多重积分的计算方法
攀枝花学院本科毕业设计（论文）重积分的计算方法
学生姓名：杨健康
学生学号： 200810802034 院（系）：数学与计算机学院
年级专业： 08信息与计算科学
指导教师：蒲永燕讲师
助理指导教师：
二〇一二年六月
攀枝花学院本科毕业设计(论文) 摘要
摘要
本文介绍了几种重积分的计算方法，着重从直角坐标的计算、极坐标以及球面坐标等方法阐述重积分的计算。
重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数()x f推广为二元函数()y x f,和三元函数()z y x f,,;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着相当广泛的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，我结合前人的经验，在这里系统介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。
关键词二重积分，三重积分，n重积分，对称法，极坐标
ABSTRACT
This article describes the computational method of integration of several re-focus from the calculation of the repeated integral, variable substitution and other methods on the calculation of double integrals, introduced a special class of double integrals of the calculation method by double integralsthe calculation method is extended to the calculation of the triple integral.
Double integral double integrals and triple integrals, it is the promotion of the definite integral; integrand by a function to promote the binary function and ternary functions; integration range from the regional outreach of the number of axes for the plane domain (double integral) spatial domain (triple integral). I am learning and review this one of the multiple integrals are more complicated calculation of multiple integrals, multiple integrals has a fairly wide range of applications in everyday life. Through access to information in the library, as well as the teacher's guidance, the heavy computational method of integration, there is a pattern. In order to better
re-integral, combined with previous experience, where the system introduced several commonly used double integral calculation method, as well as some tips. Focuses on the calculation of the repeated integral with variable substitution
Keywords Double integrals, Triple integrals, Multiple integrals, Symmetry method ,In polar coordinates
、
目录
摘要 ............................................................................................................................ I ABSTRACT ....................................................................................................................... I I 1.绪论 (2)
1.1研究积分的意义和目的 (2)
2 二重积分的计算 (3)
2.1直角坐标系计算法 (3)
2.2极坐标计算方法 (4)
2.3二重积分在几何上的应用 (6)
3 三重积分的计算方法 (8)
3.1直角坐标系中三重积分化为累次积分 (8)
3.2利用柱面坐标计算三重积分 (9)
3.3利用球面坐标计算三重积分 ....................................................... 错误！未定义书签。
3.4在物理上的应用 (11)
4 N重积分的计算 (14)
4.1变量替换，递推和降维 (14)
4.2利用积分定义 (16)
结语 (19)
参考文献 (20)
致谢 (21)
1.绪论
1.1 研究积分的意义和目的
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
2 二重积分的计算
2.1直角坐标系计算法
在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题
模型I ：设有界闭区域：
{}12(,),()()D x y a x b x y x φφ=≤≤≤≤ 其中
12(),()x x ??在[,]a b 上连续，()y x f ,在D 上连续，则
??????==D
b
a
x x D
dy
y x f dx dxdy y x f d y x f )
()
(21),(),(),(??σ
模型II ：设有界闭区域：
{})()(,),(21y x y d y c y x D ??≤≤≤≤=
其中12(),()x x ??在[,]c d 上连续，()y x f ,在D 上连续则:
21()
()
(,)(,)(,)y d
D
D
c
y f x y d f x y dxdy dy f x y dx
??σ==??????
例2.1.1计算二重积分??
-D
dxdy x y 2，其中D 为区域20,1≤≤≤y x 。
解：如图所示D 可分为21D D 。
在1D 内2x y
>，在2D 内2x y <
3
42
2
22
1
21
1
11
2
2222+
=
-+-=-+-=-∴?
?????????
--π
x
x
D D D dy y x dx dy x y dx dxdy
y x dxdy x y dxdy x y
例2.1.2 计算??
D
dxdy x
x
sin ，其中D 是有1,,0===x x y y 围成的区域。
解：先画出区域D 的图形
区域D 为?
