解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
解直角三角形（仰角俯角坡度问题）
1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为
A. 40
D. 160
答案：D
解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。
BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。
2、（2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．
x
x
ED=x=4
x=2
=2
3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（）
A．12 B．4米C．5米D．6米
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，
∴则AC=BC×=6，
∴AB===12．
故选A．
点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
m
=25
5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠=
，则该山坡的高BC 的长为_____米。
答案：100
解析：BC=AB ·sin30°=
1
2
AB=100m 6、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 750 米．
=375
（米）
．
7、（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）
A．m B．m C．m D m
【答案】A
【解析】依题得：AC＝100，∠ABC＝30°，tan30°＝
AC
BC
，BC A。
8、（2013?牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是
∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=3米．
×=3（米）
．
9、（2013?钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）
BAH=，
BH=
，
BG=AH+AE=5+15
CG=BG=5
AE=15．
+15+515≈
10、（13年安徽省10分、19）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450，若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）
11、（2013?白银）某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌BCEF （如图所示），已知立杆AB的高度是3米，从侧面D点测到路况警示牌顶端C点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC的值．
．
﹣
12、（2013?衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）
中，
×，
+1.5
13、（2013甘肃兰州24）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：，，结果保留整数．）
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=0.2m．由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．在Rt△MFC
中，由tan∠MCF=，得出=，解方程求出x的值，则MN=ME+EN．
解答：解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，
则EF=AB﹣CD=1.7﹣1.5=0.2（m），
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，
∴AE=ME．
设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28﹣x）m．
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，
∴MF=CF?tan∠MCF，
∴x+0.2=（28﹣x），
解得x≈10.0，
∴MN=ME+EN≈10+1.7≈12米．
答：旗杆MN的高度约为12米．
点评：本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．
14、（2013?毕节地区）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.732）
BC=EC=x BC=3x
AC=AB+BC=73.2+
=
x=3x
73.2+
3+
））
15、（2013?六盘水）阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ
tan（α±β）=
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan（45°﹣30°）
===
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据
，）
××
解直角三角形(坡度、坡角)
解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1，则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1：3 的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ．．40.33 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡度i 等于（ ）． A ．35 B ．45 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ．．3m D ．◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD ，背水坡CD 的坡比i=1?已知背水坡的坡长CD=24m ，求背水坡的坡角α及拦水坝的高度． 解：过D 作DE ⊥BC 于E ． ∵该斜边的坡度为1， 则tan α α=30°， 在Rt △DCE 中，DE ⊥BC ，DC=24m ． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m ）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m ． 点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业
●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离 AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?≈1.73） 1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2， 2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图 4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．米 B． C．米 D．6米 5、为了灌溉农田，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2m，下底宽为2m，坡度为1：0.6的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出的土堆在两旁，使土堤的高度比原来增加了0.6m，如图所示，求：（1）渠面宽EF；（2）修400m长的渠道需挖的土方数． 6、一勘测人员从A点出发，沿坡角为30°的坡面以5km/h的速度行到点D，?用了10min，然后沿坡角为45°的坡面以2.5km/h的速度到达山顶C，用了12min，?求山高及A，B两点间的距离（精确到0.1km）． 7、某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3） ●体验中考
解直角三角形(仰角,俯角)
解直角三角形 学习目标 1、探索直角三角形中锐角的三角函数值与 三边之间的关系，掌握三角函数定义。 2、掌握特殊角的三角函数值，并会进行有 关特殊角的三角函数值的计算。 3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边 角关系解决实际问题，提高数学建模能力。 重点：合理构造直角三角形、解直角三角形 实际应用。 难点：如何理解题意对实际问题建立模型解 题。 教学过程： 一、知识梳理： （一）锐角三角函数 1.三角函数的定义: (1)正弦 (2)余弦 . (3)正切 2.特殊角的三角函数值 （二）直角三角形中的边角关系
