万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律应用的12种典型案例

【案例1】天体的质量与密度的估算

下列哪一组数据能够估算出地球的质量

A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离

B.地球表面的重力加速度与地球的半径

C.绕地球运行卫星的周期与线速度

D.地球表面卫星的周期与地球的密度

解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。

设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r

根据万有引力定律：

r T

4m r Mm G 22

2π=……①得： 2

3

2GT r 4M π=……②可见A 正确 而T r 2v π=……由②③知C 正确

对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3R 4M 3π=

ρ……⑤结合②④⑤得： G 3T 2π=ρ 可见D 错误

地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2

R Mm

G mg =得：G g R M 2=可见B 正确

【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。

【案例2】普通卫星的运动问题

我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？

解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律

由开普勒第三定律T

2正比r 3知：“风云二号”卫星的轨道半

径较大 又根据牛顿万有引力定律r v m ma r

Mm G 22==得： 2r M G a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r GM

v =，可见“风云一号”卫星的线速度大，

“风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。

【探讨评价】由万有引力定律得：2M a G r =，GM v r =，3GM

r ω=，

3

2r T GM π=得：

⑴所有运动学量量都是r 的函数。我们应该建立函数的思想。

⑵运动学量v 、a 、ω、f 随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。

⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s ，运动周期不小于85min 。

⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。

【案例3】同步卫星的运动

下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：

A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h

C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上

D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

解析：本题考察地球同步卫星的特点及其规律。

同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h ，角速度ω一定

根据万有引力定律r T

4m r mM G 222π=得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故B 正确，C 错误。

不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A 错误。 由r v m ma r Mm G 22==知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大

小一定。

故正确答案是：B 、D

【探讨评价】通讯卫星即地球同步通讯卫星，它的特点是：与地球自转周期相同，角速度相同；与地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，绕地球做匀速圆周运动；线速度、向心加速度大小相同。

三颗同步卫星就能覆盖地球。

【案例4】“双星”问题

天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离

比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。设

双星的质量分别是m 1、m 2，星球球心间距为L 。

问：

⑴两星体各做什么运动？

O m 2

m 1 r 1 r 2

⑵两星的轨道半径各多大？⑶两星的速度各多大？

解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律

⑴由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。因此它们只能做匀速圆周运动。

⑵由牛顿定律22212122

1r m r m L m m G ω=ω=……① 得：1

221

m m r r = 又L r r 21=+……② 解得：L m m m r L m m m r 21122121+=+=……③

⑶由①得：)m m (L G m L r Gm r v 21221211+==ω=

)m m (L G m L r Gm r v 21122122+==

ω= 【探讨评价】双星的特点就是距离一定，它们间只存在相互作用的引力，引力又一定，从而加速度大小就是一个定值，这样的运动只能是匀速圆周运动。这个结论很重要。同时利用对称性，巧妙解题，找到结论的规律，搞清结论的和谐美与对称美对我们以后的学习也很有帮助。

【案例5】“两星”问题

如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地

球卫星。设它们运行的周期分别是T 1、T 2，(T 1＜T 2)，

且某时刻两卫星相距最近。问：

⑴两卫星再次相距最近的时间是多少？

地

⑵两卫星相距最远的时间是多少？

解析：本题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及其卫星的运动规律

⑴依题意，T 1＜T 2，周期大的轨道半径大，故外层轨道运动的卫星运行一周的时间长。设经过△t 两星再次相距最近 则它们运行的角度之差πφ2=?……①

π=π-π2t T 2t T 2:21即 ……② 解得：1221T T T T t -=

⑵两卫星相距最远时，它们运行的角度之差()πφ12+=?k ……

③

()π+=π-π1k 2t T 2t T 2:2

1即……④ k=0.1.2…… 解得：1221T T T T 21k 2t -?+=……⑤ k=0.1.2……

【探讨评价】曲线运动求解时间，常用公式φ=ωt ；通过作图，搞清它们转动的角度关系，以及终边相同的角，是解决这类问题的关键。

【案例6】同步卫星的发射问题

发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆

形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运

行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3

运行。设轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切

于P 点，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，

⑴比较卫星经过轨道1、2上的Q 点的加速度的大小；以及地P Q v v v 2/ v

1 2 3

卫星经过轨道2、3上的P 点的加速度的大小

⑵设卫星在轨道1、3上的速度大小为v 1、v 3 ，在椭圆轨道上Q 、P 点的速度大小分别是v 2、v 2/，比较四个速度的大小 解析：同步卫星的发射有两种方法，本题提供了同步卫星的一种发射方法，并考察了卫星在不同轨道上运动的特点。 ⑴根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由于地球吸引卫星的引力产生的。即：ma r Mm G 2

