2018版高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第6章数列试题文
第六章 数 列
考点1 数列的概念及简单表示法
1.(2014·新课标全国Ⅱ,16)数列{a n }满足a n +1=1
1-a n ,a 8=2,则a 1=________.
1.解析 将a 8=2代入a n +1=
11-a n ,可求得a 7=12
; 再将a 7=12代入a n +1=1
1-a n ,可求得a 6=-1;
再将a 6=-1代入a n +1=1
1-a n
,可求得a 5=2.
由此可以推出数列{a n }是一个周期数列,且周期为3,所以a 1=a 7=1
2.
答案 12
2.(2014·江西,17)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2
-n 2,n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)证明:对任意的n >1,都存在m ∈N *
,使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 2. (1)解 由S n =3n 2
-n
2,得a 1=S 1=1,
当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n -2, 所以数列{a n }的通项公式为:a n =3n -2.
(2)证明 要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,只需要a 2
n =a 1·a m , 即(3n -2)2
=1·(3m -2),即m =3n 2
-4n +2, 而此时m ∈N *,且m >n .
所以对任意的n >1,都存在m ∈N *
,使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 3.(2014·湖南,16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n
2
,n ∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =2a n +(-1)n
a n ,求数列{
b n }的前2n 项和.
3.解 (1)当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=
n 2+n 2-
(n -1)2+(n -1)
2
=n .
故数列{a n }的通项公式为a n =n .
(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n
n ,记数列{b n }的前2n 项和为T 2n , 则T 2n =(21
+22
+ (22)
)+(-1+2-3+4-…+2n ).
记A =21+22+ (22)
,B =-1+2-3+4-…+2n , 则A =2(1-22n
)1-2
=22n +1
-2,
B =(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n -1)+2n ]=n .
故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A +B =2
2n +1
+n -2.
考点2 等差数列及其前n 项和
1.(2015·新课标全国Ⅰ,7)已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( )
A.172
B.19
2 C.10 D.12 1.解析 由S 8=4S 4知,a 5+a 6+a 7+a 8=3(a 1+a 2+a 3+a 4), 又d =1,
∴a 1=12,a 10=12+9×1=192.
答案 B
2.(2015·新课标全国Ⅱ,5)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( ) A.5 B.7 C.9 D.11 2.解析 ∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3, ∴a 1+a 3+a 5=3a 3=3,得a 3=1, ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A.
答案 A
3.(2014·天津,5)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,
S 4成等比数列,则a 1=( )
A.2
B.-2
C.12
D.-1
2
3.解析 由S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6成等比数列可得(2a 1-1)2
=a 1(4a 1-6), 解得a 1=-1
2.
答案 D
4.(2014·新课标全国Ⅱ,5)等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( )
A.n (n +1)
B.n (n -1)
C
2)1(+n n D 2
)
1(-n n 4.解析 因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 2
4=a 2·a 8, 所以(a 1+6)2
=(a 1+2)·(a 1+14),解得a 1=2. 所以S n =na 1+n (n -1)
2
d =n (n +1).故选A.
答案 A
5.(2014·重庆,2)在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( ) A.5 B.8 C.10 D.14 5.解析 由等差数列的性质得a 1+a 7=a 3+a 5, 因为a 1=2,a 3+a 5=10,所以a 7=8,选B. 答案 B
6.(2015·安徽,13)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+1
2(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等
于________.
6.解析 由已知数列{a n }是以1为首项,以1
2为公差的等差数列.
∴S 9=9×1+9×82×1
2=9+18=27.
答案 27
7.(2015·陕西,13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________
7.解析 由题意设首项为a 1, 则a 1+2 015=2×1 010=2 020, ∴a 1=5. 答案 5
8.(2014·江西,13)在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.
8.解析 由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得????
?d <0,a 8>0,a 9<0,
即?????d <0,7+7d >0,7+8d <0,
解得-1 . 答案 ? ????-1,-78 9.(2016·新课标全国Ⅱ,17)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0, [2.6]=2. 9.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d =4,a 1+5d =3, 解得a 1=1,d =2 5. 所以{a n }的通项公式为a n =2n +3 5 . (2)由(1)知,b n =?? ?? ??2n +35. 当n =1,2,3时,1≤2n +3 5<2,b n =1; 当n =4,5时,2≤2n +3 5<3,b n =2; 当n =6,7,8时,3≤2n +3 5<4,b n =3; 当n =9,10时,4≤2n +3 5 <5,b n =4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24. 10.(2014·大纲全国,17)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式. 10.(1)证明 由a n +2=2a n +1-a n +2得a n +2-a n +1=a n +1-a n +2, 即b n +1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1, 所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)得b n =1+2(n -1),即a n +1-a n =2n -1. 于是 1 1 1 ()(21)n n k k k k a a k +==-=-∑∑, 所以a n +1-a 1=n 2,即a n +1=n 2 +a 1. 又a 1=1, 所以{a n }的通项公式为a n =n 2 -2n +2. 11.(2014·浙江,19)已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 2·S 3=36. (1)求d 及S n ; (2)求m ,k (m ,k ∈N * )的值,使得a m +a m +1+a m +2+… +a m +k =65. 11.解 (1)由题意知(2a 1+d )(3a 1+3d )=36, 将a 1=1代入上式解得d =2或d =-5. 因为d >0,所以d =2. 从而a n =2n -1,S n =n 2 (n ∈N * ). (2)由(1)得a m +a m +1+a m +2+… +a m +k =(2m +k -1)·(k +1), 所以(2m +k -1)(k +1)=65. 由m ,k ∈N * 知2m +k -1>k +1>1, 故?????2m +k -1=13,k +1=5,所以? ????m =5,k =4. 12.(2014·重庆,16)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ; (2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2 -(a 4+1)q +S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 12.解 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d =2的等差数列, 所以a n =a 1+(n -1)d =2n -1. 