??≤≤≤≤x y x 01
若先对y 后对x 积分，则由D 知：
??D
dxdy x x
sin =??x dy dx x x 010sin =xdx x x ?10sin =?10sin xdx =1cos +-x 如果先对x 后对y 积分，由于dx x
x
?sin 不能用初等函数表示，这时重积分“积不出来”。
2.2 极坐标计算方法
计算二重积分时，要从被积函数和积分区域两个方面选取适当坐标系，选择适当极坐标系可以简化积分运算。在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定θ对γ进行积分，然后再对θ进行积分，由于区域D 的不同类型，也有几种常用的模型。
模型I 设有界闭区域
{}12(,),()()D γθαθβ?θγ?θ=≤≤≤≤
其中12(),()?θ?θ在[,]αβ上连续，(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
则
21()
(
)
(,)(cos ,sin )(cos ,sin )D
D
f x y d f d d d f d ?θβα?θ
σγθγθγγθθγθγθγγ==??????
模型II 设有界闭区域
{})(0,),(θ?γβθαθγ≤≤≤≤=D 其中
()?θ在[,]αβ上连续，
(,)(cos ,sin )f x y f γθγθ=在D 上连续。
则
??????==D
D
d f d d d f d y x f β
αθ?γγθγθγθθγγθγθγσ)
(0
)sin ,cos ()sin ,cos (),(
例2.2.1 计算dy y x x d I x
x
2
1
2
2
1
)(2+=??
此题在直角坐标系下求解计算量大，很难计算出结果，如果在极坐标系下计算就简单多了。
解：根据积分画出区域图形?
??≤≤≤≤x y x x 210
04
0s e c t a n r πθθ
θ?
≤≤?
??≤≤?? dy y x x d I x
x
2
1
2
2
1
)(2+=??
dr r
r d I ?
?=θ
θπ
θtan sec 0
40
12-=
对被积函数为()22y x f +或积分区域为圆域，扇形域，圆环域时，可考虑利
用极坐标系计算.此时可以设广义极坐标变换???+=+=θ
θ
sin cos 00br y y ar x x 将xOy 平面上的
有界闭区域D 一一地变成θr 平面上有界闭区域'D ，()y x f ,在D 上连续，则：
()()????++=
D
D
abrdrd br y ar x
f d y x f '
cos ,cos ,00
θθθσ
.特别当：
()()1,1,0,0,00===b a y x 时，公式变为极坐标公式：
()()θθθσdrd r r f d y x f D D
????='
sin ,cos ,
例2.2.2 求 22()D
I x y y d σ=++??。
1
)1(4:2
2
22≥++≤+y x y x D
解法一：
??????
-=D
D D 大圆
小圆
222222
20
0()
16
3
D D
x y y d x y d d r dr π
σσθπ??++=++??=
=??
????大圆
大圆
对称性
?
?????
-=
=++=
θ
ππ
θ
σcos 20
22
32
D 2
29320dr r d d y x D 小圆
小圆
(
)
)23(9
16
22-=
++∴
??πσd y y x D
解法二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知
??=D
σyd
??
??+=+D
D d y x d y x 上
σ
σ22222
122222
22222002cos 2224
416162()(32)
3
399D D x y d x y d d r d d r dr πππθ
σσθγθπππ-??=+++??
????????=+??
????
??=+-=-????????????上上原式
2.3二重积分在几何上的应用
求空间物体的体积：
例2.3.1 求两个底半径为R 的正交圆柱面所围立体的体积。
解 设两正交圆柱面的方程为222222x y R x z R +=+=和，它们所围立体在第一
卦限中的那部分体积 dxdy
x R V D
??-=221
其中D 为220,0x R y R x ≤≤≤≤-
因此 22
2
2
22310
2
()3R
R x R
V dx
R x dy R x dx R -=-=-=??
?
而整个立体体积由对称性可知
3
1316
8R V V ==
例 2.3.2 求球面22222242(0)x y z R x y Rx R ++=+=>和圆柱面所围（包含原点那一部分）的体积
解 222144D
V R x y dxdy =--??
其中D 为xy 平面上22y Rx x =-与x 轴所围平面区域用极坐标系进行计算
2cos 2
22
220
323
30444432322(1sin )()3323
R D
V R r rdrd d R r rdr
R d R πθ
π
θθ
πθ=-=-=-=-????
?
