2015-2016学年北京各区县高一第一学期期末数学试卷及答案

海淀区高一年级第一学期期末练习

数 学 2016.1

学校 班级 姓名 成绩

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一.选择题:本大题共8小题,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合A ={x |-1≤x <2 } ,B ={x |x ≥1 },则A ∩B= ( )

A. (1,2)

B. [-1,2)

C. [-1,1]

D. [-1,2)

2.

的值为 ( )

A. 1

B. -1

C. 0

D.

3. 若α 是第二象限的角,P(x ,6)为其终边上的一点,且

,则x = ( )

A. -4

B. ±4

C. -8

D. ±8

4. 化简 ( )

A. cos200

B. -cos200

C. ±cos200

D.±|cos200 |

5. 已知A (1,2),B (3,7),a =(x ,-1),

∥a ,则 ( )

A. x =

,且与a 方向相同 B. x =

,且与a 方向相同

C.

x = ,且

与a 方向相反

D. x = ,且

与a 方向相反

6. 已知函数:① y = tan x ,② y = sin| x |,③ y = | sin x |,④ y = | cos x |,其中周期为π,且在(0,

2

)上单调递增的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④

7.先把函数y = cos x 的图像上所有点向右平移 个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原

来的

倍 (纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为 ( )

A. y = cos( 2x +)

B. y = cos( 2x -)

C. y = cos(

x +) D. y = cos(

x -)

8. 若m 是函数f (x) =

的一个零点,且x 1∈(0,m ),x 2∈(m ,+∞),则f (x 1),

f (x 2), f (m )的大小关系为 ( )

A. f (x 1) < f (m ) < f (x 2)

B. f (m ) < f (x 2) < f (x 1)

C. f (m ) < f (x 1) < f (x 2)

D. f (x 2) < f (m ) < f (x 1)

二.填空题:本大题共6小题,每空4分,共24分. 把答案填写在题中横线上. 9. 若2log y x >1,则x 的取值范围是_____________.

10. 若函数f (x) = x 2+3x -4在x ∈[-1,3]上的最大值和最小值分别为M ,N ,

则M+N= .

11. 若向量a = (2,1),b = (1,-2),且m a + n b = (5,-5) (m ,n ∈R ),

则m -n 的值为 .

12. 如图,在平行四边形ABCD 中,AC ,BD 相交于点O ,E 为线段AO 的中点,

若 (λ,μ∈R),则λ+μ= .

13.若函数f (x ) = sin(ωx +φ) (其中ω>0) 在(0,)上单调递增,且f () + f () = 0,

f (0) = -1,则ω= _____________.

14. 已知函数y = f (x ),若对于任意x ∈R ,f (2x ) = 2f (x )恒成立,则称函数y = f (x )具有性质P ,

(1) 若函数f (x ) 具有性质P ,且f (4) = 8,则f (1) = _____________;

(2) 若函数f (x ) 具有性质P ,且在 (1,2]上的解析式为y = cos x ,那么y = f (x )在

(1,8]上有且仅有___________个零点.

三.解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. (本题满分12分)

已知二次函数f (x) = x2+mx-3的两个零点为-1和n,

(Ⅰ) 求m,n的值;

(Ⅱ) 若f (3) = f (2a-3),求a的值.

16. (本题满分12分)

已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,函数f (x) =2x-1

(Ⅰ) 求当x<0时,f (x)的解析式;

(Ⅱ) 若f (a) ≤3,求a的取值范围.

17. (本题满分12分)

已知函数f (x ) = 2sin(2x -

).

(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程; (Ⅱ) 当x ∈[0,2

π

]时,求函数f (x ) 的最大值与最小值.

18. (本题满分8分)

如果f (x )是定义在R 上的函数,且对任意的x ∈R ,均有f (-x ) ≠-f (x ), 则称该函数是“X-函数”.

(Ⅰ) 分别判断下列函数:①2x y =;②y = x +1; ③y = x 2 +2x -3是否为“X-函数”?

(直接写出结论)

(Ⅱ) 若函数f (x ) = sin x + cos x + a 是“X-函数”,求实数a 的取值范围;

(Ⅲ) 已知f (x ) =

是“X-函数”,且在R 上单调递增,

求所有可能的集合A 与B

海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案 2016.1

数 学

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.

一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.

