高等代数(北大版)第8章习题参考答案

高等代数(北大版)第8章习题参考答案
高等代数(北大版)第8章习题参考答案

第八章 λ—矩阵

1. 化下列矩阵成标准形 1)???

?

??+-λλ

λλλ

λ3522

2

3

2)????

? ?

?-+--22

2211λλλλλλλλλ 3)?????

?

?++22

)1(000000λλλ

λ 4)?????

?

?

?

?---00

000)1(0000

0022

2

2λλλλ

λλ 5)?????

??---+-+--+-+--+1244323534321232322

222λλλλλλλλλλλλλλ

6)???

???

?? ??-----++002213300101

0260

2206341032λλλλλλλλλλλλ

λλ 解 1)对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ????

?

?+-λλ

λλλ

λ352223→ ???? ?

?-+λλλλλλ32

2253→ ???

?

??+λλλλλλ3-10-053232 → ???

?

??--λλλλ

3100

023= B )(λ, B )(λ即为所求。

2)对-λ矩阵作初等变换,有

A =)(λ ?????

?

?-+--22

2211λλλλλλ

λλλ

→ ????

?

??--222

101λλλλλλ→ ???

?

?

??+--)1(000001λλλλ

→ ????

? ??+λλλ2000000

1= B )(λ, B )(λ即为所求。

3)因为???

??

??++22)1(0000

λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 32)1(+λλ, 所以

d 1 = 1, d 2 =

12

D D = )1(+λλ, d 3 = 2

3D D = 2)1(+λλ, 从而

A =)(λ???

??

?

?++22)1(00000

λλλ

λ→ ???

?

?

??+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ,

B )(λ即为所求。

4)因为????

?

?

?

?

?---00

000)1(0000

022

2

2λλλλ

λλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ,

所以

d 1 = 1,d 2 =

12D D = )1(-λλ,d 3 = 23D D = )1(-λλ,d 4 = 3

4D D

= 22)1(-λλ, 从而

A =)(λ?????

?

?

?

?---00

000)1(0000

0022

2

2λλλλ

λλ → ??

?

?

?

?? ?

?λλλλ-λλλ222

1)-(00001)-(0000)1(0001= B )(λ, B )(λ即为所求。

5)对-λ矩阵作初等变换,有

A =)(λ????

? ??---+-+--+-+--+1244323534321232322

222λλλλλλλλλλλλλλ

→????

? ??-λ-λ-λ-λ-λ-λ-λ-λ122223342122322

222

→????? ??-λ-λ-λ+λ+λ--λ+λ-1000110542672

2324 →???

??

??-λ-λ+λ+λ--λ+λ+λ-100010054212323 →???

??

??-λ+λ-λ-λ10001000123 →???

?

? ??+λ-λ-λ-λ10001000123= B )(λ,

B )(λ即为所求。

6)对-λ矩阵作初等变换,有

A =)(λ???

??

??

? ??-----++002213300101

0260

2206341032λλλλλλλλλλλλλλ →???

???

?

? ??λ--λ-λλλλ+λλ0001000101

0200

22000

1000

→???

??

??? ??λ--λλλλλ0001000001

0200

00001000

→????????

??λ--λλλ-λ0001000001

0000

000

10002

→???????

?

??λ--λλλ-0001000001

0000

0000

010002

→???

???

?

?

?

?λ--λλλ-100

00010000000000

000

0012,

在最后一个行列式中

D 3 =1, D 4 =)1(-λλ, D 5 = 23)1(-λλ,

所以

d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 =

34

D D =)1(-λλ, d 5 = 4

5D D =)1(2-λλ。 故所求标准形为

B )(λ = ???

??

?

?? ?

?-λλ-λλ)1(00

0001)(00000100

00010

001

2。 2.求下列-λ矩阵的不变因子:

1)????? ??-λ--λ--λ20012001

2 2)?

???

??

? ??+λ-λ-λ-λ234510001000

1

3)???????

?

?+-++-+αλβ

βαλα

λββαλ00001001 4)??????

?

??+λ+λ+λ000200210210

0100 5)??????

