第二章 鸽巢原理

《鸽巢原理(1)》教案

《鸽巢原理(1)》名师教案 一、学习目标 (一)学习内容 《义务教育教科书数学》(人教版)六年级下册第五单元第68~69页的例1、2。“抽屉原理”是一类较为抽象和艰涩的数学问题,对全体学生而言具有一定的挑战性。为此,教材选择了一些常见的、熟悉的事物作为学习内容,经历将具体问题“数学化”的过程。 (二)核心能力 经历将具体问题“数学化”的过程,初步形成模型思想,发展抽象能力、推理能力和应用能力。 (三)学习目标 1.理解“鸽巢原理”的基本形式,并能初步运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。 2.通过操作、观察、比较、说理等数学活动,经历鸽巢原理的形成活动,初步形成模型思想,发展抽象能力、推理能力和应用能力。 (四)学习重点 了解简单的鸽巢问题,理解“总有”和“至少”的含义。 (五)学习难点 运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。 (六)配套资源 实施资源:《鸽巢原理(1)》名师课件 二、学习设计 (一)课堂设计 1.谈话导入 师:我这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请一位同学任意抽5张,不要让我看到你抽的是什么牌。但是老师却知道,其中至少有两张牌是同种花色的,再找一个学生再次证明。 师:看来我两次都猜对了。谢谢你们。老师为什么能料事如神呢?到底有什么秘诀呢?学习完这节课以后大家就知道了。

2.问题探究 (1)呈现问题,引出探究 出示例1:小明说“把4支铅笔放进3个笔筒里。不管怎么放,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”,他说得对吗?请说明理由。 师:“总有”是什么意思?“至少”有2支是什么意思? 学生自由发言。 预设:一定有 不少于两只,可能是2支,也可能是多于2支。 就是不能少于2支。 (2)体验探究,建立模型 师:好的,看来大家已经理解题目的意思了。那么把4支铅笔放进3个笔筒里,可以怎样放?有几种不同的摆法?(我们用小棒和纸杯分别表示铅笔和笔筒)请大家摆摆看,看有什么发现? 小组活动:学生思考,摆放。 ①枚举法 师:大部分同学都摆完了,谁能说说你们是怎么摆的。能不能边摆边给大家说。 预设1:可以在第一个笔筒里放4支铅笔,其它两个空着。 师:这种放法可以记作:(4,0,0),这4支铅笔一定要放在第一个笔筒里吗? (不一定,也可能放在其它笔筒里。) 师:对,也可以记作(0,4,0)或者(0,0,4),但是,不管放在哪个笔筒里,总有一个笔筒里放进4支铅笔。还可以怎么放? 预设2:第一个笔筒里放3支铅笔,第二个笔筒里放1支,第三个笔筒空着。 师:这种放法可以记作(3,1,0) 师:这3支铅笔一定要放在第一个笔筒里吗? (不一定) 师:但是不管怎么放——总有一个笔筒里放进3支铅笔。 预设3:还可以在第一个笔筒里放2支,第二个笔筒里也放2支,第三个笔

鸽巢原理教案

数学广角“鸽巢问题”教学设计【教学目标】: 1、使学生理解“鸽巢原理”的基本形式,并能初步运用“鸽巢原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。 2、通过操作、观察、比较、说理等数学活动,使学生经历鸽巢原理的形成过程,体会和掌握逻辑推理思想和模型思想,提高学习数学的兴趣。 3、在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。 【教学重点】: 经历“鸽巢原理”的探究过程,初步了解“鸽巢原理”。 【教学难点】: 理解“鸽巢原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。 【教学准备】: 多媒体课件、扑克牌、铅笔、纸杯。 【教学过程】: (一)游戏引入 出示一副扑克牌。

教师:今天老师要给大家表演一个“魔术”。取出大王和小王,还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色的。 5位同学上台,抽牌,亮牌,统计。 教师:这里蕴含着一个有趣的数学原理,今天我们就一起来研究这个数学原理。 (二)探索新知 1.教学例1。 (1)把4支铅笔放到3个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。 理解“总有”和“至少”是什么意思 (2)小组讨论“为什么”。 (3)汇报交流列举法 学生:可以放(4,0,0);(3,1,0);(2,2,0);(2,1,1)。(教师根据学生回答在黑板上画图表示四种结果)引导学生得出“不管怎么放,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”。 (4)假设法(反证法): 教师:前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?