3 三重积分的计算方法
三重积分的定义：设()z y x f ,,是空间3R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o
o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设},...,,max {21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和()i i i i n
i V z y x f ?∑=,,1(称为
Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极限为函数()z y x f ,,在区域V 上的三重积分，记为()???V
dV z y x f ,,．并称函数()z y x f ,,在区域V 上可
积．()z y x f ,,称为被积函数,x,y,z 称为积分变量, V 称为积分区域。
3.1 直角坐标系中三重积分化为累次积分
（1）设Ω是空间的有界闭区域：
{}
D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω),(),,(),(),,(21
其中D 是xy 平面上的有界闭区域，12(,),(,)z x y z x y 在D 上连续函数(,,)
f x y z 在Ω上连续，则
????
??Ω
=dz
z y x f dxdy dv z y x f y x z y x z D
),,(),,()
,()
,(21
（2）设{}(,,),(,)()x y z z x y D z αβΩ=≤≤∈
其中D(z)为竖坐标为z 的平面上的有界闭区域，则
?????
?Ω
=dxdy
z y x f dz dv z y x f z D ),,(),,()
(β
α
例 3.1.1计算dxdydz z xy ???Ω
32，其中Ω由曲面0,1,,====z x x y xy z 所围的区域。
解
??????=Ω
xy
x
dz z xy dy dx dxdydz z xy 0
3
20
1
3
2
3641
281411
1206510???=
==dx x dy y x dx x
3.2 柱坐标系中三重积分的计算
相当于把(,)x y 化为极坐标（,r θ）而z 保持不变：
??????Ω
Ω
=dz rdrd z r r f dxdydz z y x f θθθ),sin ,cos (),,(
例3.2.1 利用柱面坐标计算三重积分dxdydz z ???Ω
，其中Ω是由曲面22y x z +=与平面4=z 所围成的闭区域。
解 把闭区域Ω投影到xoy 面上，得半径为2的圆形闭区域D ：
πθ20,20<<< 线通过曲面22y x z +=穿入Ω内，然后通过平面4=z 穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等式πθ20,20,42<<<<< πθθθπ π3 64)16(2142020 4 20 20 2=-===???????????Ω Ω dr r r d dz z dr r d dz rdrd z dxdydz z r 例 3.1.2 计算222 222()x y z dxdydz a b c Ω ++???,其中Ω由曲面2222221x y z a b c ++=所围的区 域。 解 令 sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ρθ?ρθ?ρθ=== 则 21 2224222000 4 ()sin 5x y z dxdydz abc d d d abc a b c π π?θθρρπΩ++==?????? 3.3 球面坐标系中三重积分的计算 球坐标系中三重积分的计算： sin cos 0sin sin 0cos 02x y z ρθ?ρρθ?θπρθ?π=≥???? ?=≤≤? ?? ?=≤≤??? 2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dxdydz f d d d ρθ?ρθ?ρθρθρθ?Ω Ω =??? ??? 例3.3.1 求半径为a 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体（图3.3.1）的体积。 解 设球面通过原点o ，球心在z 轴上，又内接锥面的顶点在原点o ，其轴与z 轴重合，则球面方程为2cos r a ?=，锥面方程为?α=。因为立体所占有的空间闭区域Ω可用不等式πθα??20,0,cos 20≤≤≤≤≤≤a r 来表示，所以 ) cos 1(3 42sin sin 432 cos 20 20 2 0cos 20 20 2 απ??π??θθ ??? π? π-====? ??? ????Ω a dr r d in s dr r d d d dr r V a a 图3.3.1 例3.3.2 求均匀半球体的重心。 解 取半球体的对称轴为z 轴，原点取在球心上，又设球半径为a ，则半球 体所占空间闭区域Ω可用不等式2222,(0)x y z a z ++≤≥来表示。 显然，重心在z 轴上，故0==→ →y x 。 ??????Ω Ω → = = zdv v cdv z M z 1 1， 其中3 3 2a V π= 为半球体的体积。 