《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解

《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解
《材料力学》第9章 压杆稳定 习题解

第九章 压杆稳定 习题解

[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式2

2l

EI

P cr π=

。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形

状时,压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同,由此所得cr F 公式又是否相同。

解: 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。

因为(b )图与(a )图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是

)("x M EIw -=。(c )、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:)("x M EIw =,显然,这微分方程与(a )的微分方程不同。

临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:2

2l

EI

P cr π=。

[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f 所示杆在中间支承处不能转动)?

解:压杆能承受的临界压力为:2

2).(l EI

P cr μπ=。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,

它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比,其中,μ为与约束情况有关的长

度系数。

(a )m l 551=?=μ (b )m l 9.477.0=?=μ (c )m l 5.495.0=?=μ (d )m l 422=?=μ (e )m l 881=?=μ

(f )m l 5.357.0=?=μ(下段);m l 5.255.0=?=μ(上段) 故图e 所示杆cr F 最小,图f 所示杆cr F 最大。

[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a )的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b )的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2

min

2)

.2(l EI P cr π=

?为什么?并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。

螺旋千斤顶(图c )的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无影响?校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全?

解:临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座,所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定,一端自由的情况,它的长度因素2=μ,其临界力为:2

min

2)

.2(l EI P cr π=

。但是,(a) 为一端弹簧支座,一端自由的情况,它的长度因素

2≠μ,因此,不能用2

min

2).2(l EI P cr π=

来计算临界力。

为了考察(a )情况下的临界力,我们不妨设下支座(B )的转动刚度l

EI

M

C 20

==?

,且无侧向位移,则:

)()("w F x M EIw cr -=-=δ

2k EI

F cr

=,得: δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为:δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos '

-= 由边界条件:0=x ,0=w ,C

F C M w cr δ?==

='

;l x =,δ=w 解得: Ck F A cr δ=

,δ-=B ,δδδ

δ+-=kl kl Ck

F cr cos sin 整理后得到稳定方程:20/tan ==

l

EI C

kl kl 用试算法得: 496.1=kl

故得到压杆的临界力:2

22

)

1.2()496.1(l EI

l EI F cr π==。 因此,长度因素μ可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C 有关,C 越小,则μ值越大。当0→C 时,∞→μ。

螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接,即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相

对的静止。当轴向压力不是很大,或地面较滑时,底座与地面之间有相对滑动,此时,不能看作固定端;当轴向压力很大,或地面很粗糙时,底座与地面之间无相对滑动,此时,可以看作是固定端。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作上端自由,下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况,2>μ,算出来的临界力比“把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如,设转动刚度l

EI

M

C 20

==

?

,则: 1025.12

1.222

==弹簧固端

cr cr P P ,弹簧固端,1025.1cr cr P P =。因此,校核丝杆稳定性时,把它

看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全,而是偏于危险。

[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI ,长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力cr P 的欧拉公式。

[解]:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时,两端的竖向反力为cr P ,水平反力为0,约束反力偶矩两端相等,用e M 表示,下标e 表示端部end 的意思。若取下截离体为研究对象,则e M 的转向为逆转。

e cr M x v P x M -=)()(

)()("x v P M x M EIv cr e -=-= e cr M x v P EIv =+)("

EI M x v EI P v e cr =+)("

,令EI P k cr =2

,则 EI

P k cr 12=

cr

e

P M k v k v 2

2"=+ 上述微分方程的通解为:

cr

e

P M kx B kx A v +

+=cos sin …………………………….(a) kx Bk kx Ak v sin cos '-=

边界条件:① 0=x ;0=v : cr e P M B A +

+=0cos 0sin 0;cr

e P M

B -=。 ② 0=x 0'

=v :0sin 0cos 0Bk Ak -=;0=A 。 把A 、B 的值代入(a )得: )cos 1(kx P M v cr e -= kx k P M

v cr

e sin '?=

边界条件:③ L x =;0=v :)cos 1(0kL P M cr

e

-=

, 0cos 1=-kL ④ 0=x 0'

=v :kL k P M cr

e

sin 0?=

0sin =kL 以上两式均要求:πn kL 2=,,......)3,1,0(=n

其最小解是:π2=kL ,或L k π2=。故有:EI P L k cr ==2

22

)5.0(π,因此: 2

2)

5.0(L EI

P cr π=

[习题9-5] 长m 5的10号工字钢,在温度为C 0

0时安装在两个固定支座之间,这时杆不受

力。已知钢的线膨胀系数1

07)(10125--?=C l α,GPa E 210=。试问当温度升高至多少

度时,杆将丧失稳定性?