故S n =1+3+… +(2n -1)= n (a 1+a n )2 = n (1+2n -1) 2 =n 2 . (2)由(1)得a 4=7,S 4=16. 因为q 2 -(a 4+1)q +S 4=0,即q 2 -8q +16=0, 所以(q -4)2 =0,从而q =4. 又因b 1=2,{b n }是公比q =4的等比数列, 所以b n =b 1q n -1=2·4 n -1 =2 2n -1 . 从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =23 (4n -1). 考点3 等比数列及其前n 项和 1.(2015·新课标全国Ⅱ,9)已知等比数列{a n }满足a 1=1 4,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1 C.12 D.1 8 1.解析 由{a n }为等比数列,得a 3a 5=a 2 4, 所以a 2 4=4(a 4-1),解得a 4=2. 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3 ,得2=14q 3,解得q =2, 所以a 2=a 1q =1 2.选C. 答案 C 2.(2014·大纲全国,8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 2.解析 方法一 设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q . 若q =1,则有S n =na 1,显然不符合题意,故q ≠1. 由已知可得?????S 2=a 1(1-q 2)1-q =3, S 4 =a 1 (1-q 4 )1-q =15, 两式相除得1+q 2 =5,解得q 2 =4. 故q =2或q =-2. 若q =2,代入解得a 1=1,此时S 6=a 1(1-q 6)1-q =1×(1-26) 1-2 =63. 若q =-2,代入解得a 1=-3,此时S 6=a 1(1-q 6)1-q =(-3)×[1-(-2)6] 1-(-2) =63.故选 C. 方法二 因为数列{a n }为等比数列,若q =1,则有S n =na 1,显然不符合题意,故q ≠1. 设其前n 项和为S n =Aq n -A . 由题意可得? ????S 2=A ×q 2 -A =3S 4=A ×q 4 -A =15,两式相除得1+q 2 =5, 解得q 2 =4,代入解得A =1. 故S n =q n -1. 所以S 6=q 6 -1=(q 2)3 -1=43 -1=63.故选C. 方法三 设等比数列的公比为q . 则S 2=a 1+a 2=3,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=(1+q 2 )(a 1+a 2)=(1+q 2 )×3=15, 解得q 2 =4. 故S 6=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=(1+q 2 +q 4 )(a 1+a 2)=(1+4+42 )×3=63.故选C. 答案 C 3.(2015·新课标全国Ⅰ,13)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和. 若S n =126,则n =________. 3.解析 由a n +1=2a n 知,数列{a n }是以a 1=2为首项,q =2为公比的等比数列, 由S n =2(1-2n )1-2=126,解得n =6. 答案 6 4.(2015·广东,13)若三个正数a ,b ,c 成等比数列,其中a =5+26,c =5-26,则b =________. 4.解析 ∵三个正数a ,b ,c 成等比数列, ∴b 2 =ac =(5+26)(5-26)=1. ∵b 为正数,∴b =1. 答案 1 5.(2014·广东,13)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 1a 5=4,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=________. 5.解析 由等比数列的性质可知a 1a 5=a 2a 4=a 2 3, 于是由a 1a 5=4得a 3=2,故a 1a 2a 3a 4a 5=32, 则log 2 a 1+log 2 a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2a 5=log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)=log 232=5. 答案 5 6.(2016·新课标全国Ⅲ,17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a 2 n -(2a n +1-1)a n -2a n +1 =0. (1)求a 2,a 3; (2)求{a n }的通项公式. 6.解 (1)由题意得a 2=12,a 3=1 4 . (2)由a 2 n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0得2a n +1(a n +1)=a n (a n +1). 因为{a n }的各项都为正数,所以 a n +1a n =1 2 . 故{a n }是首项为1,公比为1 2 的等比数列, 所以a n =1 2n -1. 7.(2016·北京,15)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式; (2)设c n =a n +b n ,求数列{c n }的前n 项和. 7.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q , 由??? ? ?b 2=b 1q =3,b 3=b 1q 2 =9 得??? ??b 1=1,q =3. ∴{b n }的通项公式b n =b 1q n -1 =3 n -1 , 又a 1=b 1=1,a 14=b 4=3 4-1 =27, ∴1+(14-1)d =27,解得d =2. ∴{a n }的通项公式a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×2=2n -1(n =1,2,3,… ). (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n =a n +b n =2n -1+3 n -1 , ∴S n =c 1+c 2+c 3+… +c n =2×1-1+30 +2×2-1+31 +2×3-1+32 +… +2n -1+3n -1 =2(1+2+… +n )-n +30 ×(1-3n )1-3 =2×(n +1)n 2-n +3n -12 =n 2 +3n -1 2 . 即数列{c n }的前n 项和为n 2 +3n -1 2 . 8.(2015·四川,16)设数列{a n }(n =1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列???? ?? 1a n 的前n 项和为T n ,求T n . 8.解 (1)由已知S n =2a n -a 1,有a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1(n ≥2), 即a n =2a n -1(n ≥2), 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1, 又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1), 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2, 所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,故a n =2n . (2)由(1)得1a n =12n ,所以T n =12+122+…+1 2n = 12??????1-? ????12n 1-12 =1-1 2 n . 9.(2014·北京,15)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和. 9.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得d =a 4-a 13 = 12-3 3 =3. 所以a n =a 1+(n -1)d =3n (n =1,2,… ). 设等比数列{b n -a n }的公比为q ,由题意得q 3 =b 4-a 4b 1-a 1=20-12 4-3 =8,解得q =2. 所以b n -a n =(b 1-a 1)q n -1 =2 n -1 ,b n =3n +2 n -1 (n =1,2,… ). (2)由(1)知b n =3n +2 n -1 (n =1,2,… ), 数列{3n }的前n 项和为32n (n +1),数列{2n -1}的前n 项和为1×1-2n 1-2=2n -1, 所以数列{b n }的前n 项和为32n (n +1)+2n -1. 10.(2014·福建,17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ; (2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 10.解 (1)设{a n }的公比为q ,依题意得???? ?a 1q =3,a 1q 4 =81,解得? ??? ?a 1=1,q =3. 所以a n =3 n -1 . (2)因为b n =log 3a n =n -1, 所以数列{b n }的前n 项和S n = n (b 1+b n )2 = n 2-n 2 . 考点4 数列的综合应用 1.(2015·江苏,11)设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N * ),则数列???? ??1a n 前10项 的和为________. 1.20 11 解析 ∵a 1=1,a n +1-a n =n +1, ∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,… ,a n -a n -1=n , 将以上n -1个式子相加得a n -a 1=2+3+… +n =(2+n )(n -1)2,即a n =n (n +1)2, 令b n =1 a n ,故b n = 2n (n +1)=2???? ??1 n -1n +1, 故S 10=b 1+b 2+…+b 10=2??????1-12+12-13 +…+110-111=20 11. 