? ??-λ-λ+λ+λ2000010000200001

解 1)所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为 D 1 =1, D 2 =1, D 3 = 3)2(-λ,

故该-λ矩阵的不变因子为

d

1 =d

2 =1, d

3 =3

)

2(-λ。

2)因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为 D 3 =D 2 =D 1 =1, D 4 =5432234+λ+λ+λ+λ,

故-λ矩阵的不变因子为

d

1 =d

2 =d

3 =1, d

4 =5432234

+λ+λ+λ+λ

3)当0≠β时,有 D 4 =

α

λββαλαλββαλ+-++-+ = []222)(βαλ++,

且在-λ矩阵中有一个三阶子式 β

α

λα

λβ

++0

100

1 = )(2αλβ+-,

于是由

[)(2αλβ+,D 3 ] = 1,

可得

D 3 = 1,

故该-λ矩阵的不变因子为 d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 =

[]

2

22

)

(βαλ++。

当0=β时,由

D 1 =1, D 2 =1, D 3 = 2

)(αλ+, D 4 = 4

)(αλ+,

从而

d 1 =d 2 =1, d 3 = 2)(αλ+, d 4 =

3

4

D D = 2)(αλ+ 。 4)因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为

D 1 =1, D 2 =1, D 3 =1, D 4 = 4)2(+λ,

从而所求不变因子为

d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 = 42)(+λ。

5)因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为 D 3 =1, D 4 = )4)(1(22--λλ, 故所求不变因子为

d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 = )4)(1(22--λλ。

3.证明:

?

?

????

?

?

???

??

+-------1232110

0000000010000100

0010000a a a a a a n n n n λλλλλ

λ

的不变因子是

11,,1,1-n ,)(λf ,

其中)(λf = 111n n n n a a a λλλ--++++ 。

证 因为

D n )(λ = 1

2

3-2-1-10

00000

100

00

10

0001000

a a a a a a n n n n +----λλ

λλ

λ

λ

, 按最后一列展开此行列式,得

D n )(λ =n n n n a a a a +++++---λλλλ12

211)( = )(λf ,

)(λf = n 1n n 1n 1n a a a a +++++---λλλλ 22,

因为-λ矩阵左下角的1-n 阶子式1-n M = 1)1(--n ,所以1-n D = 1,从而

D 1 =D 2 = … = 2-n D = 1,

故所给矩阵的不变因子为 d

1 =d

2 = … =

1-n d = 1,

n d = )(λf = n n n n a a a ++++--λλλ111 ,

即证。

4. 设A 是数域P 上一个n n ?阶矩阵, 证明A 与A'相似。 证 设

A = ??

?

?

?

?

?

??nn n n n n a a a a a a a a a 2

1

22221

11211,

则 A'= ????

??

?

??nn n n n n a a a a a a a a a

212221212111, 因为A 与A'相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子,所以只需证明A E -λ与A'E -λ有相同的不变因子即可。

注意到A E -λ与A'E -λ对应的k 级子式互为转置, 因而对应的k 级子式相等, 故 A E -λ 与 A'E -λ

有相同的各级行列式因子, 从而有相同的不变因子, 即证A 与A'相似。

5. 设

A = ???

?

? ??λλλ100100

求k

A 。

解 因为

k

??

?

?

?

??λλλ100100 = ??????

?

?

?----k

k k

2k 1

k k

k 2k k k λλλλλλ0

00

)1(1,

所以

k

A = k

??

??

? ??λλλ100100 = k

'?????

???????????? ??λλλ001001 = 'k ???????????????

??λλλ001001

= 'k k k k k k k

k k k

??????

?

?

?----λλλλλ

λ0

00

2)1(121

= ?????

?

??

----k k k k

k k k k k k λλλλλλ1

212)1(000

。 6. 求下列复系数矩阵的若尔当标准形:

1)????? ??---122020021 2)?????

??------786675161613 3)????? ??---502613

803 4)???

?? ??-----111122254 5)????? ??-----310425

2373 6)???

?? ??---422633211 7) ????? ??-----222333111 8)????? ??---7137341024

9) ????? ??---01412681

330 10)???

?

? ??-----11326919614308 11)???????

??-----0167121700140013 12) ??????

? ?

?10

00210032104321 13)????

???

?

?----80213130130623031 14) ??????

??

?

?

?

?0000110000000000010000010

解 1)设原矩阵为A ,则

A E -λ = ?????