θ???d drd r r dv z sin cos 2 *=??????Ω Ω 4 sin 3 3 2 20 a dr r d os c d π???θπ π π = =??? 因此，a z 83=→ ，重心为)8 3,0,0(a 。 例3.3.3 计算 由曲面其中Ω++??? Ω ,222dxdydz z y x z z y x =++222所围的区域 解 用球坐标 10 5cos 2sin cos 412sin 0 25204 cos 0 3 2 20 2 22πθπθθθπρθρθ ?π π θ π π =??????-=?== ++??????? Ω d d d d dxdydz z y x 3.4在物理上的应用 3.4.1 求 椭圆锥)1(22 2222设密度均匀恒为围成物体的重心和平面c z c z b y a x ==+。 解 设重心坐标（z y x ,,）物体所占空间区域为Ω 由对称性可知0,0==y x zdxdydz z dxdydz Ω Ω = ?????? 由锥体体积公式可知3 abc dxdydz π= ???Ω 令 ct z br y ar x ===,sin ,cos θθ 而 ??????Ω =1 1 20 2 r tdt rdr d abc zdxdydz π θ 42)1(22 1 22 abc dr r r abc ππ= -=? 因此，重心坐标4 3,0,0c z y x = == 例3.4.2 设有一半径为R 的球体，o P 是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到o P 的距离平方成正比（比例系数k >0）,求球体重心的位置。 解一：设球面方程为,2222R z y x =++o P 为 (R, 0,0)，球体Ω的重心坐标为 （z y x ,,） 由对称性可知0,0==z y dv z y R x k dv z y R x k x x ??????Ω Ω ++-++-?= ]) [(])[(2 22 2 22 由区域的对称性和函数的奇偶性，则有 ???Ω =-02xdv R 0][2222 =+++???Ω dv z y R x x 于是 ()2222222 [()]x R y z dv x y z dv R dv Ω Ω Ω -++=+++????????? 5 32 4 020153234sin R R R d d d R ππρθρθ?ππ=?+=??? dv x R dv z y R x x ??????Ω Ω -=++-2222 2]) [( 6 22215 8)(32R dv z y x R π-=++- =???Ω 因此 )0,0,4 (,4R R x -- =重心坐标为 解二： 设球面坐标2 222)(R R z y x =-++， o P (0,0,0)，重心坐标（z y x ,,） 由对称性可知 0,0==y x dv z y x k dv z y x k z z ??????Ω Ω ++++?= ][][2 22 2 22 6 20 765cos 20 2 2 2 2 2 38sin cos 364sin cos 4][R d R d d d dv z y x z R πθθθπρ θθρθ ?π θ π π ===++?? ?????Ω 5 4cos 20 2 2 2 2 2 15 32sin 4)(R d d d dv z y x R πρθρθ ?θ π π = =++? ?????Ω 于是 )4 5 ,0,0(45R R ，z 重心坐标= 。 4 n 重积分的计算 当V 是R n 中的有界闭区域. 依照可求面积的方法定义V 的可求“体积”或可测. 设),,(21n x x x f 是n R 中的有界可测闭区域V 上的函数, 任取V 的分划 P ,, 即把分成若干个可测小区域m V V V ,,,21 , 它们的”体积”或测度分别记为m V V V ???,,,21 , 当令 {}i i V Q Q Q Q d ∈=2121,|||sup ，||21Q Q 表示两点 的距，{}m d d d P ,,,max ||||21 = , 对任取),,2,1(,),,,()()(2 )(1m i V x x x i i n i i =∈,如果i m i i n i i P V x x x f ?∑=→1 )()(2) (10 ||||),,,(lim 存在,称),,,,(21n x x x f 是V 上的可积函数.其 极限值称为),,,,(21n x x x f 在V 上的n 重积分,记为 dV x x x f n n V ),,,(21 ??或 n n n V dx dx dx x x x f 2121),,,(??. 特当 [][][]n n b a b a b a V ,,,2211 ??=时, n n b a b a b a n n n V dx x x x f dx dx dx dx dx x x x f n n ),,,(),,,(2121212111 2 2 ?????=. 4.1 变量替换，递推和降维 分析：（1）根据积分的区域与被积函数选取恰当的变换，使被积函数化简， 区域易于定限； （2）当选好新变量后，将区域用新变量表示出来，求出新变量的变化范伟，确定积分限。 例4.1.1求μμ μdxdydzd z y x z y x v ???? ++++----2 2222 22211 其中V 为1,0,,,2222≤+++≥μμz y x z y x .。 