TFR_TRV和CE模型序加试验_省略_WEIBULL分布产品的失效分布_王蓉华
第11卷 第5期
运 筹 与 管 理Vol .11,No .52002年10月
O PERA T IO NS RESEARCH AN D M ANAG EM EN T SCI ENCE Oct .,2002
收稿日期:2002-05-15
基金项目:国家自然科学基金资助项目(69971016);上海市科技发展基金资助项目(00JC14507);高等学校骨干教师资助计划项目作者简介:王蓉华(1972-),女,讲师,硕士,现从事可靠性统计研究及教学工作;费鹤良(1938-),男,教授,博士生导师,现从事可靠性统计研究及教学工作。
TFR 、T RV 和CE 模型序加试验下
WEIBULL 分布产品的失效分布
王蓉华, 费鹤良
(上海师范大学数学科学学院,上海200234)
摘 要:本文针对TF R 模型,首次提出将步加试验推广至序加试验,就两参数Weibull 分布给出了损伤因子函数,同时给出了产品寿命的残存函数。另外针对T RV 模型,在序加试验下就两参数Weibull 分布给出了损伤系数,同时给出了产品寿命的残存函数。
关键词:损伤失效率模型;损伤随机变量模型;累积损伤模型;Weibull 分布;残存函数
中图分类号:O213.2 文章标识码:A 文章编号:1007-3221(2002)05-0047-09
Th e Failure Rate Fun ction of Weibull Distribution in Progressive
Stress Life Testin g for the TFR ,TRV an d CE Models
WANG Rong -hua , FEI He -liang
(Department of Mathematics ,Shanghai Teachers U niversity ,200234,China )
Abstract :In this article ,the tampered failure rate (TFR )model is generalized from the step -stress accelarated life testing to the progressive stress life testing for the first time .We get the function of its loss factor as w ell as the survival function fo r tw o -parameter Weibull distribution .In addi -tion ,for the parametric setting w here the life distributio n under the progressive stress is two -pa -rameter Weibull distribution ,the tam pered coefficient is investigated and the survival function of its life leng th is also derived for the tam pered random variable (TRV )model .
Key words :tampered failure rate (TFR )model ;tampered random variable (TRV )model ;cumu -lative exposure (CE )model ;Weibull distribution ;survival fuction
0 引言
随着产品可靠性的不断提高,用通常的寿命试验方法来评估产品的可靠性,从试验时间和