?

?+---122020

02

1

λλλ→??????

?

??

---+0

2102

02111λλλ → ?

???

??

??-+---2)1)(1(100

20001λλλλ → ????

?

?

?

?--+-0202)1)(1(3

00

1λλλ

→ ???

?

?

??--+)2)(1)(1(00010001λλλ,

于是A 的初等因子是

1+λ, 1-λ, 2-λ, 故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

? ??-200010001。

2)设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??++---786675

161613λλλ→???

?

? ??+--+---+7126121011

λλλλλ → ????? ??--+--++2)1(301410)3)(1(0001λλλλλ→????

?

??--+-0)1(03160

0012

λλ → ???

?

?

??+-)3()1(000100012λλ,

于是A 的初等因子是

2

)1(-λ, 3+λ,

故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

? ??-110010003。

3) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??+-+---502613803λλλ→???

?

? ??+-+-+502612211

λλλλ

→ ????? ??++-+1)1(200)

1(00012

λλλ→????? ??++-+21)(00)1(210001λλλ → ???

?

? ??++2)1(0001

0001λλ, 于是A 的初等因子是1+λ, 2)1(+λ,故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

? ??---11001000

1。

4) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??--+--111122

254λλλ→???

?

? ??--+--+1101225

1λλλλ → ?????

?

?--+--11

012

131λλλ

λ→????? ??--+-11012200012λλλλ

→ ?????

?

?--0)1(0110

001

2λλ→ ????

? ??-3)1(00010001λ,

于是A 的初等因子是3

)1(-λ,故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

? ??110011001。

5) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??--+--3104252

373λλλ→???

?? ??-++-31015027λλλλλ

→ ????? ??-+-+-31012506171λλλλ→???

?? ??++----+36717025001712λλλλ

→ ???

?

? ??+-)1)(1(000100012λλ,

于是A 的初等因子是1-λ, i +λ, i -λ, 从而A 的若尔当标准形为

J = ???

?

?

??-i 000i 0001。

6) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??---+---422633211λλλ→???

?

? ??----+--42263

3211

λλλ → ????? ??---λλλλλ202)2(0001→????

?

??+-λλλ

λ002200012

→ ???

?

? ??-)2(0000001λλλ,

于是A 的初等因子是λ, λ, 2-λ, 从而A 的若尔当标准形为

J = ???

?

?

??200000000。

7) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??--+--222333

111λλλ→???

?

? ??-+---222333111

λλλ → ?????

?

?+-λλλλλ

30300

013→????

?

?

?20000001λλ

于是A 的初等因子是λ, 2

λ,故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

? ??010000000。

8) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??------+713734

1024λλλ→???

?? ??-+-----1042743731

λλλ →????? ??+--+---42201410530001λλλλ→????? ??+--+-42202410

0012

λλλλ →???

?

? ??-3)2(0001

0001λ, 于是A 的初等因子是3)2(-λ, 故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

?

??210021002。

9) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????? ??+-----1014268133λλλ→???

?

? ??+------101423368

1λλ

λ →????? ??----+-2220363800012λλλλλ→????

? ??---+-2)1(2061061400012

λλλλλ

→???

?

? ??+2)1(00010001λλ,

于是A 的初等因子是λ, 2

)1(+λ,故A 的若尔当标准形为

J = ???

?

? ??--11001000

0。

10) 设原矩阵为A ,则

A E -λ=???

?? ?

?--+--112369191614038λλλ→??

??

?

? ??

---+-143068919111231λλλ

→????? ??-+-+-+--4194230240

0012λλλλλ→???

?? ??++-λλλλλ44152020001

22 →???

?

? ??-+830000100013λλ,

设8303

-+λλ =))()((321λλλλλλ---, 则由“卡当”公式可解得 3311016410164-++=λ 323

21016410164-++=ωωλ

3

3

231016410164-++=ω

ωλ

其中i 2

3

21+-=ω. 于是A 的初等因子是1λλ-, 2λλ-, 3λλ-,故A 的若尔当标准形为

J = ????

?

?

?32

1

000

00

λλλ。 11) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ??????? ??----+--λλλλ167121700140013→???

?

??

? ??-----+--λλλλλλ111601240001200001

2

→???????

?