2.(2015·浙江,10)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1=________,d =________. 2.解析 ∵a 2,a 3,a 7成等比数列, ∴a 2 3=a 2a 7,即(a 1+2d )2 =(a 1+d )(a 1+6d ), ∴a 1=-2 3 d , ∵2a 1+a 2=1,∴2a 1+a 1+d =1,即3a 1+d =1, ∴a 1=2 3,d =-1. 答案 2 3 -1 3.(2016·新课标全国Ⅰ,17)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=1 3 , a n b n +1+b n +1=nb n . (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和. 3.解 (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=1 3 ,得a 1=2. 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n -1. (2)由(1)和a n b n +1+b n +1=nb n 得b n +1=b n 3, 所以{b n }是首项为1,公比为1 3 的等比数列. 记{b n }的前n 项和为S n ,则S n = 1-? ?? ??13n 1-13 =32-12×3. 4.(2016·浙江,17)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N * . (1)求通项公式a n ; (2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和. 4.解 (1)由题意得? ????a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,则?????a 1=1,a 2=3. 又当n ≥2时,a n +1-a n =(2S n +1)-(2S n -1+1)=2a n ,得a n +1=3a n . 所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -1,n ∈N * . (2)设b n =|3n -1 -n -2|,n ∈N * ,b 1=2,b 2=1, 当n ≥3时,因为3n -1 >n +2, 所以b n =3 n -1 -n -2,n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 1=2,T 2=3, 当n ≥3时,T n =3+9(1-3n -2)1-3-(n +7)(n -2)2=3n -n 2 -5n +11 2, 所以T n =? ????2, n =1,3n -n 2 -5n +112,n ≥2,n ∈N * . 5.(2016·山东,19)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2 +8n ,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n +1 . (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1) n +1 (b n +2)n .求数列{c n }的前n 项和T n . 5.解 (1)由题意知,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=6n +5. 当n =1时,a 1=S 1=11,符合上式. 所以a n =6n +5. 设数列{b n }的公差为d , 由?????a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即? ????11=2b 1+d ,17=2b 1+3d , 可解得b 1=4,d =3. 所以b n =3n +1. (2)由(1)知c n =(6n +6)n +1 (3n +3)n =3(n +1)·2 n +1. . 又T n =c 1+c 2+… +c n , 得T n =3×[2×22 +3×23 +… +(n +1)×2n +1 ], 2T n =3×[2×23 +3×24 +… +(n +1)×2 n +2 ]. 两式作差,得-T n =3×[2×22 +23 +24 +…+2 n +1 -(n +1)×2 n +2 ] =3×???? ??4+4(1-2n )1-2-(n +1)×2n +2=-3n ·2n +2. 所以T n =-3n ·2n +2 . 6.(2016·四川,19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +1=qS n +1, 其中q >0,n ∈N * . (1)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x 2 -y 2a 2n =1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 21+e 22+…+e 2n . 6.解 (1)由已知,S n +1=qS n +1,S n +2=qS n +1+1, 两式相减得到a n +2=qa n +1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n +1=qa n 对所有n ≥1都成立. 所以数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列,a n =q n -1 . 由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3, 所以a 3=2a 2,q =2, 所以a n =2n -1 (n ∈N * ). (2)由(1)可知,a n =q n -1 ,所以双曲线x 2 -y 2a 2n =1的离心率e n =1+a 2n =1+q 2(n -1) . 由e 2=1+q 2 =2解得q =3, 所以e 2 1+e 2 2+… +e 2 n =(1+1)+(1+q 2 )+… +[1+q 2(n -1) ] =n +[1+q 2 +… +q 2(n -1)] =n +q 2n -1q 2-1=n +12 (3n -1). 7.(2015·北京,16)已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2. (1)求{a n }的通项公式; (2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7,问:b 6与数列{a n }的第几项相等? 7.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 因为a 4-a 3=2,所以d =2. 又因为a 1+a 2=10, 所以2a 1+d =10,故a 1=4. 所以a n =4+2(n -1)=2n +2(n =1,2,… ). (2)设等比数列{b n }的公比为q , 因为b 2=a 3=8,b 3=a 7=16, 所以q =2,b 1=4. 所以b 6=4×26-1 =128. 由128=2n +2,得n =63, 所以b n 与数列{a n }的第63项相等. 8.(2015·重庆,18)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=9 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 8.解 (1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得a 1+2d =2,3a 1+3×22d =9 2, 化简得a 1+2d =2,a 1+d =3 2, 解得a 1=1,d =1 2, 故通项公式a n =1+ n -1 2 ,即a n = n +1 2 . (2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15= 15+1 2 =8. 设{b n }的公比为q ,则q 3 =b 4b 1 =8,从而q =2, 故{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2 =2n -1. 9.(2015·广东,19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=5 4,且当n ≥2 时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1. (1)求a 4的值; (2)证明:?????? a n +1-12a n 为等比数列; (3)求数列{a n }的通项公式. 9.(1)解 当n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1, 即4? ????1+32+54+a 4+5? ????1+32=8? ????1+32+54+1,解得:a 4=78. (2)证明 因为4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1(n ≥2), 所以4S n +2-4S n +1+S n -S n -1=4S n +1-4S n (n ≥2),即4a n +2+a n =4a n +1(n ≥2), 因为4a 3+a 1=4×5 4 +1=6=4a 2,所以4a n +2+a n =4a n +1, 因为a n +2-12a n +1 a n +1-12 a n =4a n +2-2a n +14a n +1-2a n =4a n +1-a n -2a n +14a n +1-2a n =2a n +1-a n 2(2a n +1-a n )=1 2, 所以数列? ?????a n +1-12a n 是以a 2-12a 1=1为首项,12为公比的等比数列. (3)解 由(2)知;数列? ?????a n +1-12a n 是以a 2-12a 1=1为首项,1 2公比为的等比数列, 所以a n +1-12a n =? ????12n -1,即a n +1? ????12n +1-a n ? ?? ?? 