三角形内角和习题(答案)
三角形内角和综合习题精选
一．解答题（共12小题）
1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？
2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
3．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么
∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．
（1）求∠P的度数；
（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？
（3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？
（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？
【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】
7．如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．
（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=CD，求∠ACD的大小．
8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．
9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．
10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），
（1）试说明∠BOA=90°+∠C；
（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．
12．已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．
答案与评分标准
一．解答题（共12小题）
1．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确
吗？为什么？
考点：三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理。
专题：动点型。
分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在△ADC中，利用三角形内角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．
（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=（∠C﹣∠B）．
解答：解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；
∵AD是角平分线，
∴∠DAC=∠BAC=25°；
在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；
在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．
（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣
∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．
（3）（2）中的结论仍正确．
∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；
在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．
点评：本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？
考点：三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理。
分析：（1）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求∠BED的度数；
（2）△BED是钝角三角形，所以BD边上的高在BD的延长线上；
（3）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形，结合题意可求得△BED的面积，再直接求点E
到BC边的距离即可．
解答：解：（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．
（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．
（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，
∴S△BED=S△ABC=×60=15；
∵BD=5，
∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，
即点E到BC边的距离为6．
点评：本题主要考查了三角形的高、中线、角平分线，三角形的面积和三角形的内角和等知识，注意全面考虑问题，熟记三角形的中线把三角形分成的两个小三角形面积一定相等．
3．如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数．
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：由角平分线的性质知，∠FAD=∠BAE=26°，而∠AFD与∠FAD互余，与∠BFE是对顶角，故可求得∠BFE的度数．解答：解：∵AE是角平分线，∠BAE=26°，
∴∠FAD=∠BAE=26°，
∵DB是△ABC的高，
∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°，
∴∠BFE=∠AFD=64°．
点评：本题利用了角平分线的性质和直角三角形的性质求解．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
专题：动点型。
分析：（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
解答：解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；
（2）或．
点评：运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义．特别注意第（2）小题，由于∠B和∠ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况．
5．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=150°，∠XBC+∠XCB=90°．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么
∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
考点：三角形内角和定理。
分析：本题考查的是三角形内角和定理．已知∠A=30°易求∠ABC+∠ACB的度数．又因为x为90°，所以易求
∠XBC+∠XCB．
解答：解：（1）∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．
（2）不变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）
=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）=150°﹣90°=60°．
点评：此题注意运用整体法计算．关键是求出∠ABC+∠ACB．
6．如图1，△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点．
（1）求∠P的度数；
（2）猜想∠P与∠A有怎样的大小关系？
（3）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？
（4）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∠P与∠A又有怎样的大小关系？
【（2）、（3）、（4）小题只需写出结论，不需要证明】
考点：三角形内角和定理。
专题：探究型。
分析：根据“三角形的外角等于与其不相邻的两内角和”和角平分线性质．
（1）利用角平分线的性质和三角形内角和是180度以及外角的性质求算即可；
（2）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的关系，再列出∠BPC、∠PBC、∠PCB的关系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACB和∠PCB 的关系；
（3）利用P为△ABC两外角平分线的交点，∠DBC=∠A+∠ACB，同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC，再利用三
角形内角和定理以及外角和定理求出即可；
（4）列出∠A、∠ABC、∠ACF的关系，再列出∠PBC、∠P、∠PCF的关系，然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACF和∠PCF 的关系．
解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BPC=180°﹣65°=115°；
（2）∠BPC=∠A+90．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，
∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴∠BPC+∠ABC+∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BPC=∠A+90°；
（3）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵P为△ABC两外角平分线的交点，
∴∠DBC=∠A+∠ACB，
同理可得：∴∠BCE=∠A+∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴（∠ACB+∠ABC）=90°﹣∠A，