解:

[习题9-6] 两根直径为d 的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力F 作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力F 之临界值的算式(按细长杆考虑),确定最小临界力cr P 的算式。

解:在总压力F 作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况: (a )每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:

(b )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲,则1,2两杆组成一组合截面。

(c )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳

故面外失稳时cr P 最小:2

4

3128l Ed P cr π=

[习题9-7] 图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成,在B 点铰支,而在A 点和C 点固定,D 为铰接点,

π10=d

l

。若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值。

解:杆DB 为两端铰支

,杆DA 及DC 为一端铰

支一端固定,选取 。此结构为超静定结构,当杆DB 失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力,故

2

024

.36l EI =

[习题9-8] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏,试确定荷载F 为最大时的θ角(假设2

θ<<)。

解:要使设计合理,必使AB 杆与BC 杆同时失稳,

即:

θ

πcos 2

2,F l EI

P AB

AB cr ==

θπsin 2

2,F l EI

P BC

BC cr ==

βθθθ

22cot )(tan cos sin ===BC

AB l l F F

)arctan(cot 2βθ=

[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力MPa 170][=σ,试求压杆的许可荷载。 解:查型钢表得:

m

[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成:

(1)比例极限MPa P 220=σ,弹性模量GPa E 190=的钢; (2)MPa P 490=σ,GPa E 215=,含镍3.5%的镍钢; (3)MPa P 20=σ,GPa E 11=的松木。 试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。 解:(1)

(2)

(3)

[习题9-11] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱,截面为150mm ×150mm 的正方形,长度m l 5.3= ,强度许用应力MPa 10][=σ。试求木柱的许可荷载。 解:

由公式(9-12a ):

[习题9-12] 图示结构由钢曲杆AB 和强度等级为TC13的木杆BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接,在B 点处承受竖直荷载kN F 3.1=,木材的强度许用应力MPa 10][=σ。试校核BC 杆的稳定性。

解:把BC 杆切断,代之以轴力N ,则

0=∑A

M

01sin 1cos 13.1=?-?-?C N C N

C

C N cos sin 3

.1+=

8.05.122sin 2

2

=+=C

6.05

.125.1cos 2

2

=+=C

)(929.06

.08.03

.1kN N =+=

)(213333404012112433mm bh I =??==

)(547.1140

40213333

mm A

I i =?==

915.216547

.11105.213

>=??==i l

μλ

由公式(9—12b )得:

0597.05

.2162800

2800

2

2

==

=

λ? MPa st 597.0100597.0][][=?==σ?σ

MPa mm

N A N 581.040409292=?==

σ 因为st ][σσ<,所以压杆BC 稳定。

A

[习题9-13] 一支柱由4根mm mm mm 68080??的角钢组成(如图),并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支,柱长m l 6=,压力为

kN 450。若材料为Q235钢,强度许用应力MPa 170][=σ,试求支柱横截面边长a 的尺寸。

解:

(查表:

,查表得:

m 4

= mm

[习题9-14] 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规范中实腹式b

类截面中心受压杆的要求,截面形式如图所示,材料为Q235钢,MPa 170][=σ。若按两端铰支考虑,试求杆所能承受的许可压力。

解:由型钢表查得 角钢:

查表:

[习题9-15] 图示结构中,BC 为圆截面杆,其直径mm d 80=;AC 边长mm a 70=的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A 端固定,B 、C 为球形铰。两杆的材料均为Q235钢,弹性模量GPa E 210=,可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数5.2=st n ,试求所能承受的许可压力。

解:BC 段为两端铰支,1=μ

)(20096008014.364

1

64

444

mm d I =??=

=

π 2

24

2322

220002009600/1021014.3mm

mm mm N l EI

P cr ???==

π kN N 227.10401040227==

)(4165

.2227

.1040][kN n P F st cr BC ===

AB 杆为一端固定,一端铰支,7.0=μ

)(20008337012

1

12444mm a I =?==

kN N mm

mm mm N l EI P cr 4.939621.93940021002000833/1021014.3)(2

24

23222==???==μπ )(37676.3755

.24

.939][kN n P F st cr AC ≈===

故 kN F 376][=

[习题9-16] 图示一简单托架,其撑杆AB 为圆截面木杆,强度等级为TC15。若架上受集度

为 的均布荷载作用,AB 两端为柱形铰,材料的强度许用应力

试求撑杆所需的直径d 。

解:取m m -以上部分为分离体,由

,有

m

求出的

与所设

基本相符,故撑杆直径选用

m 。

[习题9-17] 图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成,C ,D 两处均为球铰。已知

mm ,

mm ,

mm ;

;强度安全

因数

,稳定安全因数 。试确定该结构的许可荷载。

解:(1)杆CD 受压力 3

F

F CD =

梁BC 中最大弯矩 3

2F M B =

(2)梁BC 中

(3)杆CD

(Q235钢的)100=P λ

=

(由梁力矩平衡得)

故,由(2)、(3)可知,kN F 5.15][=

[习题9-18] 图示结构中,钢梁AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根

mm mm mm 56363??角钢组成,杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度m kN q /48=。梁及柱的材料均为Q235钢,MPa 170][=σ,

GPa E 210=。试验算梁和立柱是否安全。

解:(1)求多余约束力CD F

把CD 杆去掉,代之以约束反力

CD F 。由变形协调条件可知, CD C l w ?= CD cF Cq l w w CD ?=+

EA l F EI l F EI ql CD CD AB CD AB

=-4838453

4

A

l F I l F I ql CD CD AB CD AB

=-4838453

4 查型钢表得:16号工字钢的41130cm I z =,3

141cm W z =

mm mm mm 56363??L 形角钢的面积:

2143.6cm A =,417.23cm I z =,cm i z 94.1=

2

433444286.122001130484001130384400100/485cm cm

F cm cm F cm cm cm kN CD CD ?=??-??? 286.12200

1130484001130384400100/48534?=??-???CD CD F F kN

CD CD F F 279.16941.11799203.141592=- )(367.118kN F CD =

(2)梁的强度校核

0=∑A

M

04482

1

2367.11842=??-

?+?B R )(8165.36kN R B = (↑)

)(8165.36367.1188165.36448kN R A =--?=

AC 段:x x Q 488165.36)(-=;2

248165.36)(x x x M -= 令 0488165.36)(=-=x x Q ,得:当m x 767.0=时,

)(119.14767.024767.08165.362

max m kN M ?=?-?=

CB 段:2

24)2(367.1188165.36)(x x x x M --+=

m kN M ?=367.22||max

因为 MPa MPa mm

mm

N W M z 170][631.1581014110367.22||3

36max max =<=???==σσ 所以 符合正应力强度条件,即安全。 (3)立桩的稳定性校核 由柔度10394.12001=?=

=

cm

cm

i l

z

μλ查表得稳定因素536.0=?

