2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第四章 第3讲 平面向量的数量积及应用举例

第3讲 平面向量的数量积及应用举例

1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量|a ||b |cos_θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a·b .即a·b =|a ||b |cos_θ,规定0·a =0.

2.向量数量积的运算律 (1)a·b =b·a . (2)(λa )·b =λ(a·b )=a ·(λb ). (3)(a +b )·c =a·c +b·c .

3.平面向量数量积的有关结论

1.(2014·高考湖北卷)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ=________.

解析:由题意得,(a +λb )·(a -λb )=0,即a 2-λ2b 2=18-2λ2=0,解得λ=±3. 答案:±3

2.(2014·高考江西卷)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=1

3

,若向量a =3e 1

-2e 2,则|a |=________.

解析:|a |2=a ·a =(3e 1-2e 2)·(3e 1-2e 2)=9|e 1|2-12e 1·e 2+4|e 2|2=9-12×1×1×1

3

+4=

9.∴|a |=3.

答案:3

1.辨明三个易误点

(1)①0与实数0的区别:0a =0≠0,a +(-a )=0≠0,a ·0=0≠0;②0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.

(2)a·b =0不能推出a =0或b =0,因为a·b =0时,有可能a ⊥b . (3)a·b =a·c (a ≠0)不能推出b =c ,即消去律不成立. 2.有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角,则有a·b >0,反之不成立(因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角,则有a·b <0,反之不成立(因为夹角为π时不成立). [做一做]

3.已知向量a ,b 和实数λ,则下列选项中错误的是( ) A .|a |=a ·a B .|a ·b |=|a |·|b | C .λ(a ·b )=λa ·b D .|a ·b |≤|a |·|b | 解析:选B.|a ·b |=|a ||b ||cos θ|,只有a 与b 共线时,才有|a ·b |=|a ||b |,可知选项B 是错误的.

4.(2015·湖北武汉调研)已知向量a ,b 满足|a |=3,|b |=23,且a ⊥(a +b ),则a 与b 的夹角为( )

A.π2

B.2π3

C.3π4

D.5π6

解析:选D.a ⊥(a +b )?a ·(a +b )=a 2

+a ·b =|a |2+|a ||b |cos 〈a ,b 〉=0,故cos 〈a ,b 〉

=-3

2,故所求夹角为5π6.

考点一__平面向量数量积的运算______________

(1)(2015·沧州模拟)已知平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),若|a |=2,|b |=3,a·b =-6,则x 1+y 1

x 2+y 2

的值为( )

A.23 B .-23 C.56 D .-56

(2)(2014·高考江苏卷) 如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →

,AP →·BP →=2,则AB →·AD →

的值是________.

[解析] (1)由已知得,向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)反向,3a +2b =0,即3(x 1,y 1)

+2(x 2,y 2)=(0,0),得x 1=-23x 2,y 1=-23y 2,故x 1+y 1x 2+y 2

=-2

3.

(2)由CP →=3PD →,得DP →=14DC →=14AB →,AP →=AD →+DP →=AD →+14

AB →,BP →=AP →-AB →=AD →+

14AB →-AB →=AD →-34AB →.因为AP →·BP →=2,所以????AD →+14AB →·????AD →-34AB →=2,即AD →2-12

AD →·AB →

-316

AB →2=2.又因为AD →2=25,AB →2=64,所以AB →·AD →

=22. [答案] (1)B (2)22

[规律方法] 向量数量积的两种运算方法:

(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉.

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2.

运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.

1.(1)(2013·高考湖北卷)已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,

4),则向量AB →在CD →

方向上的投影为( )

A.322

B.3152

C .-322

D .-3152

(2)(2015·贵阳市适应性考试)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的

中点,点F 在边CD 上,若AB →·AF →=2,则AE →·BF →

的值是( )

A. 2 B .2 C .0

D .1

(3)(2015·广东梅州模拟)已知向量OA →=(2,2),OB →=(4,1),在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →

有最小值,则P 点的坐标是( )

A .(-3,0)

B .(2,0)

C .(3,0)

D .(4,0)

解析:(1)选A.由已知得AB →=(2,1),CD →=(5,5),因此AB →在CD →

方向上的投影为

AB →·CD →|CD →|

=1552

=322.

(2)选A.∵AF →=AD →+DF →,AB →·AF →=AB →·(AD →+DF →)=AB →·AD →+AB →·DF →=AB →·DF →

=2|DF →|=2,∴|DF →|=1,|CF →|=2-1,∴AE →·BF →=(AB →+BE →)·(BC →+CF →)=AB →·CF →+BE →·BC →=-2(2-1)+1×2=-2+2+2=2,故选A.

(3)选C.设P 点坐标为(x ,0), 则AP →=(x -2,-2),BP →

=(x -4,-1). AP →·BP →

=(x -2)(x -4)+(-2)×(-1) =x 2-6x +10=(x -3)2+1.

当x =3时,AP →·BP →

有最小值1. ∴点P 坐标为(3,0).

考点二__平面向量的夹角与模(高频考点)________

平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题.

高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度:

(1)求两向量的夹角;(2)求向量的模;(3)两向量垂直;(4)求参数值或范围.

(1)(2014·高考重庆卷)已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,

则实数k =( )

A .-92

B .0

C .3 D.15

2

(2)(2014·高考江西卷)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=1

3

,向量a =3e 1-2e 2

与b =3e 1-e 2的夹角为β,则cos β=________.