如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。 提问:这样只能证明总有一个笔筒中肯定有2支笔,怎样能证明至少有2支呢? 2、拓展。 (1)把5支铅笔放到4个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么? 引导学生分析“如果每个盒子里放1支铅笔,最多放4支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。 (2)把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?把100支铅笔放到99个铅笔盒里呢?让学生口头回到加深对假设法的理解。 (3)提问:我们为什么都采用假设法来分析,而不是列举法呢!通过刚才的分析,你发现了什么 引导学生得出“只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个盒子里至少有2支铅笔”。

鸽巢原理及其应用+6

学号:20115034032 学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2011级 姓名陈婷婷 论文题目鸽巢原理及其应用 指导教师沈明辉职称教授 成绩 2014年3月16日

学年论文成绩评定表评语 成绩: 指导教师(签名): 201 年月日学院意见:____________________ 学院院长(签名): 201 年月日

目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (2) 1.鸽巢原理 (2) 1.1 鸽巢原理的简单形式 (2) 1.2 鸽巢原理的一般形式 (3) 1.3 鸽巢原理的加强形式 (3) 2. 鸽巢原理的相关推论 (4) 3.鸽巢原理的应用 (6) 3.1 鸽巢原理应用于数的整除关系 (6) 3.2 鸽巢原理应用于实际生活 (7) 参考文献 (9)

鸽巢原理及其应用 姓名:陈婷婷学号:20115034032 数学与信息科学学院信息与计算科学专业 指导老师:沈明辉职称:教授 摘要:鸽巢原理是组合数学中研究存在性问题的基本原理之一,也是非常规解题方法的重要类型之一,在数论和组合论中有着广泛的应用. 本文简单介绍了鸽巢原理的几种形式,便于了解鸽巢原理到底是什么东西.本文主要研究鸽巢原理和其原理的应用.应用主要从数学领域的应用和现实生活中的应用两大方面进行研究,数学领域方面主要应用于整除关系的证明等几方面的解题. 关键字:鸽巢原理; 组合数学; 鸽巢原理的应用 Pigeonhole principle and the application of the pigeonhole Abstract:Pigeonhole principle is a mathematical combination of problem of the existence of one of the basic principles of nonconventional problem solving method , is also one of the important types in number theory and combination has a wide range of applications. This paper briefly introduces the principle of Pigeonhole in several forms, easy to understand what the Pigeonhole principle is. This paper mainly studies the principle of Pigeonhole principle and the application of the principle. Application mainly from the mathematical field of application and the reality of life in the application of the two major aspects of research, mathematical fields mainly used in number theory, algebra, geometry and so on several aspects of the problem solving, in real life, most used computer fortune-telling, predict some existence results etc.. Key words:Pigeonhole principle;Mathematical combination ;The application of the principle

容斥原理与鸽巢原理的应用

摘要 容斥原理和鸽巢原理作为组合数学中的基本内容,就原理本身而言简单易懂.然而,由于此二者分别在组合计数问题和存在性问题的应用中所展现出来的魅力,国内外学者在很多书籍、学术性论文中关于容斥原理和鸽巢原理的应用进行了探讨,并且关于此方面的研究已取得一系列的成果. 本文主要是以综述的方式从起源、理论和应用三方面对容斥原理和鸽巢原理进行了介绍和分类探讨. 首先介绍了容斥原理分别与加法理论、减法理论的区别与优势,并与实际问题相结合突出其优势所在.其次本文介绍了鸽巢原理的两种具体形式及其推论,并对鸽巢原理在数学理论研究、数学竞赛题目、解决实际生活中的问题等方面的应用进行介绍后,对鸽巢原理的应用中所常见的几种构造“鸽巢”的方法进行了分类谈论. 最后,针对鸽巢原理,我们给出针对新疆某区域关于旅游产品的实际应用实例,并提出了个人见解. 关键词:容斥原理,鸽巢原理,构造方法,鸽巢,鸽子

