北京市朝阳区2013-2014学年度九年级数学第一学期期中十校联考试卷(含答案)

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北京市朝阳区2013-2014学年度九年级数学第一学期期中十校联考试卷(含答案)

北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中十校联考九年级数学

试卷

一、选择题(32分)

1.下列各图中,是中心对称图形的是图( )

2. 如图,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠C =15°,则∠BOC =( ).

A .60°

B .45°

C .30°

D .15° 3.已知两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则这两圆的位置关系是 ( ) A .外离 B .外切 C .相交 D .内切

4.圆锥的母线长是3,底面半径是1,则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为( ) A .90° B .120°

C .150°

D .180°

5.如图,AC 与BD 相交于点E ,AD BC .若:1:2AE EC =,则

:AED

CEbB

S

S

为( )

A

B .1:2

C .1:3

D .1:4

6.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,DE ∥BC , 若AD ∶DB =3∶2,AE =6,则EC 的长是 . 7.已知0a <

,那么2|a 可化简为( )

A .a -

B .a

C .3a -

D .3a 8. 已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 中点, 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A , 另一只小蚂

蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ,它们所爬行的最短路线的痕迹

如右图所示. 若沿OA 剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( )

二、填空题(16分)

9.已知PA ,PB 分别切⊙O 于点A 、B ,60P ∠=,8PA =,那么弦AB 的长是 . 10.圆锥的母线长为3,底面半径为2,则它的侧面积为

E

D

C

B

A

O B (A )C O

A

B

O A B (A )C O A B (A )C A B (A )

C

C (A )B A O B A

D C

B

A E

11. 如果两个相似三角形的相似比是2:3,那么这两个相似三角形的面积比是 . 12.如图,菱形ABCD 中,AB =2 ,∠C =60°,我们把菱形ABCD 的对称中心O 称作菱形的中心.菱形

ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个

顶点旋转60°叫一次操作,则经过1次这样的操作

菱形中心O 所经过的路径长为 ;经过3n (n 为正整数)次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 .(结果都保留π) 三、解答题

13.计算:tan 30cos 60tan 45sin 30.?-???+?

14.在如图所示的平面直角坐标系中,△OAB 的三个顶点坐标分别为O(0,0),A(1,-3),B(3,-2).

(1)将△OAB 绕原点O 逆时针旋转90°,画出旋转后的△OA’ B’; (2)求出点B 到点B’ 所走过的路径的长.

15.随着人们节能意识的增强,节能产品的销售量逐年增加.某地区高效节能灯的年销售量2009年为10万只,预计2011年将达到14.4万只.求该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率.

16.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的直线

(第14题)

A

l

与AB 的延长线交于点P ,∠COB =2∠PCB . (1)求证:PC 是⊙O 的切线;

(2)点M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N , 若MN · MC =8,求⊙O 的直径.

17.如图,正方形ABCD 中,点F 在边BC 上,E 在边BA

的延长线上, DCF △按顺时针方向旋转后能与DAE △重合.

(1)旋转中心是点 ;最少旋转了 度; (2)若3,2AE BF ==,求四边形BFDE 的面积.

18.△ABC 内接于⊙O ,∠BAC =120°,AB =AC =4,求⊙O 的直径.

19.如图,在△ABC 中,120,C ∠=?,4AC BC AB ==,半圆的圆心O 在AB 上,且与AC ,BC 分别相切于点D ,E . (1)求半圆O 的半径;

(2)求图中阴影部分的面积.

20. 如图,AB 为⊙O 的直径,AD 与⊙O 相切于点A DE

,与⊙O 相切于点E ,点C 为DE 延长线上一点,且

C

B

C

D

C

F B

.CE CB =

(1)求证:BC 为⊙O 的切线;

(2

)若2AB AD ==,求线段BC 长.

21、已知△ABC 的面积为a ,O 、D 分别是边AC 、BC 的中点.

(1)画图:在图1中将点D 绕点O 旋转180?得到点E , 连接AE 、CE . 填空:四边形ADCE 的面积为 ;

(2)在(1)的条件下,若F 1是AB 的中点,F 2是AF 1的中点, F 3是AF 2的中点,…,

F n 是AF n -1的中点 (n 为大于1的整数), 则△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .

解: (1)画图:

图1

填空:四边形ADCE 的面积为

.

(2)△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .

22.已知关于x 的一元二次方程2

2

(21)0x m x m m --+-= . (1)证明不论m 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;

(2)若0≠m ,设方程的两个实数根分别为1x ,2x (其中1x >2x ), 若y 是关于m 的函数,且1

2

1x x y -=,结合函数的图象回答:当自变量m 的取值满足什么条件时,y ≤2.

23. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8),

sin ∠CAB =4

5, E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC

于点F ,连结CE .

(1)求AC 和OA 的长;

(2)设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式;

(3)在(2)的条件下试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出

此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.

24. 以坐标原点为圆心,1为半径的圆分别交x ,y 轴的正半轴于点A ,B . (1)如图一,动点P 从点A 处出发,沿x 轴向右匀速运动,与此同时,动点Q 从点B 处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q 的运动速度比点P 的运动速度慢,经过1秒后点P 运动到点(2,0),此时PQ 恰好是O 的切线,连接OQ . 求QOP ∠的大小;

(2)若点Q 按照(1)中的方向和速度继续运动,点P 停留在点(2,0)处不动,求点Q 再经过5秒后直线PQ 被O 截得的弦长.

25.抛物线2

3y ax bx a =+-经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求此抛物线的解析式;

(2)已知点D (m ,-m -1)在第四象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点D ′的坐标; (3)在(2)的条件下,连结BD ,问在x 轴上是否存在点P ,使∠PCB =∠CBD .若存在, 请求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

图一

图二(备用图)

北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中十校联考初三数学

试卷答案及评分标准 1、D 2、C 3、A 4、B 5、D 6、A 7、B 8、A 9、8 10、6∏ 11、(0,-3) (2,-3) 12、

13、解:(1)如右图所示, 画图正确 …………………3分

(2)∵

OB=13,…………………………………

4分

180n R π==. ………… 5分 答:点B 到点B’ 所走过的路径长为

π2

13

. 14、

解:设该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为x . ………….1分

依据题意,列出方程 ()2

10114.4x += …2分 化简整理,得: ()21 1.44x +=,

解这个方程,得 1 1.2x +=±, ∴ 120.2, 2.2x x ==-.

∵ 该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数. ∴ 2.2x =-舍去.

∴ 0.2x =. ……….4分

答:该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%. ….5分 15、解:(1)由题意得,

??

?

??-=++==+-21

10c b a c c b a …………………………………………………………… 1分 解得a =3,b = -6,c =1. ………………… 2分 ∴ 这个二次函数的解析式是1632+-=x x y .……… 3分

(用顶点式求解析式同理给分)

(2)顶点坐标是(1,-2) .…………………………… 5分

16、解:(1)D ;90?. …………………………….…………………………….2分

(2)DCF DEA △

旋转后恰好与△重合,

3

π

(第13题)

O

C

B

A

DCF DAE ∴??≌.

3,2AE CF BF ∴===又. 5BC BF CF ∴=+=.

AED BFDE ABFD S S S ?∴=+四边形四边形

DCF ABFD S S ?=+四边形 ABCD S =正方形

2BC = 25=

………………………….5分

17、1/2

18、解:连结OA ,OB .

∵∠BAC =120°,AB =AC =4,

∴∠CBA =∠C =30°. ………2分 ∴ ∠O =60° …3分 ∵OB =OA ,

∴△OAB 是等边三角形. ……4分 ∴OB =OA =4.

则⊙O 的直径是8. 19、(1) y

= x 2

-4x

+3

= x 2

-4x

+4-4+3 ………………………… 1分 = (x -2) 2

-1. ………………………………… 2分

(2) 如右图所示,画图正确 ……………………… 4分

(3) 当1<x <3时,y <0. ……………………… 5分

20、(1)解:连结OD ,OE ,OC ,

∵半圆与AC ,BC 分别相切于点D ,E . ∴OD AC ⊥,且DCO ECO ∠=∠. ∵AC BC =,

∴CO AB ⊥且O 是AB

的中点.

(第19题)

B F

∴1

22

AO AB =

=. ∵120C ∠=?,∴

∠∴30A ∠=?.

∴在R t AOD △中,1

12

OD AO ==.

即半圆的半径为1. …………….3分

(2)设CO =x ,则在R t AOC △中,因为30A ∠=?,所以AC =2x ,由勾股定理得: 222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得 x =

x =舍去)

∴ 11422ABC S AB OC =

?=?=

△.……….…………………………….4分 ∵ 半圆的半径为1, ∴ 半圆的面积为

2

π

,

∴ . …………………………….…………….5分 21、(1)连接OE OC , .

CB CE OB OE OC OC ===,,,

()OBC OEC SSS ∴△≌△, OBC OEC ∴∠=∠.……………1分 又

DE 与O ⊙相切于点E ,

90OEC ∴∠=°.…………2分 90OBC ∴∠=°.

