广东省广州市2017届高三下学期第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}

11A x x =-<，110B x x ??

=-

≥????

，则A B =∩（ ） A ．{}

12x x ≤< B ．{}

02x x << C ．{

}

01x x <≤ D ．{}

01x x <<

2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-

4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A ．

15 B ．25 C ．12 D ．3

5

5．函数()()

ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知2

cos 423

πθ??-= ???，则sin θ=（ ） A ．

79 B ．19 C ．19- D ．79

- 7．已知点()4,4A 在抛物线2

2y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --= D ．240x y -+=

8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）

A B C ．92 D ．9

8

9．已知R k ∈，点(),P ab 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的

最大值为（ ）

A ．15

B ．9

C ．1

D ．5

3

- 10．已知函数()2sin 4f x x πω??

=+

??

?

（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）

A ．1927,44ππ????

?? B ．913,22ππ?????? C ．1725,44ππ??

????

D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）

A ．

83 B ．163 C ．323

D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足

()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤

时，m

n

的取值范围为（ ） A ．2,13??-

???? B ．31,2?????? C ．13,32?????? D ．1,13??

????

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+uu u r uu r uu u r

，若点P 在y 轴上，则

实数m = ．

14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个． 15．设()

()

5

4

23x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++L ，则

08a a += ．

16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=?，

4

sin 5

A =

，则对角线AC 的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+L （*

N n ∈）.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .

18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=?，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面

ABCD ，2EB FD ==.

（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；

（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.

19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.

（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；

（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.

20．已知双曲线22

15x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b

+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且MN =

MN 在y 轴上的截距为m ，

求m 的最大值. 21．已知函数()ln x

f x ax b x

=

-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；

（Ⅱ）若存在2e,e x ??∈??，满足()1

e 4

f x ≤

+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为

,

2sin x y θθ?=??

=??

（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；

（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB V 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB V 的最大面积.

23．选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2

2

11a b ++++()2

16

13

c +≥

； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

理科数学试题答案及评分参考

一、选择题

1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD

二、填空题

13．

2

3

14．23 15．2590- 16．27 三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2

132a a a =.

因为1238a a a =，所以3

28a =，解得22a =.

因为()2135213n n S a a a a -=++++L ， 所以213S a =，即1213a a a +=. 因为22a =，所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为2

1

2a q a =

=， 所以数列{}n a 的通项公式为1

2n n a -=.

（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =， 所以()111n n a q S q

-=

=

-122112

n

n -=--. 因为n n b nS =，所以()

21n

n b n =-=2n n n ?-.

所以123n T b b b =+++1n n b b -++L

(23122232=?+?+?)2n n ++?-L ()123n ++++L .

设23122232n P =?+?+?2n

n ++?L . 则2321222n P =?+?+41

322n n +?++?L .

所以(

1

232

222n n P n +=?-++)

422n +++=L ()1122n n +-+. 因为123+++()

12n n n ++=

L ， 所以()1

12

n n T n +=-()

122

n n ++-

. 所以数列{}n b 的前n 项和()1

12n n T n +=-()

122

n n ++-

. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ， 因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.

因为FD ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ， 所以AC FD ⊥.

因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .

因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面.

因为EF ?平面BDFE ，所以EF AC ⊥.

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC uuu r ，DF uuu r

的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空

间直角坐标系D xyz -.

可以求得

1

,,0

2

A a a

?

-??

??

，

1

,,0

2

B a

?

??

??

，F

??

?

?

??

，()

0,,0

C a

，

1

,

22

E a a

??

?

?

??

.

所以()

0,,0

AB a

=

uu u r

，

1

,,

222

AF a a a

??

=-

?

?

??

uu u r

.

设平面ABF的法向量为()

,,

n x y z

=

r

，

则

0,

0,

n AB

n AF

??=

?

?

?=

??

r uu u r

r uu u r

即

0,

1

2

ay

ay

=

?

?

?

++=

?

?

不妨取1

x=，则平面ABF的一个法向量为()

1,0,1

n=

r

.

因为

1

,

2

CE a a

?

=-??

??

uur

，

所以cos,

n CE

n CE

n CE

?

==

r uur

r uur

r

uur.

所以直线CE与平面ABF

所成角的正弦值为

8

.