因为MPa mm

N

A F N 343.9610286.1211836722=?==

σ, MPa st 12.91170536.0][][=?==σ?σ st ][σσ>,而且,

%5%73.512

.9112

.91343.96>=-

所以压杆会失稳。不安全。

材料力学第9章压杆稳定习题解

第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时,压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同,由此所得cr F 公式又是否相同。 解: 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。 因为(b )图与(a )图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是 )("x M EIw -=。(c )、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:)("x M EIw =,显然,这微分方程与(a )的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:2 2l EI P cr π= 。 [习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f 所示杆在中间支承处不能转动) 解:压杆能承受的临界压力为:2 2) .(l EI P cr μπ=。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比,其中,μ为与约束情况有关的长 度系数。 (a )m l 551=?=μ (b )m l 9.477.0=?=μ (c )m l 5.495.0=?=μ (d )m l 422=?=μ (e )m l 881=?=μ

(f )m l 5.357.0=?=μ(下段);m l 5.255.0=?=μ(上段) 故图e 所示杆cr F 最小,图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a )的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b )的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π= 为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。 螺旋千斤顶(图c )的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无影响校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全 解:临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座,所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定,一端自由的情况,它的长度因素2=μ,其临界力为:2 min 2).2(l EI P cr π= 。但是,(a) 为一端弹簧支座,一端自由的情况,它的长度因素 2≠μ,因此,不能用2 min 2) .2(l EI P cr π= 来计算临界力。 为了考察(a )情况下的临界力,我们不妨设下支座(B )的转动刚度l EI M C 20 ==? ,且无侧向位移,则: )()("w F x M EIw cr -=-=δ 令 2k EI F cr =,得: δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为:δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos ' -= 由边界条件:0=x ,0=w ,C F C M w cr δ?== =' ;l x =,δ=w 解得: Ck F A cr δ= ,δ-=B ,δδδ δ+-=kl kl Ck F cr cos sin 整理后得到稳定方程:20/tan == l EI C kl kl

《材料力学》压杆稳定习题解

第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时,压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同,由此所得cr F 公式又是否相同。 解: 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。 因为(b )图与(a )图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是 )("x M EIw -=。(c )、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:)("x M EIw =,显然,这微分方程与(a )的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:2 2l EI P cr π=。

[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f 所示杆在中间支承处不能转动)? 解:压杆能承受的临界压力为:2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆, 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比,其中,μ为与约束情况有关的长 度系数。 (a )m l 551=?=μ (b )m l 9.477.0=?=μ (c )m l 5.495.0=?=μ (d )m l 422=?=μ (e )m l 881=?=μ (f )m l 5.357.0=?=μ(下段);m l 5.255.0=?=μ(上段) 故图e 所示杆cr F 最小,图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a )的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b )的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= ?为什么?并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。

第九章 压杆稳定答案

第九章 压杆稳定 1、图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起破坏,试确定荷载F 为最大时的θ角(假设2 0π θ≤ ≤ 解:由平衡条件 0=∑y F ,θcos F F NAB = 0=∑x F ,θsin F F NBC = 使F 为最大值条件使杆AB 、BC 的内力同 时达到各自的临界荷载。设AC 间的距离为l ,AB 、BC 杆的临界荷载分别为 () θθππcos sin 222 2F l EI l EI F AB NAB === () θθππsin cos 2222F l EI l EI F BC NBC === 由以上两式得 解得 4/πθ=。 2、一承受轴向压力的两端铰支的空心圆管,外径mm D 52=,内径 mm d 44=,mm l 950=。材料的MPa b 1600=σ, MPa p 1200=σ,GPa E 210=。试求此杆的临界压力和临界应力。 解: 6.41101200102106 9 221=???==πσπλp E 支承可视为两端铰支,故 1=μ, 回转半径为 mm mm d D i 017.04/44524/2222=+=+=

斜撑杆得柔度 9.55017.0/95.01=?==l μλ 因1λλ>,为大柔度杆,故可用欧拉公式计算临界荷载,临界压力为cr F 和临界应力cr σ分别为: ()() ()KN N l EI F cr 40295.01044.0052.064 102102 4 4 922 2 =?-? ??= =π πμπ MPa A F cr cr 666== σ 3、蒸汽机车的连杆如图所示,截面为工字型,材料为Q235钢,连杆所受最大轴向压力为kN 465。连杆在xy 平面内发生弯曲,两端可视为铰支,在xz 平面内发生弯曲,两端可视为固定。试确定工作安全系数。 解 连杆横截面的几何特性: A =[14×9.6-(9.6-1.4)×8.5]cm 2=64.7cm 2 I y =407 cm 4 I z =1780 cm 4