12n =4, 所以数列??????????a n ? ????12n 是以a 1 12 =2为首项,4为公差的等差数列, 所以a n ? ????12n =2+(n -1)×4=4n -2,即a n =(4n -2)×? ????12n =(2n -1)×? ??? ?12n -1 , 所以数列{a n }的通项公式是a n =(2n -1)×? ?? ??12n -1 . 10.(2015·湖北,19)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q , 已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)当d >1时,记c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n . 10.解 (1)由题意有?????10a 1+45d =100,a 1d =2,即? ????2a 1+9d =20,a 1d =2, 解得?????a 1=1,d =2或? ??? ?a 1=9, d =29 . 故?????a n =2n -1,b n =2n -1 或?????a n =1 9(2n +79),b n =9·? ?? ??29n -1. (2)由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1 , 故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -1 2n -1,① 12T n =12+322+523+724+925+…+2n -1 2n . ② ①-②得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n +32n , 故T n =6-2n +3 2. 11.(2015·安徽,18)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,b n = a n +1 S n S n +1 ,求数列{b n }的前n 项和T n . 11.解 (1)由题设知a 1·a 4=a 2·a 3=8,又a 1+a 4=9, 可解得?????a 1=1,a 4=8或? ????a 1=8,a 4=1(舍去). 由a 4=a 1q 3得公比q =2,故a n =a 1q n -1=2n -1 . (2)S n =a 1(1-q n )1-q =2n -1,又b n =a n +1S n S n +1=S n +1-S n S n S n +1=1S n -1S n +1 , 所以T n =b 1+b 2+… +b n =? ????1S 1-1S 2+? ?? ??1S 2-1S 3+…+? ??? ?1S n -1S n +1=1S 1-1S n +1 =1-1 2n +1 -1 . 12.(2015·福建,17)在等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =2a n -2+n ,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值. 12.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d , 由已知得?????a 1+d =4,(a 1+3d )+(a 1+6d )=15,解得? ????a 1=3,d =1. 所以a n =a 1+(n -1)d =n +2. (2)由(1)可得b n =2n +n , 所以b 1+b 2+b 3+… +b 10 =(2+1)+(22 +2)+(23 +3)+… +(210 +10) =(2+22 +23 +… +210 )+(1+2+3+… +10) =2(1-210)1-2+(1+10)×102 =(211 -2)+55 =211+53=2 101. 13.(2015·天津,18)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是等差数列,且a 1=b 1=1, b 2+b 3=2a 3,a 5-3b 2=7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设c n =a n b n ,n ∈N * ,求数列{c n }的前n 项和. 13.解 (1)设数列{a n }的公比为q ,数列{b n }的公差为d ,由题意q >0. 由已知,有? ????2q 2 -3d =2,q 4-3d =10,消去d ,整理得q 4-2q 2 -8=0, 又因为q >0,解得q =2,所以d =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,n ∈N *;数列{b n }的通项公式为b n =2n -1,n ∈N * . (2)由(1)有c n =(2n -1)·2n -1 ,设{c n }的前n 项和为S n , 则S n =1×20 +3×21 +5×22 +… +(2n -3)×2n -2+(2n -1)×2n -1 , 2S n =1×21 +3×22 +5×23 +… +(2n -3)×2n -1+(2n -1)×2n , 两式相减得-S n =1+22 +23 +… +2n -(2n -1)×2n =2n +1 -3-(2n -1)×2 n =-(2n -3)×2n -3, 所以S n =(2n -3)·2n +3,n ∈N * . 14.(2015·山东,19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列,数列?? ? ? ?? 1a n ·a n +1的前n 项和为 n 2n +1 . (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(a n +1)·2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n . 14.解 (1)设数列{a n }的公差为d , 令n =1,得 1 a 1a 2=1 3,所以a 1a 2=3. 令n =2,得 1 a 1a 2 + 1 a 2a 3=2 5 ,所以a 2a 3=15. 解得a 1=1,d =2,所以a n =2n -1. (2)由(1)知b n =2n ·2 2n -1 =n ·4n , 所以T n =1·41 +2·42+… +n ·4n , 所以4T n =1·42 +2·43 +… +n ·4n +1 , 两式相减得,-3T n =41 +42 +… +4n -n ·4n +1 =4(1-4n )1-4-n ·4n +1 =1-3n 3×4n +1-43 . 所以T n =3n -19×4n +1+49=4+(3n -1)4 n +1 9. 15.(2015·浙江,17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2,b 1=1,a n +1=2a n (n ∈N * ),b 1+12b 2+ 13b 3+…+1 n b n =b n +1-1(n ∈N *). (1)求a n 与b n ; (2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n . 15.解 (1)由a 1=2,a n +1=2a n ,得a n =2n (n ∈N *). 由题意知:当n =1时,b 1=b 2-1,故b 2=2. 当n ≥2时,1n b n =b n +1-b n ,整理得b n +1n +1=b n n ,所以b n =n (n ∈N *). (2)由(1)知a n b n =n ·2n . 因此T n =2+2·22 +3·23 +… +n ·2n , 2T n =22 +2·23 +3·24 +… +n ·2n +1 , 所以T n -2T n =2+22 +23 +… +2n -n ·2n +1 . 故T n =(n -1)2n +1+2(n ∈N * ). 16.(2015·湖南,19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n +2=3S n -S n +1+3,n ∈N * . (1)证明:a n +2=3a n ; (2)求S n . 16.(1)证明 由条件,对任意n ∈N * ,有a n +2=3S n -S n +1+3, 因而对任意n ≥2,n ∈N * ,有a n +1=3S n -1-S n +3. 两式相减得,a n +2-a n +1=3a n -a n +1,即a n +2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2, 所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N * ,a n +2=3a n . (2)解 由(1)知,a n ≠0,所以 a n +2 a n =3, 所以数列{a 2n -1}是首项a 1=1,公比为3等比数列; 数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列, 所以a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1 . 于是S 2n =a 1+a 2+… +a 2n =(a 1+a 3+… +a 2n -1)+(a 2+a 4+… +a 2n ) =(1+3+… +3n -1)+2(1+3+…+3n -1 ) =3(1+3+…+3n -1 )=3(3n -1) 2 . 所以S 2n -1=S 2n -a 2n =3(3n -1)2-2×3n -1=32(5×3n -2 -1). 综上所述,S n =?????32(5×3n -32 -1),当n 是奇数,32(3n 2-1),当n 是偶数. 17.(2014·安徽,18)数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1)a n +n (n +1),n ∈N * . (1)证明:数列{a n n }是等差数列; (2)设b n =3n ·a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 17.(1)证明 由已知可得 a n +1n +1=a n n +1,即a n +1n +1-a n n =1. 