2015-2016学年北京各区县高一第一学期期末数学试卷及答案
海淀区高一年级第一学期期末练习
数 学 2016.1
学校 班级 姓名 成绩
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一.选择题:本大题共8小题,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合A ={x |-1≤x <2 } ,B ={x |x ≥1 },则A ∩B= ( )
A. (1,2)
B. [-1,2)
C. [-1,1]
D. [-1,2)
2.
的值为 ( )
A. 1
B. -1
C. 0
D.
3. 若α 是第二象限的角,P(x ,6)为其终边上的一点,且
,则x = ( )
A. -4
B. ±4
C. -8
D. ±8
4. 化简 ( )
A. cos200
B. -cos200
C. ±cos200
D.±|cos200 |
5. 已知A (1,2),B (3,7),a =(x ,-1),
∥a ,则 ( )
A. x =
,且与a 方向相同 B. x =
,且与a 方向相同
C.
x = ,且
与a 方向相反
D. x = ,且
与a 方向相反
6. 已知函数:① y = tan x ,② y = sin| x |,③ y = | sin x |,④ y = | cos x |,其中周期为π,且在(0,
2
)上单调递增的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④
7.先把函数y = cos x 的图像上所有点向右平移 个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原
来的
倍 (纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为 ( )
A. y = cos( 2x +)
B. y = cos( 2x -)
C. y = cos(
x +) D. y = cos(
x -)
8. 若m 是函数f (x) =
的一个零点,且x 1∈(0,m ),x 2∈(m ,+∞),则f (x 1),
f (x 2), f (m )的大小关系为 ( )
A. f (x 1) < f (m ) < f (x 2)
B. f (m ) < f (x 2) < f (x 1)
C. f (m ) < f (x 1) < f (x 2)
D. f (x 2) < f (m ) < f (x 1)
二.填空题:本大题共6小题,每空4分,共24分. 把答案填写在题中横线上. 9. 若2log y x >1,则x 的取值范围是_____________.
10. 若函数f (x) = x 2+3x -4在x ∈[-1,3]上的最大值和最小值分别为M ,N ,
则M+N= .
11. 若向量a = (2,1),b = (1,-2),且m a + n b = (5,-5) (m ,n ∈R ),
则m -n 的值为 .
12. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,
若 (λ,μ∈R),则λ+μ= .
13.若函数f (x ) = sin(ωx +φ) (其中ω>0) 在(0,)上单调递增,且f () + f () = 0,
f (0) = -1,则ω= _____________.
14. 已知函数y = f (x ),若对于任意x ∈R ,f (2x ) = 2f (x )恒成立,则称函数y = f (x )具有性质P ,
(1) 若函数f (x ) 具有性质P ,且f (4) = 8,则f (1) = _____________;
(2) 若函数f (x ) 具有性质P ,且在 (1,2]上的解析式为y = cos x ,那么y = f (x )在
(1,8]上有且仅有___________个零点.
三.解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本题满分12分)
已知二次函数f (x) = x2+mx-3的两个零点为-1和n,
(Ⅰ) 求m,n的值;
(Ⅱ) 若f (3) = f (2a-3),求a的值.
16. (本题满分12分)
已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,函数f (x) =2x-1
(Ⅰ) 求当x<0时,f (x)的解析式;
(Ⅱ) 若f (a) ≤3,求a的取值范围.
17. (本题满分12分)
已知函数f (x ) = 2sin(2x -
).
(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程; (Ⅱ) 当x ∈[0,2
π
]时,求函数f (x ) 的最大值与最小值.
18. (本题满分8分)
如果f (x )是定义在R 上的函数,且对任意的x ∈R ,均有f (-x ) ≠-f (x ), 则称该函数是“X-函数”.
(Ⅰ) 分别判断下列函数:①2x y =;②y = x +1; ③y = x 2 +2x -3是否为“X-函数”?
(直接写出结论)
(Ⅱ) 若函数f (x ) = sin x + cos x + a 是“X-函数”,求实数a 的取值范围;
(Ⅲ) 已知f (x ) =
是“X-函数”,且在R 上单调递增,
求所有可能的集合A 与B
海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案 2016.1
数 学
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.