?------01)(1001260001)(000

012

2λλλ→??????

?

?

?---01)(1001000001)

(000

012

2λλ

→????

?

?

?

?

?-4)1(00

001000010

0001λ, 于是A 的初等因子是4)1(-λ,故 A 的若尔当标准形为

J = ??????

?

?

?11

0001100011

0001。 12) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????

??

? ??----------10002

1003210432

1λλλλ, 因为三阶子式无公共非零因式,所以A E -λ的行列式因子为 D 3 =1, D 4 = 4)1(-=-λλA E , 于是

d

4 = 41)(

-λ, d 3 =d 2 =d 1 =1,

因此A 的初等因子是4

)1(-λ,故 A 的若尔当标准形为

J = ??????

?

?

?11

0001100011

0001

。 13) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ????

??

? ??--------80213

130310628031

λλλλλ →?????

?

? ??++-+---+--19012031303202

000012λλλλλλ

→????

?

?? ??-+-++---101101201

020*********λλλλλλ →???

?

?

??

??+-+-+-0193315001000003000012

3λλλλ

→??

??

?

?

?

?

?+--

---)307)(3071)((0000

10000100001λλλλ, 所以A 的初等因子是1-λ, 1-λ,

307+-λ, 307--λ,故 A 的若尔当标准形为

J = ??

?

?

?

?

?

?

?+-3070000307000010

0001。

14) 设原矩阵为A ,则

A E -λ = ??????

??

??

?

?----λλλ

λλ000110000000001000

01

于是A E -λ有一个1-n 阶子式

1-n M 1

01000

010

00

1

----=λλ

= 1)1(--n ,

所以A E -λ的行列式因子为

D 1 =D 2 = … = 1-n D = 1,

n D =

λ

λλ

λ

λ

1

1

000000000

100001 ----

=1-n λ =)())()(1(121-----n a a a λλλλ ,

其中1, 1a ,2a ,1,-n a 是n 个n 次单位根, 所以A 的初等因子为 1-λ, 1a -λ, 2a -λ, , 1--n a λ,

故 A 的若尔当标准形为

J =?????????

?

?

?12

210

000000000

0000

000001-n -n a a a a

。 注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得,留给读者作为练习。

7. 把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它们的有理标准形。

解 1)已知A = ???

?

? ??---122020

021

,且 A E -λ = ????

? ??+---122020021λλλ→ ???

?? ??+--220001000123λλλ,

所以A 的有理标准形为

B = ???

?

?

??-210101200。

2)已知 A = ???

?

?

??------786675161613,且

A E -λ = ????? ??++---786675161613λλλ→???

?

?

??+-+350001000123λλλ,

所以A 的不变因子为

1)()(21==λλd d , 35)(233+-+=λλλλd , 故A 的有理标准形为

B = ???

?

?

??--110501300。

3)已知 A = ????

? ??---502613803

,且 A E -λ = ????? ??+-+---502613803λλλ→ ???

?

? ??+++12000100012λλλ,

所以A 的不变因子为

1=)(1λd , 1)(2+=λλd , 12)(23++=λλλd , 故A 的有理标准形为

B = ???

?

?

??---110200001。

4)已知 A = ???

?

? ??-----111122254

,且

A E -λ = ????? ??--+--111122

254λλλ→???

?

? ??-3)1(00010001λ, 所以A 的不变因子为

1)()(21==λλd d , 133)1()(2

333-+-=-=λλλλλd ,

故A 的有理标准形为

B = ???

?

? ??-310301100。

5)已知 A = ???

?

? ??-----310425

2373

,且 A E -λ = ????? ??--+--3104252373λλλ→ ???

?

? ??+-)1)(1(000100012λλ,

所以A 的不变因子为

1)()(21==λλd d , 1)1()1()(2323-+-=+-=λλλλλλd , 故A 的有理标准形为

B = ????

?

??-110101100。

6)已知 A = ???

?

?

??---422633211,且

A E -λ = ????? ??---+---422633211λλλ→ ???

?

?

??-)2(0000001λλλ,

所以A 的不变因子为

1)(1=λd , λλ=)(2d , λλλ2)(23-=d , 故A 的有理标准形为

B = ????

?

??210000000。

7)已知 A = ????