ABSTRACT As the basic content of combinatorial mathematics, the principle of tolerance and the theory of pigeon nest the principle itself is simple and understandable. However, due to the charm of the two applications in combinatorial counting and existential problems, scholars at home and abroad have probed into the application of the principle of tolerance and the pigeon nest in many books and academic papers, And the research on this aspect has made a series of achievements. In this paper, the author introduces and classifies the theory of tolerance and doctrine and the principle of pigeon nest in the way of summarization from the origin, theory and application. Firstly, the differences and advantages between the theory of tolerance and exclusion and the theory of addition and subtraction were introduced. and the actual problem with the combination of highlighting its advantages. Secondly, this paper introduces two concrete forms of pigeon nest principle and its inference, and introduces the application of pigeon nest principle in mathematics theory research, Maths contest problem, solving real life problems and so on. , several common methods of constructing pigeon nest in the application of pigeon nest principle are classified and discussed. Finally, according to the pigeon Nest principle, we give a practical example of the tourism products in a region of Xinjiang, and put forward personal opinions. KEY WORDS: inclusion-exclusion principle, pigeonhole principle, construction method, pigeonhole, pigeon

鸽巢原理及其应用

鸽巢原理是组合数学中最基本的计数原理之一,也是证明存在性问题的一种重要方法.本文首先介绍了鸽巢原理的不同表述形式及其推论,然后从整除关系的证明、几何图形的分割以及解决实际问题等几个角度介绍了鸽巢原理的应用,并对例题中鸽巢的构造技巧做了分析. 关键词:鸽巢原理;简单形式;一般形式;加强形式

Abstract The pigeonhole principle is one of the basic counting principle in combinatorics, but also it is an important method to prove the problem of the existence. This paper first introduces the different expressions of the pigeonhole principle and its deduction, then the applications of the pigeonhole principle are introduced from several angles of proof of aliquot relationship, division of the geometrical figure and solving practical problems, the structured skills of the pigeonhole principle in examples are analysed. Key words: pigeonhole principle; simple form; general form; strengthend form

六年级鸽巢原理

授课时间课时第一课时课题鸽巢问题 教学目标1、了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义(假如有多于n个元素分成n个集合,那么一定有一个集合中至少含有2个元素)。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 2、经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。 3、通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。 教学重难点引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”,并理解鸽巢问题。 理解“总有”、“至少”的意义,理解平均分后余数不是1时的至少数。 教学方法观察、猜测、实验、推理教具扑克牌、纸杯(笔筒)、 课件 教学过程 师生活动及二次备课设计意图 一、情景导入 老师表演小魔术(扑克牌问题):一副牌,取出大小王,还剩52张,你们5人每人随意抽一张,我知道至少有2张牌是同花色的。 师:同学们,老师手里拿了一副扑克牌,总共几张?(54张) 抽掉了大王、小王,还剩多少张?(52张) 知道扑克牌有几种花色吗?(4种)哪四种? 那我们就用剩下的扑克牌来做游戏。谁愿意来帮这个忙?(1个同学上来。) 任意抽取5张,不要让老师看到。自己看好就行了。 师:同学们,下面就是见证奇迹的时刻。 师:老师猜在这五张牌里,至少有两张牌是同一花色的。 师:把牌拿出来验证一下。 老师猜对了吗?其实在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理——“抽屉原理”。(引出课题) 接下来就从我们身边熟悉的生活情境入手,来研究这个原理背后的道理。(教师结合学生抽出的扑克牌的情况引导学生理解“至少2张牌”的意思。 ) 二、探究新知 1.教学例1.(课件出示例题1情境图) 把4支笔放进3个笔筒中,有几种放法,是怎样放的? (1)这个要求小组合作来完成。听清老师的要求:设计意图]扑克牌小魔术作为新课的切入点,激起学生认知上的兴趣,趁机抓住他们的求知欲,激发学生探究新知的热情,使学生积极主动地投入到新课的学习中去。同时,在魔术中直观地感知“至少”的意思。 思考问题:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有1个笔筒里至

鸽巢原理练习题

鸽巢原理练习题 一、填空 1.箱子中有5个红球,4个白球,至少要取出()个才能保证两种颜色的球都有,至少要取()个才能保证有2个白球。 2.“六一”儿童节那天,幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉,每个小朋友可以任意选择两种水果,那么至少要有()个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的;如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种,那么至少要有()个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。 3.将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里,要保证取出的帽子有两种颜色,至少应取出()顶帽子;要保证三种颜色都有,则至少应取出()顶;要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的,则至少应取出()顶。 二、选择 1.把25枚棋子放入下图的三角形内,那么一定有一个小三角形中至少放入()枚。

