等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点
等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

等差等比数列练习题

一、 选择题

1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( )

(A )为常数数列 (B )为非零的常数数列 (C )存在且唯一 (D )不存在 2.、在等差数列

{}n a 中,41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列,则{}n a 的通项公式为 ( )

(A )13+=n a n

(B )3+=n a n (C )13+=n a n 或4=n a (D )3+=n a n 或4=n a

3、已知c b a ,,成等比数列,且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则

y

c

x a +的值为 ( ) (A )

2

1 (B )2- (C )

2 (D ) 不确定

4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列,x 是a ,b 的等比中项,

y 是b ,c 的等比中项,那么2x ,2b ,2y 三个数( )

(A )成等差数列不成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列

(C )既成等差数列又成等比数列 (D )既不成等差数列,又不成等比数列

5、已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( )

(A )22-=n a n

(B )28-=n a n (C )12-=n n a (D )n n a n -=2

6、已知))((4)

(2

z y y x x z --=-,则 ( )

(A )z y x ,,成等差数列 (B )z y x ,,成等比数列 (C )

z y x 1,1,1成等差数列 (D )z

y x 1

,1,1成等比数列 7、数列

{}n a 的前n 项和1-=n n a S ,则关于数列{}n a 的下列说法中,正确的个数有 ( )

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列,也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列

(A )4 (B )3 (C )2 (D )1

8、数列1

?,16

1

7,815,413,21,前n 项和为 ( ) (A )1212+-n n (B )212112+-+n n (C )1212+--n n n (D )212

112

+--+n n n

9、若两个等差数列

{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ,且满足5

524-+=

n n B A n

n

,则

13

5135b b a a ++的值为 ( )

(A )

9

7 (B )

7

8

(C )

20

19 (D )

8

7

10、已知数列

{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 ( ) (A )56 (B )58 (C )62 (D )60

11、已知数列

{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9,27,…3n

, …项,按原来的顺序排成一个新的数列,

则此数列的前n 项和为 ( )

(A )2)133(+n n (B )53+n

(C )23103-+n n (D )2

31031-++n n

12、下列命题中是真命题的是 ( )

A .数列

{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )

B .已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C .数列

{}n a 是等比数列的充要条件1

-=n n ab a

D .如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

{}n a ,公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列,则公比q =

14、已知等差数列

{}n a ,公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列,则18

6217

51a a a a a a ++++=

15、已知数列

{}n a 满足n n a S 4

11+=,则n a =

16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列,数列{}n

b a 是公比为q 的等比数列,46,10,1321===b b b ,求公比q 及n b 。

18、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等,且都等于d

)1,0(≠>d d ,11b a = ,333b a =,555b a =,求n n b a ,。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为216,后三个数成等差数列,其和为36,求这四个数。 20、已知{}n a 为等比数列,324202,3

a a a =+=,求{}n a 的通项式。

21、数列

{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求

{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T

22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (I )求数列

{}n a 的通项公式; (II )若数列

{}n b 满足1

2

1114.4...4(1)()n

n

b b b b n a n N ---*=+∈,证明:{}n b 是等差数列;

数列综合题

一、选择题

二、 填空题 13.

2

5

1+ 14. 2926 15. n )31(34- 16. ±63

三、解答题

17.a 1b =a 1,a 2b =a 10=a 1+9d ,a 3b =a 46=a 1+45d

由{a bn }为等比数例,得(a 1+9d )2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项,及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2

18.∴ a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 , ∴a 1(1-3d 2)=-2d ① a 5=5b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4)=-4d ②

②① ,得24

3151d d --=2,∴ d 2=1或d 2=51,由题意,d =55,a 1=-5。∴a n =a 1+(n -1)d =55(n -6) b n =a 1d n -1=-5·(55)n -1 19.设这四个数为

a aq aq a q

a

-2,,, 则??

???=-++=?36)3(216·a aq aq a aq a q a

②① 由①,得a 3=216,a =6 ③ ③代入②,得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3,6,12,18 20.解: 设等比数列{a n }的公比为q , 则q ≠0, a 2=a 3q = 2

q , a 4=a 3q =2q

所以 2q + 2q =203 , 解得q 1=1

3

, q 2= 3,

当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n -1=183n -1 = 2×33-

n .

当q =3时, a 1= 29 , 所以a n =29

×3n -1=2×3n -

3.

21.解:(I)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥,两式相减得

()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴13n n a -=

(Ⅱ)设{}n b 的公差为d

由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===

由题意可得()()()2

515953d d -+++=+ 解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d =

∴()

213222

n n n T n n n -=+?=+ 22(I ):*121(),n n a a n N +=+∈

112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+=

即 2*21().n a n N =-∈ (II )证法一:

1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+

12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=

122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①

12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②-①,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= ③

21(1)20.n n nb n b ++-++= ④

④-③,得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=

*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈

{}n b ∴是等差数列。

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