所以{a n n }是以a 1 1 =1为首项,1为公差的等差数列. (2)解 由(1)得a n n =1+(n -1)·1=n ,所以a n =n 2,b n =n ·3n . S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n , ① 3S n =1·32 +2·33 +… +(n -1)·3n +n ·3 n +1 . ② ①-②得,-2S n =31 +32 +… +3n -n ·3n +1 =3·(1-3n )1-3-n ·3n +1 =(1-2n )·3n +1 -32. 所以S n =(2n -1)·3n +1 +3 4. 18.(2014·新课标全国Ⅰ,17)已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2 -5x +6=0的 根. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列{a n 2 n }的前n 项和. 18.解 (1)方程x 2 -5x +6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a 4=3. 设数列{a n }的公差为d ,则a 4-a 2=2d ,故d =12, a 1=3 2. 所以{a n }的通项公式为a n =1 2n +1. (2)设数列{a n 2 n }的前n 项和为S n , 由(1)知a n 2n =n +22n +1,则S n =322+423+…+n +12n +n +2 2 n +1, 12S n =323+424+…+n +12n +1+n +22 n +2. 两式相减得12S n =34+? ????123+…+12n +1-n +22n +2=34+14? ? ???1-12n -1-n +22n +2. 所以S n =2-n +4 2 n +1 . 19.(2014·山东,19)在等差数列{a n }中,已知公差d =2,a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =(1)2 n n a +,记T n =-b 1+b 2-b 3+b 4-… +(-1)n b n ,求T n . 19.解 (1)由题意知(a 1+d )2 =a 1(a 1+3d ), 即(a 1+2)2 =a 1(a 1+6),解得a 1=2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =2n . (2)由题意知b n =a n (n +1) 2 =n (n +1), 所以T n =-1×2+2×3-3×4+… +(-1)n n ×(n +1). 因为b n +1-b n =2(n +1), 所以可得当n 为偶数时,T n =(-b 1+b 2)+(-b 3+b 4)+… +(-b n -1+b n ) =4+8+12+… +2n =n 2(4+2n )2=n (n +2)2 ; 当n 为奇数时,T n =T n -1+(-b n )=(n -1)(n +1)2-n (n +1)=-(n +1) 2 2 . 所以T n =? ????-(n +1)2 2 ,n 为奇数, n (n +2) 2 ,n 为偶数. 20.(2014·广东,19)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S 2 n -(n 2 +n -3)S n -3(n 2 +n )=0,n ∈N * . (1)求a 1的值; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有1a 1 a 1+1 +1a 2 a 2+1 +… +1a n a n +1 <13 . 20(1)解 由题意知,S 2 n -(n 2 +n -3)S n -3(n 2 +n )=0,n ∈N * . 令n =1,有S 2 1-(12 +1-3)S 1-3×(12 +1)=0,可得S 2 1+S 1-6=0, 解得S 1=-3或S 1=2,即a 1=-3或a 1=2, 又a n 为正数,所以a 1=2. (2)解 由S 2 n -(n 2 +n -3)S n -3(n 2 +n )=0,n ∈N * 可得(S n +3)(S n -n 2 -n )=0, 则S n =n 2 +n 或S n =-3, 又数列{a n }的各项均为正数,所以S n =n 2 +n ,S n -1=(n -1)2 +(n -1), 所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2 +n -[(n -1)2 +(n -1)]=2n . 又a 1=2=2×1,所以a n =2n . (3)证明 当n =1时,1a 1(a 1+1)=12×3=16<1 3 成立; 当n ≥ 2时,1a n (a n +1)=12n (2n +1)<1(2n -1)(2n +1)=12? ?? ??1 2n -1-12n +1, 所以 1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+… +1a n (a n +1)<16+12???? ??? ????13-15+…+? ????12n -1-12n +1 =16+12? ????13-12n +1<16+16=13. 所以对一切正整数n ,有1a 1(a 1+1)+1a 2(a 2+1)+… +1a n (a n +1)<13 . 概率 1.(2019全国II文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只 兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 2.(2019全国III文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 3.(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 4.(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 5.(2017新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.1 4 B. 8 π C. 1 2 D. 4 π 6.(2017新课标Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.(2017天津)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A .45 B .35 C .25 D .15 8.(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰 好选中2名女生的概率为 . 9.(2017浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4 人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 10.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个 数x ,则x D ∈ 的概率是 . 11.(2018北京)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 12.(2018天津)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M 发生的概率. 13.(2017新课标Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 综合性问题 一、选择题 1.(2018·湖北省孝感·3分)如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为() A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°,据此可判断;②求出∠AFP和∠FAG度数,从而得出∠AGF度数,据此可判断;③证△ADF≌△BAH即可判断;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证;⑤设PF=x,则AF=2x、AP==x,设EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证△PAF∽△EAH得=,从而得出a与x的关系即可判断. 【解答】解:∵△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形, ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°, ∴△CAD是等腰三角形,且顶角∠CAD=150°, ∴∠ADC=15°,故①正确; ∵AE⊥BD,即∠AED=90°, ∴∠DAE=45°, ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°, ∴∠AGF=75°, 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②错误; 记AH与CD的交点为P, 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°, 则∠BAH=∠ADC=15°, 在△ADF和△BAH中, ∵, ∴△ADF≌△BAH(ASA), ∴DF=AH,故③正确; ∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB, ∴△AFG∽△CBG,故④正确; 在Rt△APF中,设PF=x,则AF=2x、AP==x, 设EF=a, ∵△ADF≌△BAH, ∴BH=AF=2x, △ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°, ∴BE=AE=AF+EF=a+2x, ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a, ∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE, ∴△PAF∽△EAH, ∴=,即=, 整理,得:2x2=(﹣1)ax, 由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正确; 故选:B. 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点. 2.