最新人教版高中数学选修1-2《反证法》习题课

习题课

基础再现 1. 和是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维模式.

答案:综合法分析法

2.一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做，可用框图表示为 .

答案:综合法

3.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做，用框图表示为 .

答案:充分条件分析法

4. 是间接证明的一种基本方法.

答案:反证法

5.一般地，假设原命题错误，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做，这种方法的关键是在正确的推理下得出 .

答案:反证法矛盾

典例剖析

【例1】若y

b x a +=1(a 、b 、x 、y >0且a ≠b ),求证：x +y ≥(a +b )2. 证法一:∵x 、y 、a 、b >0,且

y b x a +=1， ∴x +y =(x +y )( y

b x a +) =a +b +y

xb x ya +≥a +b +2ab =(a +b )2.

∴原不等式成立.

证法二:易知y =

x bx -, 则x +y =x +a x bx -=x +a x ab a x b -+-)(

=x +b +a x ab -=(x -a )+a

x ab -+a +b . ∵x 、y 、a 、b >0,y

b x a +=1,x >a ,x -a >0, 故x +y ≥a +b +2ab =(a +b )2.

点评:证法一中的1逆看成y

b x a +,然后“无中生有”与“x +y ”相乘，结论水到渠成，若考虑“y

b x a +=1”,联想三角换元，可借助三角函数性质证明. 【例2】设x >0,y >0,且x ≠y ,求证：()3133y

x +<()2122y x +. 证明:∵x >0,y >0，

欲证()3

133y x +<()2122y x +成立，只需证明（x 3+y 3）2<(x 2+y 2)3,

即证2x 3y 3<3x 2y 2(x 2+y 2).

只需证明2xy <3(x 2+y 2).

∵x >0,y >0,x ≠y ,

∴x 2+y 2>2xy .

∴3(x 2+y 2)>2xy 成立.

故()3133y x +<()2122y x +成立.

点评:分析法是寻找结论成立的充分条件，对于无理不等式去根号,分式不等式去分母，分析法是常用方法，此题的关键是在两边非负的条件下乘方去根号.

【例3】若a 3+b 3=2,求证：a +b ≤2.

证法一:假设a +b >2,则

a 3+

b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)>2(a 2-ab +b 2)，而a 3+b 3=2,故a 2-ab +b 2<1，

∴1+ab >a 2+b 2≥2ab ,

从而ab <1.

∴a 2+b 2<1+ab <2.

∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab <2+2ab <4.

∴a +b <2.

这与假设矛盾，故a +b ≤2.

证法二:假设a +b >2,则a >2-b ,故

2=a 3+b 3>(2-b )3+b 3,

即2>8-12b +6b 2,即(b -1)2<0,

这不可能，从而a +b ≤2.

证法三:

假设a +b >2,则

（a +b ）3=a 3+b 3+3ab (a +b )>8.

由a 3+b 3=2,得

3ab (a +b )>6,故

ab (a +b )>2.

又a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)=2,

∴ab (a +b )>(a +b )(a 2-ab +b 2).

∴a 2-ab +b 2

即（a -b ）2<0.这不可能，故a +b ≤2.

点评:本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾；一般说，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定过头时，都可以考虑用反证法.

【例4】设实数x 、y 满足y +x 2=0,0

81+log a 2. 证明:∵a x >0,a y

>0,

∴a x +a y ≥2y x a +=22x x a -. ∵x -x 2=x (1-x )≤［

2)1(x x -+］2=41, 又0

∴a 2x x -≥a 41，当x =

21时，等号成立，但当x =21时，a x ≠a 2x -. ∴a x +a y >2a 81

∵a x +a y ≥2y x a +, 只需证x +y ≤41,x -x 2≤4

14. 注意等号不同时成立，问题可解.借助分析法探路，然后利用综合法证明，若盲目用综合法推进，容易受阻.

能力提高

1.命题甲：α是第二象限的角；命题乙：sin αtan α<0.则命题甲是命题乙成立的（）

∵sin α·tan α<0?α是第二或第三象限的角,

∴甲是乙的充分不必要条件.

答案:A

2.已知a ,b ∈R,ab >0，则下列不等式中不正确的是（）

b >0时,|a +b |=|a |+|b |.