《材料力学》第9章压杆稳定习题解

第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状,导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时,压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同,由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解:挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。 因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是 " M x EIw ( ) 。(c)、(d) 的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程: " M x EIw ( ),显然,这微分方程与(a)的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即: 2 EI P cr 。 2 l

1

[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图 f 所示杆在中间支承处不能转动)? 解:压杆能承受的临界压力为: 2 EI P cr 。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比,其中,为与约束情况有关的长度系数。 (a)l 1 5 5m (b)l 0.7 7 4. 9m (c)l 0.5 9 4.5m (d)l 2 2 4m (e)l 1 8 8m (f )l 0.7 5 3.5m (下段);l 0.5 5 2. 5m (上段) 故图 e 所示杆F最小,图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a)的基础放在弹性 地基上,第二根杆(图b)的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ?为什么?并由此判断压杆长因数是否可能大于2。

第九章压杆的稳定习题

第九章 压杆的稳定习题 一、填空题 1、对于大柔度杆,用 计算临界压力;对于中柔度杆,用 计算临界压力 2、对于大柔度杆,用来计算临界压力的欧拉公式为 ;对于中柔度杆,用来计算临界压力的经验公式为 。 3、求临界应力的公式22cr E λ πσ=。式中的λ称为压杆的 ,根据λ数值由大 到小, 把压杆具体分为 , 和 。 二、计算题 1、如图有一截面为圆形的大柔度压杆,杆长2.5m ,截面直径为40mm 。杆的一端固定,一端铰支,材料的弹性模量E =210G pa 。试求杆的临界压力P cr 。 2、如图所示,某液压作动筒的活塞杆,长度l =1800mm ,直径d =60mm ,承受轴向载荷F =120kN,可认为两端铰支。活塞杆材料的弹性模量E =210Gpa ,λp =100。若规定稳定安全系数[n st ]=3,试对活塞杆的稳定性进行校核。 图 9.2.1 图9.2.2

3、图示托架中杆AB的直径d=40mm,长度l=800mm,两端可视为铰支,材料是Q235钢。材料的弹性模量E=210Gpa。 (1)试按杆AB的稳定条件求托架的临界压力F cr。 (2)若已知实际载荷F=70kN,稳定安全系数[n st]=2, 问此托架是否安全。(注:Q235钢,a=310Mpa b=1.14Mpa λp=100 λs=60) 4、如图一截面为12×20cm2的矩形木柱为大柔度杆,杆长L=4m,在最小刚度平面弯曲时,长度系数μ=1,木材的弹性模量E=10Gpa,试求木柱的临界压力。 5、如图一横截面为圆的大柔度杆,横截面直径d=16cm,杆长L=5m,材料的弹性模量E=210Gpa。杆的两端铰支,长度系数μ=1。试求杆的临界压力P cr。 图9.2.3 图9.2.4 图9.2.5

第九章压杆稳定答案

第九章压杆稳定答案

第九章压杆稳定答案

第九章压杆稳定 1、图示铰接杆系ABC 由两根具有相同 截面和同样材料的细长杆所组 成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而引 起破坏,试确定荷载 F 为最 大时的,角(假设0 —岂二)。 解:由平衡条件 二 F y = 0, F NAB = F COST 二:Fx = 0, F NBC = F si nr 使F 为最大值条件使杆 AB 、BC 的内力 AC 间的距离为 I , AB 、BC 杆的临界荷载分别为 H 2EI 兀 2EI FNAB =—応—? 由以上两式得 2、一承受轴向压力的两端铰支的空心圆管,外径 D 二52mm ,内径 d 二 44mm ,l = 950mm 。材料的二 b = 1600MPa ,匚 p = 1 200MPa , E 二210GPa 。试求此杆的临界压力和临界应力。 9 10 10 1200 106 支承可视为两端铰支,故 J =1, F NBC 寻 里二F S 卄 I BC (I cos° 2 同时达到各自的临界荷载。设 二 41.6 解:

回转半径为 i - . D2d2 /4 - 522442/4mm = 0.017mm 斜撑杆得柔度 ■ - '

压杆稳定习题

第九章 压杆稳定 姓名 班级 学号 一、 填空和选择 1.理想均匀直杆与轴向力F=F cr 时处于直线平衡状态,当其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆( ) A 弯曲变形消失,恢复直线形状; B 弯曲变形减小,不能恢复直线形状; C 微弯变形状态不变; D 弯曲变形继续增大 2. 压杆的柔度集中地反映了压杆的( )对临界应力的影响 A 长度、约束条件、截面形状和尺寸; B 材料、长度和约束条件; C 材料、约束条件、截面形状和尺寸; D 材料、长度、截面形状和尺寸 3.两端铰支圆截面细长压杆,在某一截面上开一个小孔,关于小孔对杆承载能力的影响,以下论述正确的是( ) A 对强度和稳定承载能力都有较大消弱; B 对强度有较大消弱,对稳定承载能力消弱极微 C 对强度无消弱,对稳定承载能力有较大消弱; D 对强度和稳定承载能力都不会消弱 4.细长杆在图示约束情况下,其长度因素μ的大小在( )范围内。 (A) μ>2; (B) 2>μ>; (C) >μ>; (D) μ<。 题 4 图 题5 图 5. 上端自由、下端固定的压杆,横截面为80*80*5号等边角钢,失稳时截面会绕轴 弯曲。 (A) z 或y 轴; (B)zc 或yc 轴; (C) y0轴; (D) z0轴。 6. 图示为支撑情况不同的圆截面细长杆,各杆的直径和材料相同, 的柔度最大,数值为 ; 的柔度最小,数值为 ; 的临界力最大,数值为 ; 的临界力最小,数值为 ; 7. 两根细长压杆的长度、横截面面积、约束状态以及材料均相同,若横截面形状分为正方 形和圆形,则截面形状为 的柔度大,截面形状为 的临界力大。 8. 下列关于压杆临界应力cr σ的结论中,( )是正确的。 A 细长杆的cr σ与杆的材料无关; B 中长杆的cr σ与杆的柔度无关 C 中长杆的cr σ与杆的材料无关; D 短粗杆的cr σ与杆的柔度无关