1.D

2.B

3. C

4.A

5.D

6.B

7.B

8.D

8.分析:

因为m 是()22x f x =

+的一个零点,

则m 220x

+=的一个解,

即m 22x

=-的一个解,

所以m 是函数()g x =

()22x h x =-图象的一个交点的横坐标,

如图所示,若()()120,,,x m x m ∈∈+∞, 则222()g()h()0(m)f x x x f =-<=, 111()g()h()0(m)f x x x f =->=, 所以2()f x <()f m <1()f x .

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分, 第14题每空2分.

9. (2,)+∞ 10.

394 11. 2- 12. 3

4

13. 2 14. 2;3 14.分析: (1)(2分)因为函数()y f x =具有性质P , 所以对于任意x R ∈,(2)2()f x f x =恒成立,

所以(4)(22)2(2)2(21)4(1)f f f f f =?==?=,因为(4)8f =,所以(1)2f =. (2)(2分)若函数()y f x =具有性质P ,且在(1,2]上的解析式为cos y x =, 则函数()y f x =在(2,4]上的解析式为2cos

2x y =,在(4,8]上的解析式为4cos 4

x

y =, 所以()y f x =在(1,8]上有且仅有3个零点,分别是

,,22

π

ππ.

三、解答题: 本大题共4小题,共44分.

15.解:(Ⅰ)因为二次函数2()3f x x mx =+-的两个零点为1-和n ,

所以,1-和n 是方程23=0x mx +-的两个根.

则1,13n m

n -+=--?=-(), --------------------------4分 所以2m =-,3n =. --------------------------6分 (Ⅱ)因为函数2()23f x x x =--的对称轴为1x =. 若(3)(23)f f a =-,

则323

12

a +-= 或233a -= --------------------------9分 得 1a =或3a =. --------------------------12分 综上, 1a =或3a =.

16. 解:(Ⅰ)当0,则()21x

f x --=-. --------------------------2分

因为)(x f 是奇函数,所以()()f x f x -=-. --------------------------4分 所以()2

1x

f x --=-,即当0

(Ⅱ)因为()3f a ≤,(2)3f =, --------------------------8分 所以()(2)f a f ≤. 又因为)(x f 在R 上是单调递增函数, -----------------10分

所以2a ≤. --------------------------12分

说明:若学生分0a ≥和0a <两种情况计算,每种情况计算正确,分别给3分. 17.解:(Ⅰ) 因为()2sin 26f x x π??

=- ??

?

, 由222,262k x k k Z π

ππ

ππ-

+≤-

+∈, --------------------------2分

得ππ

63

k x k ππ-+≤≤+,

所以函数()f x 的单调递增区间为ππ,63k k ππ??

-++????

,k Z ∈. -------------3分

由2,62x k k Z ππ

π-

=

+∈, ---------------5分

得π32

k x π

=+.

所以()f x 的对称轴方程为π32

k x π

=+,其中k Z ∈. -----------------------6分

(Ⅱ) 因为π

02

x ≤≤,所以52666x πππ-≤-≤. --------------------------8分

得:1sin(2)126

x π

-

≤-≤ . --------------------------10分 所以,当26

6

x π

π

-=-

即0x =时,()f x 的最小值为1-,

当26

2

x π

π

-=

即3

x π

=

时,()f x 的最大值为2. --------------------------12分

18.解:(Ⅰ)①、②是“X - 函数”,③不是“X - 函数”. -------------------2分 (说明:判断正确一个或两个函数给1分)

(Ⅱ)由题意,对任意的x ∈R ,()()f x f x -≠-,即()()0f x f x -+≠. 因为()sin cos f x x x a =++,

所以()sin cos f x x x a -=-++. 故()()2cos 2f x f x x a +-=+.

由题意,对任意的x ∈R ,2cos 20x a +≠,即cos a x ≠-. --------------------4分 故实数a 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U . ---------------------------5分 (Ⅲ)(1)对任意的0x ≠

(a )若x A ∈且x A -∈,则x x -≠,()()f x f x -=, 这与()y f x =在R 上单调递增矛盾,(舍), (b )若x B ∈且x B -∈,则()()f x x f x -=-=-, 这与()y f x =是“X -函数”矛盾,(舍).

此时,由()y f x =的定义域为R ,故对任意的0x ≠,x 与x -恰有一个属于A ,另一个属于B .