=可见 卫星在轨道2、3上经过P 点的加速度大小相等；

卫星在轨道1、2上经过Q 点的加速度大小也相等；但P 点的加速度小于Q 点的加速度。

⑵1、3轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力做匀速圆周运动 由r v m r Mm G 22=得：r GM

v =

可见：v 1＞v 3

由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，近地点Q 速度大，远地点速度小，即：v 2＞v 2/

卫星由近地轨道向椭圆轨道运动以及由椭圆轨道向同步轨道运动的过程中，引力小于向心力， r v m r Mm G 2

2=，卫星做离

心运动，因此随着轨道半径r 增大，卫星运动速度增大，它做加速运动，可见：v 2＞v 1，v 3＞v 2/

因此：v 2＞v 1＞v 3＞v 2/

【探讨评价】卫星运动的加速度是由地球对卫星的引力提供的，所以研究加速度首先应考虑牛顿第二定律；卫星向外轨道运行时，做离心运动，半径增大，速度必须增大，只能做加速运动。

同步卫星是怎样发射的呢？

通过上面的例题及教材学习，我们知道：同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先发射到近地轨道，然后再加速进入椭圆轨道，再加速进入地球的同步轨道。

【案例7】 “连续群”与“卫星群”

土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一部分，即土星的“连续群”，还是土星的“卫星群”，可以通过测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断：

A 、 若v ∝R ，则该层是土星的连续群

B 、 若v 2

∝R ，则该层是土星的卫星群

C 、 若R 1v ∝，则该层是土星的连续群

D 、 若R 1

v 2∝，则该层是土星的卫星群

解析：本题考察连续物与分离物的特点与规律

⑴该环若是土星的连续群，则它与土星有共同的自转角速度，

R v ω=，因此v ∝R ⑵该环若是土星的卫星群，由万有引力定律R v m R

Mm G 22=得： R 1v 2∝

故A 、D 正确

【探讨评价】土星也在自转，能分清环是土星上的连带物，还是土星的卫星，搞清运用的物理规律，是解题的关键。同时也要注意，卫星不一定都是同步卫星。

【案例8】宇宙空间站上的“完全失重”问题

假定宇宙空间站绕地球做匀速圆周运动，则在空间站上，下列实验不能做成的是：

A 、天平称物体的质量

B 、用弹簧秤测物体的重量

C 、用测力计测力

D 、用水银气压计测飞船上密闭仓内的气体压强

E 、用单摆测定重力加速度

F 、用打点计时器验证机械能守恒定律

解析：本题考察了宇宙空间站上的“完全失重”现象。 宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时，地球对飞船的引力提供了向心加速ma r Mm G 2=，可见2

r M G a =……① 对于飞船上的物体，设F 为“视重”，根据牛顿第二定律

得：

a m F r

Mm G /2/

=-……② 解得：F=0，这就是完全失重

在完全失重状态下，引力方向上物体受的弹力等于零，物体的重力等于引力，因此只有C 、F 实验可以进行。其它的实验都不能进行。

【探讨评价】当物体的加速度等于重力加速度时，引力方向上物体受的弹力等于零，但物体的重力并不等于零；在卫星上或宇宙空间站上人可以做机械运动，但不能测定物体的重力。

【案例9】黑洞问题

“黑洞”问题是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊的天体。它的密度很大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时，也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动。根据天文观察，银河系中心可能有一个黑洞，距离可能黑洞为6.0×1012m 远的星体正以2.0×106m/s 的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少？（保留一位有效数字） 解析：本题考察“黑洞”的基本知识，这是一道信息题。

黑洞做为一种特殊的天体，一直受到人们广泛的关注,种种迹象表明,它确实存在于人的视野之外。黑洞之黑，就在于光子也逃不出它的引力约束。光子绕黑洞做匀速圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径。设光子的质量为m ，黑洞的质量为M ，黑洞的最大可能半径为R ，光子的速度为c

根据牛顿定律R

c m R Mm G 2

2=……①得： 对银河系中的星体,设它的质量为m /,它也在绕黑洞旋转, 因此

r v m r Mm G 22=……②

由①②解得：m 103r c

v R 822?≈= 【探讨评价】通过上面的数据分析我们知道，黑洞是一种特殊的天体，它的质量、半径都很大，因此它对周围星体的引力特别大，任何物质（包括光子）都将被它吸入，这就是“黑洞”命名的缘由。黑洞是否真正存在，其运动特点和规律到底怎么样，同学们可以上网查资料，充分考查研究。希望同学们将来成为真正的宇宙探秘科学家。

