2018版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一导学案新人教A版必修4

2018版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一导学案新人教A版必修4
2018版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象一导学案新人教A版必修4

1.5 函数y=Asin (ωx +φ)的图象(一)

学习目标 1.理解y =A sin(ωx +φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y =sin x 与y =

A sin(ωx +φ)图象间的变换关系,并能正确地指出其变换步骤.

知识点一 φ(φ≠0)对函数y =sin(x +φ),x ∈R 的图象的影响 思考1 如何由y =f (x )的图象变换得到y =f (x +a )的图象? 答案 向左(a >0)或向右(a <0)平移|a |个单位. 思考2 如何由y =sin x 的图象变换得到y =sin(x +π

6

)的图象? 答案 向左平移π

6

个单位.

梳理 如图所示,对于函数y =sin(x +φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y =sin x 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的.

知识点二 ω(ω>0)对函数y =sin(ωx +φ)的图象的影响

思考1 函数y =sin x ,y =sin 2x 和y =sin 1

2x 的周期分别是什么?

答案 2π,π,4π.

思考2 当三个函数的函数值相同时,它们x 的取值有什么关系?

答案 当三个函数的函数值相同时,y =sin 2x 中x 的取值是y =sin x 中x 取值的1

2,y =sin

1

2

x 中x 的取值是y =sin x 中x 取值的2倍. 思考3 函数y =sin ωx 的图象是否可以通过y =sin x 的图象得到? 答案 可以,只要“伸”或“缩”y =sin x 的图象即可.

梳理 如图所示,函数y =sin(ωx +φ)的图象,可以看作是把y =sin(x +φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1

ω

倍(纵坐标不变)而得到.

知识点三 A (A >0)对y =A sin(ωx +φ)的图象的影响

思考 对于同一个x ,函数y =2sin x ,y =sin x 和y =1

2sin x 的函数值有何关系?

答案 对于同一个x ,y =2sin x 的函数值是y =sin x 的函数值的2倍,而y =1

2sin x 的函

数值是y =sin x 的函数值的1

2

.

梳理 如图所示,函数y =A sin(ωx +φ)的图象,可以看作是把y =sin(ωx +φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0

.

知识点四 函数y =sin x 的图象与y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象关系 正弦曲线y =sin x 到函数y =A sin(ωx +φ)的图象的变换过程:

y =sin x 的图象

――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度

y =sin(x +φ)的图象――――――――――――→所有点的横坐标变为原来的1w

纵坐标不变

y =sin(ωx +φ)的图象

――――――――――――→所有点的纵坐标变为原来的A 倍

横坐标不变

y =A sin(ωx +φ)的图象

.

类型一 平移变换

例1 函数y =sin ?

????x -π6的图象可以看作是由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到的?

解 函数y =sin ? ????x -π6的图象,可以看作是把曲线y =sin x 上所有的点向右平移π6个单位长度而得到的.

反思与感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同则先化为同名函数.再观察x 前系数,当x 前系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从ωx →ωx +φ的平移量为|φ

ω

|个单位.

跟踪训练1 要得到y =cos ? ????2x -π4的图象,只要将y =sin 2x 的图象( ) A.向左平移π

8

个单位

B.向右平移π

8个单位

C.向左平移π

4个单位

D.向右平移π

4个单位

答案 A

解析 y =sin 2x =cos ? ????π2-2x =cos ?

????2x -π2 =cos ??????2? ????x -π4=cos ??????2? ????x -π8-π4.

若设f (x )=sin 2x =cos ??????2?

????x -π8-π4, 则f ? ????x +π8=cos ? ????2x -π4,所以向左平移π8个单位.

类型二 伸缩变换

例2 将函数y =sin ? ????x +π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到

的函数解析式为________. 答案 y =sin ?

????2x +π3 反思与感悟 横向伸缩变换,只变ω,φ不发生变化.

跟踪训练2 将函数y =sin(x -π

3)图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的5倍,可

得到函数__________的图象. 答案 y =sin(15x -π

3)

类型三 图象变换的综合应用

例3 把函数y =f (x )的图象上的各点向右平移π

6个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,再

把纵坐标缩短到原来的23倍,所得图象的解析式是y =2sin ? ????12

x +π3,求f (x )的解析式.

解 y =2sin ? ????12x +π3――――――――――→

纵坐标伸长到原来的32

y =3sin ? ??

?

?12

x +π3――――――――――→

横坐标缩短到原来的12

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