(3)已知点G 是△ABC 的重心,∠BAC =120°,AB →·CA →=2,则|AB →+AG →+AC →

| 的最小值为________.

[解析] (1)因为a =(k ,3),b =(1,4),所以2a -3b =2(k ,3)-3(1,4)=(2k -3,-6).因为(2a -3b )⊥c ,所以(2a -3b )·c =(2k -3,-6)·(2,1)=2(2k -3)-6=0,解得k =3.故选C.

(2)∵|a |=(3e 1-2e 2)2

9+4-12×1×1×1

3

=3,

|b |=(3e 1-e 2)2=

9+1-6×1×1×1

3

=22,

∴a ·b =(3e 1-2e 2)·(3e 1-e 2)=9e 21-9e 1·e 2+2e 2

2=9-9×1×1×13

+2=8, ∴cos β=83×22

=22

3.

(3)因为∠BAC =120°,AB →·CA →

=2,

所以|AB →||CA →

|cos(180°-120°)=2,

所以|AB →||AC →

|=4.

因为点G 是△ABC 的重心,

所以AG →=23×12(AB →+AC →)=13

(AB →+AC →),

所以|AB →+AG →+AC →|2=????43(AB →+AC →)2

=169(AB →2+AC →2+2AB →·AC →) =169

(AB →2+AC →

2-4) ≥169(2|AB →||AC →|-4)=169×(2×4-4)=649, 当且仅当|AB |=|AC |时等号成立

故|AB →+AG →+AC →

|的最小值为83

.

[答案] (1)C (2)223 (3)8

3

[规律方法] 1.利用数量积求解长度的处理方法: (1)|a |2=a 2=a ·a ;

(2)|a ±b |2=a 2

±2a ·b +b 2;

(3)若a =(x ,y ),则|a |=x 2+y 2.

2.求两个非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律;

(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角.

2.(1)(2015·忻州市高三第一次联考)已知向量a ·(a +2b )=0,|a |=2,|b |=2,则向量a ,b 的夹角为( )

A.π3

B.2π3

C.π6

D.5π6

(2)(2015·云南省昆明三中、玉溪一中统一考试)在△ABC 中,设AC →2-AB →2=2AM →·BC →

,那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )

A .垂心

B .内心

C .外心

D .重心

(3)(2015·北京海淀区期中考试)已知△ABC 是正三角形,若a =AC →-λAB →与向量AC →

的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是________.

解析:(1)设θ是a 与b 的夹角,由a ·(a +2b )=0,可得|a |2+2a ·b =0.根据向量数量积的

定义及已知条件,得22+2×2×2×cos θ=0,cos θ=-1

2,θ=2π3

.

(2)设BC 边的中点为D ,∵AC →2-AB →2=2AM →·BC →,∴(AC →+AB →)·(AC →-AB →)=2AM →·BC →

,即AD →·BC →=AM →·BC →,∴MD →·BC →=0,MD →⊥BC →

,MD ⊥BC ,MD 为BC 的垂直平分线,∴动点M 的轨迹必通过△ABC 的外心,故选C.

(3)因为AC →-λAB →与向量AC →的夹角大于90°,所以(AC →-λAB →)·AC →<0,即|AC →|2-λ|AC →|·|AB →

|cos 60°<0,解得λ>2.

答案:(1)B (2)C (3)λ>2

考点三__向量数量积的综合应用______________

(2013·高考辽宁卷)设向量a =(3sin x ,sin x ),b =(cos x ,sin x ),x ∈[0,π

2

].

(1)若|a |=|b |,求x 的值; (2)设函数f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值.

[解] (1)由|a |2=(3sin x )2+sin 2x =4sin 2x , |b |2=cos 2x +sin 2x =1, 及|a |=|b |,得4sin 2x =1.

又x ∈[0,π2],从而sin x =1

2,所以x =π6

.

(2)f (x )=a ·b =3sin x ·cos x +sin 2

x

=32sin 2x -12cos 2x +1

2=sin(2x -π6)+12, 当x =π3∈[0,π2]时,sin(2x -π

6

)取最大值1.

所以f (x )的最大值为3

2

.

若本例变为:已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<

α<π,c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.

解:因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),

所以?

????cos α+cos β=0,sin α+sin β=1.

由此得,cos α=cos (π-β), 由0<β<π,得0<π-β<π.

又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,

得sin α=sin β=1

2

,而α>β,

所以α=5π6,β=π

6

.

[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题:

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.

3.(2015·广州海珠区高三入学摸底考试)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对

边分别为a ,b ,c ,向量m =(cos(A -B ),sin(A -B )),n =(cos B ,-sin B ),且m·n =-3

5

.

(1)求sin A 的值;

(2)若a =42,b =5,求角B 的大小及向量BA →在BC →

方向上的投影.

解:(1)由m·n =-3

5

得cos(A -B )cos B -sin(A -B )sin B =-3

5

所以cos A =-3

5.

因为0

A =

1-????-352

=45

. (2)由正弦定理,得a sin A =b sin B ,则sin B =b sin A a =5×4

542=2

2

,因为a >b ,所以A >B ,

则B =π4

,由余弦定理得()422

=52+c 2-2×5c ×????-3

5,解得c =1. 故向量BA →在BC →

方向上的投影为

|BA →

|cos B =c cos B =1×22=22

.