我们要认真学习课本的阅读材料，能用中学物理知识分析解决科技中的问题。

【案例10】宇宙膨胀问题

在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G 在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比较，⑴公转半径如何变化？⑵公转周期如何变化？⑶公转线速度如何变化？要求写出必要的推理依据和推理过程。

解析：这也是一道信息题，主要考察同学们运用万有引力

定律推理分析的能力。

所提供的信息就是“引力常量在缓慢地减小”。在漫长的宇宙演变过程中，由于“G ”在减小，地球所受的引力在变化，故地球公转的半径、周期速度都在发生变化。即地球不再做匀速圆周运动。但由于G 减小的非常缓慢，故在较短的时间内，可以认为地球仍做匀速圆周运动——引力提供向

心力。

设M 为太阳的质量，m 为地球的质量，r 为地球公转的

半径，T 为地球公转的周期，v 为地球公转的速率。 ⑴根据

r v m r Mm G 22=得：

G ↓→2r Mm G F =引↓→r v m r Mm G 2

2=→地球做离心运动→轨道半

径r ↑→星球间距增大→宇宙膨胀→很久以前地球公转半径比现在要小。

⑵根据r T 4m r mM G 222π=得：GM r 4T 32π=

G ↓、r ↑→T ↑→很久以前地球公转周期比现在要小 ⑶根据：r v m r Mm G 2

2=知：r GM

v =

G ↓、r ↑→v ↓→很久以前地球公转的速率比现在要大

【探讨评价】本题是根据信息推理论证题。既然要求写出推理依据以及推理过程，这就要求我们充分利用“引力提供向心加速度”的重要规律，了解信息，明确规律，搞清变量，严密推理。

【案例11】月球开发问题

科学探测表明，月球上至少存在氧、硅、铝、铁等丰富的矿产资源。设想人类开发月球，不断地月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采以后，月球和地球仍看做均匀球体，月球仍然在开采前的轨道运动，请问：

⑴地球与月球的引力怎么变化？

⑵月球绕地球运动的周期怎么变化？

⑶月球绕地球运动的速率怎么变化？

解析：本题主要考察数学在天文学上的应用。 ⑴由万有引力定律2

r Mm G F =结合数学知识得： Mm 2m M ≥+

2m M Mm +≤，当m=M 时，积Mm 最大。

可见M 、m 相差越大，积越小，而r 一定，故F 就越小 ⑵由r T 4m r mM G 222π=得：GM r 4T 32π=

G 、r 一定，M 增大，T 减小 ⑶由r v m r Mm G 2

2=知：r GM

v =

G 、r 一定，M 增大，v 增大

【探讨评价】这也是一道信息题。了解题目信息，明确变量，充分利用数学上求极值的几种方法去思考问题，利用函数的思想去解决问题，这种方法十分重要。

【案例12】“宇宙飞船”及能量问题

宇宙飞船要与正在轨道上运行的空间站对接。⑴飞地球

船为了追上轨道空间站，应采取什么措施？⑵飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，重力势能如何变化？动能如何变化？机械能又如何变化？

解析：本题主要考察飞船运行过程中的能量问题。 ⑴根据r v m r Mm G 2

2=知：在同一运行轨道上，宇宙飞船与轨道空

间站的运行速率是相同的，它不可能追上轨道空间站。 当飞船在较小的轨道上运行时满足：1221

r v m r Mm G = 当飞船在较小的轨道上加速运动．．．．时，1221r v m r Mm G =

随着速度增大，飞船将做离心运动，运行轨道半径增大，逐渐靠近外层轨道r 2才能追上飞船。

可见飞船为了追上轨道空间站，应该从较低的轨道上加速运行。

⑵飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，需要制动减．．．速．

，其运动的轨道半径逐渐减小。 由于轨道变化比较慢，制动的阻力又在切线方向,阻力引起的速度的变化很小，所以仍然满足r GM v =

，可见，飞船的动

能增加；

由于飞船离地的高度逐渐降低，因此飞船的重力势能减小； 由于飞船需要克服大气阻力和制动力做功，因此飞船的机械能减小。

【探讨评价】宇宙飞船在空间轨道上运动，是靠地球的引

力产生向心加速度维持的，轨道一定，则速率一定。要想往外轨道运动，必须加速，使它做离心运动；要想往内轨道运动，必须减速，使它做向心运动。研究飞船的能量问题，既要从功的角度去考虑，又要从实际出发去研究，必须抓住矛盾的主要方面去分析。

万有引力在天文学上的运用还很多，这里不再一一研究。不论什么问题，只要我们认真审题，明确物体运动的物理图景,知道物体的状态参量,搞清运用的物理规律，勇于探索，善于总结规律，就一定能学好高中物理。