北京市朝阳区2013-2014学年度九年级数学第一学期期中十校联考试卷(含答案)
北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中十校联考九年级数学
试卷
一、选择题(32分)
1.下列各图中,是中心对称图形的是图( )
2. 如图,AB 为⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,若∠C =15°,则∠BOC =( ).
A .60°
B .45°
C .30°
D .15° 3.已知两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则这两圆的位置关系是 ( ) A .外离 B .外切 C .相交 D .内切
4.圆锥的母线长是3,底面半径是1,则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为( ) A .90° B .120°
C .150°
D .180°
5.如图,AC 与BD 相交于点E ,AD BC .若:1:2AE EC =,则
:AED
CEbB
S
S
为( )
A
.
B .1:2
C .1:3
D .1:4
6.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,DE ∥BC , 若AD ∶DB =3∶2,AE =6,则EC 的长是 . 7.已知0a <
,那么2|a 可化简为( )
A .a -
B .a
C .3a -
D .3a 8. 已知O 为圆锥顶点, OA 、OB 为圆锥的母线, C 为OB 中点, 一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A , 另一只小蚂
蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ,它们所爬行的最短路线的痕迹
如右图所示. 若沿OA 剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( )
二、填空题(16分)
9.已知PA ,PB 分别切⊙O 于点A 、B ,60P ∠=,8PA =,那么弦AB 的长是 . 10.圆锥的母线长为3,底面半径为2,则它的侧面积为
E
D
C
B
A
O B (A )C O
A
B
O A B (A )C O A B (A )C A B (A )
C
C (A )B A O B A
D C
B
A E
11. 如果两个相似三角形的相似比是2:3,那么这两个相似三角形的面积比是 . 12.如图,菱形ABCD 中,AB =2 ,∠C =60°,我们把菱形ABCD 的对称中心O 称作菱形的中心.菱形
ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个
顶点旋转60°叫一次操作,则经过1次这样的操作
菱形中心O 所经过的路径长为 ;经过3n (n 为正整数)次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 .(结果都保留π) 三、解答题
13.计算:tan 30cos 60tan 45sin 30.?-???+?
14.在如图所示的平面直角坐标系中,△OAB 的三个顶点坐标分别为O(0,0),A(1,-3),B(3,-2).
(1)将△OAB 绕原点O 逆时针旋转90°,画出旋转后的△OA’ B’; (2)求出点B 到点B’ 所走过的路径的长.
15.随着人们节能意识的增强,节能产品的销售量逐年增加.某地区高效节能灯的年销售量2009年为10万只,预计2011年将达到14.4万只.求该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率.
16.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的直线
(第14题)
A
l
与AB 的延长线交于点P ,∠COB =2∠PCB . (1)求证:PC 是⊙O 的切线;
(2)点M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N , 若MN · MC =8,求⊙O 的直径.
17.如图,正方形ABCD 中,点F 在边BC 上,E 在边BA
的延长线上, DCF △按顺时针方向旋转后能与DAE △重合.
(1)旋转中心是点 ;最少旋转了 度; (2)若3,2AE BF ==,求四边形BFDE 的面积.
18.△ABC 内接于⊙O ,∠BAC =120°,AB =AC =4,求⊙O 的直径.
19.如图,在△ABC 中,120,C ∠=?,4AC BC AB ==,半圆的圆心O 在AB 上,且与AC ,BC 分别相切于点D ,E . (1)求半圆O 的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
20. 如图,AB 为⊙O 的直径,AD 与⊙O 相切于点A DE
,与⊙O 相切于点E ,点C 为DE 延长线上一点,且
C
B
C
D
C
F B
.CE CB =
(1)求证:BC 为⊙O 的切线;
(2
)若2AB AD ==,求线段BC 长.
21、已知△ABC 的面积为a ,O 、D 分别是边AC 、BC 的中点.
(1)画图:在图1中将点D 绕点O 旋转180?得到点E , 连接AE 、CE . 填空:四边形ADCE 的面积为 ;
(2)在(1)的条件下,若F 1是AB 的中点,F 2是AF 1的中点, F 3是AF 2的中点,…,
F n 是AF n -1的中点 (n 为大于1的整数), 则△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .
解: (1)画图:
图1
填空:四边形ADCE 的面积为
.
(2)△F 2CE 的面积为 ; △F n CE 的面积为 .
22.已知关于x 的一元二次方程2
2
(21)0x m x m m --+-= . (1)证明不论m 取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若0≠m ,设方程的两个实数根分别为1x ,2x (其中1x >2x ), 若y 是关于m 的函数,且1
2
1x x y -=,结合函数的图象回答:当自变量m 的取值满足什么条件时,y ≤2.
23. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8),
sin ∠CAB =4
5, E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC
于点F ,连结CE .
(1)求AC 和OA 的长;
(2)设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出
此时点E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.
24. 以坐标原点为圆心,1为半径的圆分别交x ,y 轴的正半轴于点A ,B . (1)如图一,动点P 从点A 处出发,沿x 轴向右匀速运动,与此同时,动点Q 从点B 处出发,沿圆周按顺时针方向匀速运动.若点Q 的运动速度比点P 的运动速度慢,经过1秒后点P 运动到点(2,0),此时PQ 恰好是O 的切线,连接OQ . 求QOP ∠的大小;
(2)若点Q 按照(1)中的方向和速度继续运动,点P 停留在点(2,0)处不动,求点Q 再经过5秒后直线PQ 被O 截得的弦长.
25.抛物线2
3y ax bx a =+-经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,与x 轴交于另一点B . (1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点D (m ,-m -1)在第四象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点D ′的坐标; (3)在(2)的条件下,连结BD ,问在x 轴上是否存在点P ,使∠PCB =∠CBD .若存在, 请求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
图一
图二(备用图)
北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中十校联考初三数学
试卷答案及评分标准 1、D 2、C 3、A 4、B 5、D 6、A 7、B 8、A 9、8 10、6∏ 11、(0,-3) (2,-3) 12、
13、解:(1)如右图所示, 画图正确 …………………3分
(2)∵
OB=13,…………………………………
4分
∴
180n R π==. ………… 5分 答:点B 到点B’ 所走过的路径长为
π2
13
. 14、
解:设该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为x . ………….1分
依据题意,列出方程 ()2
10114.4x += …2分 化简整理,得: ()21 1.44x +=,
解这个方程,得 1 1.2x +=±, ∴ 120.2, 2.2x x ==-.
∵ 该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数. ∴ 2.2x =-舍去.
∴ 0.2x =. ……….4分
答:该地区2009年到2011年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%. ….5分 15、解:(1)由题意得,
??
?
??-=++==+-21
10c b a c c b a …………………………………………………………… 1分 解得a =3,b = -6,c =1. ………………… 2分 ∴ 这个二次函数的解析式是1632+-=x x y .……… 3分
(用顶点式求解析式同理给分)
(2)顶点坐标是(1,-2) .…………………………… 5分
16、解:(1)D ;90?. …………………………….…………………………….2分
(2)DCF DEA △
旋转后恰好与△重合,
3
π
(第13题)
O
C
B
A
DCF DAE ∴??≌.
3,2AE CF BF ∴===又. 5BC BF CF ∴=+=.
AED BFDE ABFD S S S ?∴=+四边形四边形
DCF ABFD S S ?=+四边形 ABCD S =正方形
2BC = 25=
………………………….5分
17、1/2
18、解:连结OA ,OB .
∵∠BAC =120°,AB =AC =4,
∴∠CBA =∠C =30°. ………2分 ∴ ∠O =60° …3分 ∵OB =OA ,
∴△OAB 是等边三角形. ……4分 ∴OB =OA =4.
则⊙O 的直径是8. 19、(1) y
= x 2
-4x
+3
= x 2
-4x
+4-4+3 ………………………… 1分 = (x -2) 2
-1. ………………………………… 2分
(2) 如右图所示,画图正确 ……………………… 4分
(3) 当1<x <3时,y <0. ……………………… 5分
20、(1)解:连结OD ,OE ,OC ,
∵半圆与AC ,BC 分别相切于点D ,E . ∴OD AC ⊥,且DCO ECO ∠=∠. ∵AC BC =,
∴CO AB ⊥且O 是AB
的中点.
(第19题)
B F
∴1
22
AO AB =
=. ∵120C ∠=?,∴
∠∴30A ∠=?.
∴在R t AOD △中,1
12
OD AO ==.
即半圆的半径为1. …………….3分
(2)设CO =x ,则在R t AOC △中,因为30A ∠=?,所以AC =2x ,由勾股定理得: 222AC OC AO -= 即 222(2)2x x -= 解得 x =
x =舍去)
∴ 11422ABC S AB OC =
?=?=
△.……….…………………………….4分 ∵ 半圆的半径为1, ∴ 半圆的面积为
2
π
,
∴ . …………………………….…………….5分 21、(1)连接OE OC , .
CB CE OB OE OC OC ===,,,
()OBC OEC SSS ∴△≌△, OBC OEC ∴∠=∠.……………1分 又
DE 与O ⊙相切于点E ,
90OEC ∴∠=°.…………2分 90OBC ∴∠=°.