交汇创新——平面向量与线性规划的交汇

(2013·高考安徽卷)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足|OA →|=|OB →|=OA →·OB →=2,则点集{P |OP →=λOA →+μOB →

,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R }所表示的区域的面积是( )

A .22

B .2 3

C .4 2

D .4 3

[解析] 由|OA →|=|OB →|=OA →·OB →=2,知 OA →,OB →

=π3

.

当λ≥0,μ≥0,λ+μ=1时,

在△OAB 中,取OC →=λOA →

,过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ,作DE ∥OA 交OB 于点

E ,显然OD →=λOA →+CD →.由于CD OB =AC AO ,CD OB =2-2λ2

,∴CD →=(1-λ)OB →

∴OD →=λOA →+(1-λ)OB →=λOA →+μOB →=OP →

,∴λ+μ=1时,点P 在线段AB 上, ∴λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时,点P 必在△OAB 内(包括边界).

考虑|λ|+|μ|≤1的其他情形,点P 构成的集合恰好是以AB 为一边,以OA ,OB 为对角线一半的矩形,

其面积为S =4S △OAB =4×1

2×2×2sin π3

=4 3.

[答案] D

[名师点评] 由平面向量的模与数量积求解夹角考查了应用意识,由平面向量的分解考查了抽象概括能力和推理能力.

已知x ,y 满足?????y ≥x ,x +y ≤2,x ≥a ,

若OA →=(x ,1),OB →=(2,y ),且OA →·OB →

的最大

值是最小值的8倍,则实数a 的值是( )

A .1 B.13 C.1

4

D.18

解析:选D. 因为OA →=(x ,1),OB →=(2,y ),所以OA →·OB →

=2x +y ,令z =2x +y ,依题意,不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,观察图象可知,当目标函数z =2x +y 过点C (1,1)时,z max =2×1+1=3,目标函数z =2x +y 过点F (a ,a )时,z min =2a +a =3a ,

所以3=8×3a ,解得a =1

8

,故选D.

1.(2014·高考山东卷)已知向量a =(1,3),b =(3,m ). 若向量a ,b 的夹角为π

6

,则

实数m =( )

A .23 B. 3 C .0 D .- 3 解析:选B.∵a ·b =(1,3)·(3,m )=3+3m ,

又a ·b =12+(3)2×32+m 2×cos π

6

∴3+3m =12+(3)2×32+m 2×cos π

6

,∴m = 3.

2.(2015·云南省第一次统一检测)设向量a =(-1,2),b =(m ,1),如果向量a +2b 与2a -b 平行,那么a 与b 的数量积等于( )

A .-72

B .-12

C.32

D.52

解析:选D.a +2b =(-1+2m ,4),2a -b =(-2-m ,3),由题意得3(-1+2m )-4(-2

-m )=0,则m =-12,所以a·b =-1×????-12+2×1=52

. 3.(2013·高考福建卷)在四边形ABCD 中,AC →=(1,2),BD →

=(-4,2),则该四边形的面积为( )

A. 5 B .2 5 C .5 D .10

解析:选C.∵AC →·BD →=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,∴AC →⊥BD →

,∴S 四边形ABCD =12

|AC

→|·|BD →|=1

2

×5×25=5.

4.(2015·湖南长沙模拟)关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题: ①若a·b =a·c ,则a =0或b =c ;

②若a =(1,k ),b =(-2,6)且a ⊥b ,则k =1

3

③非零向量a ,b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为30°.其中所有真命题的个数为( )

A .0

B .1

C .2

D .3

解析:选C.若a·b =a·c ,则a ·(b -c )=0,可得a =0或b =c 或a ⊥(b -c ),即命题①不

正确;若a =(1,k ),b =(-2,6)且a ⊥b ,则a·b =-2+6k =0,得k =1

3

,即命题②正确;

非零向量a ,b 满足|a |=|b |=|a -b |,则可得出一个等边三角形,且a 与a +b 的夹角为30°,即命题③正确,综上可得真命题有2个.

5.在△ABC 中,AC →·AB →|AB →|=1,BC →·BA

→|BA →|

=2,则AB 边的长度为( )

A .1

B .3

C .5

D .9

解析:选B.由题意画示意图,如图,AC →·AB →|AB →|

=1表示AC →在AB →

上的投影为1,即AD 的

长为1,BC →·BA →|BA →|=2表示BC →在BA →

上的投影为2,即BD 的长为2,故AB 边的长度为3.

6.(2014·高考重庆卷)已知向量a 与b 的夹角为60°,且a =(-2,-6),|b |=10,则a ·b =________.

解析:∵a =(-2,-6),

∴|a |=(-2)2+(-6)2=210, ∴a ·b =210×10cos 60°=10. 答案:10

7.(2015·昆明市第一次调研)在△ABC 中,B =90°,AB =BC =1,点M 满足BM →=2AM →

,则CM →·CA →

=________.

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,因为BM →=2AM →

,故点A 是BM 的中点.依题

意C (1,0),A (0,1),M (0,2),则CA →=(-1,1),CM →=(-1,2),所以CM →·CA →

=(-1)×(-1)+1×2=3.

答案:3

8.(2015·山西省第三次四校联考)圆O 为△ABC 的外接圆,半径为2,若AB →+AC →=2AO →

,且|OA →|=|AC →|,则向量BA →在向量BC →

方向上的投影为________.

解析:∵AB →+AC →=2AO →

,∴O 是BC 的中点,故△ABC 为直角三角形.在△AOC 中,

有|OA →|=|AC →|,∴∠B =30°.由定义知,向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →

|cos B =23×

32

=3.

答案:3

9.已知|a |=4,|b |=8,a 与b 的夹角是120°.