试验经费上来说已成为企业的沉重负担。实际上在许多场合,有时根本无法做一般的寿命试验,有的花了巨大代价把试验结果做了出来,但产品可能已更新,从而失去了试验的意义。因此,从六十年代开始,加速寿命试验(ALT)的方法很快地发展起来,随之统计分析方法也得到了相应的发展。加速寿命试验是将受试产品放在高于正常应力条件下进行寿命试验,从而可在较短时间内得到较多的失效数据。加速寿命试验方法主要有三种[9],第一种称为恒定应力加速寿命试验(简称恒加试验);第二种称为步进应力加速寿命试验(简称步加试验);第三种称为序进应力加速寿命试验(简称序加试验)。恒加试验在对产品进行试验的过程中,应力保持不变,当应力水平较低时,试验需用很长时间。而步加试验和序加试验却能缩短试验时间,节省大量人力,物力和试验费用。步加试验在试验过程中,应力呈阶梯状上升。序加试验在试验过程中,应力则是连续上升的(通常一般是指线性上升),它是一种加于受试产品上的应力随时间连续增加的一种寿命试验,试验一直持续到某一固定时间或受试产品有部分或全部失效为止。
在步加试验中,设S1
本文针对TFR模型,首次提出将步加试验推广至序加试验,就两参数Weibull分布给出了损伤因子函数,同时给出了产品寿命的残存函数。另外针对TRV模型,在序加试验下就两参数Weibull分布给出了损伤系数,同时给出了产品寿命的残存函数。
1 TFR、TRV和CE模型
文献[1]提出了损伤失效率(TFR)模型,考虑一批产品在步进应力加速寿命试验下,从时刻t=0开始直到一个固定的时刻t1都遭受一个应力S1,在时刻t1未失效的产品将受到应力S2(>S1),且试验到产品都失效为止。假定这应力变化的结果是导致开始时失效率函数λ1(y)乘上与变化点t1有关的一个未知因子α>1。记步进应力寿命时间Y＊的失效率函数为λ＊(y),所提议的损伤失效率(TFR)模型为:
λ＊(y)=λ1(y)当y≤t1时
αλ1(y)当y>t1时
(1)
因子α将由S1和S2确定,而且有可能和时间变点t1也有关。于是α一般记为α(t1),在此称其为损伤因子。
记F1(x),F1(x),λ1(x)和Λ1(x)为在应力S1下产品寿命分布的分布函数、残存函数、48运 筹 与 管 理 2002年第11卷
失效率函数和累积失效率函数。从残存函数 F (y )和累积失效率Λ(y )=
∫y 0λ(x )d x 之间的关系, F (y )=e -Λ(y ),可以得到和(1)式相应的残存函数:
F ＊(y )=
F 1(
y )当y ≤t 1时 F 1(t 1) F 1(y ) F 1(t 1)α当y >t 1时(2)值得一提的是 F ＊(y )仅依赖于应力S 1下产品的分布及损伤因子,而对应力S 2下产品的
寿命分布不作要求。
DeGroot 和Goel [7](1979)提出的损伤随机变量(T RV )模型,用随机变量Y 1来表示某产品在应力S 1下的寿命长度,它的密度函数为f (y ,θ),这里θ是一个未知参数向量。假定在某一指定的时刻t 0,某一产品还没有失效,那么该产品就被转换到一个高应力的水平下,继续试验直到产品全部失效时为止。假定在时刻t 0从应力S 1增到S 2所产生的效应是在它的剩
余寿命上乘上一个未知因子α-11。一般地α1将是应力S 1,S 2的一个函数,而且可能与时间变
点有关,通常α1将会比1大,因此转换到高应力水平上去会缩短产品的寿命时间,α1一般记为α1(
t 0),称为损伤系数。这种模型称为损伤随机变量(TRV )模型。为了描述上述步加试验,令Y 1表示产品在应力水平S 1下的寿命,并令Y ＊表示产品在步加试验下寿命时间,那么TRV 模型可表示为:
Y ＊=Y 1当Y 1≤t 0时
t 0+α1(Y 1-t 0)当Y 1>t 0时(3)因为所转换的高应力水平是一个有普通分布的损伤,所以Y ＊被称作为一个损伤随机变
量,t 0称为损伤点(或时间变点),α1称为损伤系数,可记为α1(
t 0)。将(3)式变形如下:Y 1=Y ＊
当Y ＊≤t 0时t 0+α1(Y ＊-t 0)当Y ＊>t 0时(4)
如果 F 1(y )表示寿命长度Y 1在应力S 1下的残存函数,其累积失效率函数记为Λ1(y ),那么步加试验产品寿命时间的残存函数和累积失效率函数为:
F ＊TR V (y )= F 1(
y )当y ≤t 0时 F 1[t 0+α1(
y -t 0)]当y >t 0时(5)Λ＊TR V (
y )=Λ1(