答案:C

3.设a 、b 、c 大于0，则3个数：a +b 1,b +c 1,c +a

1<2, c +a 1<2, 三式左右分别相加得

c 1=（a +a 1）+（b +b 1）+（c +c 1）≥2a a 1?+2b b 1?+2c c 1?=6，矛盾，故假设不成立.

答案:D

4.设x =a 2b 2+5,y =2ab -a 2-4a ,若x >y ，则实数a 、b 应满足条件 .

解析:∵x -y =（ab -1）2+（a +2）2，且x >y ，

①若a ,b ∈R,则a b +b a ≥2b

a a

b ?=2; ②若x 、y 为正数，则lg x +lg y ≥2y x lg lg ;

③若x ∈R,则|x +x 4|=|x |+x 4≥2x

x 4?=4; ④若a ,b ∈R,ab <0,则a b +b a =-(-a b +b a -)≤-2b

6.已知x >0,y >0,x +y =1,

求证：（1+x 1）(1+y

1)≥9. 证明：∵x >0,y >0,x +y =1,

∴（1+x 1）（1+y 1）=（2+x y ）（2+y

x ）=5+2（x y +y x ）≥9. 当且仅当x =y =2

1时,等号成立. 故（1+x 1）（1+y

1）≥9. 7.设a >b >c ,n ∈N *，试求使不等式b a -1-c b -1≥c

a n -成立的n 的最大值. 解:∵a -c >0,要使原不等式成立, 只需

b a

c a --+c b c a --≥n 成立, 即()()b a c b b a --+-+()()c

b c b b a --+-≥n 成立, 也就是2+b a c b --+c

b b a --≥n 成立. 又b a

c b --+c b b a --≥2, ∴n ≤4.

∴n 有最大值4.

8.已知非零实数a 、b 、c 成等差数列，a ≠c ，求证：a 1、b 1、c

1不可能成等差数列. 证明:假设

a 1,

b 1,c

1成等差数列, 则b 2=a 1+c 1=ac c a +.

a +,代入（*）式得c a +4=ac c

这与题设a ≠c 矛盾，故假设不成立. ∴a 1、b 1、c 1

不可能成等差数列.

施展才华

1.已知a 、b 是不等正数，且a 3-b 3=a 2-b 2,求证：1

证明:∵a 3-b 3=a 2-b 2且a ≠b ，

∴a 2+ab +b 2=a +b .

由（a +b ）2=a 2+2ab +b 2>a 2+ab +b 2,

只需证明3（a +b ）2<4（a +b ）,

又a +b =a 2+ab +b 2,

即证3（a +b ）2<4（a 2+ab +b 2）.

也就是证明（a -b ）2>0.

∵a ,b 是不等正数,故（a -b ）2>0成立,

x -1上不存在关于直线x +y =0对称的两点.

证明:假设抛物线y =22

x -1上存在两点P ,Q 关于直线x +y =0对称,设P （x 0,y 0）, 则Q （-y 0, -x 0）,则有

①-②,得

高中数学新教材中的数学文化

高中数学新教材中的数学文化摘要：随着新课程改革的推进，对高中数学教学不断提出新的要求。不仅要摒弃传统的教学形式，创新教学内容、教学方法，更要重视新教材中数学文化的渗透，关注学生知识的学习积累，注重对学生学习兴趣的培养。本文立足于新教材中数学文化的体现，致力于探究如何使学生更好的在学习过程中感受数学文化，更好的提高数学教学效果。关键词：高中数学新教材数学文化引言数学文化作为一个抽象的概念，主要包含数学的思想、语言、方法、特点及形成与发展的过程等，即从文化的视角分析数学。除此之外，数学文化还涉及数学史、数学教育以及和其他学科的交叉等。本文将对数学文化内容展开分析，促进学生对数学文化的理解，更好的学习数学知识。一、数学文化在教学中发挥的作用数学是具有独特文化的学科，是人类文明的重要组成部分，同时也是促进人类社会不断进步的重要指引。数学作为一种精神，与我们的社会环境、日常生

人教版高中数学选修2-1优秀全套教案

高中数学人教版选修2-1全套教案第一章常用逻辑用语日期： 1.1.1命题（一）教学目标１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。（二）教学重点与难点重点：命题的概念、命题的构成难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学时间（三）教学过程学生探究过程： 1．复习回顾初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（４）若x2=1,则x=1．（５）两个全等三角形的面积相等．（６）３能被２整除． 3．讨论、判断学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句．在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．