(1)计算:①|a +b |,②|4a -2b |; (2)当k 为何值时,(a +2b )⊥(k a -b )?

解:由已知得,a·b =4×8×???

?-1

2=-16. (1)①∵|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=16+2×(-16)+64=48,∴|a +b |=4 3. ②∵|4a -2b |2=16a 2-16a ·b +4b 2=16×16-16×(-16)+4×64=768. ∴|4a -2b |=16 3.

(2)∵(a +2b )⊥(k a -b ), ∴(a +2b )·(k a -b )=0, k a 2+(2k -1)a ·b -2b 2=0,

即16k -16(2k -1)-2×64=0.∴k =-7. 即k =-7时,a +2b 与k a -b 垂直.

10.已知a =(1,2),b =(-2,n ),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ;

(2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 解:(1)∵a ·b =2n -2,|a |=5,|b |=n 2+4,

∴cos 45°=2n -25·n 2

+4=2

2,∴3n 2-16n -12=0(n >1). ∴n =6或n =-2

3

(舍去),∴b =(-2,6).

(2)由(1)知,a·b =10,|a |2=5.

又∵c 与b 同向,故可设c =λb (λ>0). ∵(c -a )·a =0,∴λb·a -|a |2=0,

∴λ=|a |2b·a =510=12.

∴c =1

2

b =(-1,3).

1.已知AB →,AC →是非零向量,且满足(AB →-2AC →)⊥AB →,(AC →-2AB →)⊥AC →

,则△ABC 的形状为( )

A .等腰三角形

B .直角三角形

C .等边三角形

D .等腰直角三角形

解析:选C.∵(AB →-2AC →)⊥AB →?(AB →-2AC →)·AB →=0,即AB →·AB →-2AC →·AB →

=0. (AC →-2AB →)⊥AC →?(AC →-2AB →)·AC →=0,即AC →·AC →-2AB →·AC →=0,∴AB →·AB →=AC →·AC

→=2AB →·AC →,即|AB →|=|AC →

|,而cos A =AB →·AC →|AB →||AC →|

=12,

∴∠A =60°,∴△ABC 为等边三角形.

2.(2014·高考浙江卷)记max{x ,y }=?????x ,x ≥y ,y ,x

???

?y ,x ≥y ,x ,x

向量,则( )

A .min{|a +b |,|a -b |}≤min{|a |,|b |}

B .min{|a +b |,|a -b |}≥min{|a |,|b |}

C .max{|a +b |2,|a -b |2}≤|a |2+|b |2

D .max{|a +b |2,|a -b |2}≥|a |2+|b |2

解析:选D.由于|a +b |,|a -b |与|a |,|b |的大小关系与夹角大小有关,故A ,B 错.当a ,b 夹角为锐角时,|a +b |>|a -b |,此时,|a +b |2>|a |2+|b |2;当a ,b 夹角为钝角时,|a +b |<|a -b |,此时,|a -b |2>|a |2+|b |2;当a ⊥b 时,|a +b |2=|a -b |2=|a |2+|b |2,故选D.

3.单位圆上三点A ,B ,C 满足OA →+OB →+OC →=0,则向量OA →,OB →

的夹角为________.

解析:∵A ,B ,C 为单位圆上三点, ∴|OA →|=|OB →|=|OC →

|=1, 又OA →+OB →+OC →

=0,

∴-OC →=OB →+OA →,

∴OC →2=(OB →+OA →)2=OB →2+OA →2+2OB →·OA →,可得cos 〈OA →,OB →〉=-12,∴向量OA →,OB →

的夹角为120°.

答案:120° 4.设集合D ={平面向量},定义在D 上的映射f 满足:对任意x ∈D ,均有f(x)=λx(λ∈R ,且λ≠0).若|a |=|b |且a ,b 不共线,则[f (a )-f (b )]·(a +b )=________;若A (1,2),B (3,6),

C (4,8),且f (BC →)=AB →

,则λ=________.

解析:[f (a )-f (b )]·(a +b )=λ(a -b )·(a +b )=λ(a 2-b 2)=0;BC →=(1,2),AB →

=(2,4),又f (BC →)=AB →,则λBC →=AB →

,λ=2.

答案:0 2

5.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),c =(-1,0). (1)求向量b +c 的长度的最大值.

(2)设α=π

4

,且a ⊥(b +c ),求cos β的值.

解:(1)法一:b +c =(cos β-1,sin β),

则|b +c |2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). ∵-1≤cos β≤1,∴0≤|b +c |2≤4, 即0≤|b +c |≤2.

当cos β=-1时,有|b +c |=2, ∴向量b +c 的长度的最大值为2.

法二:∵|b |=1,|c |=1,|b +c |≤|b |+|c |=2. 当cos β=-1时,有b +c =(-2,0), 即|b +c |=2,

∴向量b +c 的长度的最大值为2. (2)法一:由已知可得b +c =(cos β-1,sin β),a ·(b +c )=cos αcos β+sin αsin β-cos α=cos(α-β)-cos α.

∵a ⊥(b +c ),∴a ·(b +c )=0, 即cos(α-β)=cos α.

由α=π4,得cos ????π4-β=cos π4,

即β-π4=2k π±π

4

(k ∈Z ),

∴β=2k π+π

2

或β=2k π,k ∈Z ,

于是cos β=0或cos β=1.

法二:若α=π4,则a =???

?22,2

2.