y )当y ≤t 0时Λ1[t 0+α1(y -t 0)]当y >t 0时(6)注意:(5)、(6)式中的y 是步加试验的寿命时间,即为y ＊。
下面来观察累积损伤(CE )模型,Nelson [9](1980)的CE 模型假定如下:产品的残余寿命仅依赖于当时已积累失效的部分和当时的应力水平,而与积累方式无关。进一步,如果持续在一个恒定应力,未失效产品会根据该应力下的分布函数来失效,但是要从以前累积失效的部分开始。
注意:在高应力S 2下的分布函数F 2可以是任意的,而且可以和在应力S 1下的分布函数F 1是无关的。
Nelson 指出了步进应力的寿命分布函数F 要和两个应力下的分布函数相关F i (y )=F (y S i ),i =1,2。假定在应力S 1下的第一步持续到t 0为止,其到时刻t 0试验失效的总体分布49
第5期 王蓉华,等:T F R 、T RV 和CE 模型序加试验下W EI BU L L 分布产品的失效分布
函数为:F ＊(y )=F 1(y ) 当0≤y ≤t 0时
(7)当第二步开始产品工作到时刻y 时,其试验失效的总体分布函数为:
F ＊(y )=F 2(y -t 0+t ′) 当y >t 0时(8)
其中:t ′=F -12{F 1(t 0)},即由方程:F 2(t ′)=F 1(t 0)解得。
由于上述三个模型是针对步进应力加速寿命试验场合提出的,下面将其推广至序进应力加速寿命试验场合。
2 CE 模型序加试验下Weibull 分布产品的失效分布
我们知道通常所指的序进应力是线性上升的,即应力S (t )=Kt +S 1,简称线性序进应力。而事实上对应力并不一定要求是线性上升,其实仅假设序进应力S (t )为连续非降,且S (0)=S 1即可,对这种情形在此称为一般序进应力。另外在推导产品在一般序进应力加速寿命试验下寿命时间的残存函数(或分布函数)时,须要附加S (0)=S 1>0这一条件。在一般序加试验产品寿命的残存函数(或分布函数)中如果令S (0)=0,便可得到一般序加应力S (t ),S (0)=0条件下产品寿命的残存函数(或分布函数)。
根据分布函数的形式不同,讨论如下两种情况:
情形1:如果F 1,F 2具有相同的形状参数β,刻度参数为θi (
i =1,2)的两参数Weibull 分布,θi 满足对数线性关系:ln θi =a +b Υ(S i ),i =1,2。此时(8)式变为如下形式:
F ＊(y )=1-exp -y -t 0+t ′θ2β,当y >t 0时(9)
而t ′为方程F 2(t ′)=F 1(t 0)的根,其可以简化为如下形式:
t ′=t 0θ2θ1
(10)引理1[9]设应力S (t )下产品服从两参数Weibull 分布,其形状参数为β、刻度参数为θ(S (t ))。在序进应力S (t )下累积损伤(CE )模型下产品寿命的残存函数为:
F ＊(t )=ex p {-[ε(t )]β}
(11)其中:ε(t )=∫t
01θ(S (x ))
d x (12)由引理1可知:如果刻度参数θ(S (t ))满足ln θ(S )=a +b Υ(S )的对数线性模型:(1)当满足阿伦尼斯方程时,a =ln a 0,b =E ρ,Υ(T )=1T
,ρ=0.8617×10-4ev /k 为波尔兹曼常数。a 0是正常数,它与产品的特性、几何形状和试验方法等因素有关。E 为激活能。一般认为当以温度为应力时,寿命与应力的关系符合阿伦尼斯方程。(2)当满足逆幂律方程时,a =-ln d ,b =-c ,Υ(V )=ln V 是应力的已知函数。d ,c 是正常数,由产品特性、几何形状和试验方法等决定。一般认为当以电压(或电流)为应力时,寿命与应力的关系符合逆幂律方程。则
:
F ＊(t )=ex t 0e b [Υ(S 1)-Υ(S (x ))]d 50
运 筹 与 管 理 2002年第11卷
=exp -e -a ∫t 0e -b (S (x ))d x β, S 1≥0
(13)特别地:加速方程满足阿伦尼斯方程,对线性序加试验T (t )=K t +T 1,T 1为起始绝对温度,残存函数为:
F ＊(t )=ex p -1a 0∫t 0e -E ρ1Kx +T 1d x β,T 1≥0(14)
