动化教研室;2.西安交通大学工程与科学研究院)

摘要:提出了多色集合、合取多色集合和析取多色集合的基本概念及其数学表达式.合取多色集合和析取多色集合是2种常见的多色集合的压缩形式,它们能使具体系统的建模得到简化.给出了对象性质和多色集合元素的逻辑表示方法,这样多色集合既能方便描绘加工系统及其元素,又很容易用于计算机编程.最后,举例指出了多色集合工具能被用来建立自动设计系统的不同数学模型之间的接口,有利于对加工系统进行深入描绘.研究表明,多色集合不仅能描绘加工系统的元素和加工系统整体的性质,还能描绘元素的性质和系统整体性质间不同的关系和联系.

关键词:多色集合;合取多色集合;析取多色集合;形式化表达

中图分类号:TP11　文献标识码:A

Application of the Polychromatic Sets for Modeling and Analysis

of Manufacturing System

V.V.Pavlov1,L i Zongbi n2,Gao Feng2

(1.Teaching and Research Section of Technology Design Automatization,Moscow State Universit y of Technology(Stankin),

Russia;2.The Academy of Engineering and Science,Xi′an Jiaotong University)

Abstract:The basic concepts of the polychromatic sets,the disjunction polychromatic sets,the con2 junction polychromatic sets and the mathematical formulas of the polychromatic sets,the disjunction polychromatic sets,the conjunction polychromatic sets are presented.The disjunction polychromatic sets and the conjunction polychromatic sets are two familiar constringent form of the polychromatic sets,by the disjunction polychromatic sets and the conjunction polychromatic sets modeling of actual system made simple.Also a logic expression of the elements for the object and colors for the polychro2 matic sets are given.In this way by the polychromatic sets manufacturing system and its elements are described expediently,and the polychromatic sets are programmed easily.Finally,building of interface among different mathematical models for automatic design system by the polychromatic sets is indicat2 ed with an example.The results obtained demonstrate that characters of whole manufacturing system and its elements can be described by the polychromatic sets,and different relations between characters of whole manufacturing system and its elements can be described by the polychromatic sets too.

K eyw ords:polychrom atic sets;disj unction polychrom atic sets;conj unction polychrom atic sets;f or2 m aliz ation ex pression

收稿日期:2000Ο11Ο08.　作者简介:V.V.Pavlov(1934～),男,教授.　基金项目:国家自然科学基金资助项目(59885005);机械制造系统工程国家重点实验室访问学者计划资助项目(教技司[1999]153号).

普通集合论数学工具的基本不足之处是在技术系统建模时不能描绘元素、子系统以及整个系统的性质[1],而使用多色集合(Polychromatic Sets,PS)时,即可排除这个不足之处[2～4].

1　多色集合的概念

在技术系统建模时,PS中颜色F i(a k)对应元素a k的第i个性质,而PS的统一颜色F j(A)对应整个系统的第j个性质.PS的元素组成为

A=(a1,…,a i,…,a n)(1) PS的统一着色为

F(A)=(F1,…,F j,…,F m)(2) PS由下列成分组成

PS=(A,F(a),F(A),[A×F(a)],

[A×F(A)],[A×A(F)])(3)

式中:F(a)为元素a k∈A的所有不同颜色的集合,是用元素a k的个人颜色F(a k)的集合来计算的.单个元素着色F(a k)颜色的组成,可以用布尔矩阵描绘如下

‖c k(j)‖A,F(a)=[A×F(a)](4)

如果F j∈F(a k),c k(j)=1.布尔矩阵

‖c i(j)‖A,F(A)=[A×F(A)](5)

描绘了元素a i∈A与统一颜色F(A)同名的个人颜色.布尔矩阵

‖c i(j)‖A,A(F)=[A×A(F)](6)

是统一颜色体的矩阵.PS元素的组成是颜色F j(A)的体A k(F j),当这些元素存在时,颜色F j(A)存在.

2　合取及析取多色集合

PS统一颜色的存在,是以它的元素确定的个人颜色的存在为前提的.如果统一颜色的体由几个元素组成,那么这样的多色集合就称为合取多色集合,并用P∧S表示;如果任何有着同名的个人颜色的单个元素是每个统一颜色的体,那么PS称为析取多色集合,并用P∨S表示.