解 ： 用球坐标 θ ?ψθ?ψ?ψψ sin sin sin cos sin sin cos sin cos 4321r x r x r x r x ==== 这时?ψθ?ψsin sin ) ,,,() ,,,(234321r r x x x x J =??= 22222r z y x =+++μ ? ?? ???≤≤<<<<<<=10,20,20,20:),,,(r r V πθπ?πψ?θψ，故原积分 ) 4 1(16 11sin sin 2sin sin 112 3 10 2 220 2 20 2 223 20 1 2 220 20 π πψψ??π ?ψ?ψθπ π π π π - +-+-=? ?? ?? ??dr r r r d d dr r r r d d d I 例4.1.2计算积分4321) ,(dx dx dx dx e I D x Ax ????=其中j i j i ij x x a x Ax ∑== 4 1 ),(是正定 二次型，D 是区域1),(≤x Ax 。 解 （正交变换）据袋鼠关于二次型的知识，存在正交变换，使得二次化为标准型1),(2 4 1 4 1 ,≤== ∑∑==i i i j i j i ij x x a x Ax ξλ这里1||=J 。于是原积分 4 3211 4 3214 1 241 2 4 1 4 1 dx dx dx dx e dx dx dx dx e I i i i i i i ij j ij i ij ij xx a x a ?? ???? ??∑∑=∑∑=====≤ξλζλ 由于A 正定，所以)4,3,2,1(0=>i i λ再作变换i i i ληξ= ，则 A J i i i i i det 11 ||1 43214 1 224 1 = = ≤=∑∑==λλλληξ λ 所以 A d d d d e A I i i i i det det 1 2 4 3214 12 4 1 2 πηηηηηη= ∑∑= ????== 分析：为了计算n 重积分（n 次累积分），我们可设法按维数建立积分的递推公式，即找出不同维数相应积分的关系，然后重复使用这种关系，求出积分值 例4.1.3 试求截距为a 的n 维单纯图 {})0(,0,,0,0|),,()(212121>≤+++≥≥≥=?a a x x x x x x x x x a n n n n （1） 的体积)(a V n 。 分析如上例所述，若作相似变换n n a x a x μμ==,,11 ，则)(a n ?变成 }1,0,0|),,{()1(111≤++≥≥=?n n n n μμμμμμ （2） 这时 ) 1()(1) 1(1) (n n n n n a n V a d d a dx x d a V n n ===??????μμ （3） 可见我们的问题归于计算)1(n V ， 从式（2）知给定[]1,0∈n μ时，截得是1-n 为单纯图： }1,0,0|){()1(1111111n n n n n n μμμμμμμμ-≤+≥≥=-?---- 他的体积为 )1(1n n V μ--因此： )1(1(1 11110 11 11 1n n n n n d V d d d d d V n n μμμμμμμμμμμμμ-===??????--≤+≤+ 利用（3）=)1(1 )1()1(111 1 0---=-?n n n n n V n d V μμ这便是欲求的递推公式，反复使用此 式， ! 1 )1(2)1(1)1(11)1(1)1(121n V n n V n V n V n n n =-==-==-- 代入（3）得!)(n a a V n n =。 类似可以计算。 4.2 利用积分定义 分析：积分是和的极限，因此有些关于积分的问题可以转化为积分和的对应问题。 若V 上有一一映射T ?? ?????===) ,,,(),,,(),,,(:212122 2111n n n n n u u u x x u u u x x u u u x x T ，其每个分量的函数有连续偏导数， 当V 是有界可测区域，),,,,(21n x x x f 在)(V T 上可积，并且Jacobi V u u u u x u x u x u x u x u x u x u x u x u u u x x x n n n n n n n n n ∈≠??????????????????=??),,,(,0) ,,,() ,,,(212 1 2 2212 12111 2121 那么 n n n V T dx dx dx x x x f 2121) (),,,(??n n n n n n n n V du du du u u u x x x u u u x u u u x u u u x f 21212121212211) ,,,() ,,,()) ,,,(,),,,,(),,,,((??=?? . 特别是R n 中的球坐标变换， T :,321321211cos sin sin ,cos sin ,cos ??????r x r x r x === ……, 123211cos sin sin sin sin ---=n n n r x ????? , 12321sin sin sin sin sin --=n n n r x ????? , 在R n 中, .20,,,,0,012321π?π????≤≤≤≤∞<≤--n n r 这时的Jacobi 是