加速方程满足逆幂律方程,对线性序加试验V (t )=Kt +V 1,V 1为起始电压,残存函数为:
F ＊(t )=ex p -d ∫t 0(K x +V 1)c
d x β=ex p -(Kt +V 1)c +1-V c +11
K (c +1)d
β
,V 1≥0(15)另外,对线性序加试验和逆幂律方程时,文献[5]从时间折算的角度(折算成标准时间)导出了在序进应力V (t )=K t 下产品寿命的残存函数为(15)式;文献[6]导出的序进应力V (t )=Kt +V 1,V 1>0下产品寿命的残存函数为(15)式。
情形2:如果F 1,F 2具有刻度参数θβi (i =1,2),θi 满足对数线性关系的单参数指数分布,
此时(8)式变为如下形式: F ＊(y )=1-exp -y -t 0+t ′θβ2
, 当y >t 0时(16)而t ′为方程F 2(t ′)=F 1(t 0)的根,其可以简化为如下形式:
t 0=θ1θ2βt ′=e b β[Υ(S 1)-Υ(S 2)]t ′(17)
若设一般序进应力S (t ),S (0)=S 1>0,试验做到时间t ,那么其“相当于”在恒定应力S 1下试验做了t 1时间:
t 1=
∫t 0
e b β[Υ(S 1)-Υ(S (t ′))]d t ′, S 1>0(18)于是一般序加试验S (t ),S (0)=S 1>0,产品寿命时间的残存函数应具有如下形式: F ＊(t )=exp -∫t 0e b β[Υ(S 1)-Υ(S (x ))]d x [θ(S 1)]β=exp -e
-β(a +b (S 1))∫t 0e b β[Υ(S 1)-Υ(S (x ))]d x =exp -e -a β∫t 0e -b βΥ(S (x ))d x
, S 1>0(19)特别地:参数θ1满足阿伦尼斯方程时,残存函数为:
F ＊
(t )=exp -1a β0∫t 0e -E βρ1T (x )d x , T 1≥0(20)参数θ1满足逆幂律方程时,残存函数为: F ＊(t )=ex p -d β∫t
0[V (x )]c βd x , V 1≥0(21)
51第5期 王蓉华,等:T F R 、T RV 和CE 模型序加试验下W EI BU L L 分布产品的失效分布
3 TFR 模型下损伤因子函数的确定设产品在恒定应力S 1下的寿命服从形状参数为β1,刻度参数为θ1的两参数Weibull 分
布,残存函数为:ex p -y θ1
β1,刻度参数θ1满足对数线性关系,即:ln θ1=a +b Υ(S 1)。令:β=β1,θ=θ1,如果我们做序进应力加速寿命试验,序进应力为:
S (t )=Kt +S 1, S 1>0(22)
于是对损伤失效率(TFR )模型,其产品的残存函数应具有如下形式:
F ＊(t )=exp -∫t
0A (x )λ1(x )d x (23)
其中:λ1(
x )表示在应力S 1下产品工作到时间x 的失效率函数,而A (x )表示TFR 模型在序加试验下产品工作到时间x 的损伤因子函数。
事实上,可以通过步进应力逼近于序进应力的过程,容易看出(23)式是成立的。n 步步加试验,转换点为t 1,t 2,…,t n -1。设αj -1为第j -1步到第j 步步加试验的损伤因子,j =0,1,
…,n 。α0=1。令:x i =t βi ,T =t β由文献[2]知( F ＊n (
t )表示n 步步进应力且间隔很短的加速寿命试验的残存函数):
F ＊n (t )=exp ∑n -1
i =0t i δi +1β-t i δi
βexp -t δn β
=exp ∑n -1i =0x i δβi +1-x i δβi exp -T δβn
=exp -x 1-x 0δβ1+x 2-x 1δβ2+…+x n -1-x n -2δβn -1+T -x n -1δβn
=exp -∑n j =1Δx j δβj
其中:Δx j =x j -x j -1,j =1,2,…,n -1,Δx n =T -x n -1,而δβj =θβ∏j -1i =0a i θβD (
