映射、函数定义域值域

函数

知识回顾：

（一） 映射与一一映射

① 映射：A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B

对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。 ② 象与原象：A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。 ③ 一一映射：在集合A 到集合B 的映射中，若B 中的任意一个元素在A 中唯一的元

素与它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的一一映射。 ④ 判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

图1是映射

图2是一一映射 图3不是映射

I ） 课堂例析

（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是（ ）

A 、M 中每一个元素在N 中必有象

B 、N 中每一个元素在M 中必有原象

C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的

D 、N 是M 中所在元素的象的集合

（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________

（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个

（4）给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66

-的原象是 （5）}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有

A 、 0个

B 、 1个

C 、 2个

D 、3个

（二） 函数：定义域到值域的映射叫做函数。

① 函数三要素是： 、 、 。

（而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.） ② 函数与普通映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集；

(2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。

（三） 函数的定义域与值域：

1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 注：求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零； （7）复合函数的定义域。

已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出； ② 复合函数[]()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()x g 在[]b a ,上的值域

(8)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值

的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

II ） 课堂例析

一、下列函数为同一函数的是 ⑴3

)

5)(3(1+-+=x x x y

52-=x y

⑵111-+=

x x y )1)(1(2-+=x x y

⑶x x f =)( 2

)(x x g =

⑷x x f =)( 33

)(x x F =

⑸21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f

二、下列各对函数中，相同的是 （ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1

1

lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v

v

v g u u u f -+=

-+=

11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =

三、下列函数中，与函数y x =相同的函数是

（ ）

()A 2x y x

=

()

B 2y = ()

C lg10x y =

()D 2log 2

x

y =

四、求函数的定义域： （1）函数

lg 3y x =

-的定义域是___ _；

（2）已知函数(1)f x -的定义域为(1,3),求函数()f x 的定义域；或者说，已知函数(1)f x -的定义域为(3,4),则函数(21)f x -的定义域为______

（3）复合函数的定义域：①若函数)(x f y =的定义域为??

????2,21，则)(log 2x f 的定义域为

__________（答：{

}

42|

≤≤x x ）

；②若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________

2. 值域 : 函数

A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合

{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

（函数的值域取决于定义域和对应法则）

3. 最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

一、基本函数的值域

一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；

当]44(0);44[02

2a

b a

c ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时

反比例函数)0(≠=k x

k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；

数函数)10(≠>=a a a y x

且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的定义域为R ，值域][1,1-；

正、余切函数 2

k x ,tan π

π+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

（求函数的值域要注意优先考虑定义域）常用的方法有：

一、利用常见（基本）函数的值域

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a y y 4|2≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤}.

例：求函数y ＝－x 2

＋4x －1的值域。

二、一次函数在区间上的值域（最值）：

一次函数y=ax+b(a ≠0)在区间[],m n 上的最值，只需求出()(),f m f n ，比较它们的大小即可。

例：求函数y=5x+4在[-2,3]上的值域。

三、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值)：

2b

x a

=-与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b

m n a

-

∈,则 （i ）当a>0时，()2b

f a

-是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中较大者； (ii)当a<0时，()2b

f a

-是函数的最大值，最大值为(),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b

m n a

-

∈,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 如：1、 分别求函数241y x x =-+在下列区间上的最值：

（1）[3,4]x ∈； （2）[0,1]x ∈； （3）[0,5]x ∈

2、2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____

四、形如：

cx d

y ax b +=

+的值域：

1、若定义域为b x x a ??≠-????

时，其值域为c y y a ??≠

????

2、若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by

x ay c

-=-，利用[],x m n ∈便可求出函数的值

域。

如：1、求函数312x y x +=-的值域 ； 2、313

x

x

y =+的值域为_____；

五、形如

22

dx ex c

y ax bx c ++=++的值域：(判别式法) 注意：①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去

掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在； ③分子、分母必须是既约分式。

（1）2

b

y k x

=

+型，可直接用不等式性质； （2）2bx

y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式，

（3）22x m x n y x mx n ''

++=++型，通常用判别式法；

（4）2x m x n y mx n

''

++=+型，可用判别式法或均值不等式法，

如：1、求函数y=6

1

22-+-+x x x x 的值域 ；

2、求函数y=1

2

2

2--+x x x 的值域 ； 3、求函数4

32+=

x x

y 的值域 ；

六、形如y ax b =+

这列题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。 如：求函数x x y -+=142的值域

七、分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。

如：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

课堂例析

1、函数y=-3x 2

+2的值域是：

2、y=5+21+x (x ≥-1)的值域是

3、下列函数中值域是（0，+ ∞）的是 （ ）

A ．12

y x = B. 11()

5

x

y -= C. y = D. 1

(0)y x x x

=+

> 4、求值域：y=2

1x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈--

5、函数x x y -+=142的值域是 .

6、求下列函数的值域：

（1）y=12++x x ； （2）2222

1

x x y x x -+=++；

小结归纳：

1. 函数的定义域是正确求解一切函数问题的基础，解决一切函数问题必须认真考察函数的定义域，本课只讨论了“自然型”定义域的一些题型，在后面的学习中还要接触“限制型”与“实际型”定义域.

2. 上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，用导数来处理更方便.

巩固与提高训练题

1．函数23)(x x x f -=的定义域为（ ）

A ．[0，3

2 ] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3） 2．函数251

x

y x =

+的值域为（ ） A 5{|}2

y y ≠ B {|0}y y ≠ C {|25}y y y ≠≠且 D 2{|}5

y y ≠

3．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）

A ．[,]a b

B ．[,]b a --

C ．[,]b b -

D ．[,]a a -

4．函数2

2

11x y x -=+的值域为（ ）

A ．[1,1]-

B ．(1,1]-

C ．[1,1)-

D ．(,1][1,)-∞-+∞

5．函数24813

6(1)

x x y x ++=+ (1x >-)的值域是

6．求下列函数的定义域：（1）y （2）y ．

7．求下列函数的值域：

（1）2

42(14)y x x x =-+-≤≤；（2）x

x y sin 2sin 2+-=；（3）2243

6x x y x x ++=+-．

8．已知函数12)(2++=ax x x f 在区间[1,2]-上的最大值为4，求a 的值．