∵180°﹣∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∴180°﹣∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC，
180°﹣∠BOC=∠A+90°﹣∠A，
∴∠BPC=90°﹣∠A；
（4）若P为∠ABC和∠ACB外角的平分线BP，CP的交点，则∠BPC与∠A的关系为：∠BPC=∠A．
∵∠A+∠ABC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠PCF，BP，CP分别是∠ABC和∠ACF的平分线，
∵∠ABC=2∠PBC，∠ACF=2∠PCF，
由以上各式可推得∠BPC=∠A．
点评：此题主要考查了角平分线及三角形的内角和定理和三角形外角和等知识，熟练地应用其性质得出等量关系，再进行等量代换是解决问题的关键．
7．如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．
（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=CD，求∠ACD的大小．
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）要求证：BD=DE可以证明△ABD≌△AED，根据角角边定理就可以证出；
（2）求∠ACD=∠AFC﹣∠DAF，本题可以转化为求∠AFC，∠DAF的度数．
解答：（1）证明：∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD=∠EAD=30°
∵AD=AD
∵∠B=∠E=40°
∴△ABD≌△AED
∴BD=ED；
（2）解：∵∠ADE=∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=110°，
∵∠ADC=70°，
∴∠EDC=110°﹣70°=40°．
∴∠EDC=∠E．
∴FD=FE．
∵AE=AB=CD，
∴CF=AF．
∵∠AFC=100°，
∴∠ACD=40°．
点评：证明线段相等的问题比较常用的方法是证明所在的三角形全等．
8．如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；
（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．
考点：三角形内角和定理；非负数的性质：绝对值；角平分线的定义。
专题：动点型。
分析：（1）|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，非负数的性质得，x+2y﹣5≥0，2x﹣y≥0；由此解不等式即可求得，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动，∴A （﹣1，0），B（0，2）；
（2）不发生变化．要求∠P的度数，只要求出∠PAB+∠PBA的度数．利用三角形内角和定理得，∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA；角平分线性质得，∠PAB=∠EAB，∠PBA=∠FBA，外角性质得，∠EAB=∠ABO+90°，∠FBA=∠BAO+90°，则可求∠P
的度数；
（3）试求∠AGH和∠BGC的大小关系，找到与它们有关的角．如∠BAC，作GM⊥BF于点M，由已知有可得∠AGH 与∠BGC的关系．
解答：解：
（1）解方程组：
得：（3分）
∴A（﹣1，0），B（0，2）；
（2）不发生变化，
∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA
=180°﹣（∠EAB+∠FBA）
=180°﹣（∠ABO+90°+∠BAO+90°）
=180°﹣（180°+180°﹣90°）
=180°﹣135°
=45°；
（3）作GM⊥BF于点M．
由已知有：∠AGH=90°﹣∠EAC
=90°﹣（180°﹣∠BAC）
=∠BAC，
∠BGC=∠BGM﹣∠CGM
=90°﹣∠ABC﹣（90°﹣∠ACF）
=（∠ACF﹣∠ABC）
=∠BAC
∴∠AGH=∠BGC．
注：不同于此标答的解法请比照此标答给分．
点评：考查角平分线性质，三角形内角和定理，非负数的性质等知识．
9．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2=90°，∠B=75°，求∠A的度数．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质。
专题：计算题。
分析：延长DE交CB延长线于F，根据已知条件，证得AD∥FC；根据两直线平行，内错角相等求得∠A的邻补角；再求出∠A的度数即可．
解答：解：延长DE交CB延长线于F，∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC=90°，即CE⊥ED，
∴∠ECB+∠F=90°，
∴∠2+∠F=90°．
∵∠1=∠ADE，∴∠ADF=∠F，
∴AD∥FC，∴∠A=∠EBF，
∵∠B=75°，∴∠A=180°﹣75°=105°．
点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到AD∥FC，这是解题的关键．
10．如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
考点：三角形内角和定理。
分析：（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO=40°，所以∠CDF=20°，又由平角定义，可求∠ACD=130°，所以∠ECD=65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求∠ECD=∠F+∠CDF，∠F=45度．
（2）同理可证，∠F=45度．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°∠OCD=50°，
∴∠CDO=40°．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD=65°∠CDF=20°．
∵∠ECD=∠F+∠CDF，
∴∠F=45°．
（2）不变化，∠F=45°．
∵∠AOB=90°，
∴∠CDO=90°﹣∠OCD∠ACD=180°﹣∠OCD．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD=90°﹣∠OCD∠CDF=45°﹣∠OCD．
∵∠ECD=∠F+∠CDF，
∴∠F=45°．
点评：本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题．
11．如图，△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O．（∠ABC＞∠C），
（1）试说明∠BOA=90°+∠C；
（2）当AD是高，判断∠DAE与∠C、∠ABC的关系，并说明理由．
考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高。
分析：（1）先利用三角形内角和定理可求∠BOA=180°﹣（∠CAB+∠CBA），以及∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，即可得出∠BOA=180°﹣（180°﹣∠C）整理得出即可；
（2）根据角平分线定义可求∠CAE=∠BAE=（180°﹣∠C﹣∠ABC），然后利用三角形外角性质，可先求∠AED，再次
利用三角形外角性质，容易求出∠DAE即可．
解答：解：（1）理由：∵△ABC中，AE、BF是角平分线，
∴∠BOA=180°﹣（∠CAB+∠CBA），
∵∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C，
∴∠BOA=180°﹣（180°﹣∠C）
=90°+∠C；
（2）关系：∠DAE=（∠ABC﹣∠C）．
理由：∵∠CAB=180°﹣∠C﹣∠ABC，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=（180°﹣∠C﹣∠ABC），
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°，
∠C+∠CAE=∠AED，
∴∠DAE=90°﹣∠AED=90°﹣[∠C+（180°﹣∠C﹣∠ABC）]，
=（∠ABC﹣∠C）．
点评：此题主要考查了三角形外角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAD，再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键．
12．已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC 的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．
考点：三角形内角和定理；角平分线的定义。
分析：（1）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
（2）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据三等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难∠BOC的大小．
（3）根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据n等分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难探求∠BOC的大小与n的关系．
解答：解：∵∠BAC=100°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=40°，
∴∠BOC=140°．
（2）∵点O是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=°，
∴∠BOC=°．
（3）∵点O是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=°，
∴∠BOC=180°﹣°．
当∠BOC=170°时，是八等分线的交线所成的角．
点评：此题主要考查三角形内角和定理和角平分线的应用，要熟记三角形的内角和为180°．