专题：统计初步

专题七：统计初步

一、复习目标：

1、 了解总体、个体、样本、样本容量、众数、中位数、平均数等概念。能够通过具体的实际问题考查辨认总体、个体、样本和样本容量这四个基本概念。

2、 会求平均数、众数、中位数、样本方差和样本标准差，体会它们在实际问题中的意义。会用平均数去估计总体平均数。会根据同类问题的两组样本数据的方差或样本标准差比较这两组样本的波动情况。

3、 理解频数、频率的概念，了解频率分布的意义和作用，知道每个小组的频率是各小组的频数与数据总数的比值，了解整理数据的步骤和方法。并且，会用它们估计总体的分布规律。

4、 会根据统计图（表）解决有关问题。

5、 会根据统计结果作出合理的判断和预测，认识到统计在社会生活及科学领域的应用，并且能够解决一些简单的实际问题。

二、要点概述：

1、 基本概念：

① 总体：所要考查的对象的全体叫做总体。

② 个体：总体中的每一个考查的对象就叫做一个个体。

③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本。

④ 样本容量：样本中个体的数目就叫做样本容量。

⑤ 众数：一组数据众出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

⑥ 中位数：将一组数据按大小依次排列，把出在最中间位置的一个数据（或最中间的两个数据的平均数）叫做中位数。

⑦ 方差：一组数据中各个数据与平均数之差的平方的平均数。

⑧ 标准差：方差的算术平方根。

⑨ 频数：落在各个小组内的数据的个数。

⑩ 频率：每个小组的频数与数据总数（样本容量）的比值。

?

2、 基本公式：

①平均数： = （x 1+ x 2 + … + x n ）

②方差：S 2 = [（x 1 – ）2 + （x 2— ）2 ＋… ＋（ｘｎ— ）２]

③标准差： Ｓ＝

④极差： 极差 ＝最大值 —最小值

３、基本思想：用样本的某种特性去估计总体的相应特性。 x 1 n 1 n ｘ ｘ ｘ √Ｓ２

４、几种基本统计图：

① 扇形统计图：是用整个圆的面积来表示总数， 45%

用圆内的扇形面积来表示各 工人部分占总数的百分比，

② 折线统计图：是用一个单位长度表示一定的数量

根据数量的多少描出各点然后把各 点用线段顺次连接起来。

③直方图（条形统计图）： 用一个长度单位表示一定的数量，根据 数量的多少化出长度不同的条形，然后把 这些条形按着一定的顺序排列起来。

三 、考点分析：

总体、个体、样本、样本容量以及总体平均数、样本平均数等内容作为了解层面的内容，各地在近两年的中考中出题不多，而平均数、众数、中位数、方差、频率直方图等内容作为中考的毕考内容，在近两年的中考中越来越受到中考命题人员的重视 ，由于这部分的知识具有较大的实用价值，又蕴涵着许多思维规律和思想方法，例如：数形结合、转化、特殊与一般等数学思想。因此，运用所学的统计知识对所给的表格、文字、图象等信息进行处理分析，并且做出科学的判断和预测，设计合理的方案等题型，已经成为各地中考的典型和热点题型。尤其是把统计与方程、函数结合在一起，作为考查统计思想以及综合处理问题的能力的试题，更是在中考试卷中浮出水面。在2003年的中考中，这部分知识的考分占整个试卷的5.8%左右.

四、例题分析：

例1：（2003年兰州市中考试题）

某校为了了解360名初一学生体重情况，从中抽取60名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）

（A ）样本容量是60 （B ）样本是60名学生

（C ）总体是360 （D ）个体是每个学生

答案： （A ）

分析：总体、个体、样本都是被考查对象的数量指标。本题中，考查对象是初一学生的

体重，360名初一学生体重的全体是总体，0名学生的体重是总体的一个样本，

0 1 2 3 4 5 时间（时）

25 20 15 10

5 1 2 3 4 5 （组） 植树（棵） 8 4

每个学生的体重是个体，样本容量只是一个数，没有单位。因此本题正确的选项

应该是（A ）

例2：某校初三年级四个班各有学生40人、42人、44人和46人。在一次数学测验中，每

个班机的数学平均成绩依次是98.6分\93.6分\95.2分和96.8分。现在有人测得这个年级的数学平均成绩为96.0分。试问此人所得的年级数学平均成绩比实际的年级数学平均成绩是高还是低？