(2018·山东潍坊·3分)如图,菱形ABCD的边长是4厘米,∠B=60°,动点P以1厘米秒的速度自A点出发 2016年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合A= ,B= , , , , ,则 (A ) (B ) , , (C ) , , (D ) , , , (2)若x,y 满足 2030x y x y x -≤??+≤??≥? ,则2x+y 的最大值为 (A )0 (B )3 (C )4 (D )5 (3)执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (4)设a ,b 是向量,则“=a b ”是“+=-a b a b ”的 (A ) 充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C ) 充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (5)已知x,y R,且x y o ,则 (A ) - (B ) (C ) (- 0 (D )lnx+lny (6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 (A ) (B ) (C ) (D )1 (7)将函数 ( ﹣π )图像上的点P (π ,t )向左平移s (s ﹥0) 个单位长度得到点P ′.若 P ′位于函数 ( )的图像上,则 (A )t= ,s 的最小值为π (B )t= ,s 的最小值为π (C )t= ,s 的最小值为π (D )t= ,s 的最小值为π (8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则 (A )乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B )乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C )乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D )乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分) (1)C (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)A (8)B 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷(理工农医类) 二、选择题(5×4=20) 15.设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的( ) (A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件 (C )充要条件 (D )既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) (A )θρcos 56+= (B )θρin s 56+= (C )θρcos 56-= (D )θρin s 56-= 17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条件中,使得 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.(2020?北京卷)已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ). A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.(2020?全国1卷)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( ) A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.(2020?全国2卷)已知集合U ={?2,?1,0,1,2,3},A ={?1,0,1},B ={1,2},则()U A B ?=( ) A. {?2,3} B. {?2,2,3} C. {?2,?1,0,3} D. {?2,?1,0,2,3} 4.(2020?全国3卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.(2020?江苏卷)已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=,则A B =_____. 6.(2020?新全国1山东)设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2 2018中考数学试题分类汇编:考点33 命题与证明 一.选择题(共19小题) 1.(2018?包头)已知下列命题: ①若a3>b3,则a2>b2; ②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>﹣2; ③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c; ④周长相等的所有等腰直角三角形全等. 其中真命题的个数是() A.4个B.3个C.2个D.1个 【分析】依据a,b的符号以及绝对值,即可得到a2>b2不一定成立;依据二次函数y=x2﹣2x﹣1图象的顶点坐标以及对称轴的位置,即可得y1>y2>﹣2;依据a∥b,b⊥c,即可得到a∥c;依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等,即可得到它们全等. 【解答】解:①若a3>b3,则a2>b2不一定成立,故错误; ②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>﹣2,故正确; ③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a⊥c,故错误; ④周长相等的所有等腰直角三角形全等,故正确. 故选:C. 2.(2018?嘉兴)用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是() A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上D.点在圆上或圆内 【分析】由于反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立. 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.由此即可解决问题. 【解答】解:反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是: 实数(无理数,平方根,立方根) 一、选择题 1.(2018?山东淄博?4分)与最接近的整数是() A.5 B.6 C.7 D.8 【考点】2B:估算无理数的大小;27:实数. 【分析】由题意可知36与37最接近,即与最接近,从而得出答案. 【解答】解:∵36<37<49, ∴<<,即6<<7, ∵37与36最接近, ∴与最接近的是6. 故选:B. 【点评】此题主要考查了无理数的估算能力,关键是整数与最接近,所以=6最接近. 2.(2018?山东枣庄?3分)实数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示,下列关系式不正确的是() A.|a|>|b| B.|ac|=ac C.b<d D.c+d>0 【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答. 【解答】解:从a、b、c、d在数轴上的位置可知:a<b<0,d>c>1; A、|a|>|b|,故选项正确; B、a、c异号,则|ac|=﹣ac,故选项错误; C、b<d,故选项正确; D、d>c>1,则a+d>0,故选项正确. 故选:B. 【点评】此题主要考查了数轴的知识:从原点向右为正数,向左为负数.右边的数大于左边的数. 3. (2018?山东菏泽?3分)下列各数:﹣2,0,,0.020020002…,π,,其中无理数的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】26:无理数;22:算术平方根. 【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可. 【解答】解:在﹣2,0,,0.020020002…,π,中,无理数有0.020020002…,π这2个数, 故选:C. 【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式. 4.(2018·山东潍坊·3分)|1﹣|=() A.1﹣B.﹣1 C.1+D.﹣1﹣ 【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案. 【解答】解:|1﹣|=﹣1. 故选:B. 【点评】此题主要考查了实数的性质,正确掌握绝对值的性质是解题关键. 5. (2018?株洲市?3分)9的算术平方根是( ) A. 3 B. 9 C. ±3 D. ±9 【答案】A 【解析】分析:根据算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根.所以结果必须为正数,由此即可求出9的算术平方根. 详解:∵32=9, ∴9的算术平方根是3. 故选:A. 点睛:此题主要考查了算术平方根的定义,易错点正确区别算术平方根与平方根的定义.6. (2018年江苏省南京市?2分)的值等于() A.B.﹣ C.± D. 【分析】根据算术平方根解答即可. 【解答】解:, 故选:A. 【点评】此题考查算术平方根,关键是熟记常见数的算术平方根. 7. (2018年江苏省南京市?2分)下列无理数中,与4最接近的是() A. B. C. D. 2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 复数部分 (附参考答案) 一、选择题。 1.(2019全国II 理2)设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】C . 2.(2019北京理1)已知复数i z 21+=,则z z ?= (A (B (C )3 (D )5 【答案】(D ). 3.(2019全国III 理2)若(1i)2i z +=,则z =A .1i --B .1+i -C .1i -D .1+i 【答案】D . 4.