A.6 B.7 C.8 D.9 2.某班有男生25人,女生18人,下面说法正确的是()。 A.至少有2名男生是在同一个月出生的 B.至少有2名女生是在同一个月出生的 C.全班至少有5个人是在同一个月出生的 D.以上选项都有误 三、解答 1.某班同学为地震灾区小朋友捐献图书,所捐图书共分为故事书、科技树和教辅资料书三类,捐书的情况是:有捐一本的,有捐两本的,还有捐三本的。问至少要有几位同学来捐书才能保证一定有两位同学所捐书的类型相同?(每种类型的书最多捐一本) 2.在如下图的盒子中,小华蒙着眼睛往外摸球,至少要摸出多少个,才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色?

3.扑克牌里学数学:一副扑克牌(取出两张王牌)。 (1)在剩下的52张牌中任意抽出9张,至少有多少张是同花色的? (2)扑克牌一共有4种花色,每种花色都有13张牌,问至少要抽出几张牌才能保证有一张是红桃? (3)至少要抽出多少张才能保证有5张牌是同一花色的? 4.在下面的方格中,将每一个方格涂上红色或黄色,不论怎么涂,至少有几列的颜色是完全相同的? 5.小花猫钓到了鲤鱼、草鱼、鲫鱼三种鱼共12条,放在桶里提回家去,路上遇见了小白猫,小花猫问小白猫:“你最爱吃什么鱼?”小白猫说:“我最爱吃的是鲤鱼。”小花猫说:“好,你只要从我的桶里随便拿出3条鱼来,就一定会有你最爱吃的鲤

鸽巢原理

乌鲁木齐市122小学____学年____学期______学科教案 ___备课组 _______主备上传时间: 章节/单元第五单元课时数3授课人课题数学广角——鸽巢问题第几课时 1 讲课时间 课的类型教学方法教学 准备 课件 教学目标知识与技能:了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。 情感、态度与价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。 本内容学情 分析 教学重点引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 教学难点找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。 教学内容二次备课一.情境导入 二、探究新知 1.教学例1.(课件出示例题1情境图) 思考问题:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有1个笔筒里至少 有2支铅笔。为什么呢?“总有”和“至少”是什么意思?学生通过操作发 现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决 问题。 (1)操作发现规律:通过吧4支铅笔放进3个笔筒中,可以发现:不管怎么放,总 有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。 (2)理解关键词的含义:“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中,不管 怎么放,一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。 (3)探究证明。 方法一:用“枚举法”证明。 方法二:用“分解法”证明。把4分解成3个数。由图可知,把4分解成3 个数,与枚举法相似,也有4中情况,每一种情况分得的3个数中,至少有1个 数是不小于2的数。 方法三:用“假设法”证明。通过以上几种方法证明都可以发现:把4只 铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。 (4)认识“鸽巢问题”像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。在 这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3 个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进 3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。这里的“总有”指的是“一定有”

第一节 鸽巢原理教学内容

鸽巢原理及其他 第一节鸽巢原理 关于鸽巢原理的阐释,粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不够多的鸽巢内,那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。 一、鸽巢原理的简单形式 1、定理1:如果要把n+1个物体放进n个盒子,那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。 证明:用反证法进行证明。如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体,那么物体的总数最多是n,这与有n+1个物体矛盾。所以某个盒子至少有两个物体。 2、定理1的说明:无论是鸽巢原理还是它的证明,都不能具体找出含有两个或更多物体的盒子。它只是证明这样的盒子存在,即如果人们检査每一个盒子.那么他们会发现有的盒子里面放有多个物体。另外,当只有n个(或更少)物体时,是无法保证鸽巢原理的结论的。这是因为可以在n个盒子的每一个里面放进一个物体。所以鸽巢原理成立的条件是至少为n+1个物体。 3、鸽巢原理的两个简单应用 应用1:在13个人中存在两个人,他们的生日在同一个月份里。 应用2:设有n对己婚大妇。至少要从这2n个人中选出多少人才能保证能够选出一对夫妇? 为了在这种情形下应用鸽巢原理,考虑n个房间,其中一个房间对应一对夫妇。如果选择n十1个人并把他们中的每一个人放到他们夫妻所对应的那个房间中去,那么就有一个房间含有两个人;也就是说,已经选择了一对已婚夫妇。选择n个人使他们当中一对夫妻也没有的两种方法是选择所有的丈夫和选择所有的妻子,因此,n+1是保