可以证明,PS元素的任何颜色对F(A)中统一颜色存在的影响都可以用元素的同名颜色来表示[3],所以在解决PS的许多问题时,可以利用PS 的压缩形式,而不要成分F(a)和[A×F(a)].这时,合取多色集合可以表示成

P∧S=(A,F(A),[A×F(A)],[A×A(F)])

(7)

而析取多色集合可以表示成

P∨S=(A,F(A),[A×F(A)])(8)

用技术系统建模时,在很多场合没有必要研究系统和它的元素的所有性质,仅仅知道具体问题存在的性质就足够了.例如,图1列举了描绘零件加工工序和机床、刀具、夹具等工艺装备的P∧S.该P∧S的统一颜色对应于零件加工表面的形状,以及加工的精度和表面粗糙度.所有其他性质,如机床功率、切削速度和切削力及零件的轮廓尺寸,零件材料的牌号等等,在PS数学工具的帮助下,被表示成隐式的形式.在集合论并Ο交逻辑关系的帮助下,PS的数学工具能描绘元素和系统性质间不同的关系.

3　对象的性质和PS元素的逻辑表示方法

依赖于对象被描绘性质的质量特点和被解决问题的特征,可以用不同的方法转移从集合论到PS 颜色间的逻辑关系.

(1)如果仅仅研究对象A=(a1,…,a i,…,a n)中性质F j的属性,那么

F j=

1,如果F j∈F(A)

0,如果F j|F(A)

(9)

(2)如果性质F j(A)可以用一组参数m i∈M j 来说明,它的数值偏差ωi被公差带Δi所限制,那么

F j(A)=

1,如果Πm i∈M j(ωiΑΔi)

0,如果?m i∈M j(ωi\Δi≠<)

(10)

(3)如果性质F j(A)是数量值,它的绝对值不应该超出极限F j min和F j max,那么

F j(A)=

1,如果F j min<|F j(A)|≤F j max

0,如果在相反的情况

(11)

(4)类似PS的元素从集合论到逻辑表示的转变可以实现

a i=

1,如果a i∈A

0,如果a i|A

(12)

4　实例和分析

在图1a及图2b所示的P∧S中,对象

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第9期 维?维?巴伏洛夫,等:多色集合在加工系统建模与分析时的应用

A=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12)式中:a1～a5表示加工工序;a1为粗车;a2为精车; a3为粗铣;a4为精铣;a5为钻削;a6～a12表示工装设备;a6为车床;a7为铣床;a8为钻床;a9为车刀;a10为铣刀;a11为钻头;a12为机床夹具.P∧S的统一颜色F(A)=(F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9,F10)式中:F1～F4表示零件的加工表面;F1为平面或端面;F2为圆柱外表面;F3为成型面;F4为圆孔;F5、F6和F7分别表示7级、10级或11级的尺寸精度; F8、F9和F10分别表示R a0.8、R z25和R z50级的表面粗糙度.

4.1　系统体的组成

图1b统一颜色的体矩阵[A×A(F∧)]是利用逻辑关系的例子,单独的体不仅仅和单独的统一颜色有关,而且和同时被实现的颜色组有关.这样,图1模型中描绘被加工表面形状(F1～F4)的颜色要和相应的精度值(F5～F7)及其加工表面粗糙度(F8～F10)一起实现.这些同时被实现的颜色组为F∧11=F1∧F7∧F8,F∧21=F2∧F7∧F8

F∧31=F3∧F7∧F8,F∧12=F1∧F5∧F9

F∧22=F2∧F5∧F9,F∧32=F3∧F5∧F9

F∧13=F1∧F6∧F10,F∧23=F2∧F6∧F10

F∧33=F3∧F6∧F10,F∧41=F4∧F7∧F8

即这些颜色组列出了图1b布尔矩阵[A×A(F∧)]中体A(F ij)的组成.

4.2　PS的逻辑运算

为了方便计算机计算,仿真对象的所有性质都用统一布尔矢量空间的矢量来描绘

　FΒΠ(F(A);F(a i),i=1,2,…,n)(13)

这就允许用逻辑的运算来解决实际的问题.例如,在图1所示的P∧S中,在零件精铣时,加工表面F(A)′的组成和特征可以作为布尔矢量F(a4)、F(a7)、F(a10)和F(a12)的合取来进行计算

F=(F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9,F10) F(a4)=(1,0,1,0,1,1,0,0,1,1)

∧

F(a7)=(1,0,1,0,1,1,1,1,1,1)

∧

F(a10)=(1,0,1,0,1,1,1,1,1,1)∧

F(a12)=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)

F(A)′=(1,0,1,0,1,1,0,0,1,1)

着色F(A)或者F(a i)中PS颜色之间的关系可以用逻辑方程描述.在技术系统建模时,应该尽早确定每一个逻辑方程意思的说明,因为同样的方程允许不同意思的解释.有同样意思内容的逻辑方程,可能被表示成不同的形式,例如可以表示成析取的标准形式(Disjunction Standard Form,DSF),或者被表示成合取的标准形式(Conjunction Standard Frm, CSF).例如,在图1所示例子的模型中,加工表面的实现条件在CSF

形式下可用下列方程表示

(a)布尔矩阵[A×F(A)

]

(b)布尔矩阵[A×A(F∧)]