1.D
2.B
3. C
4.A
5.D
6.B
7.B
8.D
8.分析:
因为m 是()22x f x =
+的一个零点,
则m 220x
+=的一个解,
即m 22x
=-的一个解,
所以m 是函数()g x =
()22x h x =-图象的一个交点的横坐标,
如图所示,若()()120,,,x m x m ∈∈+∞, 则222()g()h()0(m)f x x x f =-<=, 111()g()h()0(m)f x x x f =->=, 所以2()f x <()f m <1()f x .
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分, 第14题每空2分.
9. (2,)+∞ 10.
394 11. 2- 12. 3
4
13. 2 14. 2;3 14.分析: (1)(2分)因为函数()y f x =具有性质P , 所以对于任意x R ∈,(2)2()f x f x =恒成立,
所以(4)(22)2(2)2(21)4(1)f f f f f =?==?=,因为(4)8f =,所以(1)2f =. (2)(2分)若函数()y f x =具有性质P ,且在(1,2]上的解析式为cos y x =, 则函数()y f x =在(2,4]上的解析式为2cos
2x y =,在(4,8]上的解析式为4cos 4
x
y =, 所以()y f x =在(1,8]上有且仅有3个零点,分别是
,,22
π
ππ.
三、解答题: 本大题共4小题,共44分.
15.解:(Ⅰ)因为二次函数2()3f x x mx =+-的两个零点为1-和n ,
所以,1-和n 是方程23=0x mx +-的两个根.
则1,13n m
n -+=--?=-(), --------------------------4分 所以2m =-,3n =. --------------------------6分 (Ⅱ)因为函数2()23f x x x =--的对称轴为1x =. 若(3)(23)f f a =-,
则323
12
a +-= 或233a -= --------------------------9分 得 1a =或3a =. --------------------------12分 综上, 1a =或3a =.
16. 解:(Ⅰ)当0
f x --=-. --------------------------2分
因为)(x f 是奇函数,所以()()f x f x -=-. --------------------------4分 所以()2
1x
f x --=-,即当0 (Ⅱ)因为()3f a ≤,(2)3f =, --------------------------8分 所以()(2)f a f ≤. 又因为)(x f 在R 上是单调递增函数, -----------------10分 所以2a ≤. --------------------------12分 说明:若学生分0a ≥和0a <两种情况计算,每种情况计算正确,分别给3分. 17.解:(Ⅰ) 因为()2sin 26f x x π?? =- ?? ? , 由222,262k x k k Z π ππ ππ- +≤- ≤ +∈, --------------------------2分 得ππ 63 k x k ππ-+≤≤+, 所以函数()f x 的单调递增区间为ππ,63k k ππ?? -++???? ,k Z ∈. -------------3分 由2,62x k k Z ππ π- = +∈, ---------------5分 得π32 k x π =+. 所以()f x 的对称轴方程为π32 k x π =+,其中k Z ∈. -----------------------6分 (Ⅱ) 因为π 02 x ≤≤,所以52666x πππ-≤-≤. --------------------------8分 得:1sin(2)126 x π - ≤-≤ . --------------------------10分 所以,当26 6 x π π -=- 即0x =时,()f x 的最小值为1-, 当26 2 x π π -= 即3 x π = 时,()f x 的最大值为2. --------------------------12分 18.解:(Ⅰ)①、②是“X - 函数”,③不是“X - 函数”. -------------------2分 (说明:判断正确一个或两个函数给1分) (Ⅱ)由题意,对任意的x ∈R ,()()f x f x -≠-,即()()0f x f x -+≠. 因为()sin cos f x x x a =++, 所以()sin cos f x x x a -=-++. 故()()2cos 2f x f x x a +-=+. 由题意,对任意的x ∈R ,2cos 20x a +≠,即cos a x ≠-. --------------------4分 故实数a 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U . ---------------------------5分 (Ⅲ)(1)对任意的0x ≠ (a )若x A ∈且x A -∈,则x x -≠,()()f x f x -=, 这与()y f x =在R 上单调递增矛盾,(舍), (b )若x B ∈且x B -∈,则()()f x x f x -=-=-, 这与()y f x =是“X -函数”矛盾,(舍). 此时,由()y f x =的定义域为R ,故对任意的0x ≠,x 与x -恰有一个属于A ,另一个属于B . (2) 假设存在00x <,使得0x A ∈,则由002x x < ,故00()2x f x f ?? < ??? . (a )若02x A ∈,则2 2 0000()11()24 x x f x f x = +<+=,矛盾, (b )若 02x B ∈,则2 0000()01()22 x x f x f x =<<+=,矛盾. 