证能有一对夫妇被选中的最小的人数。 4、从应用2得出的两个推论 推论1:如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的,那么每个盒子恰好有一个物体。 说明:以应用2为例,选择n个人,如果其中有一对夫妻,那么必然有一个房间是空的,为了保证没有空房间,则必须从每对夫妻中选一个人,即恰好从每对夫妻中选一个人。 推论2:如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体,那么每个盒子里恰好有一个物体。 说明:以应用2为例,选择n个人,每个房间只能是夫妻中的一个人,2n个人,恰好每个从每对夫妻当中选择一个人。 5、例题 例1:给定m个整数a1,a2,……,a m,存在满足0≤k≤l≤m的整数k和l,使得a k+1+ a k+2+ ……+ a l能够被m整除。 分析:题目通俗化,即给定m个整数的序列,其中连续几个的和能被m整除。所以考虑序列中连续和的情况。如果其中任何一个能被m整除,那么结论就成立了。对此,只能先假设连续和不能被整除,即有余数。 解:找出鸽子:m个正整数连续和,即a1,a1+a2,a1+a2+a3,……,a l+a2+a3+……+ a m共m个和 构造鸽巢:连续和不能被整除,那么余数必然为1,2,……,m-1共m-1个。如果余数为0或m,则已经整除结论成立,所以只能是m-1个。 鸽巢原理:m个和,m-1个余数,那么必然有两个余数是相同的。因此存在整数k和l,0≤k≤l≤m,使得a l+a2+a3+……+ a k及

高中数学抽屉原理容斥原理

高中数学抽屉原理容斥原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题,例如:“13个人中至少有两个人出生在相同月份”;“某校400名学生中,一定存在两名学生,他们在同一天过生日”;“2003个人任意分成200个小组,一定存在一组,其成员数不少于11”;“把[0,1]内的全部有理数放到100个集合中,一定存在一个集合,它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中,“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时,只要求指明存在,一般并不需要指出哪一个,也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少,依据的理论也不复杂,我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称“迪里赫莱原理”,也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果,任意分放在9个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用。 (一)抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合,那么不管怎么分,都存在一

个集合,其中至少有两个元素。 证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1个元素,从而n个集合至多有n个元素,此与共有n+1个元素矛盾,故命题成立。 在定理1的叙述中,可以把“元素”改为“物件”,把“集合”改成“抽屉”,抽屉原理正是由此得名。 同样,可以把“元素”改成“鸽子”,把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1.已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图1)。证明:至少有两个点之间的距离不大于 2.从1-100的自然数中,任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍。 3.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍。 4.已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。求证:这个集合必有两个无公共元素的子集合,各子集合中各数之和相等。 5.在坐标平面上任取五个整点(该点的横纵坐标都取整数),证明:其中一定存在两个整点,它们的连线中点仍是整点。 6.在任意给出的100个整数中,都可以找出若干个数来(可以是一个数),它们的和可被100整除。 7.17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信,在他们通信时,只讨论三个题目,而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目,证明:其中至少有三名科学家,他们相互通信时讨论的是同一个题目。