(2) 假设存在00x <,使得0x A ∈,则由002x x <

,故00()2x f x f ??

< ???

. (a )若02x A ∈,则2

2

0000()11()24

x x f x f x =

+<+=,矛盾, (b )若

02x B ∈,则2

0000()01()22

x x f x f x =<<+=,矛盾.

综上,对任意的0x <,x A ?,故x B ∈,即(,0)B -∞?,则(0,)A +∞?.

(3)假设0B ∈,则(0)(0)0f f -=-=,矛盾. 故0A ∈

故[0,)A =+∞,(,0)B =-∞. 经检验[0,)A =+∞,(,0)B =-∞.符合题意

------------------------------------8分

北京市西城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试

高一数学 2015.1

试卷满分:150分 考试时间:120分钟

A 卷 [必修 模块4] 本卷满分:100分

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合要求的.

1.已知(0,2π)α∈,且sin 0<α,cos 0>α,则角α的取值范围是( ) (A )π(0,)2

(B )π(,π)2

(C )3π(π,

)2

(D )3π

(

,2π)2

2.已知向量(2,8)=a ,(4,2)=-b .若2=-c a b ,则向量=c ( ) (A )(0,18)

(B )(12,12)

(C )(8,14)

(D )(4,20)-

3.已知角α的终边经过点(3,4)P -,那么sin =α( ) (A )

35

(B )

34

(C )34

-

(D )45

-

4.已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数,那么区间M 可以是( ) (A )π(0,)2

(B )π(,π)2

(C )3π(π,

)2

(D )3π

(

,2π)2

5.在△ABC 中,D 是BC 的中点,则AB AC +=

( )

(A )2AD

(B )2DA

(C )2BD

(D )2DB

6.下列函数中,偶函数是( ) (A )()sin()f x x =π+ (B )()tan()f x x =π- (C )()sin()2f x x π

=+ (D )()cos(

)2

f x x π

=-

7.为得到函数π

cos()6

y x =+

的图象,只需将函数cos y x =的图象( )

(A )向左平移π

3个单位 (B )向右平移

π

3个单位 (C )向左平移π

6

个单位

(D )向右平移π

6

个单位

8.如图,在矩形ABCD 中,2AB =,BC =, E 是CD

的中点,那么AE DC ?=

( )

(A )4

(B )2

(C (D )1

9.函数2

sin y x =的最小正周期为( ) (A )2π

(B )π

(C )

π2

(D )

π4

10.已知向量(1,sin )θ=a ,(cos θ=b ,其中R θ∈,则||-a b 的最大值是( ) (A )4

(B )3

(C )2

(D )1

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. 11.若(0,)∈πα,且α与角53

π

-

终边相同,则=α_____. 12.若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线,则实数=λ_____. 13.已知α是第二象限的角,且5

sin 13

α=

,则cos =α_____. 14. 已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(1,1)=c .若(,)=∈R c a +b λμλμ,则

μ

_____. 15.函数2

()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____.

16.关于函数()sin(2)()6

f x x x π=-∈R ,给出下列三个结论:

① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3

g x x π

=-的图象重合; ② 函数()f x 的图象关于点(

,0)12

π

对称; ③ 函数()f x 的图象关于直线3

x π

=对称.

其中,全部正确结论的序号是_____.

三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

已知tan 2=-α,且(,)2

π∈πα. (Ⅰ)求π

tan()4

-

α的值; (Ⅱ)求sin 2α的值.

18.(本小题满分12分)

已知向量(cos ,sin )=ααa ,1(,22

=-b ,其中α是锐角. (Ⅰ)证明:向量+a b 与-a b 垂直; (Ⅱ)当|2||2|+=-a b a b 时,求角α.

19.(本小题满分12分)

已知函数()sin 21f x x x =+. (Ⅰ)求()f x 的单调递减区间;

(Ⅱ)若对于任意ππ[,]42

x ∈,都有()2f x m -<成立,求实数m 的取值范围.

B 卷 [学期综合] 本卷满分:50分

一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分. 把答案填在题中横线上. 1.函数1

lg y x

=

的定义域是_____. 2.若幂函数y x =α的图象过点(4,2),则=α_____. 3.662log 2log 9+=_____. 4.函数2

1,

0,

()4,0,

x x f x x x ->?=?