(2019全国I 理2)设复数z 满足 =1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .22 + 11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .2 2 (+1)1 y x +=【答案】C . 5.(2019全国II 理2)设z =-3+2i ,则在复平面内z 对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】C . 6.(2018北京)在复平面内,复数 1 1i -的共轭复数对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D . 7.(2018全国卷Ⅰ))设1i 2i 1i z -=++,则||z = A .0 B . 12 C .1 D 【答案】C .8.(2018全国卷Ⅱ) 12i 12i +=-A .43i 55 - -B .43i 55 - +C .34i 55 - -D .34i 55 - +【答案】D . 9.(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)+-= A .3i -- B .3i -+C .3i -D .3i +【答案】D .10.(2018浙江)复数 2 1i -(i 为虚数单位)的共轭复数是A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --【答案】B . 11.(2017新课标Ⅰ)设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数1z ,2z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为A .1p ,3p B .1p ,4 p C .2p ,3 p D .2p ,4 p 【答案】B .12.(2017新课标Ⅱ) 3i 1i ++A .B . C . D . 【答案】D . 13.(2017新课标Ⅲ)设复数z 满足(1i)2z i +=,则||z = A . 12 B . 2 C D .2 【答案】C . 14.(2017山东)已知a R ∈,i 是虚数单位,若z a =+,4z z ?=,则a = A .1或-1 B 或 C .- D .【答案】A . 15.(2017北京)若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围 是A .(,1) -∞B .(,1) -∞-C .(1,) +∞D .(1,) -+∞ 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–1 2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类(一)—— 《圆》 一.选择题 1.(2020?普陀区二模)如图,已知A、B、C、D四点都在⊙O上,OB⊥AC,BC=CD,在下列四个说法中,①=2;②AC=2CD;③OC⊥BD;④∠AOD=3∠BOC,正确的个数是() A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020?杨浦区二模)已知两圆的半径分别为2和5,如果这两圆内含,那么圆心距d 的取值范围是() A.0<d<3 B.0<d<7 C.3<d<7 D.0≤d<3 3.(2020?杨浦区二模)如果正十边形的边长为a,那么它的半径是()A.B.C.D. 4.(2020?金山区二模)如图,∠MON=30°,OP是∠MON的角平分线,PQ∥ON交OM于点Q,以P为圆心半径为4的圆与ON相切,如果以Q为圆心半径为r的圆与⊙P相交,那么r的取值范围是() A.4<r<12 B.2<r<12 C.4<r<8 D.r>4 5.(2020?长宁区二模)如果两圆的半径长分别为5和3,圆心距为7,那么这两个圆的位置关系是() A.内切B.外离C.相交D.外切 6.(2020?黄浦区二模)已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米,圆心距为2厘米,那么这两圆的位置关系是() A.内含B.内切C.相交D.外切7.(2020?浦东新区二模)如果一个正多边形的中心角等于72°,那么这个多边形的内角和为() A.360°B.540°C.720°D.900°8.(2020?浦东新区二模)矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆外切,且点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围是()A.5<r<12 B.18<r<25 C.1<r<8 D.5<r<8 9.(2020?崇明区二模)如果一个正多边形的外角是锐角,且它的余弦值是,那么它是() A.等边三角形B.正六边形C.正八边形D.正十二边形10.(2020?闵行区一模)如果两个圆的圆心距为3,其中一个圆的半径长为4,另一个圆的半径长大于1,那么这两个圆的位置关系不可能是() A.内含B.内切C.外切D.相交.11.(2020?金山区一模)已知在矩形ABCD中,AB=5,对角线AC=13.⊙C的半径长为12,下列说法正确的是() A.⊙C与直线AB相交B.⊙C与直线AD相切 C.点A在⊙C上D.点D在⊙C内 12.(2020?嘉定区一模)下列四个选项中的表述,正确的是() A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 13.(2020?奉贤区一模)在△ABC中,AB=9,BC=2AC=12,点D、E分别在边AB、AC上,且DE∥BC,AD=2BD,以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是() A.外离B.外切C.相交D.内含14.(2019?青浦区二模)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,AB=4, 2018年中考数学真题汇编:整式(31题) 一、选择题 1. (2018四川内江)下列计算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题:①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是() A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是()。 A. B. C. 【答案】C 6.下列运算:①a2?a3=a6,②(a3)2=a6,③a5÷a5=a,④(ab)3=a3b3,其中结果正确的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 8.计算的结果是() A. B. C. D. 【答案】B 9.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是() A. B. C. 【答案】C 11.下列计算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是() A. B. C . D. 【答案】D 13.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是() A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是()。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(-xy2)3=-x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D 16.下面是一位同学做的四道题①(a+b)2=a2+b2,②(2a2)2=-4a4,③a5÷a3=a2, ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是() A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是() A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(a3)2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是() A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.(2018 全国卷 1 理科)设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = ( ) A.0 B. 1 C.1 D. 2 2(2018 全国卷 2 理科) 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3(2018 全国卷 3 理科) (1 + i )(2 - i ) = ( ) A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4(2018 北京卷理科)在复平面内,复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5(2018 天津卷理科) i 是虚数单位,复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6(2018 江苏卷)若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ,其中 i 是虚数单位,则 z 的实部为 . 7(2018 上海卷)已知复数 z 满足(1+ i )z = 1- 7i (i 是虚数单位),则∣z ∣= . 2 集合 1.(2018 全国卷1 理科)已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =() A. {x | -1 解直角三角形 一.选择题 1.(2018·重庆市B卷)(4.00分)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)() A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米 【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN,求出CN,DN,再根据tan24°=,构建方程即可解决问题; 【解答】解:作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N. 