《数学文化赏析》mooc答案(最新整理)

第一章一、多选题(共100.00 分) 1.以下关于数学的描述，正确的有（A B）。 A.数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 B.数学是研究模式与秩序的科学 C.数学研究事物的物质属性 D.数学只是研究数的科学 2.以下表述中正确的有（A B C）。 A.数与形是数学科学的两大柱石； B.数与形是万物共性和本质； C.数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系； D.数与形是不同的事物，也没有关系。 3.下列运动或变换中，属于拓扑变换的有（A C）。 A.橡皮筋拉伸； B.电风扇旋转； C.纸张折叠； D.投影。 4.以下各选项属于数学的特点的有（A C D）。 A.概念的抽象性； B.公式的简洁性； C.推理的严密性； D.结论的确定性。 5.以下选项中，属于数学关注的内容的部分有（A B C D）。 A.一种对象的内在性质； B.不同对象的联系； C.多种对象的共性； D.一组对象的变化规律。 6.数学中概念或定义的形成主要是（A B C）的结果。 A.分类； B.抓本质； C.抓共性； D.推理。 7.按照结构数学的观点，以下对象属于代数结构的有（A C）。 A.加法运算； B.比较大小； C.乘方运算； D.数轴。 8.以下关于公理系统的描述中，正确的有（A B D）。 A.公理之间应该相容； B.公理之间应该独立； C.公理需要证明； D.公理是数学理论正确性的前提。 9.以下推理形式中，属于合情推理的有（A B D）。 A.归纳；

B.类比； C.演绎； D.联想。 10.以下关于归纳推理的叙述中，正确的是（A B D）。 A.归纳推理是从个体认识群体的推理； B.归纳推理是从特殊到一般的推理； C.归纳推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.归纳推理不能保证结论的正确性。 11.以下关于类比推理的叙述中，正确的是（A C D ）。 A.类比推理是发散性思维； B.类比推理是从一般到特殊的推理； C.类比推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.类比推理不能保证结论的正确性。 12.以下关于演绎推理的叙述中，正确的是（A B C D）。 A.演绎推理是收敛性思维； B.演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系； C.演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地； D.演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限。第二章一、多选题(共100.00 分) 1.以下选项中属于数学功能的有（A B C D ） A.实用 B.教育 C.语言 D.文化 2.以下哪些现象说明数学具有语言功能？A B A.用方程描述社会现象 B.用符号表示数和运算 C.逻辑推理 D.五线谱 3.数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括（A C） A.数学的对象是万物之本 B.数学概念的抽象性 C.数学方法与结论的可靠性 D.数学结论的确定性 4.与自然语言相比，数学语言具有以下优点（A C D ） A.不会产生歧义 B.表达生动 C.表达简洁、清晰 D.内涵丰富 5.把数学看做一种文化，原因在于（A B C ） A.数学是人类创造并传承下来的智力成就