BC ∴为O ⊙的切线.……………3分
(2)过点D 作DF BC ⊥于点F ,则四边形ABFD 是矩形. ∵AD ,DC ,BC 分别切O ⊙于点A E B ,,, DA DE CE CB ∴==,.……………………4分 设BC 为x ,则22CF x DC x =-=+,. 在Rt DFC △中,()()(2
2
2
22.x x +--=
解得 5
2
x =
. ∴ BC =………………………………5分
22、(1)解:如图一,连结AQ .
2S π=-=
阴影
由题意可知:OQ =OA =1. ∵OP =2,
∴A 为OP 的中点.
∵PQ 与O 相切于点Q ,
∴OQP △为直角三角形. …………1分 ∴1
12
AQ OP OQ OA ==== . …………2分
即ΔOAQ 为等边三角形.
∴∠QOP =60°. …………3分
(2)解:由(1)可知点Q 运动1秒时经过的弧长所对的圆心角为30°,若Q 按照(1)中的方向和速度继续运动,那么再过5秒,则Q 点落在O 与y 轴负半轴的交点的位置(如图二).设直线PQ 与O 的交点为D ,过O 作OC ⊥QD 于点C ,则C 为QD 的中点.
…………4分 ∵∠QOP =90°,OQ =1,OP =2,
∴QP
=. …………5分 ∵11
22
OQ OP QP OC ?=?, ∴OC
. …………6分 ∵OC ⊥QD ,OQ =1,OC
∴QC
23、解:(1)由题意有22
[(21)]4()1m m m ?=----=>0.
∴ 不论m 取何值时,方程总有两个不相等的实数根. ………2分 (2)方程的两个实数根分别为1x ,2x (其中1x >2x ), 解关于
x 的一元二次方程
22(21)0x m x m m --+-=可得
1x m =,
图二图一
21x m =-. ……3分
m
m m x x y 111112=--=-
=. ……4分 在平面直角坐标系中画出m
y 1
=与y =2的图象. …………5分 由图象可得,当m ≥
2
1
或m <0时,y ≤2.…7分 24、解:(1)因AB =AC 且∠BAC=60°,故将△ABM 绕点A 逆时针旋转60?得△ACN , 则△ABM ≌△ACN ,(如图10)………………1分 ∴ ∠BAM =∠CAN ,∠ABM =∠ACN ,AM =AN ,BM =CN . ∵ 四边形ABMC 内接于⊙O , ∴ ∠ABM +∠ACM =180?. ∴ ∠ACN +∠ACM =180?.
∴ M ,C ,N 三点共线.……………………2分 ∵ ∠BAM =∠CAN ,
∴ ∠BAM +∠MAC =∠CAN +∠MAC =60?,
即∠MAN =60?. …………………………3分 ∵ AM =AN ,
∴ △AMN 是等边三角形……………………4分 ∴
AM =MN =MC +CN =MC +BM =2+1=3. …………5分
(2)AM
)b a -
或)b a +.……………7分 25、解:(1)∵ 抛物线2
3y ax bx a =+-经过A (-1,0)、C (0,-3)两点,
∴ 30,
3 3.
a b a a --=??
-=-?
解得 1,
2.a b =??
=-?
∴ 抛物线的解析式为2
2 3.y x x =-- …………2分
(2)∵ 点D (m ,-m -1)在抛物线上,
∴ 212 3.m m m --=--
解得,1 2.m m =-=或 ∵D 点在第四象限,
2.m ∴=
D ∴点坐标为(2,3-).
由题意,B 点坐标为(3,0). .OB OC ∴= 45.OCB ∴∠=? 而90,OCD ∠=?
.BC OCD ∴∠平分
∴D 点关于BC 的对称点在y 轴上,设为点'D .
由'2CD CD ==可得 '
D 的坐标为(0,-1)…5分
(3)满足条件的P 点有两个.
① 过点C 作1CP ∥BD ,交x 轴于点1P . 则1
PCB CBD ∠=∠. 可求直线BC 的解析式为39y x =-. ∵ 直线1CP 过点C ,
∴ 可求直线1CP 的解析式为33y x =-. ∴ 点1P 的坐标为(1,0).
② 连结'
BD ,过点C 作2CP ∥'
BD ,交x 轴于点2P . ∴ '2D BC P CB ∠=∠.
由对称性可知'D BC DBC ∠=∠. ∴ 2P CB CBD ∠=∠. 可求直线'BD 的解析式为1
13
y x =
-. ∵ 直线2CP 过点C ,
∴ 可求直线2CP 的解析式为1
33
y x =
-.
P的坐标为(9,0).
∴点
2
综上,符合题意的P点坐标为(1,0)或(9,0). ……8分
说明:本试卷中的试题都只给出了一种解法,对于其他解法请参照评分标准相应给分.