1.三边之间的关系 2.两锐角之间的关系 3.边角之间的关系 （三）解直角三角形的应用：仰角和俯角二、例题 例题: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） C
例1如图，直升飞机在跨江大桥AB 的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO . 三、变式训练 变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两
端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO . 变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
解直角三角形的应用(坡度、坡角等)
《解直角三角形的应用》 教学设计 米 玲 玲 霍州市三中
《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计 教学目标 1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决。 2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。 3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。 4.通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度． 教学重点 理解坡度和坡角的概念． 教学难点 利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题． 教师准备 幻灯片、三角板 学生准备 预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读” 教学过程 一、导入新课 在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。 二、明确目标 学生齐读学习目标 学习目标： 1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决． 2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。 3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
重点、难点 1.利用坡度、坡角解直角三角形； 2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。 三、自学检查 小组活动：互相检查导学案“温故互查”和“设问导读”两部分内容。 发现问题和疑问，教师及时指导，师生共同解决。 四、新知梳理 学生齐读 知识点：坡角与坡度(坡比) 概念：如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡 比)，记作i，即i＝h l .坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角， 记作α，有i＝h l ＝tanα. 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。 五、自学检测 1.一段坡面坡角为0 60，则坡度i=_______。 2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000米，则他升高了________米。 A B.500 C.D.1000 3.一水库迎水坡坡度i=1，则该坡坡角α=_______。 4.随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图所示，你能求出DC的长吗？（结果保留根号）
2013中考全国100份试卷分类汇编 解直角三角形(仰角俯角坡度问题)
2013中考全国100份试卷分类汇编解直角三角形（仰角俯角坡度问题） 1、（德阳市2013年）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为 A. 40 D. 160 答案：D 解析：过A作AD⊥BC于D，则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120。 BC＝BD＋CD＝120tan30°＋120tan60°＝D。 2、（2013?衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）． AD=
x ﹣ ， 3、（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB 的长为（） A．12 B．4米C．5米D．6米 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度． 解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：， ∴则AC=BC×=6， ∴AB===12． 故选A． 点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 4、（2013?宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB、CD分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC的长是50m，则水库大坝的高度h是（）
m 5、（2013成都市）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角BAC 30∠= ，则该山坡的高BC 的长为_____米。 答案：100 解析：BC=AB ·sin30°= 1 2 AB=100m 6、（2013?十堰）如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 750 米．
解直角三角形-仰角俯角教案
解直角三角形-仰角俯角教案
解直角三角形——仰角、俯角 一．教学目标 1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习仰角与俯角。 二．教学重难点： 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 三、教学设计： 1、复习回顾 （1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 （2）解直角三角形会用到的理论知识是：直角三角形的三边关系既勾股定理、边角关系既锐角三角函数、两锐角关系既锐角互余。 （2）已知，在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=156，b=56，解这个直角三角形。 解：在Rt △ABC 中，∠C=90° ∴512)56()156(2222=+=+=b a c ∵2 1sin == c a A
∴∠A=30° ∴∠B=90-∠A=60° 答： 2、新课讲授 （1）仰角、俯角概念：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 例1 如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 解：在Rt △ABC 中， ∵) (4.1020.117.917.922tan 7.22tan tan m CD AE AE BE AB DB CE AE ≈+=+=+=∴≈??=?=?=αα 答：电线杆的高度约为10.4米。 例2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角a ＝16゜31′，求飞机A 到控制点B 的距离.（精确到1米） 图
解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
利用三角函数测高导学案 姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在 同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处 测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥， 有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处 向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？
4、5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m参考数据：3≈1.732） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
利用仰俯角解直角三角形-人教版九年级数学下册优秀教案设计
28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一 座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN
中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33 ，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看 到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD . 解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度． 解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30× 33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33 ＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得 河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)? 解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．
解直角三角形 仰角俯角教案
解直角三角形——仰角、俯角 一．教学目标 1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。 2、学会运用三角函数解直角三角形。 3、掌握解直角三角形的几种情况。 4、学习仰角与俯角。 二．教学重难点： 重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。 难点：运用三角函数解直角三角形。 三、教学设计： 1、复习回顾 （1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。 （2）解直角三角形会用到的理论知识是：直角三角形的三边关系既勾股定理、边角关系既锐角三角函数、两锐角关系既锐角互余。 （2）已知，在Rt ?ABC 中，∠C=90°，a=156，b=56，解这个直角三角形。 解：在Rt △ABC 中，∠C=90° ∴512)56()156(2222=+=+=b a c ∵2 1sin == c a A
∴∠A=30° ∴∠B=90-∠A=60° 答： 2、新课讲授 （1）仰角、俯角概念：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 例1 如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处， 用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 解：在Rt △ABC 中， ∵) (4.1020.117.917.922tan 7.22tan tan m CD AE AE BE AB DB CE AE ≈+=+=+=∴≈??=?=?=αα 答：电线杆的高度约为10.4米。 例2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角a ＝16゜31′，求飞机A 到控制点B 的距离.（精确到1米） 图
24.4.3解直角三角形(坡度与坡比)
页眉内容 24.4.3 .解直角三角形（坡度与坡角） 教学目标：回运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题。重点：解决有关坡度的实际问题。 难点：理解坡度的有关术语。 教学过程 一、导入新课，出示目标 导语：复习回顾 板书课题：解直角三角形（坡度与坡角） 下面大家齐读一下这节课的学习目标： 二次备课 二、设置提纲，引导自学 自学指导 自学范围：课本第115,116页。 自学时间：3分钟 自学方法：独立看书，独立思考。 自学要求：1.知道坡比概念以及和坡角的关系。 2.完成例4。 3.记住读一读。 自学检测 问题一： 1、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为； 2、一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了 _米． 3、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB 的坡度是（）． A 1： 3 B 1： 2.6 C 1： 2.4 D 1：2 65
页眉内容 4 、如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）． A 1: B 3: C 1:3 D 3:1 三、合作探究一 1、什么叫坡度？ 坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。 2、什么叫坡角？ 坡角是斜坡与水平线的夹角 3、坡角和坡度什么关系？ 坡角与坡度之间的关系是： i＝ h l =tan a 坡度i越大，坡角 就越大，坡面就越陡。 合作探究二 例4、如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m) 四、课堂练习 1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高 23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度 i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m） （2）斜坡CD的坡角α。（精确到1°） 10 10 3 图24.4.5
解直角三角形坡度问题 .doc
嵩县实验中学九年级数学导学案主编：张彩芹第张 班级： _____姓名：_____组别：_____组长评：_____教师评：_____ 25.3 解直角三角形——坡度、坡角 学习目标：（1）了解坡度 . 坡角的意义。 （2）会用直角三角形知识解决有关坡度的实际问题。 （3）体会转化的思想。积极参与，激情展示，精彩点评。 预习案：请同学们阅读课本“ 25.3 解直角三角形”例 4 前的“读一 读”及例 4 的内容，思考并填空： 如图 1，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面 的 h ,坡度通常写成1：m 的形式，如 i=1:6 ，，记作 i，即i l h 坡面与水平面的夹角叫做.记作，有 i 就越 tan ，显然，坡度越大，坡角 l 大，坡面就越陡。 试一试： 1、小明沿着坡度为1： 2 的山坡向上走了1000m,则他升高了（）（ A）200 5m（ B）500m（ C）500 3m （D）1000m 2、如图，一水库迎水坡AB 的坡度 i=1： 3 ，则该坡的坡角= 自学检测： 1. 如图2，某防洪指挥部发现长江边一处长500 米，高 10 米，背水坡的坡角为45°的防江大堤（横断面为梯 形ABCD ）急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制定 的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡EF 的坡比i=1： 3 。（1）求加固后坝底 增加的宽度AF ； （ 2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
班级： _____姓名：_____组别：_____组长评：_____教师评：_____ 2.如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC 宽为 6m，坝高为 23m，斜坡 AB 的坡度 i=1： 3 斜边 CD 的坡度 i、=1： 1，求斜坡 AB 的长，坡角和坝底宽 AD （结果保留根号） 达标检测： 1、如图 1，某人沿坡度i=1 ：399 的山路向上前进200 米，他升高了米。 2、如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板 AB 的长为 4 米，点 D、B、C 在同一水平地面上。 （1）改善后滑滑板会加长多少米？ （2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板 的前方有 6 米，长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由（参 考数据：2 1.414，3 1.732 ，以上结果均保留到小数点后两位） 能力提升 3、庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡 山脚 C 处出发，以 20 米 /分钟的速度攀登，同时，李强从南坡 山脚 B 处出发，如图，已知小山北坡的坡度i=1： 3 ，山坡 长为 240 米，南坡的坡角是45°。问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A ？（将山路 AB 、 AC 看成线段，结果保留根号）
仰角和俯角的概念和解直角三角形