综上,对任意的0x <,x A ?,故x B ∈,即(,0)B -∞?,则(0,)A +∞?. (3)假设0B ∈,则(0)(0)0f f -=-=,矛盾. 故0A ∈ 故[0,)A =+∞,(,0)B =-∞. 经检验[0,)A =+∞,(,0)B =-∞.符合题意 ------------------------------------8分 北京市西城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试 高一数学 2015.1 试卷满分:150分 考试时间:120分钟 A 卷 [必修 模块4] 本卷满分:100分 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.已知(0,2π)α∈,且sin 0<α,cos 0>α,则角α的取值范围是( ) (A )π(0,)2 (B )π(,π)2 (C )3π(π, )2 (D )3π ( ,2π)2 2.已知向量(2,8)=a ,(4,2)=-b .若2=-c a b ,则向量=c ( ) (A )(0,18) (B )(12,12) (C )(8,14) (D )(4,20)- 3.已知角α的终边经过点(3,4)P -,那么sin =α( ) (A ) 35 (B ) 34 (C )34 - (D )45 - 4.已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数,那么区间M 可以是( ) (A )π(0,)2 (B )π(,π)2 (C )3π(π, )2 (D )3π ( ,2π)2 5.在△ABC 中,D 是BC 的中点,则AB AC += ( ) (A )2AD (B )2DA (C )2BD (D )2DB 6.下列函数中,偶函数是( ) (A )()sin()f x x =π+ (B )()tan()f x x =π- (C )()sin()2f x x π =+ (D )()cos( )2 f x x π =- 7.为得到函数π cos()6 y x =+ 的图象,只需将函数cos y x =的图象( ) (A )向左平移π 3个单位 (B )向右平移 π 3个单位 (C )向左平移π 6 个单位 (D )向右平移π 6 个单位 8.如图,在矩形ABCD 中,2AB =,BC =, E 是CD 的中点,那么AE DC ?= ( ) (A )4 (B )2 (C (D )1 9.函数2 sin y x =的最小正周期为( ) (A )2π (B )π (C ) π2 (D ) π4 10.已知向量(1,sin )θ=a ,(cos θ=b ,其中R θ∈,则||-a b 的最大值是( ) (A )4 (B )3 (C )2 (D )1 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. 11.若(0,)∈πα,且α与角53 π - 终边相同,则=α_____. 12.若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线,则实数=λ_____. 13.已知α是第二象限的角,且5 sin 13 α= ,则cos =α_____. 14. 已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(1,1)=c .若(,)=∈R c a +b λμλμ,则 =λ μ _____. 15.函数2 ()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____. 16.关于函数()sin(2)()6 f x x x π=-∈R ,给出下列三个结论: ① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3 g x x π =-的图象重合; ② 函数()f x 的图象关于点( ,0)12 π 对称; ③ 函数()f x 的图象关于直线3 x π =对称. 其中,全部正确结论的序号是_____. 三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知tan 2=-α,且(,)2 π∈πα. (Ⅰ)求π tan()4 - α的值; (Ⅱ)求sin 2α的值. 18.(本小题满分12分) 已知向量(cos ,sin )=ααa ,1(,22 =-b ,其中α是锐角. (Ⅰ)证明:向量+a b 与-a b 垂直; (Ⅱ)当|2||2|+=-a b a b 时,求角α. 19.(本小题满分12分) 已知函数()sin 21f x x x =+. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)若对于任意ππ[,]42 x ∈,都有()2f x m -<成立,求实数m 的取值范围. B 卷 [学期综合] 本卷满分:50分 一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 把答案填在题中横线上. 1.函数1 lg y x = 的定义域是_____. 2.若幂函数y x =α的图象过点(4,2),则=α_____. 3.662log 2log 9+=_____. 4.函数2 1, 0, ()4,0, x x f x x x ->?=? - 5.设()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞上是减函数.若(21)()f m f m ->,则实数m 的取值范围是_____. 二、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分10分) 已知全集U =R ,集合{|(2)0}P x x x =-≥,{|26}M x a x a =<<+. (Ⅰ)求集合U P e; (Ⅱ)若U P M ?e,求实数a 的取值范围. 7.(本小题满分10分) 已知函数()(2)()f x x x a =-+,其中a ∈R . (Ⅰ)若()f x 的图象关于直线1x =对称,求a 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 8.