-

5.设()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞上是减函数.若(21)()f m f m ->,则实数m 的取值范围是_____.

二、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分10分)

已知全集U =R ,集合{|(2)0}P x x x =-≥,{|26}M x a x a =<<+. (Ⅰ)求集合U P e;

(Ⅱ)若U P M ?e,求实数a 的取值范围.

7.(本小题满分10分)

已知函数()(2)()f x x x a =-+,其中a ∈R . (Ⅰ)若()f x 的图象关于直线1x =对称,求a 的值; (Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值.

8.(本小题满分10分)

已知函数()23x x f x a b =?+?,其中,a b 为常数. (Ⅰ)若0ab >,判断()f x 的单调性,并加以证明; (Ⅱ)若0ab <,解不等式:(1)()f x f x +>.

北京市西城区2014-2015学年上学期高一年级期末考试

高一数学参考答案及评分标准 2015.1

A 卷 [必修 模块4] 满分100分

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.

1.D ;

2.C ;

3.D ;

4. D ;

5. A ;

6. C ;

7. C ;

8.B ;

9. B ; 10.B . 二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.

11.

3π; 12. 12-; 13. 1213-; 14.3

2

; 15. 2; 16. ① ② ③.

注:16题,少解不给分.

三、解答题:本大题共3小题,共36分. 17.(本小题满分12分) (Ⅰ)解:因为 tan 2=-α,

所以 π

tan tan

π4tan()π

41tan tan 4

--=

+?ααα 【 3分】 3=. 【 6分】

(Ⅱ)解:由π(,π)2

∈α,tan 2α=-, 得

sin α=

, 【 8分】

c o s α=. 【10分】

所以 4

sin 22sin cos 5

==-ααα. 【12分】

18.(本小题满分12分)

(Ⅰ)证明:由向量(cos sin )αα=,

a

,1(2=-b ,

得1(cos ,sin 2+=-

ααa b

,1(cos ,sin 2-=+ααa b , 【 1分】 由π

(0,)2

∈α,得向量+a b ,-a b 均为非零向量. 【 2分】

因为2222

13()()||||(sin cos )()044

+?-=-=+-+=ααa b a b a b , 【 5分】 所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 (Ⅱ)解:将|2||2|+=-a b a b 两边平方,

化简得223(||||)80-+?=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b , 得 0?=a b , 【 9分】

所以 1cos 022

αα-

+=,

所以 tan =

α. 【11分】 注意到 π(0,)2

∈α, 所以 π

6

α=. 【12分】

19.(本小题满分12分)

(Ⅰ)解:()sin 21f x x x =+

π

12sin(2)3

x =+-. 【 2分】

因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π

[2π,2π]()22

k k k ++

∈Z . 由 ππ3π

2π22π232

k x k +≤-≤+()k ∈Z , 【 4分】 得 5π11πππ1212

k x k +

≤≤+()k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5π11π

[π,π]1212

k k +

+()k ∈Z . 【 6分】 (Ⅱ)解: 因为 ππ[,]42x ∈, 所以 ππ2π

2633

x -≤≤,

由(Ⅰ)得 π

212sin(2)33

x +-≤≤,

所以 ()f x 的值域是[23],

. 【 8分】 ()2()2()2f x m f x m f x -

[,]42

x ∈. 【10分】

所以 max ()2m f x >-,且 min ()2m f x <+,

所以 14m <<, 即m 的取值范围是(1,4). 【12分】

B 卷 [学期综合] 满分50分

一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.

1. {|01x x ∈<

2. 1

2; 3. 2; 4. 2-,1; 5. 1

(,1)3

.

注:4题,少解得2分,有错解不给分. 二、解答题:本大题共3小题,共30分. 6.(本小题满分10分)

(Ⅰ)解:因为全集U =R ,集合{|(2)0}P x x x =-≥,

所以 {|(2)0}U P x x x =-

262,

a a ≤??

+≥? 【 6分】

解得 0,

2.

a a ≤??

≥-? 【 8分】

所以 [2,0]a ∈-. 【10分】 注:第(Ⅱ)小问没有等号扣1分. 7.(本小题满分10分)

(Ⅰ)解法一:因为2

()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--, 所以,()f x 的图象的对称轴方程为22

a

x -=. 【 2分】 由

212

a

-=,得0a =. 【 4分】 解法二:因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称,

所以必有(0)(2)f f =成立, 【 2分】 所以 20a -=, 得0a =. 【 4分】 (Ⅱ)解:函数()f x 的图象的对称轴方程为22

a

x -=

.