浅谈数学文化与高中数学教学 -

【标题】浅谈数学文化与高中数学教学【作者】谭弦【关键词】数学文化数学文化与教学素质教育【指导老师】周均【专业】数学与应用数学【正文】 1. 引言数学不仅是一门科学，更是一个内容十分丰富的文化体系，因为数学中蕴涵了大量的哲学、美学、文学等，因此数学更是一个由其内在力量和外部力量共同作用而处于不断发展和进化的文化系统。高中数学是数学科学的基础知识，也是一个联系紧密、结构严谨的数学文化系统。在新数学课程标准和数学教学改革的要求下，中学生除了学会数学基础知识和基本技能外，还应当受到良好的数学文化教育，使之具有一定的数学素养。因此，研究数学文化与高中数学教学具有重要的意义，有助于完善数学文化的理论研究，促进数学文化的发展，更重要的是，把对数学文化的研究和高中数学教学想结合，能够促进高中数学教学的改革，提高高中学生的数学学习兴趣。 2. 数学文化的内涵２.１.数学文化的概念数学文化是指人类在社会历史过程中所创造的精神财富。数学文化可以看成是指人类在历史的数学活动过程中所创造的数学财富的总和，包括数学的知识体系、数学的思想、方法、观念等。高中数学新课程标准，把认识数学文化的作用，提高学生的文化素养和创新意识作为一个重要的培养目标，尽管上世纪90年代以来，许多中外学者将数学文化作为一种文化来研究，然而对数学文化的认识在理论和实践上的讨论还不是很完善。数学文化是人类文化的重要组成部分。一方面数学文化的产生与发展是在一定的文化背景中实现的，那一定的文化背景制约着数学文化的发展；另一方面吗，数学文化的发展又反过来影响整个文明进程，数学文化不仅自身属于人类社会的一种文化现象，而且数学文化尚拥有广泛的超越数学文化自身意义的因素以及这些因素对人类文化（进步）的巨大影响。数学文化是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。从远古人类的结绳计数到数码符号的出现，从数字的应用到数量符号运算符号的产生，从各种数量关系的研究到数学语言、文字语言、符号语言、图式语言的诞生，从解决问题的不同策略，到数学思想和方法的确立，从珠算的发明到计算机的产生，清晰地表明，数学文化与人们的生活息息相关，与人类的文明同步发展。 2.２数学的文化价值数学是一种文化，数学教育是数学文化的教育。《普通高中数学课程标准(实验)》将体现数学的文化价值作为一个基本理念，提出了对数学文化的学习要求。这充分表明数学文化已经从一种理念走进了中学课堂，渗透到数学课的实际教学中。课

【校本教材】高中数学校本课程---数学文化

人教版高中数学选修1-1知识点总结

高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?；全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈?；特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；第二章圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

谈谈数学文化与高中数学教学

【标题】谈谈数学文化与高中数学教学【作者】袁媛【关键词】数学文化高中数学教学数学人文素养【指导老师】杨红【专业】数学与应用数学【正文】引言现在学科间呈现出交叉、渗透与综合,使得人文教育与科学教育再度出现融合的发展趋势,人文教育日益受到教育者的关注,世界各国围绕21世纪公民的科学素养的要求,已经意识到数学人文价值的客观存在.数学作为人类文化的重要组成部分,它的文化价值已经受到数学界的普遍重视.高中数学教育目的不仅在于使学生掌握数学理论知识,而且使他们具有一定的数学思维能力,善于运用所学的知识分析和解决各种实际问题,具有一定的数学文化素养.而培养数学人文素养是一个动态的过程,它是不仅靠记忆、讲解、推导、演练、答卷等传统的教学手段就能凑效的,因为上述教学手段基本都是围绕知识的理解和掌握展开的,是以书本知识为素材,以形式逻辑推理为思维工具的.要培养具有数学人文素养的人才就需要新的手段.笔者认为,把数学文化运用于高中数学教学,将二者融合在一起,则是一个值得探索的,很有希望的方向.实际上,从19世纪以来已经有不少数学家和数学教育家从不同角度进行过这方面的探索[1].如F.Klein的《19世纪数学史讲义》,G.Polya的《数学的发现》,《数学的猜想》等著作中运用了学许多数学哲学和数学史的成果,20世纪的60年代以来关于“新数学”的教育功过是非的讨论,也是在数学哲学和数学背景上进行的.本文将对数学文化与高中数学教学作一定的探究. 1认识数学文化数学作为一种文化现象,早已是人们的常识.数学文化是人类的基本文化活动之一,与人类整体文化血肉相连.那么数学文化到底是什么呢?现目前对于数学文化还没有确切的定义,但从系统的观点来看,数学文化可表述为:“以数学科学体系为核心,以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统.”[2] 这样的定义比较全面地揭示了数学文化的本质特点.下面笔者将仅从数学美、数学精神以及数学史这3个层面来认识数学文化. 1. 1数学是很美的有人曾把优秀的数学文化比作美丽动人的皇后,得心应手的仆人,聪明伶俐的宠物.数学就真的那么美吗?答案是肯定的.举例可证.