(本小题满分10分) 已知函数()23x x f x a b =?+?,其中,a b 为常数. (Ⅰ)若0ab >,判断()f x 的单调性,并加以证明; (Ⅱ)若0ab <,解不等式:(1)()f x f x +>. 北京市西城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试 高一数学参考答案及评分标准 2015.1 A 卷 [必修 模块4] 满分100分 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分. 1.D ; 2.C ; 3.D ; 4. D ; 5. A ; 6. C ; 7. C ; 8.B ; 9. B ; 10.B . 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 11. 3π; 12. 12-; 13. 1213-; 14.3 2 ; 15. 2; 16. ① ② ③. 注:16题,少解不给分. 三、解答题:本大题共3小题,共36分. 17.(本小题满分12分) (Ⅰ)解:因为 tan 2=-α, 所以 π tan tan π4tan()π 41tan tan 4 --= +?ααα 【 3分】 3=. 【 6分】 (Ⅱ)解:由π(,π)2 ∈α,tan 2α=-, 得 sin α= , 【 8分】 c o s α=. 【10分】 所以 4 sin 22sin cos 5 ==-ααα. 【12分】 18.(本小题满分12分) (Ⅰ)证明:由向量(cos sin )αα=, a ,1(2=-b , 得1(cos ,sin 2+=- ααa b ,1(cos ,sin 2-=+ααa b , 【 1分】 由π (0,)2 ∈α,得向量+a b ,-a b 均为非零向量. 【 2分】 因为2222 13()()||||(sin cos )()044 +?-=-=+-+=ααa b a b a b , 【 5分】 所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 (Ⅱ)解:将|2||2|+=-a b a b 两边平方, 化简得223(||||)80-+?=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b , 得 0?=a b , 【 9分】 所以 1cos 022 αα- +=, 所以 tan = α. 【11分】 注意到 π(0,)2 ∈α, 所以 π 6 α=. 【12分】 19.(本小题满分12分) (Ⅰ)解:()sin 21f x x x =+ π 12sin(2)3 x =+-. 【 2分】 因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π [2π,2π]()22 k k k ++ ∈Z . 由 ππ3π 2π22π232 k x k +≤-≤+()k ∈Z , 【 4分】 得 5π11πππ1212 k x k + ≤≤+()k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5π11π [π,π]1212 k k + +()k ∈Z . 【 6分】 (Ⅱ)解: 因为 ππ[,]42x ∈, 所以 ππ2π 2633 x -≤≤, 由(Ⅰ)得 π 212sin(2)33 x +-≤≤, 所以 ()f x 的值域是[23], . 【 8分】 ()2()2()2f x m f x m f x --<<+,ππ [,]42 x ∈. 【10分】 所以 max ()2m f x >-,且 min ()2m f x <+, 所以 14m <<, 即m 的取值范围是(1,4). 【12分】 B 卷 [学期综合] 满分50分 一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 1. {|01x x ∈< 2. 1 2; 3. 2; 4. 2-,1; 5. 1 (,1)3 . 注:4题,少解得2分,有错解不给分. 二、解答题:本大题共3小题,共30分. 6.(本小题满分10分) (Ⅰ)解:因为全集U =R ,集合{|(2)0}P x x x =-≥, 所以 {|(2)0}U P x x x =- 262, a a ≤?? +≥? 【 6分】 解得 0, 2. a a ≤?? ≥-? 【 8分】 所以 [2,0]a ∈-. 【10分】 注:第(Ⅱ)小问没有等号扣1分. 7.(本小题满分10分) (Ⅰ)解法一:因为2 ()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--, 所以,()f x 的图象的对称轴方程为22 a x -=. 【 2分】 由 212 a -=,得0a =. 【 4分】 解法二:因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称, 所以必有(0)(2)f f =成立, 【 2分】 所以 20a -=, 得0a =. 【 4分】 (Ⅱ)解:函数()f x 的图象的对称轴方程为22 a x -= . ① 当 202 a -≤,即 2a ≥时, 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增, 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】 ② 当2012 a -< <,即 02a <<时, 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减,在区间2(,1)2 a -上单调递增, 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为2 22()()22 a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212 a -≥,即 0a ≤时, 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减, 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.