随机过程考试试题及答案详解

随机过程考试试题及答案详解

1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均

匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）?

∞

-=

x

dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；

（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数??

???<<-=其他,0,1

)(b

x a a b x f ，分布函数

??

???

>≤≤--<=b x b x a a

b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E +=，12)()(2

a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00

,)(x x e x f x λλ，分布函数

??

?<≥-=-0

,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21

)(λ=x D ； （4）2

)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=

--

x e x f x ,21

)(2

22)(σμπ

σ，

分布函数∞<<-∞=

?

∞

---

x dt e

x F x

t ,21)(2

22)(σμπ

σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知，

)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度??

???+≤≤=其他,0,1

)(t

C x C t x f ，一维分布

函数??

???

+>+≤≤-<=t C x t C X C t

C

x C x x F ,1,,0)(；

（2）根据相关定义，均值函数C t

t EX t m X +==2

)()(； 相关函数2)(2

31)]()([),(C t s C

st t X s X E t s R X +++=

=； 协方差函数12

)]}()()][()({[),(st

t m t X s m s X E t s B X X X =

--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -= 求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==

2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2

σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变

量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程

{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2

t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。故：

均值函数1)()(==t EX t m X ；

相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；

协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；

且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。

【解答】此题可参见课本习题3.10题。

由题意可知，每个顾客的消费额Y 是服从参数为s 的指数分布，由指数分布的性质可知：

21)(,1)(s Y D s Y E ===

，故222

)(s

Y E =，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(Y E m X ??=；

一天内商场营业额的方差)(1808)8(2

2

Y E X ??=σ。 4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

????

?

??=3.007.08.02.0007.03.0P

（1）求两步转移概率矩阵)

2(P

及当初始分布为

0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P

时，经两步转移后处于状态2的概率。

（2）求马尔可夫链的平稳分布。 【解答】可参考教材例4.3题及4.16题 （1）两步转移概率矩阵

???

?

? ??=????? ??????? ??==09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)

2(PP P

当初始分布为0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，

()()56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001=???

?

?

??

故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。

（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组

???

???

?=++++=++=++=13.08.0002.07.07.003.032132133

2123

211πππππππππππππππ 解上述方程组得平稳分布为

23

8

,237,238321===

πππ 5、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为：

???

???

?

? ??=010007.03.0000

00010000

4.06.0003.04.03.0P

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题 画出状态转移图如下：

（1）由上图可知，状态分类为}5,4{};3,2,1{21==G G

（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。

A 、对1G 常返闭集而言，解方程组

???

???

?=++++=++=++=1003.014.04.006.03.032132133

2123211πππππππππππππππ 解上述方程组得平稳分布为

50

37

,90259,1537321===

πππ 则各状态的平均返回时间分别为

37

50

1,259901,37151

33221

1=

====

=

πππt t t B 、对2G 常返闭集而言，解方程组

??

?

??=++=+=1

07.013.021212211ππππππππ 解上述方程组得平稳分布为

17

7,171021==

ππ 则各状态的平均返回时间分别为

7

171,10171

221

1===

=

ππt t 1

2

3

4

5

6、（15分）设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 【解答】

[]

()()[][]2

2

2

()()()()()()()()()()()()()()()(1)

E N t N t s E N t N t s N t N t E N t N t s N t E N t E N t E N t s N t E N t t s t t t t s λλλλλλλ+=+-+????

??=+-+??????

??=+-+??

=?++=++

7、（15分）考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯，

1ij

j i

p

>=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。

（1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么

（3）j O 与k O 的联合分布是什么

【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。

以ij N 记在第i 层乘上电梯，在第j 层离去的人数，则ij N 是均值为ij i p λ的泊松变量,且全部

),0(i j i N ij ≥≥相互独立。因此：

(1) [][

]j ij

i ij i

i

E O E N

p λ==∑∑

(2) 由泊松变量的性质知，j ij

i ij

i

i

O N p λ=

∑∑是均值为的泊松变量

(3) 因i k O O 与独立，则λλ

λ

λλλ2!

!!

!

)()()(-+--=

?

=

=e k i e

k e

i O P O P O O P i

k k

i

k i k i ，λ为期望。

8、（15分）一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在)

,[h t t +内，它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 【解答】参见教材习题5.2题

依题意，由)()(lim

j i q t

t p ij ij t ≠=??→?得，)(1j i q ij ≠=，柯尔莫哥洛夫向前方程为

)()()(21,1,'t p t p t p p j i j i ij ij +-++-=，

由于状态空间}3,2,1{=I ，故

1)()()(1,1,=+++-t p t p t p j i j i ij ，

所以

1)(3)(1)(2'+-=-+-=t p t p t p p ij ij ij ij ，

解上述一阶线性微分方程得：

3

1)(3

1

+=-t ij ce

t p ， 由初始条件

?

??≠==j i j

i p ij ,0,1)0( 确定常数c ，得

???????≠-=+=--j

i e j i e t p t t ij ,3

131,3

231)(31

3

1

故其平稳分布

3,2,1,3

1

)(lim ===∞

→j t p ij t j π

考试加油，童鞋万岁！！