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第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力 P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后 发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆( A )。 A 、弯曲变形消失,恢复直线形状 ; B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状; C 、微弯状态不变; D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态, 此时若解除压力 P ,则压杆的微 弯变形( C ) A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆,是根据压杆的( D )来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 A ) 对临界应力的影响。 ; 试判断哪一根最容易失稳。答案: ( a ) 6、两端铰支的圆截面压杆,长 1m ,直径 50mm 。其柔度 为 ( C ) A.60 ; B.66.7 ; C.80 ; D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下, 压杆采用图 ( D )所示截面形状,其稳定性最好。 8、细长压杆的( A ),则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小; B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大; C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大; D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小; 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度( C ) A 、λ≤ E B 、λ≤ E P s C 、λ≥ E D 、λ≥ E P s B 、材料,长度和约束条件; C 、材料,约束条件,截面尺寸和形状; D 、材料,长度,截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同, 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的(A 、长度,约束条件,截面尺寸和形状

第九章 压杆稳定 习题选解

习 题 [9-2] 长m 5的10号工字钢,在温度为C 00时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数107)(10125--?=C l α,GPa E 210=。试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定性? 解: A l EI A F E N 2 min 2)5.0(πεσ== = 2 min 24Al EI A F E N πεσ=== 2 min 24Al I πε= 查型钢表得10号工字钢面积、惯性矩分别为: 242103.143.14m cm A -?==;484min 103333m cm I I y -?===。于是: 故,当温度升高至C 02.29时,杆将丧失稳定性。 [9-5] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。力F 与AB 杆轴线间的夹角为θ,且2 0π θ< <。若由于杆件在纸平面ABC 内失稳而引 起毁坏,试确定荷载F 为最大时的θ角及最大临界荷载。

图 习题?-59解:(1)求θ 要使设计合理,必使AB 杆与BC θπcos 2 2 ,F l EI F AB AB cr == θπsin 2 2,F l EI F BC BC cr == 02260cot (tan cos sin ===BC AB l l F F θθθ '00022618435.18)60arctan(cot ===θ (2)求最大临界荷载max F 由θπcos 2 2,F l EI F AB AB cr == 得: 2 20 2022 216 .41572 .41435.18cos )60cos (cos l EI l EI l EI l EI F AB ≈== = πθ π 或由θπsin 2 2,F l EI F BC BC cr == 得: 2 20 2022 226 .41578 .41435.18sin )60sin (cos l EI l EI l EI l EI F BC ≈== = πθ π 故,2max 6 .41l EI F ≈ [9-9] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱,截面为mm mm 150150?的正方形,长度m l 5.3=,强度许用应力MPa 10][=σ。试求木柱的许可荷载。

材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定

第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆( A )。 A 、弯曲变形消失,恢复直线形状; B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状; C 、微弯状态不变; D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ,则压杆的微弯变形( C ) A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆,是根据压杆的( D )来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的( A )对临界应力的影响。 A 、长度,约束条件,截面尺寸和形状; B 、材料,长度和约束条件; C 、材料,约束条件,截面尺寸和形状; D 、材料,长度,截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同, 试判断哪一根最容易失稳。答案:( a ) 6、两端铰支的圆截面压杆,长1m ,直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60; B.66.7; C .80; D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下,压杆采用图( D )所示截面形状,其稳定性最好。 8、细长压杆的( A ),则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小; B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大; C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大; D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小; 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度( C ) A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ

材料力学习题册答案第9章 压杆稳定

第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆( A )。 A 、弯曲变形消失,恢复直线形状; B 、弯曲变形减少,不能恢复直线形状; C 、微弯状态不变; D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P ,则压杆的微弯变形( C ) A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆,是根据压杆的( D )来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的( A )对临界应力的影响。 A 、长度,约束条件,截面尺寸和形状; B 、材料,长度和约束条件; C 、材料,约束条件,截面尺寸和形状; D 、材料,长度,截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同, 试判断哪一根最容易失稳。答案:( a ) 6、两端铰支的圆截面压杆,长1m ,直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60; B.66.7; C .80; D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下,压杆采用图( D )所示截面形状,其稳定性最好。 8、细长压杆的( A ),则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小; B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大; C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大; D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小; 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度( C ) A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ

第九章 压杆稳定习题

第九章压杆稳定 姓名班级学号 一、填空和选择 1.理想均匀直杆与轴向力F=F cr时处于直线平衡状态,当其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆() A 弯曲变形消失,恢复直线形状; B 弯曲变形减小,不能恢复直线形状; C 微弯变形状态不变; D 弯曲变形继续增大 2. 压杆的柔度集中地反映了压杆的()对临界应力的影响 A 长度、约束条件、截面形状和尺寸; B 材料、长度和约束条件; C 材料、约束条件、截面形状和尺寸; D 材料、长度、截面形状和尺寸 3.两端铰支圆截面细长压杆,在某一截面上开一个小孔,关于小孔对杆承载能力的影响,以下论述正确的是() A 对强度和稳定承载能力都有较大消弱; B 对强度有较大消弱,对稳定承载能力消弱极微 C 对强度无消弱,对稳定承载能力有较大消弱; D 对强度和稳定承载能力都不会消弱4.细长杆在图示约束情况下,其长度因素μ的大小在()范围内。 (A) μ>2;(B) 2>μ>0.7;(C) 0.7>μ>0.5;(D) μ<0.7。 题4 图题5 图 5. 上端自由、下端固定的压杆,横截面为80*80*5号等边角钢,失稳时截面会绕轴弯曲。 (A) z或y轴;(B)zc或yc轴; (C) y0轴;(D) z0轴。 6. 图示为支撑情况不同的圆截面细长杆,各杆的直径和材料相同,的柔度最大,数值为;的柔度最小,数值为;的临界力最大,数值为;的临界力最小,数值为; 7. 两根细长压杆的长度、横截面面积、约束状态以及材料均相同,若横截面形状分为正方形和圆形,则截面形状为的柔度大,截面形状为的临界力大。 的结论中,()是正确的。 8. 下列关于压杆临界应力 cr

第9章 压杆稳定

第九章压杆稳定 §9.1 压杆稳定的概念 §9.2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 §9.4 欧拉公式的适用范围,经验公式 §9.5 压杆的稳定校核 §9.6 提高压杆稳定性的措施 1. 引言 强度——构件抵抗破坏(塑性变形或断裂)之能力 ①刚度——构件抵抗变形的能力 稳定性——构件保持原有平衡形态的能力 稳定状态 ②平衡不稳定状态 随意状态 ③失稳:构件从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的现象称为 失稳。 2.实例 cr

cr ①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。 ②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。 ③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。 ④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。 ⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。 3.稳定研究发展简史 早在18世纪中叶,欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视,没有在工程中得到应用。原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。这些材料不易制细细长压杆,金属薄板、薄壳。随着冶金工业和钢铁工业的发展,压延的细长杆和薄板开始得到应用。19世纪末20世纪初,欧美各国相继兴建一些大型工程,由于工程师们在设计时,忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。 例如:19世纪末,瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构,由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏,造成200人受难。弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋,危害严重,由于工程事故不断发生,才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定

材料力学 压杆稳定答案

9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f所示杆在中间支承处不能转动)? 解:对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与成反比,此处,为与约束情况有关的长度系数。 (a)=1×5=5m (b)=0.7×7=4.9m (c)=0.5×9=4.5m (d)=2×2=4m (e)=1×8=8m (f)=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小,图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢,在温度为时安装在两个固定支座之间, 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时,杆将丧失稳定? 解:

返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力F之临界值的算式(按 细长杆考虑),确定最小临界力的算式。 解:在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况: (a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳: (b)两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲,则1,2两杆 组成一组合截面。 (c)两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳

故面外失稳时最小 =。 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成,在点B铰支,而在点A和点C固定,D为铰接点,。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解:杆DB为两端铰支,杆DA及DC为一端铰支一端固定,选取。此结构为超静定结构,当杆DB失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力,故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力,试求压杆的许可荷载。

《材料力学》第9章压杆稳定习题解

第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时,压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同,由此所得cr F 公式又是否相同。 解:挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。 因为(b )图与(a )图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是 )("x M EIw -=。(c )、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:)("x M EIw =,显然,这微分方程与(a )的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:2 2l EI P cr π= 。 [习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f 所示杆在中间支承处不能转动)? 解:压杆能承受的临界压力为:2 2) .(l EI P cr μπ=。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与原压相的相当长度l μ的平方成反比,其中,μ为与约束情况有关的长 度系数。 (a )m l 551=?=μ (b )m l 9.477.0=?=μ (c )m l 5.495.0=?=μ (d )m l 422=?=μ (e )m l 881=?=μ (f )m l 5.357.0=?=μ(下段);m l 5.255.0=?=μ(上段) 故图e 所示杆cr F 最小,图f 所示杆cr F 最大。

材料力学压杆稳定分析

第九章压杆稳定 9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架,杆的直径均为d=40mm,材料的弹性模量E=200GPa, a=1m,试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用,则最小荷载又是多少? 答:F t=124kN, F c=350.2kN F 题 9 - 1 图解:当F的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F 294 2 2 200100.04 124 () 124 cr t cr EI F kN l F F kN π π π μ ???? ===∴== 当F 为压力时,长为a的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为 2 F 294 2 22 200100.04 64248 ()(11) 248 2 350.7 cr c c EI F kN l F kN F kN π π π μ ???? === ? = ∴= 9-2 如图所示细长杆,试判断哪段杆首先失稳。 答:(d) 解:0.5 μ= a 0.7 μ= b 0.7 μ= c 2 μ= d 2 2 () π μ μμμμ = >=> cr d c b a EI F l

crd F ∴最小 ∴d 杆最容易失稳 9-3 试求图示压杆的临界力,材料是HPB235。 答:F cr =19.7kN 题 9 - 3 图 30X 30X 4 解:一端为自由端,一端为固定端,则2μ = 22 ()cr EI F l πμ= 查表可知: 8408 4 0 2.92100.7710x y I m I m --=?=? 因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I I m -==? 298 2 210100.771019.7(20.45)cr F kN π-????∴= =? 9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时,压杆会在哪个平面内失稳(即失稳时,横截面绕哪根轴转动)?