(本小题满分10分) (Ⅰ)解:当0,0a b >>时,()f x 在R 上是增函数;当0,0a b <<时,()f x 在R 上是减函数; 【 1分】 证明如下: 当0,0a b >>时,任取12,x x ∈R ,且12x x <,则210x x x ?=->, 则212121()()(22)(33)x x x x y f x f x a b ?=-=-+-. 因为 122122,0(22)0x x x x a a <>?->;又122133,0(33)0x x x x b b <>?->, 所以 21()()0y f x f x ?=->, 所以,当0,0a b >>时,()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时,同理可得,()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 (Ⅱ)解:由(1)()2230x x f x f x a b +-=?+?>, 得 3 2()2 x b a >-. (*) 【 6分】 ① 当0,0a b <>时,(*)式化为3()2 2x a b -> , 解得32 log ()2a x b >- . 【 8分】 ② 当0,0a b ><时,(*)式化为3()2 2x a b -<, 解得32 log ()2a x b <- . 【10分】 2015-2016学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项并填在答题卡中. 1.已知集合A={0,1,2},B={2,3},则集合A∪B=() A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{2} D.{0,1,3} 2.若角α的终边经过点P(1,﹣2),则tanα的值为() A.B.C.﹣2 D. 3.正弦函数f(x)=sinx图象的一条对称轴是() A.x=0 B.C.D.x=π 4.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是() A.f(x)=sinx B.f(x)=x2+1 C.f(x)=lnx D.f(x)=cosx 5.函数f(x)=的大致图象是() A.B.C. D. 6.2003年至2015年北京市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是() A.f(x)=ax2+bx+c B.f(x)=ae x+b C.f(x)=e ax+b D.f(x)=alnx+b 7.若角α与角β的终边关于y轴对称,则() A.α+β=π+kπ(k∈Z) B.α+β=π+2kπ(k∈Z) C.D. 8.已知函数,若存在实数a, 使得f(a)+g(x)=0,则x的取值范围为() A.[﹣1,5]B.(﹣∞,﹣1]∪[5,+∞)C.[﹣1,+∞)D.(﹣∞,5] 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在相应题目横线上.9.函数y=log2(2x+1)定义域. 10.sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为. 11.已知函数,则f(x)的最大值为. 12.若a=log43,则4a﹣4﹣a=. 13.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b=. 14.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足: (1)T={f(x)|x∈S}; (2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2). 那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下4对集合: ①S={0,1,2},T={2,3}; ②S=N,T=N*; ③S={x|﹣1<x<3},T={x|﹣8<x<10}; ④S={x|0<x<1},T=R. 其中,“保序同构”的集合对的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的序号). 三、解答题:本大题共6个小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知集合A={0,1},B={x|x2﹣ax=0},且A∪B=A,求实数a的值. 16.设θ为第二象限角,若.求 (Ⅰ)tanθ的值; (Ⅱ)的值. 17.已知函数. (Ⅰ)证明:f(x)是奇函数; (Ⅱ)用函数单调性的定义证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 18.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象 (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值. 19.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间为192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,求该食品在33℃的保鲜时间. 20.若实数x,y,m满足|x﹣m|>|y﹣m|,则称x比y远离m. (Ⅰ)比较log20.6与20.6哪一个远离0; (Ⅱ)已知函数f(x)的定义域,任取x∈D,f(x)等于sinx 和cosx中远离0的那个值,写出函数f(x)的解析式以及f(x)的三条基本性质(结论不要求证明).