x j ),j =1,2,…,n 。于是有: F ＊(t )=lim n ※∞
F ＊n (t )=lim n ※∞=ex p -∑n j =1Δx j δβj =exp -1θβlim n ※∞∑n j =1D (x j )Δx j 则有:
F ＊(t )
=ex p -1θβ∫T 0D (x )d x (24)令:y =x 1β,x =y β,d x =βy β-1d y ,则有: F ＊(t )=ex p -1θβ∫t 0D (y β)βy β-1d y =exp ∫t 0D (x β)λ1(
x )d x 如令:A (x )=D (x β),则上式即为(23)式。
如果知道了(23)式的具体形式,
那么对其进行统计推断就显得比较容易了。要明确(23)式的具体形式,最关键的问题是如何确定损伤因子函数A (x )。
β,则在应力S 1下X 服从是刻度参数为θβ的单参数指数分布,残存函数为ex p
S (t )=K t +S 1,S 1>0变为x 轴上的一般序进应力U (x )=K x 1β52运 筹 与 管 理 2002年第11卷
+S 1,S 1>0。于是求损伤因子函数A (t )这一问题可以分如下两步解决:第一步 由上节内容可知,在应力S 1下产品寿命时间X 服从刻度参数为θβ的单参数指数分布,在一般序进应力U (x ),U (0)=S 1>0下,累积损伤(CE )模型下,产品寿命的残存函数为:
F ＊(x )=ex p -e -a β∫x 0e -b βΥ(U (y ))d y , S 1>0(25)
由文献[1]对指数分布而言,损伤失效率(TFR )模型与累积损伤(CE )模型是一致的。于是一般序进应力U (x )下损伤失效率(TFR )模型的残存函数为:
F ＊(x )=ex p -∫x 0B (y )θ
βd y =exp -e -a β∫
x 0B (y )e -b βΥ(S 1)d y , S 1>0(26)其中:B (y )表示在应力S 1下产品服从刻度参数为θβ的单参数指数分布在一般序进应力U (x ),U (0)=S 1>0下损伤失效率(TFR )模型的损伤因子函数。
由此(25)与(26)是相等的,即:
exp -e -a β∫
x 0e -b βΥ(U (y ))d y =ex p -e -a β∫x 0B (y )e -b βΥ(S 1)d y
∫x 0e -b βΥ(U (y ))
d y =∫x 0B (y )
e -b βΥ(S 1)d y
B (y )=exp {b β[Υ(S 1)-Υ(U (x ))]}, S 1>0(27)
第二步:在应力S 1下产品寿命时间服从形状参数为β,刻度参数为θ的两参数Weibull 分布,在序进应力S (t )=K t +S 1,S 1>0下,损伤失效率(TFR )模型的损伤因子函数A (t )为:
A (t )=
B (t β)=ex p {b β[Υ(S 1)-Υ(U (t β))]}, S 1>0
(28)而U (t β)=K (t β)1β+S 1=K t +S 1,于是有:
A (t )=exp {b β[Υ(S 1)-Υ(K t +S 1)]}, S 1>0
(29)那么A (t )=B (t β)为什么成立?事实上,设z 为序进应力S (t ),S 1>0下产品的寿命时
间,z 的残存函数为:ex p -∫
t 0A (x )βx β-1θβd x ,令:X =z βP (X >x )=P (z β>x )=P (z >x 1β)=exp -∫x 10A (y )βy β-1θβd y 而上述问题又可以看成:在应力S 1下产品寿命服从刻度参数为θβ的单参数指数分布,X 为
一般序进应力U (x ),S 1>0下产品的寿命时间,X 的残存函数为:
P (X >x )=exp -
∫x 0B (y )θβd y 于是有:
∫x 1β0A (y )βy β-1θβd y =∫x 0B (y )θβd y 即:
∫x 0A (y 1β)d y =∫x 0B (y )d y 进而有:
A (x
1β)=B (x )即:A (t )=B (t β)成立。另外对(24)式中的D (x )事实上就是B (x )。53