① 当

202

a

-≤,即 2a ≥时, 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增,

所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】

② 当2012

a

-<

<,即 02a <<时, 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减,在区间2(,1)2

a

-上单调递增, 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为2

22()()22

a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212

a

-≥,即 0a ≤时, 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减,

所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.(本小题满分10分)

(Ⅰ)解:当0,0a b >>时,()f x 在R 上是增函数;当0,0a b <<时,()f x 在R 上是减函数; 【 1分】

证明如下:

当0,0a b >>时,任取12,x x ∈R ,且12x x <,则210x x x ?=->, 则212121()()(22)(33)x x x x

y f x f x a b ?=-=-+-.

因为 122122,0(22)0x

x

x

x

a a <>?->;又122133,0(33)0x

x

x

x

b b <>?->, 所以 21()()0y f x f x ?=->,

所以,当0,0a b >>时,()f x 在R 上是增函数.

当0,0a b <<时,同理可得,()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 (Ⅱ)解:由(1)()2230x

x

f x f x a b +-=?+?>,

得 3

2()2

x

b a >-. (*) 【 6分】 ① 当0,0a b <>时,(*)式化为3()2

2x

a b

->

解得32

log ()2a

x b

>-

. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时,(*)式化为3()2

2x

a

b

-<, 解得32

log ()2a

x b

<-

. 【10分】

2015-2016学年北京市东城区高一(上)期末数学试卷

一、选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项并填在答题卡中.

1.已知集合A={0,1,2},B={2,3},则集合A∪B=()

A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{2} D.{0,1,3}

2.若角α的终边经过点P(1,﹣2),则tanα的值为()

A.B.C.﹣2 D.

3.正弦函数f(x)=sinx图象的一条对称轴是()

A.x=0 B.C.D.x=π

4.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()

A.f(x)=sinx B.f(x)=x2+1 C.f(x)=lnx D.f(x)=cosx

5.函数f(x)=的大致图象是()

A.B.C.

D.

6.2003年至2015年北京市电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是()

A.f(x)=ax2+bx+c B.f(x)=ae x+b C.f(x)=e ax+b D.f(x)=alnx+b

7.若角α与角β的终边关于y轴对称,则()

A.α+β=π+kπ(k∈Z) B.α+β=π+2kπ(k∈Z)

C.D.

8.已知函数,若存在实数a,

使得f(a)+g(x)=0,则x的取值范围为()

A.[﹣1,5]B.(﹣∞,﹣1]∪[5,+∞)C.[﹣1,+∞)D.(﹣∞,5]

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在相应题目横线上.9.函数y=log2(2x+1)定义域.

10.sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为.

11.已知函数,则f(x)的最大值为.

12.若a=log43,则4a﹣4﹣a=.

13.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b=.

14.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:

(1)T={f(x)|x∈S};

(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2).

那么称这两个集合“保序同构”,现给出以下4对集合:

①S={0,1,2},T={2,3};

②S=N,T=N*;

③S={x|﹣1<x<3},T={x|﹣8<x<10};

④S={x|0<x<1},T=R.

其中,“保序同构”的集合对的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的序号).

三、解答题:本大题共6个小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.已知集合A={0,1},B={x|x2﹣ax=0},且A∪B=A,求实数a的值.

16.设θ为第二象限角,若.求

(Ⅰ)tanθ的值;

(Ⅱ)的值.

17.已知函数.

(Ⅰ)证明:f(x)是奇函数;

(Ⅱ)用函数单调性的定义证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

18.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象

(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若

y=g(x)图象的一个对称中心为(,0),求θ的最小值.

19.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间为192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,求该食品在33℃的保鲜时间.

20.若实数x,y,m满足|x﹣m|>|y﹣m|,则称x比y远离m.

(Ⅰ)比较log20.6与20.6哪一个远离0;

(Ⅱ)已知函数f(x)的定义域,任取x∈D,f(x)等于sinx

和cosx中远离0的那个值,写出函数f(x)的解析式以及f(x)的三条基本性质(结论不要求证明).

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