图1　零件机械加工工序和工装设备

F(A)=(F1∨F2∨F3∨F4)∧

(F5∨F6∨F7)∧(F8∨F9∨F10)

从上述意思的角度来讲,这个方程的具体意思是在系统中的表面F1、或者F2、或者F3、或者F4的加工是可能的,并且这些表面中的每一个都具有精度F5、F6或者F7,并具有表面粗糙度F8、F9或者F10.从该方程F(A)推出的方程F(a i)把元素a i 的工艺可能性具体化了.一般情况下,CSF方程可用

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公式描绘

F (A )=∧n

k =1∨m

k

i =1F i k (A )

(14)

式中:n 为颜色合取联系组的数目;m k 为在第k 组中析取联系颜色的数目.

但是,在CSF 方程中,很难考虑统一颜色组同时存在的限制,这些统一颜色决定了这些颜色体的可能组成.为了考虑这些限制,使用DSF 方程是比较方便的.考虑到矩阵[A ×A (F )]中体的组成,图1例子中加工表面的实现条件可以用DSF 方程来

描绘

F (A )=(F 1∧F 5∧F 9)∨(F 1∧F 6∧F 10)∨(F 1∧F 7∧F 8)∨(F 2∧F 5∧F 9)∨…∨

(F 3∧F 7∧F 8)

在一般形式下,析取标准形式方程可以用下式描绘

F (A )=∨n

k =1∧m

k

i =1F i k (A )

(15)

根据文献[5],无论是DSF 还是CSF ,逻辑变量之间关系的所有无量词形式是相当的,所以对于描绘着色F (A )和组成它的统一颜色之间的逻辑关系,应选择式(14)或者式(15).

PS 元素之间的关系也可进行以上所述的类似

描绘.从这个目的出发,集合论的量可以转化成

a i =

1,如果F (a i )ΑF Δ

(a )

0,如果F (a i )?

F Δ

(a )

(16)

在描绘图1所示系统不同工序工艺装备的可能组成时,可以利用方程

A =[((a 1∨a 2)∧a 6∧a 9)∨((a 3∨a 4)∧

a 7∧a 10)∨(a 5∧a 8∧a 11)]∧a 12

这个方程可以变换成DSF 形式,或者CSF 形式.例如在DSF 形式时,方程将有

A =(a 1∧a 6∧a 9∧a 12)∨(a 2∧a 6∧a 9∧

a 12)∨…∨(a 5∧a 8∧a 11∧a 12)

4.3　不同数学模型之间的相互联系

PS 工具可以用来建立自动设计系统的不同数

学模型之间的接口.例如,在选择工序和工装设备时,必须计算该k 工序的工作量,这样的计算可以按指数公式进行

t k =A t

∏n

i =1

m

αi

i

(17)

式中:A t 为比例系数;m i 为反映加工零件和加工系

统元素结构工艺性质的量;αi 为幂指数

[6]

.引入下列参数:m 1为加工表面的直径;m 2为长度;m 3为

加工余量;m 4为进给量;m 5为相同表面的数量;

m 6为零件材料系数;m 7为刀具材料系数;m 8为零

件材料强度;m 9为机床操作工的级别.参数m i 的幂指数αi =F i .计算工作量公式的集合F 等于图1布尔矩阵中加工形式的数目,即

T =(t 1=a 1,t 2=a 2,t 3=a 3,

t 4=a 4,t 5=a 5)

图2b 、式(17)和图1所示加工系统元素的相互联系可以用[T ×A ]表示,

系数A t 的数值由图

2c 给出,对应参数m i

的αi 数值在图2d 中给出.图1加工系统模型[A ×F (A ]和计算机械加工工序工作量模型成分之间的相互联系在图2a 中给出.

(a )不同数学模型之间的相互联系

(b )布尔矩阵

(c )系数A t 的数值 (d )数值矩阵　

图2　加工系统模型的相互联系和机械加工工序工作量的计算

5　结　论

(1)PS 这一信息处理工具不仅能被用来描绘组

成加工系统中元素的性质,还能描绘加工系统整体的性质.

(2)在具体加工系统建模和分析时,可以使用P ∧S 或者P ∨

S .它们是PS 的压缩形式,是2种常见的PS.在具体系统建模时,只需知道具体问题存在的性质就可以了,因此PS 的数学工具能描绘元

(下转第986页)

9

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(编辑　管咏梅)

(上接第929页)

素的性质和系统整体性质间不同的关系和联系.

(3)对象的性质和PS元素可以用不同的方法从集合论转移到PS颜色间的逻辑关系,所以可很方便地用PS的信息工具进行描绘,PS的方法也便于计算机编程.

(4)PS信息工具能被用来建立自动设计系统的不同数学模型之间的接口,这对描绘加工系统是很方便的.

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(编辑　管咏梅)

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