第九章压杆稳定答案

i - . D 2 d 2 / 4 = 52 2 442 / 4mm = 0.017mm 第九章压杆稳定 1、图示铰接杆系ABC 由两根具有相同 截面和同样材料的细长杆所组 成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而 引起破坏,试确定荷载 F 为最 大时的二角(假设0-」勺)。 解:由平衡条件 二 Fy = 0, F NAB = F COSd 二 F x - 0 , F NBC - F sin T 使F 为最大值条件使杆AB 、BC 的内力同 时达 到各自的临界荷载。设 AC 间的距离为I , AB 、 BC 杆的临界荷载分别为 H 2 EI 兀 2EI F NAB = 7T = 7S —5 F NBC 二 2EI 二 2EI 由以上两式得 2、一承受轴向压力的两端铰支的空心圆管,外径 D 二52mm ,内径 d 二 44mm ,I 二 950mm 。材料的二 b = 1600MPa ,二 p 二 1200MPa , E = 210GPa 。试求此杆的临界压力和临界应力。 支承可视为两端铰支,故 J =1, BC (I cos 。f 二 41.6 解: 2 9 ■: 210 10 \ 1200 106

回转半径为 4

4 斜撑杆得柔度 ■ - l.i =1 0.95/0.017 =55.9 因■ ■ !,为大柔度杆,故可用欧拉公式计算临界荷载,临界压力为 F cr 和临界 应力二cr 分别为: 2 9 : .? 4 4 _.2 二2 210 109 0.0524 -0.0444 F cr ' -3 64 2 N =402KN (H ) (1x0.95) ”-心 匹=666 MPa A 3、蒸汽机车的连杆如图所示,截面为工字型,材料为 Q235钢,连 杆所受最大轴向压力为465kN 。连杆在xy 平面内发生弯曲,两端可视 为铰支,在xz 平面内发生弯曲,两端可视为固定。试确定工作安全系 数。 | 3100 解 连杆横截面的几何特性: 2 2 A =[ 14>9.6- (9.6-1.4) >8.5] cm =64.7cm 4 I y =407 cm L

《材料力学》压杆稳定习题解

第九章压杆稳定习题解 [习题9-1]在§ 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a所示坐标系及挠度曲线 状时,压杆在F cr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,由此所得F cr公式又是否相同。 因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是 Elw" M(x)°( c)、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程: Elw" M (x),显然,这微分方程与(a)的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的 形状,导出了临界应力公式P cr 2EI 。试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形解:挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。 位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即: P er 2EI

?为什么?并由此判断压杆长因数 是否可能大于2。 [习题9-2]图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图 所示杆在中间支承处不能转动)? 它们能承受的压力与原压相的相当长度 丨的平方成反比,其中,为与约束情况有关的长 度系数。 (a ) l 1 5 5m (b ) l 0.7 7 4.9m (e ) l 0.5 9 4.5m (d ) l 2 2 4m (e ) l 1 8 8m (f ) l 0.7 5 3.5m (下段); l 0.5 5 2.5m (上段) 故图e 所示杆F cr 最小,图f 所示杆F cr 最大。 [习题9-3]图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接, 但第一根杆(图a )的基础放在弹性 解:压杆能承受的临界压力为: P er 2 EI (.l )2 由这公式可知, 对于材料和截面相同的压杆,

材料力学考试习题压杆稳定

压 杆 稳 定 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 如果细长压杆有局部削弱,削弱部分对压杆的影响有四种答案,正确的是( )。 A .对稳定性和强度都有影响 B .对稳定性和强度都没有影响 C .对稳定性有影响,对强度没有影响 D .对稳定性没有影响,对强度有影响 2. 图示长方形截面压杆,h /b = 1/2;如果将b 改为h 后仍为细长杆,临界力cr P 是原来的( )倍。 A .2倍 B .4倍 C .8倍 D .16倍 3. 细长压杆,若长度系数μ增加一倍, 则临界压力cr P 的变化是( )。 题2图 A .增加一倍 B .为原来的四倍 C .为原来的四分之一 D .为原来的二分之一 4. 图示四根压杆的材料、截面均相同,它们在纸面内失稳的先后次序是( )。 题4图 A .(a )、(b )、(c )、(d ) B .(d )、(a )、(b )、(c ) C .(c )、(d )、(a )、(b ) D .(b )、(c )、(d )、(a ) 5. 正方形截面杆,横截面边长a 和杆长l 成比例增加,它的长细比( )。 A .成比例增加 B .保持不变 C .按2 ??? ??a l 变化 D .按2 ?? ? ??l a 变化 6. 如图所示直杆,其材料相同,截面和长度相同,支承方式不同,在轴向压力下,他 们的柔度是( )。 A .a λ大,c λ小 B .b λ大,d λ小 C .b λ大,c λ小 D .a λ大,b λ小 -46-