? ??-----222333111

,且 A E -λ = ????? ??--+--222333

111λλλ→????

?

?

?2000000

1λλ, 所以A 的不变因子为

1)(1=λd , λλ=)(2d , 2

3)(λλ=d ,

故A 的有理标准形为

B = ????

? ??010000000。

8)已知 A = ???

?

?

??---7137341024,且

A E -λ = ????

? ??------+713734

1024λλλ→???

?? ??-3)2(0001000

1λ, 所以A 的不变因子为

1==)()(21λλd d , 8126)2()(2333-+-=-=λλλλλd , 故A 的有理标准形为

B = ???

?

? ??-610120180

0。

9)已知 A = ???

?

? ??---01412681

330

,且 A E -λ = ????? ??+-----1014268133λλλ→???

?

?

??+2)1(00010001λλ,

所以A 的不变因子为

1)()(21==λλd d , λλλλλλ++=+=23232)1()(d , 故A 的有理标准形为

B = ????

?

??--210101000。

10)已知 A = ???

?

? ??-----11326919

614308

,且 A E -λ = ????? ??--+--112369191614038λλλ→???

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?

??-+830000100013λλ,

所以A 的不变因子为

1)()(21==λλd d , 830)(33-+=λλλd , 故A 的有理标准形为

B = ???

?

? ??-010300180

0。

11)已知 A = ??????

?

??-----0167121700

140013

,且 A E -λ = ???

???? ??----+--λλλλ167121700140013→????

?

?

?

??-4)1(00

01000010

000

1

λ, 所以A 的不变因子为

1)()()(321===λλλd d d , 1464)1()(23444+-+-=-=λλλλλλd ,

故A 的有理标准形为

B =????

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?

?

?--410

060104001100

。 12)已知 A = ????

??

?

?

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0021003210

4321,且 A E -λ = ????

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? ??----------10002

1003210432

1λλλλ, 因为D 4 = 4

)1(-=-λλA E ,D 3 =1(三阶子式的公因式是零次多项式),所以A 的不变因子为

1)()()(321===λλλd d d , 1464)1()(23444+-+-=-=λλλλλλd ,

故A 的有理标准形为

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =,

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β==

高等代数(北大版第三版)习题答案III

高等代数(北大*第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第三部分,其他请搜索,谢谢!

第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。

高等代数北大版习题参考答案

第七章线性变换 1.?判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)?在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)?在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)?在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)?在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)?在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)?在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)?把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=。 8)?在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ,

高等代数北大版第章习题参考答案

高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若 )()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈,X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L ) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2)设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;

高等代数(北大版)第10章习题参考答案

第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的 一个线性函数,已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数,所以有 f (ε1)+ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).=X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =4 X 1 -7 X 2 -3 X 3 2、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数,则由题设有 f (ε1)+ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时,就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )

= X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令α1=ε1-ε3,α2=ε1+ε2-ε3,α3=ε2+ε3 试证:α1,α2,α3是V的一组基,并求它的对偶基。 证:设 (α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A 由已知,得 A= 110 011 111????????-?? 因为A≠0,所以α1,α2,α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(Aˊ)1- =(f1,f2,f3) 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间,f1,f2,…fs是V*中非零向量,试证:?α∈V,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s采用数学归纳法。 当s=1时,f1≠0,所以?α∈V,使fi(α)≠0,即当s=1时命题成立。 假设当s=k时命题成立,即?α∈V,使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立,若f 1 k+ (α)=0,则由f 1 k+ ≠0知,一定?β∈V 使f 1 k+ (β)=b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0,使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+,则γ∈V,且

高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程

一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数,且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的,即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b ), 必有 b K , ab K ,且当b 0时,a/b K ,则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域:Q (i) = { a b i | a, b € Q},其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素 K ,且 a 0。于是 进而 最后, m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集, 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集,记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集,记做A B 。 的元素(记做f(a)),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 B, f (a). 如果f(a) b B ,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像,记做 f (A),即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ,使得f(a) b ,则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ,我们使用如下记号: 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射,则称 f 为双射,或称一一对应。

高等代数北大版第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若)()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈, X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L ) 故 (L )=()(M L )即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111(a ,)((,) ()k 。(a ,)=(ka ,kb +

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于 A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A = 。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β==

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