数学文化与高考数学

高考数学文化专题一、数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题； 6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？” 其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题； 13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。三、数学名著中的算法题，例如：2015年全国2卷文8理8题；（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 四、数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题 2．（5分）（2015?湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A．134石B．169石C．338石D．1365石

五、杨辉三角，例如：2004年上海春季卷11题； 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.六、祖暅原理，例如：2013年上海卷理13题； 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22 (1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为 2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________ 七、形数，例如：2009年湖北卷文10理10题； 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 八、斐波那契数列，例如：2009年福建卷理15题 15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次第0行1第1行 11第2行 121第3行 1331第4行 14641第5行1 5101051………………

高中数学选修1-2课后习题答案

高中数学选修1-2课后习题答案第Ⅰ卷选择题共50分一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的) 参考公式 1.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A 预报变量在x轴上，解释变量在y轴上 B 解释变量在x轴上，预报变量在y轴上 C 可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上 D 可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上 2.数列2,5,11,20,,47, x…中的x等于（） A 28 B 32 C 33 D 27

3.复数2 5 -i 的共轭复数是（） A i +2 B i -2 C -i -2 D 2 - i 4.下面框图属于（） A 流程图 B 结构图 C 程序框图 D 工序流程图 5.设,,a b c 大于0，则3个数：1a b +，1b c +，1 c a +的值( ) A 都大于2 B 至少有一个不大于2 C 都小于2 D 至少有一个不小于2 6.当132<

处理处理得病32 101 133 不得病61 213 274 合计93 314 407 根据以上数据，则( ) A 种子经过处理跟是否生病有关 B 种子经过处理跟是否生病无关 C 种子是否经过处理决定是否生病 D 以上都是错误的 8.变量x与y具有线性相关关系，当x取值16,14,12,8 时，通过观测得到y的值分别为11,9，8,5，若在实际问题中，y的预报最大取值是10，则x的最大取值不能超过( ) A 16 B 17 C 15 D 12 9.根据右边程序框图，当输入10 时，输出的是（） A 12 B 19 C 14.1 D -30

人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

人教版高中数学选修教案全套

§1.1平面直角坐标系与伸缩变换一、三维目标 1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法：体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二、学习重点难点 1、教学重点：体会直角坐标系的作用 2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、学法指导：自主、合作、探究四、知识链接问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何研究曲线与方程间的关系？五、学习过程一．平面直角坐标系的建立某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定

巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上）问题1: 思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？问题2：还可以怎样描述点P的位置？ B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

小结：选择适当坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

2019全国各地高三最新数学文化题

人教版高二数学选修2-1知识点总结

人教版高二数学选修2－1知识点 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真真假假假假四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题． 11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：

高中数学教材中的数学文化归纳分析

高中数学教材中的数学文化分析 ---以人教版A版为例摘要：高中数学教材中所涉及到的数学文化有哪些，发挥了怎样的作用？展现出了数学中哪些有趣的引人入胜的故事及数学知识？教材中涉及到的数学文化是否还应该得到进一步的完善？本文通过对教材中涉及到的数学文化具体分析，解决上面提出的三个问题. 关键词：高中数学教材数学文化文化一词虽被广泛提及，但始终没有一个准确的定义.《辞海》中对文化是这样定义的，从广义上来说指的是人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和；从狭义上来说指的是社会意识形态以及与之相适应的制度和组织结构.对数学文化的解释，从狭义上来说是数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成与发展；广义上指除以上所述外还含有数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉，以及数学的各种文化间的关系. 高中数学内容庞大，涉及到众多的数学领域，包括代数、平面几何、立体几何、解析几何、序列、向量、排列组合、统计、三角函数等等.这些庞杂的数学知识里有着众多妙趣丛生的数学故事与数学人物.它们自身不断发展和自我完善的过程也是很值得老师和学生去学习和体会的. 高中数学教材人教版A版中插入了很多数学文化，其中不乏众多精彩的片段.在每一章后面都有阅读与思考，学生们可以在课上或闲暇之余细细品读，不但开阔自己的数学视野还能提高对本章多学内容的认识. 1 人教版A版中所提及的数学文化 1.1 人教版A版必修1主要涉及到的数学文化第一章是集合与函数概念，在第二节末尾讲述了函数概念的发展历程.其中提到“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.