分析：不要把这四个班级的数学平均成绩的平均分与年级数学平均成绩混为一谈。实际上，

年级的数学平均成绩是由年级的数学总成绩与年级的学生总人数来决定。因此应该分别求出年级的数学总成绩和年级学生的总人数，再计算出平均分，才是这个年级的实际数学成绩。

解：因为年级的总成绩为：94.8×40+93.6×42+95.2×44+96.8×46

年级学生的总人数为：40+42+44+46

所以 x = ≈95.98

答：该人测得的年级数学平均成绩比实际的数学平均成绩要高。

例3、（2003年河北省中考题）

某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：

（分数均为整数，满分为100分） 频率

请根据表中提供的信息,解答下列问题: (分)

(1)参加这次演讲比赛的同学共有 人；

(2)已知成绩在91～100分的同学为优胜者,那么,优胜率为 ；

（3）所以参赛同学的平均得分M （分）在什么范围内？答 ；

（4）将成绩频率分布直方图补充完整。

分析：（1）由表格可知各个分数段的人数，把它们相加即可得出2+8+6+4=20（人）

（2）由表格可知91～100分的有4人，因此优胜率为4÷20×100%=20%

（3）各个分数段的最高平均分是：（61×2+71×8+81×6+91×4）÷20=77

各个分数段的最低平均分是：（70×2+80×8+90×6+100×4）÷20=86

而M 的范围应该在各个分数段的最高平均分与最低平均分之间，所以

77≤M ≤86

94.8×40+93.6×42+95.2×44+96.8×46 40+42+44+46

频率

（4）由图表和已画的直方图部分可知，

所缺部分的高是4。

答案：（1）20

（2）20%

（3）77≤M ≤86

（4）如图

例4：为估计一次性一次性木质筷子的用量，1999年从某个县共600家高、中、低档饭店中

抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性木质筷子盒数分别为：

0.6、 3.7、 2.2、 1.5、 2.8、 1.7、 1.2、 2.1、 3.2、 1.0

（1） 通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性木质筷子（每年按

350个营业日计算）；

（2） 2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的

结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性木质筷子2.42盒。求该

县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001

年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）

（3） 在（2）的条件下，若生产一套中小学生的桌椅需木材0.07m 3，求该县2001

年使用一次性木质筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。

计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g ，所用木材的密度为0.5×103Kg /m 3；

（4） 假如让你统计你所在的省一年使用一次性木质筷子所消耗的木材量，如何利

用统计知识去做，简要地用文字表述出来。

分析：（1）首先求出样本的平均数，即为1家饭店1天消耗一次性木质筷子的盒数，

然后再求出600家饭店350天消耗的一次性一次性木质筷子的盒数。

（2）由（1）可知1999年抽取的10家饭店平均每天消耗的一次性一次性木

质筷子2.0盒，从1999年到2001年这两年内，10家饭店平均每天使用

一次性一次性木质筷子的数量由原来的2.0盒增长到2.42盒。因此可以

设增长率为x 列一元二次方程求解。

（3）先求出每盒一次性木质筷子的质量： 100×0.005（kg ）。再求出600家

饭店2001年全年共消耗一次性木质筷子的质量：

100×0.005×2.42×600×350(kg)。又因为每套中小学生的桌倚

所消耗的木材为：0.5×103×0.07（kg ）。从而即可求出该县2001年使用

一次性木质筷子的木材可以生产学生桌椅的数量。

解：（1）x = （0.6+3.7+2.2+1.5+2.8+1.7+1.2+2.1+3.2+1.0） =2.0

所以该县1999年消耗一次性木质筷子为：2×600×350 =420000（盒）

（2）设平均每年增长率为x ，则

2.0×（1+x ）2 =2.42

解得x 1 = 0.1 =10% x 2 = －2..1（不符合题义，舍去）

1 10

所以平均每年的增长率为10%。

（3）可以生产学生桌椅套数为：