在Rt△CDN中,∵==,设CN=4k,DN=3k, ∴CD=10, ∴(3k)2+(4k)2=100, ∴k=2, ∴CN=8,DN=6, ∵四边形BMNC是矩形, ∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66, 在Rt△AEM中,tan24°=, ∴0.45=, ∴AB=21.7(米), 故选:A. 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出 直角三角形是解答此题的关键. 2.(2018·吉林长春·3分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A.B在同一水平面上).为了测量A.B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A.B两地之间的距离为() A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米 【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米, ∴tanα=,∴AB==.故选:D. 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.(2018·江苏常州·2分)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是() A.B.C.D. 【分析】如图,连接AD.只要证明∠AOB=∠ADO,可得sin∠AOB=sin∠ADO==; 【解答】解:如图,连接AD. ∵OD是直径, ∴∠OAD=90°, 集合 2019年 1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N I = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 解析:依题意可得,2426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-<<,<<<, 所以2|}2{M N x x =-I <<. 故选C . 2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={ x |x -1<0},则A ∩B = A .(-∞,1) B .(-2,1) C .(-3,-1) D .(3,+∞) 解析:由{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞U ,{}10(,1)A x x =-<=-∞,则(,1)A B =-∞I .故选A. 3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤,,则A B =I A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 3.解析 因为{}1,0,1,2A =-,2{|1}{|1 1}B x x x x ==-剟?, 所以{}1,0,1A B =-I .故选A . 4.(2019江苏)已知集合{1,0,1,6}A =-,{|0,}B x x x =>∈R ,则A B =I . 解析 因为{}1,0,1,6A =-,{}|0,B x x x =>∈R , 所以{}{}{}1,0,1,6|0,1,6A B x x x =->∈=R I I . 5.(2019浙江)已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则U A B I e= A .{}1- B .{}0,1? C .{}1,2,3- D .{}1,0,1,3- 解析 {1,3}U A =-e,{1}U A B =-I e .故选A . 6.(2019天津理1)设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈ 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥},B={x |-2≤x <2=,则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2) C .[-1,1] D .[1,2) 2014年2卷 1.设集合M={0,1,2},N={}2|320x x x -+≤,则M N ?=( ) A. {1} B. {2} C. {0,1} D. {1,2} 2015年2卷 (1) 已知集合A ={-2,-1,0,2},B ={x |(x -1)(x +2)<0},则A ∩B = (A ){-1,0} (B ){0,1} (C ){-1,0,1} (D ){0,1,2} 2016年1卷 (1)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =( ) (A )3(3,)2--(B )3(3,)2-(C )3(1,)2(D )3 (,3)2 2016-2 (2)已知集合{1,}A =2,3,{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ,则A B =( ) (A ){1}(B ){12},(C ){0123},,,(D ){10123}-,,,, 2016-3 (1)设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ,则S I T =( ) (A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0,2]U [3,+∞) 2017-1 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x => D .A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1A B =,则B =( ) A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 2017-3 1.已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ,B ={}(,)x y y x =│,则A B 中元素的个数为 A .3 B .2 C .1 D .0 2018-1 2.已知集合{}220A x x x =-->,则A =R e A .{}12x x -<< B .{}12x x -≤≤ C .}{}{|1|2x x x x <-> D .}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018中考数学试题分类汇编方程 一、单选题 1.关于的一元二次方程有两个实数根,则的取值范围是() A. B. C. D. 【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题 【答案】C 2.关于的一元二次方程的根的情况是() A. 有两不相等实数根 B. 有两相等实数根 C. 无实数根 D. 不能确定 【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题 【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可. 【详解】, △=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8, ∵(k+1)2≥0, ∴(k+1)2+8>0, 即△>0, ∴方程有两个不相等实数根,故选A. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根. 3.一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为() A. ﹣2 B. 1 C. 2 D. 0 【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 【答案】D 【解析】分析:根据根与系数的关系可得出x1x2=0,此题得解. 详解:∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2, ∴x1x2=0. 故选D. 点睛:本题考查了根与系数的关系,牢记两根之积等于是解题的关键.学科#网 4.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为() A. 2% B. 4.4% C. 20% D. 44% 【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题 【答案】C 5.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,若 ,则的值是( ) A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 不存在 【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题 【答案】A 6.已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为() A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析:根据一元二次方程的解的定义,把把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0,然后解一次方程即可. 详解:把x=1代入方程得1+k-3=0, 解得k=2. 故选:B. 点睛:本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 7.夏季来临,某超市试销、两种型号的风扇,两周内共销售30台,销售收入5300元, 型风扇每台200元,型风扇每台150元,问、两种型号的风扇分别销售了多少台?若设型风扇销售了台,型风扇销售了台,则根据题意列出方程组为() A. B. C. D.三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总:概率
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