BC ∴为O ⊙的切线.……………3分

(2)过点D 作DF BC ⊥于点F ,则四边形ABFD 是矩形. ∵AD ,DC ,BC 分别切O ⊙于点A E B ,,, DA DE CE CB ∴==,.……………………4分 设BC 为x ,则22CF x DC x =-=+,. 在Rt DFC △中,()()(2

2

2

22.x x +--=

解得 5

2

x =

. ∴ BC =………………………………5分

22、(1)解:如图一,连结AQ .

2S π=-=

阴影

由题意可知:OQ =OA =1. ∵OP =2,

∴A 为OP 的中点.

∵PQ 与O 相切于点Q ,

∴OQP △为直角三角形. …………1分 ∴1

12

AQ OP OQ OA ==== . …………2分

即ΔOAQ 为等边三角形.

∴∠QOP =60°. …………3分

(2)解:由(1)可知点Q 运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°,若Q 按照(1)中的方向和速度继续运动,那么再过5秒,则Q 点落在O 与y 轴负半轴的交点的位置(如图二).设直线PQ 与O 的交点为D ,过O 作OC ⊥QD 于点C ,则C 为QD 的中点.

…………4分 ∵∠QOP =90°,OQ =1,OP =2,

∴QP

=. …………5分 ∵11

22

OQ OP QP OC ?=?, ∴OC

. …………6分 ∵OC ⊥QD ,OQ =1,OC

∴QC

23、解:(1)由题意有22

[(21)]4()1m m m ?=----=>0.

∴ 不论m 取何值时,方程总有两个不相等的实数根. ………2分 (2)方程的两个实数根分别为1x ,2x (其中1x >2x ), 解关于

x 的一元二次方程

22(21)0x m x m m --+-=可得

1x m =,

图二图一

21x m =-. ……3分

m

m m x x y 111112=--=-

=. ……4分 在平面直角坐标系中画出m

y 1

=与y =2的图象. …………5分 由图象可得,当m ≥

2

1

或m <0时,y ≤2.…7分 24、解:(1)因AB =AC 且∠BAC=60°,故将△ABM 绕点A 逆时针旋转60?得△ACN , 则△ABM ≌△ACN ,(如图10)………………1分 ∴ ∠BAM =∠CAN ,∠ABM =∠ACN ,AM =AN ,BM =CN . ∵ 四边形ABMC 内接于⊙O , ∴ ∠ABM +∠ACM =180?. ∴ ∠ACN +∠ACM =180?.

∴ M ,C ,N 三点共线.……………………2分 ∵ ∠BAM =∠CAN ,

∴ ∠BAM +∠MAC =∠CAN +∠MAC =60?,

即∠MAN =60?. …………………………3分 ∵ AM =AN ,

∴ △AMN 是等边三角形……………………4分 ∴

AM =MN =MC +CN =MC +BM =2+1=3. …………5分

(2)AM

)b a -

或)b a +.……………7分 25、解:(1)∵ 抛物线2

3y ax bx a =+-经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,

∴ 30,

3 3.

a b a a --=??

-=-?

解得 1,

2.a b =??

=-?

∴ 抛物线的解析式为2

2 3.y x x =-- …………2分

(2)∵ 点D (m ,-m -1)在抛物线上,

∴ 212 3.m m m --=--

解得,1 2.m m =-=或 ∵D 点在第四象限,

2.m ∴=

D ∴点坐标为(2,3-).

由题意,B 点坐标为(3,0). .OB OC ∴= 45.OCB ∴∠=? 而90,OCD ∠=?

.BC OCD ∴∠平分

∴D 点关于BC 的对称点在y 轴上,设为点'D .

由'2CD CD ==可得 '

D 的坐标为(0,-1)…5分

(3)满足条件的P 点有两个.

① 过点C 作1CP ∥BD ,交x 轴于点1P . 则1

PCB CBD ∠=∠. 可求直线BC 的解析式为39y x =-. ∵ 直线1CP 过点C ,

∴ 可求直线1CP 的解析式为33y x =-. ∴ 点1P 的坐标为(1,0).

② 连结'

BD ,过点C 作2CP ∥'

BD ,交x 轴于点2P . ∴ '2D BC P CB ∠=∠.

由对称性可知'D BC DBC ∠=∠. ∴ 2P CB CBD ∠=∠. 可求直线'BD 的解析式为1

13

y x =

-. ∵ 直线2CP 过点C ,

∴ 可求直线2CP 的解析式为1

33

y x =

-.

P的坐标为(9,0).

∴点

2

综上,符合题意的P点坐标为(1,0)或(9,0). ……8分

说明:本试卷中的试题都只给出了一种解法,对于其他解法请参照评分标准相应给分.

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