第二章 鸽巢原理

第二章 鸽巢原理 我们在本章考虑一个重要而又初等的组合学原理,它能够用来解决各种有趣的问题,常常得出一些令人惊奇的结论。这个原理有许多的名字,但最普通的名字叫鸽巢原理,也叫做鞋盒原理。有关于鸽巢的原理阐释,粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不足够多的鸽子巢内,那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。更精确的叙述在下面给出。 2.1 鸽巢原理的简单形式 鸽巢原理的简单的形式可以描述如下: 定理2.1.1 如果n+1个物体被放进n 个盒子,那么至少有一个盒子包合两个或更多的物体。 证明:如果这n 个盒子中的每一个都至多含有一个物体,那么物体的总数最多是n 。 既然我们有n +1个物体,于是某个盒子就必然包含至少两个物体。 注意,无论是鸽巢原理,还是它的证明,对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助。它们只是简单地断言,如果人们检查每一个盒子,那么他们会发现有的盒子里面放有多于一个的物体:鸽巢原理只是保证这样的盒子存在。因此,无论何时鸽巢原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性,除了考察所有可能性之外,它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示。 我们可以把将物体放入盒子改为用n 种颜色中的一种颜色对每一个物体涂色:此时,鸽巢原理断言,如果n +1个物体用n 种颜色涂色,那么必然有两个物体被涂成相同的颜色。 下面是两个简单的应用。 应用1 在13个人中存在两个人,他们的生日在同一个月份里。 应用2 设有n 对已婚夫妇。为保证能够有一对夫妇被选出,至少要从这2n 个人中选出多少人? 为了在这种情形下应用鸽巢原理,考虑n 个盒子,其中一个盒子对应一对夫妇。如果我们选择n +1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所在的那个盒子中去,那么就有同一个盒子含有两个人;也就是说,我们已经选择了一对已婚夫妇。选择n 个人使他们当中一对夫妻也不没有的两种方法是选择所有的丈夫或选择所有的妻子。因此,n +1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。 还存在一些与鸽巢原理相关的其他原理,有必要正式叙述如下: 如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有一个盒于是空的,那么每个盒子恰好包合一个物体。 如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体,那么每个盒子里有一个物体。 在应用2里,如果我们这样选择n 个人,从每一对夫妻中至少选一人,那么我们就从每对夫妻中恰好选出了一个人。同样,如果我们选择n 个人的方法是从每一对夫妻中至多选一人,那么我们就从每对夫妻中至少(从而也恰好)选出了一个人。 应用3 给定m 个整数m a a a ,,,21 ,存在整数k 和l ,m l k ≤<≤0o ,使得l k k a a a +++++ 21’能够被m 整除。通俗地说,就是在序列m a a a ,,,21 中存在连续i a ,这些i a 的和能被m 整除。 为了深入这个问题,考虑m 个和

鸽巢原理

摘要 鸽巢原理是组合数学中最基本的计数原理之一,也是证明存在性问题的一种重要方法.本文首先介绍了鸽巢原理的不同表述形式及其推论,然后从整除关系的证明、几何图形的分割以及解决实际问题等几个角度介绍了鸽巢原理的应用,并对例题中鸽巢的构造技巧做了分析. 关键词:鸽巢原理;简单形式;一般形式;加强形式

Abstract The pigeonhole principle is one of the basic counting principle in combinatorics, but also it is an important method to prove the problem of the existence. This paper first introduces the different expressions of the pigeonhole principle and its deduction, then the applications of the pigeonhole principle are introduced from several angles of proof of aliquot relationship, division of the geometrical figure and solving practical problems, the structured skills of the pigeonhole principle in examples are analysed. Key words: pigeonhole principle; simple form; general form; strengthend form

鸽巢原理

5数学广角——鸽巢问题 【教学目标】 1.引导学生通过观察、猜测、实验推理等活动,经历探究鸽巢问题的过程,初步了解鸽巢问题,会用鸽巢问题解决简单的生活问题。 2.培养学生解决简单实际问题的能力。 3.通过鸽巢问题的灵活运用,展现数学的魅力。 【重点难点】 重点:灵活应用鸽巢问题解决实际问题。 难点:理解鸽巢问题。 【教学指导】 1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励引导学生借用学具、实物操作或画草图的方法进行说理。通过说理的方式理解鸽巢问题的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力,为以后思维严密的数学证明做准备。 2.有意识地培养学生的模型思想。当我们面对一个具体问题时,能否将这个具体问题和鸽巢问题联系起来,能否找到该问题的具体情境与鸽巢问题的一般化模型之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“鸽巢”,是解决该问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于鸽巢问题的范畴,再思考如何寻找隐藏在其背后的鸽巢问题的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题数学化的过程,从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是体现学生思维和能力的重要方面。 3.要适当把握教学要求。鸽巢问题本身或许并不复杂,但其应用广泛且灵活多变。因此,用鸽巢问题解决实际问题时,经常会遇到一些困难,所以有时找到实际问题与鸽巢问题之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“鸽巢”。因此,教学时,不必过分要求学生说理的严密性,只要能结合具体问题,把大致意思说出来就行了,鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。 【课时安排】 2课时:

数学广角——鸽巢问题(1) 道仁矶中学六年级李乐生 【教学内容】 最简单的鸽巢问题(教材第68页例1和第69页例2)。 【教学目标】 知识与技能:理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式,引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。并发现规律,能用公式的方法表达一般规律。理解建模思想。 过程与方法:给学生充足的时间与空间,探究与实践的机会,让学生感知归纳、类比和总结的能力,并能用清楚、简洁的语言描述自己学习的过程。 情感态度价值观:创设生动有趣的生活情境,激励学生学习兴趣,体会数学知识在日常生活中的广泛应用,培养学生的探究意识。 【重点难点】 了解简单的鸽巢问题,理解“总有”和“至少”的含义,并能用算式表达鸽巢原理的普遍规律。 【教学准备】实物投影,每组3个文具盒和4枝铅笔。 【教学过程】 一.【情景导入】 1、互动游戏:读心术——扑克游戏: 分2组各抽7张牌,两组合并,必有一对“心有灵犀”。 2、引入课题:通过今天这堂课,解密读心术的真谛!并能自己设计魔术。二.【新课讲授】 (一)探究:比盒子多1的情况 1.提出问题:(例1的问题。)同学们手中都有4支铅笔和3文具盒,把四支铅笔放进三个标有序号的文具盒中, ①有几种分法?②会出现什么巧合或者必然的现象。 2.小组合作探究 (1)方案预设:将盒子编顺序,不遗漏,不重复;边操作边记录; (2)学生分组操作,用铅笔在文具盒里放一放,并在小组中议一议。

数学广角-鸽巢原理

数学广角——鸽巢问题 1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用 ①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表 无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。 类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽;如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信。 我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体,把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式 ②利用公式进行解题:物体个数÷鸽巣个数=商……余数 至少个数=商+1 2、摸2个同色球计算方法。 ①要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色数多1。 物体数=颜色数×(至少数-1)+1 ②极端思想:用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球,再无论摸出一个什么颜色的球, 都能保证一定有两个球是同色的。 ③公式:两种颜色:2+1=3(个)三种颜色:3+1=4(个) 四种颜色:4+1=5(个)

1、填一填: (1)鱼岳三小六年级有30名学生是二月份(按28天计算)出生的,六年级至少有()名学生的生日是在二月份的同一天。 (2)有3个同学一起练习投篮,如果他们一共投进16个球,那么一定有1个同学至少投进了()个球。 (3)把6只鸡放进5个鸡笼,至少有()只鸡要放进同1个鸡笼里。 (4)某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有()本书,才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。 学生独立思考解答,集体交流纠正。 2、解决问题。 (1)(易错题)六(1)班有50名同学,至少有多少名同学是同一个月出生的? (2)书籍里混装着3本故事书和5本科技书,要保证一次一定能拿出2本科技书。一次至少要拿出多少本书?

鸽巢原理

第一节鸽巢原理 关于鸽巢原理的阐释,粗略地说就是如果有许多鸽子飞进不够多的鸽巢内,那么至少要有一个鸽巢被两个或多个鸽子占据。 一、鸽巢原理的简单形式 1、定理1:如果要把n+1个物体放进n个盒子,那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。 证明:用反证法进行证明。如果这n个盒子中的每一个都至多含有一个物体,那么物体的总数最多是n,这与有n+1个物体矛盾。所以某个盒子至少有两个物体。 2、定理1的说明:无论是鸽巢原理还是它的证明,都不能具体找出含有两个或更多物体的盒子。它只是证明这样的盒子存在,即如果人们检査每一个盒子.那么他们会发现有的盒子里面放有多个物体。另外,当只有n个(或更少)物体时,是无法保证鸽巢原理的结论的。这是因为可以在n个盒子的每一个里面放进一个物体。所以鸽巢原理成立的条件是至少为n+1个物体。 3、鸽巢原理的两个简单应用 应用1:在13个人中存在两个人,他们的生日在同一个月份里。 应用2:设有n对己婚大妇。至少要从这2n个人中选出多少人才能保证能够选出一对夫妇? 为了在这种情形下应用鸽巢原理,考虑n个房间,其中一个房间对应一对夫妇。如果选择n十1个人并把他们中的每一个人放到他们夫妻所对应的那个房间中去,那么就有一个房间含有两个人;也就是说,已经选择了一对已婚夫妇。选择n个人使他们当中一对夫妻也没有的两种方法是选择所有的丈夫和选择所有的妻子,因此,n+1是保证能有一对夫妇被选中的最小的人数。