仰角和俯角的概念和解直角三角形教学设计 大同市南郊区实验中学任淑君 教学目标 一、知识技能 1、比较熟练的应用仰角和俯角的概念和解直角三角形的知识解决实际问题。 2、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。 二、过程与方法 1、在课堂中渗透数形结合的数学思想，使学生感受生活中处处有数学。 2、让学生相互探讨，能仰角和俯角的概念和解直角三角形解决实际问题。 三、情感、态度和价值观 1、让学生积极参与数学活动，培养兴趣，养成善于思考问题的习惯。 2、在数学中获得成功的体验，树立自信心。 3、渗透数学来源于生活又服务于生活的观点，培养学生生活中应用数学的意识 教学重点： 1、理解仰角、俯角的概念。 2、要求学生善于把仰角、俯角有关的实际问题中数量关系归结为直角三角形元素之间的关 系，从而利用仰角和俯角的概念和解直角三角形的知识来解决。 教学难点： 1、理解仰角、俯角的概念。 2、把仰角、俯角的实际问题转化为数学模型 3、把数学模型转化为解直角三角形问题 教学过程： 一、引入新课 仰角、俯角的概念
二、探究讨论 例热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为300，看这栋楼的底部的俯角为600，热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高？（结果取整数）？ 分析我们知道视线与水平线所成 的角中，视线在水平上方的是仰 角.如图: α=300 视线在水平线下方的是俯角，β=600 在Rt△ABD中，α=300，AD=120m，所以可以利用 解直角三角形的知识求出BD,类似地可以求出CD;进而求出BC 解题过程略 三、练习 从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21゜，此时帆船距灯塔有多远（结果取整数）？ 四、作业 习题28.2第3题 五、小结 谈谈本微课的收获，你学到了什么？ 六、反思 解此实际问题时要注意两个转化：一是将实际问题转化为数学模型；二是将数学模型转化为解直角三角形问题，当图中没有直角三角形时，通过作垂线把问题转化为解直角三角形问题。
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
姓名: 一、相关定义 二、典型题型 1、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）． 2、某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB 的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由． 3、如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？ 4、 5、
6、同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽12m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=3 1：，斜坡CD的坡度i=1∶3，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到参考数据：3≈） 7、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2． （1）求加固后坝底增加的宽度AF的长； （2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
解直角三角形 测试题 与 答案汇总
解直角三角形测试题与答案 一．选择题（共12小题） 1．（2014?义乌市）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（） 2．（2014?巴中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） 3．（2014?凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（） AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（） 米 m 看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（） ）米）米6+2 段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）
km 8．（2014?路北区二模）如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为（） 9．（2014?长宁区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（） 12．（2014?邢台一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（） 二．填空题（共6小题） 13．（2014?济宁）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB的长为_________． 14．（2014?徐汇区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么∠A 的正切值为_________． 15．（2014?虹口区一模）计算：cos45°+sin260°=_________． 16．（2014?武威模拟）某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是_________米．
《解直角三角形与斜坡坡度在实际生活中的应用》教学设计
解直角三角形与斜坡坡度在实际生活中的应用 教学过程： 一、知识回顾
二、新课 1、坡角、坡度的概念，坡角与坡度之间的关系 2、
一、例题讲解 1、如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 的长为__米．,第1题图),第2题图)2．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1∶3，坝高BC ＝10m ，则坡面AB 的长度是()A ．15m B ．203m C ．103m D ．20m 3．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上 相邻两棵树的坡面距离是()A ．3m B ．35m C ．12m D .6m 4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i 1＝1∶3，坝外斜坡的坡度i 2＝1∶1， 则两个坡角的和为()A ．90°B ．60°C ．75°D ．105° 二、课堂练习 1．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为() A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米,第2题图) 2．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ， 为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是__cm . 3．如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 50°≈1.20) 3、 （以上的1、2、3教师主讲，抽学生回答） （抽学生上黑板做，其余学生在练习本上做，老师行距 辅导，及时发现问题）
解直角三角形的应用----仰角与俯角
七十九团中学公开课教学设计 教学设计基本信息 姓名田贺云科目数学 所用教书 书名人民教育出版 社数学九年级 下 时间2017.4.7 所教年级九年级 所教册次、 单元 九年级下第三单元 设计主题解直角三角形的应用----仰角、俯角 1.整体设计思路、指导依据说明 采用“复习引入—出示问题—学生探究—练习及总结”的方法, 总体思路是旧知让学生复习, 问题让学生解决, 规律让学生探究, 练习及总结让学生做。 2.教材分析 锐角三角函数是在直角三角形的基础上加以定义的, 在学习概念之后又用于解直角三角形, 不仅是知识的循环, 还突显出三角函数在实际测量中的重要作用, 在把实际问题转化为数学问题之后, 就是运用解直角三角形的知识来解决的. 本节课内容就是介绍解直角三角形的知识, 是三角函数知识运用的最基础的部分. 3.学情分析 本节课学生是在学习了锐角三角函数之后来学习的，本节课利用复习、问题，激活学生原有的知识，为本课的学习作知识预备。 4、教学目标分析