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必修 1必修 2 第一章集合与函数概念第一章空间几何体 1.1集合 1.1空间几何体的结构阅读与思考集合中元素的个数 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.2函数及其表示阅读与思考画法几何与蒙日阅读与思考函数概念的发展历程 1.3空间几何体的表面积与体积 1.3函数的基本性质探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球信息技术应用用计算机绘制函数图象体的体积实习作业实习作业小结小结第二章基本初等函数（Ⅰ）复习参考题 2.1指数函数第二章点、直线、平面之间的位置关系信息技术应用借助信息技术探究指数 2.1空间点、直线、平面之间的位置关函数的性质系 2.2对数函数 2.2直线、平面平行的判定及其性质阅读与思考对数的发明 2.3直线、平面垂直的判定及其性质探究也发现互为反函数的两个函数图阅读与思考欧几里得《原本》与公理化象之间的关系方法 2.3幂函数小结小结复习参考题复习参考题第三章直线与方程第三章函数的应用 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1函数与方程探究与发现魔术师的地毯阅读与思考中外历史上的方程求解 3.2直线的方程信息技术应用借助信息技术方程的近 3.3直线的交点坐标与距离公式似解阅读与思考笛卡儿与解析几何 3.2函数模型及其应用小结信息技术应用收集数据并建立函数模复习参考题型第四章圆与方程实习作业 4.1圆的方程小结阅读与思考坐标法与机器证明复习参考题 4.2直线、圆的位置关系 4.3空间直角坐标系信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：圆小结复习参考题

必修 3必修 4 第一章算法初步第一章三角函数 1． 1算法与程序框图 1 .1任意角和弧度制 1． 2基本算法语句 1.2任意角的三角函数 1． 3算法案例阅读与思考三角学与天文学阅读与思考割圆术 1.3三角函数的诱导公式小结 1.4三角函数的图像与性质第二章统计探究与发现函数 y=Asin （ω x+φ）及函2． 1随机抽样数 y=Acos（ωx+φ）阅读与思考一个著名的案例探究与发现利用单位圆中的三角函数阅读与思考广告中数据的可靠性线研究正弦函数、余弦函数的性质阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实信息技术应用反应 1.5函数 y=Asin （ω x+φ）的图像2． 2用样本估计总体阅读与思考振幅、周期、频率、相位阅读与思考生产过程中的质量控制图 1.6三角函数模型的简单应用2． 3变量间的相关关系小结阅读与思考相关关系的强与弱复习参考题实习作业第二章平面向量小结 2.1平面向量的实际背景及基本概念第三章概率阅读与思考向量及向量符号的由来3． 1随机事件的概率 2.2平面向量的线性运算阅读与思考天气变化的认识过程 2.3平面向量的基本定理及坐标表示3． 2古典概型 2.4平面向量的数量积 3． 3几何概型 2.5平面向量应用举例阅读与思考概率与密码阅读与思考向量的运算（运算律）与图小结形性质复习参考题小结复习参考题第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题

数学文化与数学试题

数学文化与数学试题数学作为一种文化，有着它自己的丰厚的文化渊源。当数学教学强化知识，过分注重知识的传递，数学技巧的训练，过分强调数学的工具作用，忽视数学本身所蕴含的鲜活的文化背景，渐渐在学生的心目中，数学与符号、定理、法则、运算等联系在一起，难学难教、枯燥乏味。新课标明确指出数学是人类文化的重要组成部分，并把“体现数学的文化价值”作为新课程设计的基本理念，并将数学文化渗透高考试题中。例1：（2017年全国1卷理）2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． π 8 C． 1 2 D． π 4 例2：（2017年全国2卷理）3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏可见，数学教育不仅仅是知识的传授、能力的培养，更是一种文化精神的传播，已逐步成为人们的一种共识。数学教学中如何渗透数学文化，使学生在数学学习的过程中体验数学文化，受到文化感染，产生文化共鸣，从而实现数学文化的教育功能，更是引了起大家广泛的关注。数学文化与数学试题交汇训练题 1．（2018甘肃兰州西北师大附中调研）在《张丘建算经》有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何” （） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 2．（甘肃省会宁2018届月考12月）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )

2020高考逆袭：高考中的数学文化

第5讲数学文化考点一立体几何中数学文化 1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有() A．14斛B．22斛 C．36斛D．66斛 2．(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是() A．158B．162 C．182D．324 3．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长

方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC -A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则阳马C1-ABB1A1的外接球的表面积是() A．25πB．50π C．100πD．200π 4．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH 后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 5．(2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．考点二数列中的数学文化 1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，则此数列的第20项为() A．220B．200 C．180D．162