4、从应用2得出的两个推论 推论1:如果将n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是空的,那么每个盒子恰好有一个物体。 说明:以应用2为例,选择n个人,如果其中有一对夫妻,那么必然有一个房间是空的,为了保证没有空房间,则必须从每对夫妻中选一个人,即恰好从每对夫妻中选一个人。 推论2:如果将n个物体放入n个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体,那么每个盒子里恰好有一个物体。 说明:以应用2为例,选择n个人,每个房间只能是夫妻中的一个人,2n个人,恰好每个从每对夫妻当中选择一个人。 5、例题 例1:给定m个整数a1,a2,……,a m,存在满足0≤k≤l≤m的整数k和l,使得a k+1+ a k+2+ ……+ a l能够被m整除。 分析:题目通俗化,即给定m个整数的序列,其中连续几个的和能被m整除。所以考虑序列中连续和的情况。如果其中任何一个能被m整除,那么结论就成立了。对此,只能先假设连续和不能被整除,即有余数。 解:找出鸽子:m个正整数连续和,即a1,a1+a2,a1+a2+a3,……,a l+a2+a3+……+ a m共m个和 构造鸽巢:连续和不能被整除,那么余数必然为1,2,……,m-1共m-1个。如果余数为0或m,则已经整除结论成立,所以只能是m-1个。 鸽巢原理:m个和,m-1个余数,那么必然有两个余数是相同的。因此存在整数k和l,0≤k≤l≤m,使得a l+a2+a3+……+ a k及 a l+a2+a3+……+ a l除以m有相同的余数,不妨设

鸽巢原理评课

《鸽巢原理》评课 保康实验小学:孙家友 今天学习了黄老师《鸽巢原理》的这节课,总体感受是:充分体现新的数学理念、有效实施“三学”模式难得一节好课。课堂上学生积极参与、有效合作、大胆展示,教师适时点拨。真正分享到老师的激情与智慧、体验到课堂的精彩纷呈,具体表现在: 一、生活激情导入激发学习兴趣 兴趣是最好的老师。本节课老师把学生喜欢“抢凳子”游戏、扑克魔术用到课堂上。这一导入,紧密地联系学生的生活实际,把教师在学生疑问当中揭示了新的学习内容《鸽巢原理》,抓住了学生的注意力。让学生觉得这节课要探究的问题,好玩又有意义。使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象,激发了学生的学习兴趣,为后面开展教与学的活动做了铺垫 二、注重自主合作培养探究意识 本节课中充分体现学生自主探究意识,让学生在教与学中经历了命题、验证、推理的应用过程。 1、采用列举法。把3支铅笔放到2个笔筒,怎样摆放?学生的摆放、说理、到老师的演示初步感知了鸽巢原理。此处设计教师注意了从最简单的数据开始摆放,有利于学生观察、理解,有利于调动所有的学生积极参与进来。 再到4支铅笔放到3个笔筒里的操作,熟练列举,恰到好处的多媒体的直观演示,发现并描述,理解了最简单的鸽巢原理。 2、建立数学模型。让学生理解鸽巢原理的一般化模型。学生6只鸽子飞进5个鸽笼、8个苹果放到7个鸽巢等推理验证。教师关注了“鸽巢原理”的最基本原理,物体个数必须要多于鸽巢个数,化繁为简,此处确实有必要提领出来进行教学。在学生自主探索的基础上,教师注意引导学生得出一般性的结论:只要放的铅笔数盒数多1,总有一个盒里至少放进2支。通过教师组织开展的扎实有效的教学活动,学生学的有兴趣,发展了学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。 3、采用比较教学。通过例1例2的比较,实质就是物体比鸽巢多1和物体比鸽巢多几倍或更多的比较。在这一环节的教学中教师抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来,使学生学生借助直观,很好的理解了例2.如果把书尽量多地“平均分”给各个鸽巢里,看每个鸽巢里能分到多少本书,余下的书不管放到哪个鸽巢里,总有一个鸽巢里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个鸽巢至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”,而不是商加“余数”,教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论,使学生从本质上理解了“鸽巢原理”。 4、注重深化知识。课前的游戏简短有效,在结束新课前,用“鸽巢原理”来解释,课前抢凳子,扑克魔术。有一种前后呼应的的整体性。学了“鸽巢原理”有什么用?能解决生活中的什么问题,在教学中要注重联系学生的生活实际。例“抽扑克牌游戏、班级有多少个同年同月生的人数等等,一组简单、真实的生活情境,让学生用学过的知识来解释这些现象,有效的将学生的自主探究学习延伸

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