知识目标：了解仰角、俯角概念，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题．帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决． 能力目标：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数学建模及方程思想和方法，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系． 情感与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识，同时激发学生对自己家乡的热爱之情及自豪感，更好的激励学习． 5、教学重点难点 1．重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题． 2．难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型． 6、教学方法 引导探索 现学生的主体地位。 7、教学准备 PPT ，照片 8.教学过程设计 一、复习旧知, 导入新课 1. 在三角形中共有几个元素? 2. Rt △ABC (∠C=90°)中, 除了直角外, 还有几个元素? 3. a, b, c, ∠A,∠B 这5个元素中有哪些等量关系呢? 分类: 三边之间关系: a 2+b 2=________(勾股定理) 锐角之间关系: ∠A+∠B=________(互余) 边角之间关系: sinA=________, cosA=________, tanA=________, 有了这些关系, 在直角三角形中, 除直角外的五个元素中, 已知其中两个, 是否可以求出另外三个元素呢? 4、（1）若AC=2 ，BC=2 A C B
解直角三角形(坡度、坡角)
解直角三角形(坡度、坡角)
解直角三角形（坡度、坡角）第七-九课时 ◆随堂检测 1、某斜坡的坡度为i=1 则该斜坡的坡角为______度． 2、以下对坡度的描述正确的是（ ）． A ．坡度是指斜坡与水平线夹角的度数; B ．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比; C ．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比; D ．坡度是指倾斜角的度数 3、某人沿坡度为i=1：3的山路行了20m ，则该人升高了（ ）． A ． ．40 .33 m C D 4、斜坡长为100m ，它的垂直高度为60m ，则坡 度i 等于（ ）． A ．35 B ．4 5 C ．1：43 D ．1：0.75 5、在坡度为1：1.5的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为6m ，?则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）． A ．4m B ． ．3m D ．
◆典例分析 水库拦水坝的横断面为梯形ABCD，背水坡 CD的坡比i=1：3，?已知背水坡的坡长 CD=24m，求背水坡的坡角α及拦水坝的高 度． 解：过D作DE⊥BC于E． ∵该斜边的坡度为1：3， ，∴α=30°， 则tanα= 3 在Rt△DCE中，DE⊥BC， DC=24m． ∴∠DCE=30°，∴DE=12（m）． 故背水坡的坡角为30°，拦水坝的高度为12m．点评：本题的关键是弄清坡度、坡角的概念，坡度和坡角的关系：坡度就是坡角的正切值，通过做高构造直角三角形，再利用三角函数值求出坡角即可. ◆课下作业 ●拓展提高 1、如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，?要求相邻两棵树间的水平距离
AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为_______m（精确到0．1m）． （?可能用到的数据2≈1.41，3≈1.73）1题图 2如图，防洪大堤的横断面是梯形， 坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，2题图 则斜坡AB的长为_______米． 3、如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地砖，?地毯的长度至少需________米（精确到0.1米）． 3题图4题图 4、如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（） A．25米 B．210米 C．45米
学年九年级数学上册 4.4 解直角三角形的应用(第1课时)仰角 俯角问题教案 (新版)湘教版
解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边 A A ∠∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度 AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′， 求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
初中数学九年级下册利用方位角、坡度解直角三角形(教案)教学设计
28.2.2 应用举例 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形 教学目标： 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点) 教学过程： 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l ＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A 、B 两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高 速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)． 解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函数用PC 表
示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区． 解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°.∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33 PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126.8km ＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步 伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数) 解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD .在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD .又由AD －BD ＝500，从而解得CD . 解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝
《利用仰俯角解直角三角形》教案
28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点 ) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一 座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN ＝tan30°，求出x 的值即可． 解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，则x －（1.6－0.1）PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt △CPN
中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33 ，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 7题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看 到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°. 若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD . 解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △ AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度． 解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30× 33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33 ＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得 河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，则河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2 ≈1.41，3≈1.73)? 解析：在Rt △ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