7. 若压杆在两个方向上的约束情况不同,且y μ>z μ。那么该压杆的合理截面应满足的条件是( )。 A .z y I I = B .y I <z I C .y I >z I D .y z λλ= 题6图 8. 两压杆为管状薄壁容器式的细长杆,管两端封闭,且为铰支承。(a )杆无内压,(b ) 杆有内压,其它条件相同。则两杆临界应力的关系是( )。 A .()()b cr a cr σσ= B .()a cr σ>()b cr σ C .()a cr σ<()b cr σ D .无法比较 9. 两根细长杆,直径、约束均相同,但材料不同,且212E E =,则两杆临界应力的关系是( )。 A .()()21cr cr σσ= B .()()212cr cr σσ= C .()()212 1 cr cr σσ= D .()()213cr cr σσ= 10. 由稳定条件][σ?A P ≤,可求[P ],当A 增加—倍时,则[P ]增加的规律有四种答案: A .增加一倍 B .增加二倍 C .增加2 1 倍 D .与A 不成比例 二、判断题(正确的打“√”,错的打“×”) 1. 当压杆的中心压力P 大于临界压力cr P 时,杆原来的直线形式的平衡是 不稳定的平衡。( ) 2. 临界力cr P 只与压杆的长度及两端的支承情况有关。( ) 3. 对于细长压杆,临界压力cr P 的值不应大于比例极限p σ。( ) 4. 压杆的柔度λ与压杆的长度、横截面的形状和尺寸以及两端的支承情况有关。( ) 5. 对压杆进行稳定计算时,公式中压杆的横截面面积A 应采用所谓的“毛面积”。( ) 6. 压杆的长度系数μ与压杆的长度以及横截面的形状和大小有关。( ) 7.计算压杆临界力的欧拉公式2 ) (l EI P cr μπ= 只适用于λ>p λ,的大柔度压杆。( ) -47-

材料力学习题册答案-第9章压杆稳定

第九章压杆稳定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形,若此时解除干扰力,则压杆( A )。 A、弯曲变形消失,恢复直线形状; B、弯曲变形减少,不能恢复直线形状; C、微弯状态不变; D、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q时发生失稳而处于微弯平衡状态,此时若解除压力P,则压杆的微弯变形( C ) A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆,中长杆还是短粗杆,是根据压杆的( D )来判断的。 A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的( A )对临界应力的影响。 A、长度,约束条件,截面尺寸和形状; B、材料,长度和约束条件; C、材料,约束条件,截面尺寸和形状; D、材料,长度,截面尺寸和形状; 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同, 试判断哪一根最容易失稳。答案:( a ) 6、两端铰支的圆截面压杆,长1m,直径50mm。其柔度为 ( C ) ;;; 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下,压杆采用图( D )所示截面形状,其稳定性最好。 8、细长压杆的( A ),则其临界应力σ越大。 A、弹性模量E越大或柔度λ越小; B、弹性模量E越大或柔度λ越大; C、弹性模量E越小或柔度λ越大; D、弹性模量E越小或柔度λ越小; 9、欧拉公式适用的条件是,压杆的柔度( C ) A、λ≤ 、λ≤ C、λ≥ D 、λ≥

10、在材料相同的条件下,随着柔度的增大( C ) A 、细长杆的临界应力是减小的,中长杆不是; B 、中长杆的临界应力是减小的,细长杆不是; C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的; D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的; 11、两根材料和柔度都相同的压杆( A ) A.?临界应力一定相等,临界压力不一定相等; B.?临界应力不一定相等,临界压力一定相等; C.?临界应力和临界压力一定相等; D. 临界应力和临界压力不一定相等; 12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中,( D )是正确的。 A 、细长杆的σe 值与杆的材料无关; B 、中长杆的σe 值与杆的柔度无关; C 、中长杆的σe 值与杆的材料无关; D 、粗短杆的σe 值与杆的柔度无关; 13、细长杆承受轴向压力P 的作用,其临界压力与( C )无关。 A 、杆的材质 B 、杆的长度 C 、杆承受压力的大小 D 、杆的横截面形状和尺寸 二、计算题 1、 有一长l =300 mm ,截面宽b =6 mm 、高h =10 mm 的压杆。两端铰接,压杆材料为Q235钢,E =200 GPa ,试计算压杆的临界应力和临界力。 解:(1)求惯性半径i 对于矩形截面,如果失稳必在刚度较小的平面内产生,故应求最小惯性半径 mm 732.112 612 1 123min min == =?== b bh hb A I i (2)求柔度λ λ=μl /i ,μ=1, 故 λ=1×300/=519>λp =100 (3)用欧拉公式计算临界应力 () MPa 8.652.1731020ππ2 4 22 2cr =?= = λ σE (4)计算临界力 F cr =σcr ×A =×6×10=3948 N= kN 2、一根两端铰支钢杆,所受最大压力KN P 8.47=。其直径mm d 45=,长度mm l 703=。 钢材的E =210GPa ,p σ=280MPa ,2.432=λ。计算临界压力的公式有:(a) 欧拉公式;(b) 直线公式cr σ=λ(MPa)。 试 (1)判断此压杆的类型; (2)求此杆的临界压力;

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