又由b =(cos β,sin β),

c =(-1,0)得a ·(b +c )=????22

,2

2·(cos β-1,sin β)=22cos β+22sin β-22.

∵a ⊥(b +c ),∴a ·(b +c )=0,

即cos β+sin β=1,∴sin β=1-cos β, 平方后化简得cos β(cos β-1)=0, 解得cos β=0或cos β=1.

经检验cos β=0或cos β=1即为所求.

6.(选做题)已知向量a =(mx 2,-1),b =???

?1mx -1,x (m 是常数),且f (x )=1

a ·

b .

(1)若f (x )是奇函数,求m 的值;

(2)设函数g (x )=f ????x 2-x

2,讨论当实数m 变化时,函数g (x )的零点个数.

解:(1)由题意知,a ·b =mx 2mx -1-x =x mx -1

,所以f (x )=mx -1x =m -1

x .

由题设,对任意的不为零的实数x ,都有f (-x )=-f (x ),即m +1x =-m +1

x

恒成立,所

以m =0.

(2)由(1)知,g (x )=m -2x -x

2

,则g (x )=0?x 2-2mx +4=0,Δ=4(m 2-4).

所以当m >2或m <-2时,函数g (x )有两个零点; 当m =±2时,函数g (x )有一个零点; 当-2

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法

原创高考语文复习备考资料 碰撞新旧素材发挥新素材最能量

碰撞新旧素材,发挥新素材“最能量”【名师导语】新鲜素材一直是考场上的必备利器。然而,经过几年的高考阅卷,我们也发现,并不是大量地堆积新鲜素材就能夺得高分,反而是那些能将新鲜素材与经典素材结合的文章。更能够获得阅卷者的青睐。而在考场上,很多同学往往只能想起一两则新素材,而能下笔的往往还是旧素材。那么,如果将新鲜的素材和较为陈旧的素材良好地结合在一起,让一两则新素材能发挥最大效用,而旧素材也能焕发新的光彩呢? 在此,笔者就结合近两年的高考作文命题,为大家解读一二。 碰撞方法一 简洁正比+犀利反比 数量提示:新素材一则+旧素材一则 考场优势: 新鲜素材和旧素材各一则,挖掘其共同点构成正比,使文章内容丰富,如果反其道而行之,运用新旧两个相反或相对的素材构成反比,可使文章观点鲜明,是非昭然。 正比-方法指路: 任何事物都处于“关系网”中,从不同角度联系周围事物去思考会得到不同的结论。这就要求考生在考场上根据作文立意要求,抓住新素材和旧素材的共同点,展开论述。人物素材要抓住人物思想、行为在某方面的高度一致性;事件素材,则要找到事件背后的共鸣点。 【考场片段】 那一刻我仿佛明白了,原来,那些看似平淡无奇的东西,有一天也会发出令人惊艳的光芒。就像当年,霍去病年仅17岁,小小年纪,却带着本用来保护他的五百人大败匈奴,成为西汉赫赫有名的常胜将军:又如今朝,山东单县平凡朴实的农民朱之文,或许当他初次踏上那个舞台时,在场所有人都只是抱着随意的态度。谁都没有对他抱太大的希望。而他却不顾别人的眼光,笔直地站到最后,一曲激情澎湃的“滚滚长江东逝水”让他获得了满堂喝彩,也让他走进了全国人民的心中,(节选自2011年高考天津卷优秀作文《透过镜子看世界》) 反比·方法指路 古人说:“无反则正不显”,如果把性质相反的新旧素材加以对照,、推导出它们之间的差异点,不仅会使观点鲜明突出,还能有效地说服读者。 【考场片段】

最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数

最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点,成为联系众多知识内容的媒介。所以,向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看,对向量的考查力度在逐年加大,除了直接考查平面向量外,将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合,在知识交汇点处命题,既是当今高考的热点,又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识,既要注重回顾和梳理基础知识,又要注意平面向量与其他知识的综合运用,渗透用向量解决问题的思想方法,从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力,站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量,具有“数”和“形”的特点,向量是数形结合的桥梁, 在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础,也是平面向量坐标表示的基础,它表明同一 平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式,引入坐标表示,可以把几何问题转化为代数 问题解决. 4. 要了解向量的工具作用,熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充

O A P Q B a b 第4题 法. 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题:①若,则;②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③若,则;④的充要条件是 且;⑤若,,则。其中,正确命题材的序号是②③ 2. 化简得 3.在四边形ABCD 中,=a +2b ,=-4a -b ,=-5a -3b ,其中a 、b 不共线, 则四边形ABCD 为梯形 4.如图,设点P 、Q 是线段AB 的三等分点, 若=a ,=b ,则=, = (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F , 求证:. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明:如图,连接EB 和EC , 由和可得, (1) 由和可得, (2) (1)+(2)得, (3) ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点,∴,, =a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21 33+a b OQ 12 33 +a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D C E F A 例1

高中数学平面向量doc

专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析

本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:

高考总复习全套完整资料

高考总复习全套完整资料 课题:直线系与对称问题主要知识及方法: 1.点P?a,b?关于x轴的对称点的坐标为?a,?b?;关于y轴的对称点的坐标为??a,b?;关于y?x的对称点的坐标为?b,a?;关于y??x 的对称点的坐标为??b,?a?. 2.点P?a,b?关于直线ax?by?c?0的对称点的坐标的求法:?1?设所求的对称点P 的坐标为?x0,y0?,则PP的中点?’’?a?x0b?y0?,?一定在直线22??ax?by?c?0上. ?2?直线PP’与直线ax?by?c?0的斜率互为负倒数,即y0?b?a???????1 x0?a?b?结论:点P?x0,y0?关于直线l:Ax?By?C?0对称点为?x0?2AD,y0?2BD?,Ax0?By0?C;曲线C:f(x,y)?0关于直线l:Ax?By?C?0的对称曲22A?B22线方程为f?x?2AD,y?2BD??0特别地,当A?B,即l的斜率为?1时,点其中