第5期 王蓉华,等:T F R 、T RV 和CE 模型序加试验下W EI BU L L 分布产品的失效分布
特别地:当参数θ满足阿伦尼斯方程时,有:
A (t )=exp E βρ1T 1-1Kt +T 1
, T 1>0(30)当参数θ满足逆幂律方程时,有:
A (t )=exp {-c β[ln V 1-ln (Kt +V 1)]}=Kt +V 1V 1
c β(31)有了(29)式容易得到两参数Weibull 分布序进应力S (t )=Kt +S 1,S 1>0下,TFR 模型产品寿命的残存函数及密度函数:
F ＊(t )=exp -∫t 0A (x )λ1(x )d x , S 1>0(32)
F ＊(t )=A (t )λ1(
t ), S 1>0(33)4 TRV 模型序加试验下Weibull 分布的损伤系数
对TRV 模型考虑序进应力S (t )=Kt +S 1,S 1>0加速寿命试验,在恒定应力S 1下产品的寿命服从形状参数为β1,刻度参数为θ1的两参数Weibull 分布。令:β=β1,θ=θ1,并令以上序加试验下产品寿命时间的损伤系数为A (t )。由于在两参数Weibull 分布下TRV 模型与CE 模型是一致的[1],于是有:
F ＊(t )=exp -e
-a -b Υ(S 1)∫t 0e b [Υ(S 1)-Υ(S (x ))]d x β=exp -
∫t 0A (x )d x θβ=exp -e -a -b Υ(S 1)∫t 0A (x )d x β进而可得:A (t )=e b [Υ
(S 1)-Υ(S (t ))](34)当刻度参数θ满足阿伦尼斯方程时,A (t )有:A (t )=e b 1T 1-1Kt +T 1=e
E ρ1T 1-1K t +T 1(35)当刻度参数θ满足逆幂律方程时,A (t )有:A (t )=V 1K t +V 1b =Kt +V 1V 1
c (36)于是序加试验产品寿命时间的残存函数具有如下形式:
F ＊(t )=exp -∫t 0e b [Υ(S 1)-Υ(S (x ))]d x
θβ=exp -e -a -b Υ(S 1)∫t 0e b [Υ(S 1)-Υ(S (x ))]
d x
β=exp -e -a ∫t 0e -b Υ(S (x ))d x β, S 1>0
(37)当刻度参数θ满足阿伦尼斯方程时,残存函数为: F ＊(t )=exp -1a 0∫t 0e -E ρ1K x +T 1d x β,T 1≥0(38)当刻度参数θ满足逆幂律方程时,残存函数为:
54运 筹 与 管 理 2002年第11卷
F ＊(t )=ex p -d ∫t 0(K x +V 1)c d x β
=ex p -(Kt +V 1)c +1-V c +1
1K (c +1)
d β, V 1≥0(39)
5 结束语
(1)Nelson 在1980年提出CE 模型以来,针对序加试验其统计处理方法渐趋成熟,在实际中已有许多应用,经济效益十分明显。Nelson 在文献[9]中也提供了许多实际背景资料、基本理论和实际例子。而在国内也有一些非常成功的应用实例,象文献[10][11][12]等。
(2)TFR 模型提出时间不长,本文给出了Weibull 分布产品序加试验下产品的损伤因子函数、残存函数等,这为统计推断奠定了基础。关于统计推断将另文发表。
(3)TRV 模型提出的时间也不长,而Weibull 分布产品序加试验下产品的失效分布与CE 模型下是一致的,其统计推断将与CE 模型完全一样。需要指出的是,这里针对的是Weibull 分布产品,如果是其它寿命分布产品就不见得是一致的。
(4)TFR 模型、T RV 模型目前在实际中未见其应用,但不见得将来在实际中就没有什么应用价值。这与CE 模型刚开始提出一样,实际应用需要有一个过程,随着试验的深入,统计推断方法的日趋完善,相信会有一些成功的应用实例的。另外,由于产品内部失效机理等的差别,具体哪些产品适用哪个模型,目前也没有一个规律性的认识,这有待于进一步研究实践。参考文献
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