19．解：（Ⅰ）依题意，

1

ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，

因为()

1

1.68

Pξ==0.60.50.30

?=，()

1

1.92

Pξ==0.60.50.30

?=，

()

1

2.1

Pξ==0.40.50.20

?=，()

1

2.4

Pξ==0.40.50.20

?=.

所以

1

ξ的分布列为

依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，

因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42?=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18?=，

()2 2.24P ξ==0.70.40.28?=，()2 2.4P ξ==0.30.40.12?=.

所以2ξ的分布列为

（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则

所以1150.30EQ =?200.50250.20+?+?=19.5，

2150.42EQ =?+200.46250.12?+?=18.5.

因为12EQ EQ >，

所以实施方案1，第二个月的利润更大.

20．解：（Ⅰ）双曲线2

215

x y -=的焦点坐标为()

，离心率为5.

因为双曲线22

15x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b

+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，

所以a ==1b =.

故椭圆C 的方程为2

216

x y +=.

（Ⅱ）因为2MN =

>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.

代入椭圆方程2

216

x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()(

)2

2

122416km k ?=-+()2

124m

-=()22160k m +->，

所以2

2

1+6m k <.

设()11,M x y ，()22,N x y ，

根据根与系数的关系得1221216km

x x k -+=+，()2122

6116m x x k

-=+. 则

12MN x =-=

=

因为MN ==整理得()

422

2

18397

91k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则2

1k t =-.

所以22

1875509t t m t -+-=

=15075189t t ???

?-+≤ ????

???75230593-?=. 等号成立的条件是53t =

，此时223k =，2

53

m =满足2216m k <+，符合题意.

故m 的最大值为

3

. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪.

因为()ln x f x ax b x =

-+，所以()2ln 1ln x f x a x

-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即

e y ax b =-++.

已知函数()f x 在点()(

)

e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .

（Ⅱ）由()1e 4f x ≤

+，即e ln x ax x -+1

e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2

e,e ???

?上有解. 令()11

ln 4h x x x

=-2e,e x ??∈??， 则()2211

4ln h x x x x '=-=

222ln 44ln x x x x

-

=(

22ln ln 4ln x x x x +-. 令(

)ln p x x =-

所以当2

e,e x ??∈??时，有(

)1p x x '=

10x -=<. 所以函数()p x 在区间2

e,e ????上单调递减.

所以()()e p x p

所以()0h x '<，即()h x 在区间2

e,e ????上单调递减.

所以()(

)2

e

=

h x h ≥22

11ln e 4e -211

24e

=-. 所以实数a 的取值范围为21

1,2

4e ??-

+∞????

. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为

22

1124

x y +=. 将直线20x y --=代入

22

1124

x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.

所以点()0,2A -，()3,1B ，

所以AB =

=（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB V 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.

将y x b =+代入

22

1124

x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()

2

2

64434b b ?=-??-0=，解得4b =±.

将4b =±代入方程()

2246340x bx b ++-=，解得3x =±. 易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB V 的面积最大.

且点()3,1P -到直线l 的距离为d =

=.

PAB V 的最大面积为1

92

S AB d =??=.

23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，

所以()()()222

111a b c +++++2

2

2

a b c =++()23a b c ++++2

2

2

5a b c =+++.

所以要证明()()2211a b ++++()2

16

13

c +≥， 即证明222

13

a b c ++≥

. 因为2

2

2

a b c ++=()2

a b c ++()2ab bc ca -++

()2

a b c ≥++-()2222a b c ++，

所以(

)222

3a b c

++()2

a b c ≥++.

因为1a b c ++=，所以2

2

2

13

a b c ++≥. 所以()()2

2

11a b ++++()2

1613

c +≥

. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，

则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥????”.

当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2

x a x a x a a x x a x ?

-++

?

-+-≤≤??

?

-->??

此时()min 12f x f ??=?? ?????1

2a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32

a ≤-. 当1

2

a =

时，1223x -≥不可能恒成立.

当12a >时，()f x =131,,

21

1,

,231,.

x a x x a x a x a x a ?

-++

?

+-≤≤??

?-->??

此时()min 12f x f ??

=?? ?????1

2a =-，

要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -

≥，解得52

a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2?

?-∞- ??

?5,2

??

+∞???

?

∪.