D??By?CAx0?C?即P?x0,y0?,?P?x0,y0?关于直线l:Ax?By?C?0对称点为??0?,AB??0对称的点为:?y?c关于直线x?y?c?,?x??c?,曲线f(x,y)?0关于x?y?c?0的对称曲线为f?y?c,?x?c???0 3.直线a1x?b1y?c1?0关于直线ax?by?c?0的对称直线方程的求法:①到角相等;②在已知直线上去两点求这两点关于对称轴的对称点,再求过这两点的直线方程;③轨迹法(相关点法);④待定系数法,利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等,… 4.点?x,y?关于定点?a,b?的对称点为?2a?x,2b?y?,曲线C:f?x,y??0关于定点?a,b?的对称曲线方程为f?2a?x,2b?y??0. 5.直线系方程:?1?直线y?kx?b. ?2?过定点M?x0,y0?的直线系方程为y?y0?k?x?x0?及x?x0 ?3?与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程为Ax?By?C1?0 ?4?与直线Ax?By?C?0垂直的直线系方程为Bx?Ay?m?0 ?5?过

2019届中考数学一轮复习讲义第29讲 尺规作图

2019届中考数学一轮复习讲义 考点二十九:尺规作图 1.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2.基本作图 (1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和﹑差; (2)作一个角等于已知角,以及角的和﹑差; (3)作角的平分线; (4)作线段的垂直平分线; (5)过一点作已知直线的垂线. 3.利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形; (2)已知两边及其夹角作三角形; (3)已知两角及其夹边作三角形; (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形; (5)已知一直角边和斜边作直角三角形. 4.与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆); (2)作三角形的内切圆; (3)作圆的内接正方形和正六边形. 5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 6.作图的一般步骤 尺规作图的基本步骤: (1)已知:写出已知的线段和角,画出图形; (2)求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化; (3)作法:应用“五种基本作图”,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹; (4)证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来

证明所作出的图形完全符合题设条件; (5)讨论:研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解; (6)结论:对所作图形下结论. 名师点睛☆典例分类 考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图 【例1】(2018?济宁模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是() ①AD是∠BAC的平分线 ②∠ADC=60° ③△ABD是等腰三角形 ④点D到直线AB的距离等于CD的长度. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 因为∠C=90°,∠B=30°,则∠BAC=60°,而AD平分∠BAC,则∠DAB=30°,所以∠A DC=∠DAB+∠B=60°,所以②正确; 因为∠DAB=∠B=30°,所以△ABD是等腰三角形,所有③正确; 因为AD平分∠BAC,所以点D到AB与AC的距离相等,而DC⊥AC,则点D到直线AB的距离等于CD 的长度,所以④正确.

高中数学竞赛标准讲义:第八章:平面向量

第八章 平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0,使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b 不共线,则对同一平面内任意向是c ,存在唯一一对实数x, y ,使得c=xa+yb ,其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底,任取一个向量c ,由定理3可知存在唯一一组实数x, y ,使得c=xi+yi ,则(x, y )叫做c 坐标。 定义 4 向量的数量积,若非零向量a, b 的夹角为θ,则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影(注:投影可能为负值)。 定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 1.a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2), 2.λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c , 3.a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=2222212 12 121y x y x y y x x +?++(a, b ≠0), 4. a//b ?x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ?x1x2+y 1y 2=0. 定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1,p 2的一点,则存在唯一实数λ,使21PP P P λ=,λ叫P 分21P P 所成的比,若O 为平面内任意一点,则λ λ++=121OP OP 。由此可得若P 1,P ,P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2),则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=??? ????++=++=λλλλλ 定义6 设F 是坐标平面内的一个图形,将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F 上任意一点,平移到'F 上对应的点为)','('y x p ,则???+=+=k y y h x x ''称为平移公式。 定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((22222121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0,又 |a ·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a ·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对n 维向量,a=(x 1, x 2,…,x n ),b=(y 1, y 2, …, y n ),同 样有|a ·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:≥++++++))((2222122221n n y y y x x x ΛΛ (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0,又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0,

高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)