= 7260（套）

（4）先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这些县（或市、州）中抽取若干

家饭店作样本，统计一次性木质筷子的用量。

若将数据分成7组，取组距为0。03米，相应个频率分布是

请回答下列问题：

（1） 样本数据中，17岁男生身高的众数、中位数各是多少？

（2） 根据样本数据，估计这所学校17岁的男生中，身高不低于1.65米且不高于1.70米

的学生所占的百分比。

（3） 观察频率分布表，指出该校17岁的男生中，身高在哪个数据范围内的频率最大？如

果该校17岁的男生共有350人，那么在这个身高范围内的人数估计有多少人？

分析：（1）应该仔细观察所给出表格中的各种数据，从中获取有用的信息。我们从表1可以

看出，身高为1.69米的学生有8人，即在这组数据中1.69米出现的次数最多，因此众数应该是1.69米。而这组数据共有50个，处在最中间的两个数据也就是第25个数据是1.69米，第26个数据也是1.69米，这两个数据的平均数是1.69米，因此中位数应该是1.69米。

（2）在所抽测的50名学生中，身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生共有27人，

我们可以先计算出样本中，身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生所占的百

分比，从而去估计估计这所学校17岁的男生中，身高不低于1.65米且不高于1.70

米的学生所占的百分比。

（3）从表格2可以看出，学生的身高在1．685～1。715范围内的频率最大，是0。34 因此可以估计，这个学校17岁的男生身高在685～1。715范围内的频率是0，34。00×0.005×2.42×600×350 0.5×103×0.07

又因为该校17岁的男生共有350人，所以可以估计在这个身高范围内的人数大约是：0。34×350 = 119（人）

解：（1）因为1。69米出现的次数最多 ，出现8次。所以众数是1。69米。

又因为处在最中间的两个数据都是1。69米。所以中位数是1。69米。

（2）所抽测的50名学生中，身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生所占的百分比

是（1+6+5+8+7）÷50 = 0。54 =54%

此可以估计估计，这所学校17岁的男生中，身高不低于1.65米且不高于1.70米的学生所占的百分比是54%。

（3） 身高在1．715～1。745范围内的频率最大。是0。34。

0．34×350 =119（人） 所以可以估计这个学校17岁的男生身高在1．715～1。

745范围内的人数大约为119人。

例6：有一个样本分成5个组，第一、二、三组中共有38个数据，第三、四、五组中

共有46个数据；又第三组的频率为0.40，求样本的容量和第三组中的频数。

分析：正确把握频数与频率的概念的区别和联系，按照条件及概念列出方程组是解答此

题的重要途径。

解：设五个组中所含数据的个数分别为a 1、、a 2、

、a 3、a 4、a 5，根据题意得： a 1+、a 2 + a 3 =38 ①

a 3+、a 4、+ a 5 =46 ②

① + ②，得 （a 1 + a 2、+ a 3 + a 4 + a 5）+ a 3 = 84 ③

又因为第三组的频率的0.40，即

= 0.40 ④

把③代入④得 = 0.40 解得a 3=24 ⑤

把⑤代入③得，a 1 + a 2、+ a 3 + a 4 + a 5 =60

答：样本容量为60，第三组的频数为24。

五、

1、统计是与数据打交道的，数据的收集、整理的工作量比较大，并且，计算也都比较麻烦复杂，因此，在复习时，一定要认真慎重，耐心细致，避免因疏忽大意而造成的错误。

2、 计学中的基本概念多，易混淆，要提高对概念的不朽、辨析能力，透彻掌握概念的

本质。

a 3 a 1 + a 2、+ a 3 + a 4 + a 5 a 3 84+ a 3

3、众数、中位数和平均数都是描写一组数据集中趋势的特征数，但是，平均数有不稳

性，中位数比较稳健。方差和标准差是描述一组数据波动大小的特征数，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，较稳定。虽然平均数和中位数都能说明总体的平均水平，方差能说明总体的数据离散程度，波动大小，但是在实际问题中，必须根据问题的实际意义进行评价，才能正确估计总体的特征。

4、频率分布反映的是样本数据在整体上的分布情况，研究样本的频率分布的一般步骤

是：①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数；③决定分点；

④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图