高考备考资料精编_话题作文“成熟”写作指导及例文

话题作文“成熟”写作指导及例文 作文专题 1209 1039 话题作文“成熟”写作指导及例文 【作文题目】: 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉,一种圆润而不腻耳的音响,一种不再需要对别人察言观色的从容,一种终于停止向别人申诉求告的大气,一种不理会哄闹的微笑,一种洗刷了偏激的淡漠,一种无须声张的厚实,一种并不陡峭的高度。勃郁的豪情发过了酵,尖利的山风吹过了劲,湍急的细流汇成了海。 人成熟的标志是什么?同学们在一起最爱讨论这个问题有的说成熟的标志是稳重大方,有的说是遇事有主见,有的说是会办事,有的说是懂得关心、理解别人,有的说是善于认识自我、否定自我…… 写作提示:中学生正值风华正茂、多思多梦的花季,一方面.渴望独立、成熟,另一方面,对生活和人生的认识又有着不同的见解,所以,这则话题,学生会觉得有话可说。 【写作指导】: 写作本话题至少要注意以下三点:一是审好题。对所给的语段,要细读,要细领会。此文把“成熟”这一抽象的概念,用八个词具体形象地来表达:光辉——明亮而不刺眼,音响——圆润而不腻耳,从容——毋需对别人察言观色,大气——毋需向别人申诉求告,微笑——毋需理会哄闹,淡漠——毋需偏激,厚实——毋需声张,高度——毋需陡峭。并用三个浅显的比喻作了进一步的诠释。可见,“成熟”是我们所渴望的,是我们所肯定的。二是立好意。“成熟”按《现代汉语词典》的解释,其义项有二:一是指植物的果实等完全长成,泛指生物体发育到完备的阶段;一是指事物发展到完善的程度。不论是植物、生物,写作时都要寓含或点明或譬喻人生,从而使这个非常抽象的概念形象化,或用明确的语言揭示其内涵。当然,立意的角度很多。比如以此文所形象化的八种中的一种或几种,所比喻的三种中的一种或几种作为立意角度都是可以的。三是构好思。根据自己对“成熟”的理解.根据自己立意的角度,可以采用杂文技巧、散文笔法、书信手法、戏剧小品等各种形式,写出自己独特的见解,写出自己的个性。 可以用记叙经历或编述故事的形式来诠释“成熟”。从自己或他人的经历中、成长中,写出由不成熟到成熟的过程。 可以通过托物寓意的手法去写。把自己对“成熟”的理解或渴望或追求等意旨寓含在动物、植物的具体描绘之中。 可用议论的形式直接表达对“成熟”的见解。比如可以以“心理上、思想上的成熟”为议论的重点,揭示“成熟”的内涵。 “成熟”是一个比较抽象的概念,考生对这一概念的理解、认识的程度,将决定立论和论证的过程或立意和形象化的过程。构思时应化虚为实,从处世态度、人格、责任、眼光等生活侧面,对“成熟”的内涵做出或严密、或生动的阐发。根据话题材料的提示,可以提炼出以下几个方面的主旨: 1、成熟是坚持不懈地充实自我,是坚持不懈地向成功的人生挺进。 2、成熟是面对诬陷而不失自信,面对恭维而不失清醒。 3、成熟是对无理取闹也能从容、沉着,对突发事件也能镇静、稳重。

2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题18 概率初步(解析版)

专题18 概率初步 一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件:在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件:有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件: 在一定条件下,可能发生也可能不放声的事件,称为随机事件。 二、随机事件发生的可能性 一般地,随机事件发生的可能性是有大小的,不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小,我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平,就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同,就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样,用数据来说明问题。 三、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地,在大量重复试验中,如果事件A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数p 附近,那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。

2、事件和概率的表示方法 一般地,事件用英文大写字母A,B,C,…,表示事件A的概率p,可记为P(A)=P 四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 (1)当A是必然发生的事件时,P(A)=1 (2)当A是不可能发生的事件时,P(A)=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生必然发生 事件发生的可能性越来越大 五、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法。 六、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率。 【例1】(2019?上海)一枚材质均匀的骰子,六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6,投这个骰子,掷的点数大于4的概率是.

(完整版)高中数学平面向量讲义

专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 (1)向量的基本概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行 ③单位向量:模为1个单位长度的向量 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 (2)向量的加法:设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00;②向量加法满足交换律与结合律; AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”. (3)向量的减法: ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量 ②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差, ③作图法:b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点) (4)实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ)a a ; (Ⅱ)当0 时,λa 的方向与a 的方向相同;当0 时,λ a 的方向与a 的方向相反;当0 时,0 a ,方向是任意的 (5)两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a (6)平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示

高一 平面向量讲义

平面向量讲义 §2、1 平面向量得实际背景及基本概念 1.向量:既有________,又有________得量叫向量. 2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________. 3.向量得有关概念: (1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量. (3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念 例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. ①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →=DC → ,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶 点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC → ;④若向量a 与任一向量b 平行,则a =0;⑤若a =b ,b =c ,则a =c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、 变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ; (2)若向量|a |=|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |=|b |,且a 与b 得方向相同,则a =b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法 例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD → |、 考点三 相等向量与共线向量 例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →=a ,OB →=b ,OC → =c 、 (1)与a 得模相等得向量有多少个? (2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些? (3)与a 共线得向量有哪些? (4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算 1.向量得加法法则 (1)三角形法则 如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →=a ,BC → =b ,则向量________叫做a 与b 得与(或与向量),记作__________,即a +b =AB →+BC → =________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则. 对于零向量与任一向量a 得与有a +0=________+______=______、 (2)平行四边形法则

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版) 专题28 梯形(解析版)

专题28 梯形 1、梯形的相关概念 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底。 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 梯形的两底的距离叫做梯形的高。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地,梯形的分类如下: 一般梯形 梯形直角梯形 特殊梯形 等腰梯形 2、梯形的判定 (1)定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 (2)一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质 (1)等腰梯形的两腰相等,两底平行。 (2)等腰梯形的底角相等 (3)等腰梯形的对角线相等。 (4)等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,即两底的垂直平分线。 4、等腰梯形的判定 (1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形 (2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面积 (1)如图,DE AB CD S ABCD ?+=)(2 1梯形 (2)梯形中有关图形的面积: ①BAC ABD S S ??=; ②BOC AOD S S ??=; ③BCD ADC S S ??= 6、梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。 【例1】(2018?青浦区一模)在梯形ABCD 中,//AD BC ,下列条件中,不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )

A .ABC DC B ∠=∠ B .DB C ACB ∠=∠ C .DAC DBC ∠=∠ D .ACD DAC ∠=∠ 【分析】等腰梯形的判定定理有:①有两腰相等的梯形是等腰梯形,②对角线相等的梯形是等腰梯形,③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形,根据以上内容判断即可. 【解答】解:A 、ABC DCB ∠=∠Q , BD BC ∴=, ∴四边形ABCD 是等腰梯形,故本选项错误; B 、DA C DBC ∠=∠Q ,//A D BC , ADB DBC ∴∠=∠,DAC ACB ∠=∠, OBC OCB ∴∠=∠,OAD ODA ∠=∠ OB OC ∴=,OD OA =, AC BD ∴=, ∴四边形ABCD 是等腰梯形,故本选项错误; C 、ADB DAC ∠=∠Q ,//A D BC , ADB DAC DBC ACB ∴∠=∠=∠=∠, OA OD ∴=,OB OC =, AC BD ∴=, //AD BC Q , ∴四边形ABCD 是等腰梯形,故本选项错误; D 、根据ACD DAC ∠=∠,不能推出四边形ABCD 是等腰梯形,故本选项正确. 故选:D . 【例2】(2019?浦东新区二模)已知梯形的上底长为5厘米,下底长为9厘米,那么这个梯形的中位线长等于 厘米. 【分析】根据梯形中位线定理计算,得到答案. 【解答】解:梯形的中位线长1(59)72 =?+=(厘米) 故答案为:7.

高中数学 向量 板块二 平面向量基本定理与坐标表示完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义:向量.板块二.平面向量基本定理与坐标表示. 学生版 题型一: 平面向量基本定理 【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A .1e 与—2e B .31e 与22e C .1e +2e 与1e —2e D .1e 与21e 【例2】 在ABC △中,AB =c ,AC =b .若点D 满足2BD DC =,则AD =( ) A .2 133+b c B .5233- c b C .2133 -b c D .1 233 + b c 【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( ) A . A B CD - B . 11 22 AB CD - + C. 1 ()2 AB CD - D. ()AB CD -- 【例4】 在ABC △中,AB c =,AC b =.若点D 满足2BD DC =,则AD =( ) A .21 33 b c + B .52 33c b - C .21 33b c - D .12 33 b c + 【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设AB a =,AD b =,用向量a 和b 表示向 典例分析

量BD ,AO . 【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设对角线AC =a ,BD =b ,用a , b 表示BC ,AB . A C 【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4,BN 与CM 交于点P ,且 , AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP . 【例8】 如图,平行四边形ABCD 中,E F 、分别是BC DC 、的中点,G 为DE BF 、的交点, 若AB =a ,AD =b ,试以a ,b 为基底表示DE 、BF 、CG . F C B A 【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心,若OA a =,OE b =,试用向量a ,b 表示OB 、 B A C P N M

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

高考备考资料精编_对、对于、关于”的区别

对、对于、关于”的区别 论文作文 0322 0810 这三个词都是介词。“对”“和”“对于”都表示指出动作行为所涉及的对象。①在一般情况下,能用“对于”的地方都能改用“对”,如:他对(对于)集体的事情,无论大小,都十分地关心。②由“对”和“对于”组成的介词结构,可以做状语。加“的”以后,也可以做定语。例如:对国际形势进行分析。(状语)对国际形势的分析。(定语)③用“对”和“对于”的时候,有一个谁“对”谁的问题。动作行为的主体要在“对”的前边,客体要在“对”的后边。例如“墨西哥是我们的友好国家,墨西哥的电影对我国的观众并不陌生”,这个句子正相反,应改为“我国观众对墨西哥电影并不陌生”。④不要滥用“对”和“对于”。因为滥用,往往会造成应做主语的词做了介词“对”或“对于”的宾语,句子就缺了主语。例如,“对于那些参与分裂活动的人,当然不能选金领导班子里”,这个句子由于滥用“对于”结果导致了缺主语。应删去了“对于”。但“对”和“对于”又有一些不同的地方: 首先,“对”所保留的动词性较强,当“对”引进动作行为的方向、目标或者含有“对 待”“向”等意思时,“对”不能换成“对于”,如:“老师对我就像对待她的亲生孩子一样”。“他对我说:…你要当心啊!?” 其次,当“对”用在副词之后时,“对”不能换成“对于”。如:“对事不对人。” 再次,“对”多用于口头语体,而“对于”的色彩庄重些,更适合于书面语体。 “关于”是限定、揭示关联到的人或事物范围的介词,当“关于”也具有指出对象时可跟“对于”互换。如:“关于(对于)这个问题的处理意见,没有谁不同意。” 但“对”和“关于”又有明显区别: 第一,指出明确的对象,用“对于”,不用“关于”。如:“对于文化遗产,我们必须研究分析。”表示关涉,用“关于”,不用“对于”,如:“关于牵牛织女星,民间有个美丽的传说。” 第二,“对于”可用在句首,也可以用在句中,而“关于”只用在句首。如“我对于这件事的前因后果非常清楚。”不能说成:“我关于这件事的前因后果非常清楚。” 第三,“关于”有提示性质,用“关于”组成的介词结构,可以单独作文章的题目,如:“关于人生观”“关于散文”。用“对于”组成的介词结构,多作状语,一般不能单独作文章的标题。

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